2025年高考數學總復習：常用邏輯用語

第二節(jié)常用邏輯用語

考試要求：1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義.

2.理解全稱量詞與存在量詞的意義.

3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.

-------------必備知識落實“四基”------------

自查自測

知識點一充分條件、必要條件與充要條件

1.判斷下列說法的正誤，正確的畫“，錯誤的畫“義”.

(1)若p：x>l,q：尤21,則p是q的充分不必要條件.(J)

(2)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件.(J)

(3)若a,bGR,則“層+接#0”是“a,。不全為0”的充要條件.(V)

2.(教材改編題)設x>0,y>0,則“/>/'是“x>y”的(C)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知A=(—8,a],8=(—8,3),且“xGA”是“xG8”的充分不必要條件，則a的

取值范圍為(一8,3).

核心回扣

1.充分條件、必要條件與充要條件

⑴如果pnq,則p是q的充分條件；

(2)如果咤0則p是q的必要條件；

(3)如果既有p=q,又有q=p,記作p0q,則p是q的充要條件.

2.充分條件、必要條件與對應集合之間的關系

設4={加2。)},2={x|虱無)},

(1)若A&B,則。是a的充分條件,“是P的必要條件.

(2)若AB,則。是q的充分不必要條件,4是。的必要不充分條件.

(3)若A=B,則。是q的充要條件.

自查自測

知識點二全稱量詞與存在量詞

1.(多選題)(教材改編題)已知命題p：VxGR,x+2W0,貝i](CD)

A.p是真命題B.rp：Vx6R,x+2>0

C.是真命題D.rp：R,x+2>0

2.下列命題中的假命題是()

A.AGR,lgx=lB.3x^R,sinx=0

C.VxdR,%3>0D.VxER,2T>0

C解析：當尤=10時，1g尤=1,故A是真命題；當x=0時，sinx=0,故B是真命題；當

尤=—1時，x3<0,故C是假命題；由指數函數的值域知D是真命題.

3.若命題“VxGR,記+1>相”是真命題，則實數"Z的取值范圍是(一8,1).

核心回扣

1.全稱量詞與存在量詞

名稱常見量詞符號表示

全稱量詞所有的、一切、任意一個、每一個、任給等V

存在量詞存在一個、至少有一個、有些、對某些等3

2.全稱(存在)量詞命題及含一個量詞的命題的否定

名稱語言表示符號表示命題的否定

全稱量詞命題對M中任意一個x,p(%)成立p(x)

存在量詞命題存在M中的元素x,p(無)成立p(x)

注意點：

不能將“若P，則q"與"pnq”混為一談,只有“若P，則4”為真命題時，才有“pnq”，

即“p=q”="若p,貝i]q”為真命題.

【常用結論】

1.命題p和Y的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真

假.

2.p是q的充分不必要條件等價于F是rp的充分不必要條件.

應用1命題“mxGR,x2+2x+l=0"的否定是命題.(填“真”或"假”)

假解析：因為當x=—I時，(一1)2+2X(—1)+1=0,所以命題FXGR,尤2+2犬+1=0”

為真命題，所以命題的否定“VxeR,尤2+2x+iW0”是假命題.

應用2已知命題p：|x|Wl,q：x<a,若p是p的充分不必要條件，則實數。的取值范圍

為.

(1,+°°)解析：由得一1W尤W1.由題意知p是q的充分不必要條件，所以

—核心考點提升“四能”

考點一充分條件、必要條件的判斷

1.(2024.煙臺模擬)“x—3=0”是"(x—3)(x—4)=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A解析：(x—3)(x—4)=0=x=3或x=4.因為尤=30(x—3)(x—4)=0,反之不成立，故"x

-3=0"是"(x—3)(尤-4)=0”的充分不必要條件.故選A.

2.(2024?黃岡模擬)已知函數/(功在[0,+8)上單調遞增，則對實數0>0,b>0,是

“/(a)加3)”的(C)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.使“a>b”成立的一個充分不必要條件是()

A.-<{B.人宜

ab

C.tz2>/?2D.ad>bd

D解析：只有當a,/?同號時才有故A錯誤；/>吩0(x>b,故B錯誤；層,〃推

不出故C錯誤；ac2>bc2=>a>b,而反之不成立，故。滿足題意.故選D.

4.已知p：(；)<1,q：log2%<0,則p是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B解析：由(9<1,得無>0,所以P對應的集合為(0,+°°).由log2X<0,得04<1,所以

q對應的集合為(0,1).顯然(0,1)(0,+8),故p是q的必要不充分條件.

?■反思感悟

充分條件、必要條件的判斷方法

(1)定義法：直接判斷“若p,則q”“若q,則p”的真假.在判斷時，確定條件是什么、

結論是什么.

(2)集合法：利用集合中的包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，

即可解決充分性、必要性的問題.

考點二充分條件、必要條件的應用

【例1】(1)已知命題p：f+x—6=0,q：QX—l=0(〃W0).若p是q的必要不充分條件，則

實數〃的值為()

D解析：命題p:f+x—6=0,即I=2或x=-3.命題/因為〃W0,所以因為p是

q的必要不充分條件，所以1=2或1=一3,解得或〃=一：.故選D.

aa23

(2)已知“x>k”是“二<1”的充分不必要條件，則實數上的取值范圍為()

x+1

A.(—8,-1]B.[1,+8)

C.[2,+°°)D.(2,+8)

C解析：由—<1,得—>0,即（x+l）（%—2）>0,解得l<—1或%>2.由題意可得{鄧>%}{x\x<

%+1x+l

-1,或第>2},所以左22,因此，實數上的取值范圍是[2,+°°）.

A反思感悟

由充分條件、必要條件求參數范圍的策略

⑴巧用轉化求參數：把充分、必要條件或充要條件轉化為集合的包含或相等關系，然后根

據集合之間的關系列出有關參數的不等式（組）求解，注意條件的等價變形.

⑵端點值慎取舍：在求參數范圍時，要注意區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍.

多維訓練--------------------■

1.若集合x—2<0},B^{x\~2<x<a],則的一個充要條件是（）

A.a>—2B.”2—2

C.a>~\D.a>l

C解析：由x2—x—2<0,解得一即A={x|-14<2}.又3={刃一2<%<〃},故

的等價條件為a>—\,即AC3W。的一個充要條件是d>—\.

2.（2024.濰坊模擬）已知命題p：|x+l|>2,命題0x>a,且「夕是~?q的充分不必要條件，則

實數〃的取值范圍是（）

A.[1,+°0）B.（—8,1]

C.[-3,+8）D.（一8,-3]

A解析：-p:|x+l|W2,解得一3WxWl,「q:xW〃.因為->夕是的充分不必要條件，所以

[-3,1]（—8,a\,即.故選A.

考點三全稱量詞與存在量詞

考向1含量詞命題的否定

【例2】（1）命題p：3HEN,層22",則命題p的否定為（）

A.VnEN,層W2〃B.SneN,

C.VneN,nz<2nD.3n^N,n2<2n

C解析：存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以命題p的否定應該為

層<2"”.故選C.

（2）（2024?棗莊模擬）已知命題p：Vx20,或sinx<l,貝!J為（）

A.3x<0,e*vl且sinX21B.3x^0,e*vl且sinx21

C.3x^0,e'vl或sinx21D.3x<0,e'21或sinxWl

B解析：該命題是全稱量詞命題，因為命題p:Vx^O,或sinx<l,所以-?〃：3x^0,

e%vl且sinGl.故選B.

A反思感悟

對全稱（存在）量詞命題進行否定的方法

(1)找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結合命題的含義先加上量詞，再改變量詞.

(2)對原命題的結論進行否定.

考向2含量詞命題的真假判斷——

【例3】(多選題)下列命題中的真命題是()

A.VxeR,2廠1>0B.VxE(O,+8),(無一1)2>0

C.lgx<lD.tanx=2

ACD解析：令f=x—1,y=2,，因為xGR,所以y=2,>0,故A正確；當x=l時，(x—

=0,故B錯誤；當無=1時，1g1=0<1,所以存在xGR,lgx<l,故C正確；因為y=tanx

的值域為R,所以存在尤GR,使得tanx=2,故D正確.

A反思感悟

判斷含量詞命題真假的方法

(1)要判斷全稱量詞命題“V尤GM,p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素X,證明

p(x)成立.

(2)要判斷存在量詞命題“AGM,p(x)”是真命題，只要在限定集合內找到一個x,使p(x)

成立即可.

考向3由含量詞命題的真假求參數范圍

【例4】若"icGR,x2—2x—a=0”是假命題，則實數。的取值范圍為.

(―8,—I)解析：由題意知2x一是真命題，所以△=(—2)2—4X1X(一

a)—4+4<7<0,解得a<—1.故實數a的取值范圍為(-00,-1).

A反思感悟

根據全稱(存在)量詞命題的真假求參數的思路

與全稱(存在)量詞命題真假有關的參數取值范圍問題的本質是恒成立問題或有解問題.解決

此類問題時，一般先利用等價轉化思想將條件合理轉化，得到關于參數的方程或不等式(組)，

再通過解方程或不等式(組)求出參數的值或范圍.

多維訓練.

1.命題“對于任意正數x,都有x+l>0”的否定是()

A.對于任意正數無，都有x+l<0

B.對于任意正數x,都有尤+1W0

C.存在正數無，使得尤+1W0

D.存在非正數無，使得尤+1W0

C解析：因為命題”對于任意正數x,都有x+l>0”是全稱量詞命題，所以其否定為“存

在正數x,使得x+IWO”.故選C.

2.若定義域為R的函數/(x)不是偶函數，則下列命題中一定為真命題的是()

A.VxeR,/（—

B.VxER,/（—x）=一/（x）

C.3xeR,/（—

D.3xeR,/（—%）=—/a）

C解析：由題意知“Vx￡R,/（—x）=/。）”是假命題，則其否定為真命題，即'勺x￡R,f

（一x）W/（x）”是真命題.

3.已知命題“Vx￡R,加一辦+1>0”為真命題，則實數。的取值范圍為.

［0,4）解析：由題意得不等式加一以+1>0對x￡R恒成立.當〃=0時，不等式1>0在R

上恒成立，符合題意.當時，若不等式ax2—ax-\-1>0對x￡R恒成立，則［'

（△=儲一4。<0,

解得0<。<4.綜上可得，0W〃v4.所以實數〃的取值范圍為［0,4）.

課時質量評價（二）

。考點鞏固

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

1.下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（）

A.3A-ER,1+sinx<0

B.每個等腰三角形都有內切圓

C.VxCR,/+2尤》一1

D.存在一個正整數，它既是偶數又是質數

D解析：B與C均為全稱量詞命題，A與D均為存在量詞命題，故B,C錯誤；因為Vx

ER,1+sinxNO,則“IfGR,l+sinx<0”是假命題，故A錯誤；正整數2既是偶數又是

質數，則“存在一個正整數，它既是偶數又是質數”是真命題，故D正確.故選D.

2.若命題°：3.r￡R,總>。，則Y表述準確的是（）

A.a%eR,—^0B.VxeR,—^0

x+2x+2

C.——20或%=—2D.——WO或1=一2

x+2x+2

D解析：全稱量詞和存在量詞命題的否定，分兩步走，換符號、否結論.存在量詞命題的

否定為全稱量詞命題，故排除AC選項.其中二->0可解得尤>—2,因為x>—2的否定應是尤W

x+2

-2,故D項正確.故選D.

3.（2024?武漢模擬）“aWg”是“方程V+3x+a=0（xeR）有正實數根”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B解析：由方程r+3無+。=0有正實數根，則等價于函數/（x）=f+3尤+。有正零點.又

因為二次函數/（%）的對稱軸為直線x=一：<0,則函數只能存在一正一負的兩個零點，則

!A-94a>()，解得a<0.又(一8,0)c(-oo,2),故“aW?”是“方程f+3x+a=0(xGR)

上(0)<0,I474

有正實數根”的必要不充分條件.故選B.

4.（多選題）（2024?深圳模擬）使“22i成立”的一個充分不必要條件是（）

X

A.0<x<lB.0<x<2

C.x<2D.0<%W2

AB解析：由2三1,得曰20,解不等式得0<xW2,結合選項知使成立”的一個充

XXX

分不必要條件是或.故選AB.

5.（新情境）荀子曰：“故不積度步，無以至千里；不積小流，無以成江海”，此名言中的

“積度步”一定是“至千里”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

B解析：荀子的名言表明積蹉步未必能至千里，但要至千里必須積蹉步，故“積珪步”是

“至千里”的必要不充分條件.

6.（2024?荷澤模擬）已知空間向量”=（九1,-2）,》=（九1,1）,貝U以=1”是的

條件.

充分不必要解析：當A=1時，”=（1,1,-2）,&=（1,1,1）,“0=1+1—2=0,可得小仇

即充分性成立；若。，瓦則a0=/+1—2=0,解得％=±1,據此可得必要性不成立.綜

上可知，%=1是a_LZ>的充分不必要條件.

7.能夠說明“存在兩個不相等的正數a,b,使得a—6=ab是真命題”的一組有序數對（a,

b）為.

C，y（答案不唯一）解析：答案不唯一，如（;，;），Q,（）,都符合題意.

。高考培優(yōu)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

8.“不等式辦2+2以一1<0恒成立”的一個充分不必要條件是（）

A.l1W4VoB.

C.—1<〃WOD.—l<tz<0

D解析：當〃=0時，一1<0恒成立；當時，則［解得一1<〃<0.綜上所述，

（4儲+4a<0,

不等式—1<0恒成立時，一l<aW0.所以選項中“不等式〃/+2依一1<0恒成立”的

一個充分不必要條件是“一1<。<0”.故選D.

9（2023?全國甲卷）設甲:si/a+sin2s=1,乙：sinct+cos^=0,則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

B解析