安徽省合肥市2024屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題

安徽省合肥市2024屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=Z,貝Ijz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.記S"為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若％=3,5=3,貝!］幾=（）

A.144B.120C.100D.80

3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2,〃），且尸（2<X42.5）=0.36,則尸（X>1.5）等

于(

A.0.14B.0.62C.0.72D.0.86

2

4.雙曲線C:/-a=1的焦距為4,則C的漸近線方程為（）

A.y=±415XB.y=土也x

C.尸土姮工D.y=±^-x

153

5.在AABC中，內(nèi)角4瓦。的對(duì)邊分別為。，4c,若2bcosC=a（2-c）,且5=則。=

(

A.1B.V2C.V3D.2

6.已知四面體ABCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=BC=CD=DA=BD=26,

平面48。_L平面BCD,則該球的表面積是（）

A.100兀B.40兀C.20兀D.16K

7.已知直線/：x-ay-l=0與OC：x2+/-2x+4y-4=0交于4臺(tái)兩點(diǎn)，設(shè)弦N8的中

點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為()

A.[3-V5,3+V5]B.[V3-1,V3+1]

C.[2一瓶2+6]D.[V2-1,V2+1]

8.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),且(x+y)/(x+y)=W(x)/3，/(l)=e,記

a=?,b=/(2),c=〃3),則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.現(xiàn)有甲、乙兩家檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)某品牌的一款智能手機(jī)進(jìn)行拆解測(cè)評(píng)，具體打分如下表

（滿分100分）.設(shè)事件加表示從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任取3個(gè)，至多1個(gè)超過平均分”，事

件N表示“從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任取3個(gè)，恰有2個(gè)超過平均分”.下列說法正確的是

（）

機(jī)構(gòu)名稱甲乙

分值90989092959395929194

A.甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分小于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分

B.甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差大于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差

C.乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的第一四分位數(shù)為91.5

D.事件互為對(duì)立事件

10.函數(shù)〃必=/-三（加€用的圖象可能是（）

22

11.已知橢圓C:二+匕=1的左、右頂點(diǎn)分別為42,左焦點(diǎn)為尸，〃為C上異于43的

42

一點(diǎn)，過點(diǎn)"且垂直于x軸的直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N,交x軸于點(diǎn)7,則（）

A.存在點(diǎn)使乙（Affi=120。

B.TA-TB=2TM-TN

___4

C.FA/.FN的最小值為一§

D.ARWN周長的最大值為8

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知集合/={x|x?44},8={x|a-14x4a+l},若AcB=0,則4的取值范圍

.

13.已知函數(shù)/(x)=2sin(3x+9)(-7i<e<0)的一條對(duì)稱軸為》=:,當(dāng)xe[Oj]時(shí)，

/(x)的最小值為-a，則t的最大值為.

14.已知點(diǎn)/(玉,乂)](%/2)，定義dAB=J(x「%)2+(%-%)2為48的，鏡像距離”.若

點(diǎn)42在曲線V=ln(x-q)+2上，且的最小值為2,則實(shí)數(shù)。的值為.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=W^,當(dāng)x=l時(shí)，/(X)有極大值！

⑴求實(shí)數(shù)6的值；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，證明：〃x)<—L.

16.如圖，三棱柱NBC-48G中，四邊形/CG4,8CG4均為正方形，分別是棱

/民44的中點(diǎn)，N為eg上一點(diǎn).

(1)證明：^"http://平面4口^;

⑵若AB=AC,QE=3QN,求直線DN與平面AtDC所成角的正弦值.

17.2023年9月26日，第十四屆中國(合肥)國際園林博覽會(huì)在合肥駱崗公園開幕.本

屆園博會(huì)以“生態(tài)優(yōu)先，百姓?qǐng)@博”為主題，共設(shè)有5個(gè)省內(nèi)展園、26個(gè)省外展園和7個(gè)

國際展園，開園面積近3.23平方公里.游客可通過乘坐觀光車、騎自行車和步行三種方式

游園.

(1)若游客甲計(jì)劃在5個(gè)省內(nèi)展園和7個(gè)國際展園中隨機(jī)選擇2個(gè)展園游玩，記甲參觀省

內(nèi)展園的數(shù)量為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

試卷第3頁，共4頁

⑵為更好地服務(wù)游客，主辦方隨機(jī)調(diào)查了500名首次游園且只選擇一種游園方式的游客,

其選擇的游園方式和游園結(jié)果的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

游園方式

觀光車自行車步行

游園結(jié)果

參觀完所有展園808040

未參觀完所有展園20120160

用頻率估計(jì)概率.若游客乙首次游園，選擇上述三種游園方式的一種，求游園結(jié)束時(shí)乙

能參觀完所有展園的概率.

18.已知拋物線C:/=2加（0>0）的焦點(diǎn)為尸（0』），過點(diǎn)尸的直線/與C交于48兩點(diǎn),

過43作C的切線4,4,交于點(diǎn)〃，且4,與X軸分別交于點(diǎn)。，瓦

⑴求證：|。囿=必刊；

⑵設(shè)點(diǎn)p是C上異于43的一點(diǎn)，P到直線4,4,/的距離分別為4W，"，求竽的最小

值.

19.“4-數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)鄉(xiāng)是非零實(shí)數(shù)，對(duì)任意“eN*,定義

"一數(shù)”（磯=1+4+…+qi利用“0-數(shù)”可定義“4一階乘”

（磯=⑴式2%…（磯，且（0）!?=1.和“q-組合數(shù)”，即對(duì)任意ke^,n^,k<n,

（2）證明：對(duì)于任意上,“eN*,左+1W〃，=L_J+?［卜j

n+m+1nn+i

（3）證明：對(duì)于任意左，冽GN,HGN*,A:+1<n

k+\k+\k

qq1=0q

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.A

【解析】由題z=3,利用除法法則整理為。+歷的形式，即可得到復(fù)數(shù)的坐標(biāo)形式，進(jìn)而求解

即可

2z2z(l-z)2+2z/、

【詳解】由題,2=幣=(]+；)(/1=(一=1+，,所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面的位置，考查復(fù)數(shù)的除法法則的應(yīng)用

2.B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及性質(zhì)求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列前，項(xiàng)和公式計(jì)

算即可.

【詳解】因?yàn)槌?34=3,所以出=1，

又。3=3,

所以=2，

貝jj—a?-d=_1f

所以S]2=12x(—l)+^|^x2=120,

故選：B.

3.D

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,/),

且尸(2<XV2.5)=0.36,

所以尸(1.5VX<2)=0.36,

P(^<1.5)=1(l-0.36x2)=0.14,

所以尸(X>1.5)=1-0.14=0.86,

故選:D.

4.B

【分析】根據(jù)雙曲線方程以及焦距可得6=百，可得漸近線方程.

答案第1頁，共15頁

【詳解】由焦距為4可得2c=4,即c=2,又。=1,

所以《2=1+〃=4,可得〃=3,即6=百；

則C的漸近線方程為y=+-x=土瓜.

a

故選：B

5.A

【分析】給26cosc=a（2-c）兩邊同時(shí)乘以。，結(jié)合余弦定理求解即可.

【詳解】因?yàn)?6cosc=。（2-c）,兩邊同時(shí)乘以。得：

2a6cosc=/（2-c）,由余弦定理可得/+〃-c?=2。6cosC,

貝Ua2+b2-c2^a2（2-c）,所以有/一從=，

5La2+c2-b2=2accosB,所以42c=2accosB,又因?yàn)?=

所以a=1.

故選：A

6.C

【分析】根據(jù)題中條件作出外接球球心，利用勾股定理計(jì)算得到半徑，進(jìn)一步計(jì)算即可.

【詳解】過三角形/BD的中心E作平面NBD的垂線，

過三角形BCD的中心尸作平面BCD的垂線，

兩垂線交于點(diǎn)。，連接。。，

依據(jù)題中條件可知，。為四面體ABCD的外接球球心，

因?yàn)锳B=BC=CD=DA=BD=20

所以。尸=2,。尸=1,

貝IOD=y]OF2+FD2=V5,

答案第2頁，共15頁

即外接球半徑為右,

則該球的表面積為4兀（6）=2071,

故選：C.

7.D

【分析】首先求出圓心坐標(biāo)與半徑，再求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)/（占,%），見馬,％）,

M（x。，％），聯(lián)立直線與圓的方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可得到（々-1）2+（為+1）2=1,

從而求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，再求出圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，從而求出10Ml的取值范圍.

【詳解】。。:/+/一2工+4>-4=0即（x-iy+（y+2『=9,則圓心為C（l,-2）,半徑

[x-1=0\x=l

直線/:x-即-1=0,令，解得即直線恒過定點(diǎn)1,0,

㈠=°卜=°

X(l-l)2+(O+2)2=4<9,所以點(diǎn)(1,0)在圓內(nèi),

x-ay-\=0

設(shè)4（x"J，M（x,y）,由

00x2+y2-2x+4y-4=0

消去X整理得（*"+4-=。，顯然AS則…2y

t-t.i/\C2Q—4Q+2

貝!J玉+/=Q(必+'2)+2=--------2-----------

所以土土生/-2a+1%十%=2

a2+l26Z2+1

貝|龍。=土土及a2-2a+l_必+為_2

a2+l'y°~2~~a2+\

又直線l-.x-ay-l=0的斜率不為0,所以〃不過點(diǎn)（1,0）,

所以動(dòng)點(diǎn)初的軌跡方程為（x-l）2+（j+l）2=l（除點(diǎn)（1,0）外）,

圓@一1）2+（了+1）2=1的圓心為"（1,一1）,半徑4=1,

又|CW|=^12+（-1）2=拒，所以|CW|-八W\OM\410M+6,

答案第3頁，共15頁

即0-14|。叫4&+1,即10M的取值范圍為[72-1,72+1].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，再求出圓心到原點(diǎn)的距離|0N|,最

后根據(jù)圓的幾何性質(zhì)計(jì)算可得.

8.A

【分析】根據(jù)函數(shù)〃x)滿足的表達(dá)式以及/6=e,利用賦值法即可計(jì)算出a/,c的大小.

【詳解】由(x+y)/(x+y)=Aj/(x)/(y),"l)=e可得,

令x=y=g,代入可得〃l)=gxg/2H=e,即。=/g)=±2五，

2

令X=y=l,代入可得"⑵=/2(i)=e2,即6="2)=三，

23

令x=l/=2,代入可得3〃3)=2〃l)〃2)=2e*/=e3,即c=〃3)=,；

23

由e^2.71828…可得±2五＜:

23

顯然可得。＜6＜c.

故選：A

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究抽象函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可根據(jù)滿足的關(guān)系式利用賦值法合理選取自變量

的取值，由函數(shù)值或范圍得出函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問題求解.

9.BD

【分析】直接由平均數(shù)、方差、百分位數(shù)及對(duì)立事件的概念，逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷，即

可得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分x甲=——；=93,

-93+95+92+91+94

乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分牝==93,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

答案第4頁，共15頁

對(duì)于選項(xiàng)B,甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差

D,=|［(90-93)2+(98-93)2+(90-93)2+(92-93)2+(95-93)2］=9.6,

2=g［(93-93)2+(95-93)2+(92-93>+(91-93>+(94-93力=2,所以選項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C,乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)從小排到大為：91,92,93,94,95,

又：牝=5x0.25=1.25,所以乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的第一四分位數(shù)為92,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)榧讬C(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中有且僅有2個(gè)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)超過平均分，由對(duì)立事件的定義

知，事件互為對(duì)立事件，所以選項(xiàng)D正確，

故選：BD.

10.ABD

【分析】利用分類討論及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意可知，函數(shù)/(無)的定義域?yàn)?-8,0)口(0,+8),

當(dāng)〃7>0時(shí)，f'(x)=2x2+^>0,函數(shù)在(-8,0),(0,+8)上單調(diào)遞增，故B正確；

當(dāng)7〃=0時(shí)，/(x)=x3,fr(x)=2x>0,所以在(-8,0),(0,+8)上單調(diào)遞增，故D正確；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x3-—>0；當(dāng)無<0時(shí)，f(x)=x3-—<0；

故A正確；C錯(cuò)誤.

故選：ABD.

11.BCD

【分析】對(duì)于A,判斷//C2與g的大小即tanNOE8=￡=^=V^<6即可；對(duì)于B,設(shè)

r(m,0),N(m「n),利用坐標(biāo)分別求出等式左右驗(yàn)證即可；對(duì)于C,求出

FM-FN，利用二次函數(shù)求最值即可；對(duì)于D,利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求

8-(|吹［+］九田［-］龍明)的最大值，即可.

答案第5頁，共15頁

2

對(duì)于A,設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為E,則直角三角形BOE中，tan/O班=1=V2<V3,則

271

ZAEB<y,故A錯(cuò)誤；

22

對(duì)于B,設(shè)M（”z）,則T（私0）,N（m,-n）,且（+今=1,即4"=2n2,又

/（-2,0）,8（2,0）,

貝1|方?奇=（_2—加,0）-（2_加,0）=_（2+加）（2—機(jī)）=-（4-w2）=-2n2,

X2TM-TN=-2n2,^.TA-TB=2TM-TN,則B正確；

對(duì)于C,F（-V2,0）,FM-FN=（m++

=（機(jī)+后）一〃2=（加+行）-41二+2血m,-2<m<2,

則當(dāng)加=-3旦時(shí)，萬萬.麗取最小值為-金，故C正確；

33

對(duì)于D,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸，，

△FMN的周長為：+|NF|+|ACV|=4+4-|NF[+\MN\

=%-{\MF'\+\MF'\-\MN\）<8,

當(dāng)且僅當(dāng)M,N,尸'三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，故D正確，

故選：BCD.

12.（-oo,-3）U（3,+oo）

【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定義即可求解.

【詳解】由X2?4,得（x-2）（x+2）W0,解得-2WxW2,

所以/={x|-2W2}.

因?yàn)?cB=0,

所以。+1<—2或。一1>2,解得。<一3或。>3,

答案第6頁，共15頁

所以。的取值范圍是(-s,-3)U(3,+⑹.

故答案為：(-co,-3)U(3,+co).

71

13.

2

［分析］根據(jù)條件得到9==，從而得到=2sin0無.J,令3x-,再利用昨2sinf

的圖象與性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/("=2sin(3x+夕)(-兀＜夕＜0)的一條對(duì)稱軸為x=2,

JIJI

所以3x_+e=_+?（左wZ）,得至（Je=---Fkji（kGZ）,又_兀＜。＜0,所以0=——,

4244

所以/（x）=2sin（3x-又當(dāng)xe［0,f］時(shí)，〃x）的最小值為一血，

JTTTJT

令—=tE.—,3t—,則y=2sin/,

444J

由了=2sinf的圖象與性質(zhì)知，得到店三，

442

14.1+V2/V2+1

【分析】依題意求出V=ln(x-a)+2的反函數(shù)，將“鏡像距離”轉(zhuǎn)化成一對(duì)反函數(shù)圖象上兩點(diǎn)

之間的距離，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切線方程即可求得結(jié)果.

【詳解】由函數(shù)＞=ln(x-a)+2可得y-2=ln(x”)，即*二甘^+^;

所以y=ln(x_q)+2的反函數(shù)為y=e，-2+q；

由點(diǎn)8(/，%)在曲線〉=111(工-0)+2上可知點(diǎn)用(%62)在其反函數(shù)『=/2+4上，

所以%=+(無2『相當(dāng)于y=e*2+4上的點(diǎn)耳(%/2)到曲線尸ln(x-a)+2

上點(diǎn)/(%,耳)的距離，

答案第7頁，共15頁

即％=%=，(占-%)2+52-%)2，

利用反函數(shù)性質(zhì)可得y=廣2+。與了=111()('-4)+2關(guān)于＞=》對(duì)稱,

所以可得當(dāng)力用與＞=x垂直時(shí)，=d”取得最小值為2,

因此4Bx兩點(diǎn)到＞=x的距離都為1,

過點(diǎn)44的切線平行于直線＞=x,斜率為1,即y=_i—=i,

x-a

可得x=a+l,y=ln(〃+l-Q)+2=2,即/(Q+1,2)；

一人-kz+1-2

A點(diǎn)到＞='的距離d=J一尸」=1,解得a-1±^2;

V2

當(dāng)a=l-血時(shí)，了=111@一。)+2=111卜-1+亞)+2與＞=苫相交，不合題意;

因止匕0=1+也.

故答案為：1+四

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用反函數(shù)性質(zhì)將“鏡像距離”問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象上

兩點(diǎn)距離的最值問題，再由切線方程可解得參數(shù)值.

15.(l)a=l,6=0

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題中條件列出方程組，解出驗(yàn)證即可；

(2)變形不等式，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性證明即可.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)的定義域?yàn)?-e,+8),且洋(x)="；s

因?yàn)橛?1時(shí)，/(x)有極大值工，

e

所以Ie,解得a=l,6=0,

/⑴=0

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=l/=0時(shí)，/(x)在x=l時(shí)有極大值L

e

所以a=l,6=0；

(2)由⑴知，/(x)=j,

當(dāng)x＞0時(shí)，要證〃》)＜乙，即證三〈白，即證：e，＞x+L

1+xe1+x

答案第8頁，共15頁

設(shè)g(x)=e'-x-l,則g[x)=e*-l,

因?yàn)閤>0,所以g'(x)=e*-l>0,

所以g(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，

所以g(x)>g(O)=O,BPex-x-l>0,即e，>x+l,

故當(dāng)x>0時(shí)，

16.(1)證明見解析

(2)—

10

【分析】(1)連接3￡,3。,。馬則有平面2EC"/平面可得8N//平面4。。;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)^BE,BCX,DE.

因?yàn)?8//44，且48=4用，

又2E分別是棱/及44的中點(diǎn)，

所以BD//&E,且8。=4￡,

所以四邊形8"也為平行四邊形，所以&D//EB,

又AXDu平面AXDC,EBU平面AQC,

所以EB〃平面&DC,

因?yàn)镈EIIBB、11CC、,且DE=BBt-C￡,

所以四邊形。CQE為平行四邊形，所以。E〃CD,

又CDu平面AXDC,QEU平面A.DC,

所以GE〃平面4DC,

因?yàn)镃[EcEB=E,GE,EBu平面BECX,

所以平面BEC"/平面4。。,

答案第9頁，共15頁

因?yàn)锽Nu平面BEG，所以3N//平面4DC.

（2）四邊形/CC/],2CC14均為正方形，所以CCJ/C,"15C.

所以CCj，平面48c.

因?yàn)?。E//CC,,

所以。平面48c.

從而DELDB,DE1.DC.

又4B=AC,

所以。8C為等邊三角形.

因?yàn)?。是?8的中點(diǎn)，

所以CDJ_DB.

即。8,OC,OE兩兩垂直.

以。為原點(diǎn)，所在直線為x/,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-平.

則。（0,0,0）,￡（0,0,26）,40,3,0）6（。,3,26），4卜6，。，26）,

所以反=（0,3,0）,西=卜括,0,26）.

答案第10頁，共15頁

設(shè)力=（無j,z）為平面4DC的法向量,

n-DC=O3y=0

則＜可取元=（2,0,1）.

鼠兩=0「-也x+2A/3Z=0

因?yàn)橛?3于，所以N（0,2,2⑹，麗=（0,2,2?,

設(shè)直線DN與平面A.DC所成角為0,

—-In?DNI273_V15

則sin6=|cos〈用DN）土J―=!-

\n\-\DN\V5x4-10

即直線DN與平面AXDC所成角正弦值為衛(wèi).

10

17.⑴分布列見解析，E（X）=3

O

（2）0.4

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；

（2）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運(yùn)算求解.

【詳解】（1）由題意知：X所有可能取值為0,1,2,則有:

2「2co、

P（x=o）=*r°C=，7P（X=2）=坐=2

7P（X=I）=警-三7

\C：222^1266，'C：233

可知X的分布列為:

X012

7355

P

226633

73555

所以X的數(shù)學(xué)期望為：E（X）=0x^-+lx-1+2x^=1.

22oo336

（2）記事件/為“游客乙乘坐觀光車游園”，事件B為“游客乙騎自行車游園”，事件C為“游

客乙步行游園”，事件M為“游園結(jié)束時(shí)，乙能參觀完所有展園”，

由題意可知:尸（⑷=0.2,尸⑻=0.4,尸⑹=0.4,

P（M\/）=0.8,尸（必8）=0.4,尸（MC）=0.2,

由全概率公式可得尸（"）=尸（⑷尸（M/）+尸（8）尸（MB）+P（C）P（M\C）=0.4,

答案第11頁，共15頁

所以游園結(jié)束時(shí)，乙能參觀完所有展園的概率為0.4.

18.（1）證明見解析

⑵！

【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求得直線4人的表達(dá)式，得出三點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)

立直線/與拋物線方程根據(jù)韋達(dá)定理得出\DE\=\MF\.

（2）利用點(diǎn)到直線距離公式可求得蜂=蟲上UL可求出嵯的最小值.

/22d-

【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€C的焦點(diǎn)為尸（0,1）,

所以。=2,即C的方程為：/=外，如下圖所示：

設(shè)點(diǎn)4（國,乂）8（工2，%），

由題意可知直線/的斜率一定存在，設(shè)/：?=履+1,

[x2=4y

聯(lián)立,:得--4&-4=0,

[y=kx+l

所以石+凡=4左,二-4.

由—=4歹,得y=—X2,y1，

所以4：y-必=T（xf）,即尸土x-衛(wèi).

224

令y=o,得x='，即。鼻。）

同理/2：y=￡x-。，且（半,0）,

2

所以\DE\=—|XJ—x21=-J（X]+x?）—―4XJX2=2A/A;+1.

答案第12頁，共15頁

X]而

y=-x——-

24得x=2k/、

由＜「即〃2人,-1.

X?XkT

y=-x——2-

24

所以=，4吹+4=2”?+i.

故。同=|〃4

(2)設(shè)點(diǎn)尸(后,%),結(jié)合(1)知4：歹-必=_X]）,即:2X]X-4y-Xj=0

因?yàn)閤；=4弘,x；=4y0,

12否%0—4%—||2X|XQ—XQ—x；

所以4=

14x：+16[4x；+162&+4

同理可得2名普

所以dxd2=