阿氏圓（知識(shí)解讀）-2023年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

專(zhuān)題03阿氏圓(知識(shí)解讀)

【專(zhuān)莖餞明】

“PA+k?PB”型的最值問(wèn)題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。此類(lèi)

問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來(lái)分類(lèi)，一般分為2類(lèi)研究。即

點(diǎn)P在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。

(1)其中點(diǎn)P在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型稱(chēng)之為“胡不歸”問(wèn)題；

(2)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型稱(chēng)之為“阿氏圓”問(wèn)題；

本章節(jié)主要學(xué)習(xí)“阿氏圓”解題方法。

【方放技巧】

阿氏圓問(wèn)題

問(wèn)題：求解""+，犯3”類(lèi)加權(quán)線(xiàn)段和最小值

方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線(xiàn)段的比值

②造：根據(jù)線(xiàn)段比，構(gòu)造母子型相似

③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計(jì)算定點(diǎn)位置

④轉(zhuǎn)：“川+針4陣專(zhuān)化為^^尸+尸”可可題

關(guān)鍵：①可解性：半徑長(zhǎng)與圓心到加權(quán)線(xiàn)段中定點(diǎn)距離比等于加權(quán)系數(shù)

②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型

③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型

【問(wèn)題背景】阿氏圓又稱(chēng)阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿(mǎn)足

PA=kPB（kWl）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼

斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)“阿氏圓”。

【模型初探】

（-）點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)----------?“阿氏圓”問(wèn)題

如圖所示2TT,。。的半徑為r,點(diǎn)A、B都在。0外，P為。0上的動(dòng)點(diǎn)，

已知r=k?OB.連接PA、PB,則當(dāng)“PA+k?PB"的值最小時(shí),P點(diǎn)的位置如何確

分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“k+PB”的大小，（如圖2T-2）在線(xiàn)段0B

上截取0C使OC=k?r,則可說(shuō)明ABPO與△PCO相似，即k?PB=PC。

，本題求“PA+k?PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，即A、P、C

三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最?。ㄈ鐖D2-1-3）,本題得解。

“阿氏圓”一般解題步驟：

第一步：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心

相連接），則連接OP、0B；

第二步：計(jì)算出所連接的這兩條線(xiàn)段OP、0B長(zhǎng)度；

第三步：計(jì)算這兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度的比哈=如

第四步：在0B上取點(diǎn)C,使得笠=空；

第五步：連接AC,與圓0交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

【龔例隆新】

【典例1】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有符合地=k1>0且左。1)的點(diǎn)尸會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)

PB

結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱(chēng)阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問(wèn)題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C(m,0),D(0,n),

點(diǎn)尸是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且。尸=廠，設(shè)處=%,求尸C+小。的最小值.

0D

阿波羅尼斯

圖1圖2

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在OD上取點(diǎn)使得OM：OP=OP：OD=k；

第二步：證明股V)=RW；第三步：連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過(guò)程(部分)：

解：在。。上取點(diǎn)使得。M：OP=OP-.OD=k,

又：ZPOD=/MOP,：.^POM^/\DOP.

任務(wù)：

(1)將以上解答過(guò)程補(bǔ)充完整.

(2)如圖2,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,。為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),

滿(mǎn)足CO=2,利用(1)中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫(xiě)出AO+Zg。的最小值.

3

【變式1】如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=9,QB的半徑為3,點(diǎn)P

是02上一點(diǎn)，連接AP,CP,則的最小值為

3

【典例2】如圖，在扇形A08中，ZAOB=90°,OA=4,C,。分別為。4,的中點(diǎn),

點(diǎn)P是篇上一點(diǎn)，則2PC+PD的最小值為.

【變式2-1］如圖，扇形AOB中，ZAOB=90°,OA=6,C是OA的中點(diǎn)，。是0B上一

點(diǎn)，0D=5,P是窟上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+工P。的最小值為.

【變式2-2］如圖，△ABC為等邊三角形，AB=6,將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0°<0

<120°)得到線(xiàn)段A。，連接CDNBA。的平分線(xiàn)交C。于點(diǎn)E,點(diǎn)歹為上一點(diǎn)，

且DP=2CR連接8?

(1)如圖①，當(dāng)。=60°時(shí)，求EF的長(zhǎng)；

(2)如圖②，連接AF,求8F+工AF的最小值.

圖①圖②

專(zhuān)題03阿氏圓(知識(shí)解讀)

【專(zhuān)題餞明】

“PA+k?PB”型的最值問(wèn)題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。此類(lèi)

問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來(lái)分類(lèi)，一般分為2類(lèi)研究。即

點(diǎn)P在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。

(1)其中點(diǎn)P在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型稱(chēng)之為“胡不歸”問(wèn)題；

(2)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型稱(chēng)之為“阿氏圓”問(wèn)題；

本章節(jié)主要學(xué)習(xí)“阿氏圓”解題方法。

【方放技巧】

阿氏圓問(wèn)題

問(wèn)題：求解""+，犯3”類(lèi)加權(quán)線(xiàn)段和最小值

方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線(xiàn)段的比值

②造：根據(jù)線(xiàn)段比，構(gòu)造母子型相似

③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計(jì)算定點(diǎn)位置

④轉(zhuǎn)：“川+針4陣專(zhuān)化為^^尸+尸”可可題

關(guān)鍵：①可解性：半徑長(zhǎng)與圓心到加權(quán)線(xiàn)段中定點(diǎn)距離比等于加權(quán)系數(shù)

②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型

③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型

【問(wèn)題背景】阿氏圓又稱(chēng)阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿(mǎn)足

PA=kPB（kWl）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼

斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)“阿氏圓”。

【模型初探】

（-）點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)----------?“阿氏圓”問(wèn)題

如圖所示2TT,。。的半徑為r,點(diǎn)A、B都在。0外，P為。0上的動(dòng)點(diǎn)，

已知r=k?OB.連接PA、PB,則當(dāng)“PA+k?PB"的值最小時(shí),P點(diǎn)的位置如何確

分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“k+PB”的大小，（如圖2T-2）在線(xiàn)段0B

上截取0C使OC=k?r,則可說(shuō)明ABPO與△PCO相似，即k?PB=PC。

，本題求“PA+k?PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，即A、P、C

三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最?。ㄈ鐖D2-1-3）,本題得解。

“阿氏圓”一般解題步驟：

第一步：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心

相連接），則連接OP、0B；

第二步：計(jì)算出所連接的這兩條線(xiàn)段OP、0B長(zhǎng)度；

第三步：計(jì)算這兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度的比哈=如

第四步：在0B上取點(diǎn)C,使得笠=空；

第五步：連接AC,與圓0交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

【龔例隆新】

【典例1】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有符合地=k1>0且左。1）的點(diǎn)尸會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)

PB

結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱(chēng)阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問(wèn)題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C（m,0）,D（0,n）,

點(diǎn)尸是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且。尸=廠，設(shè)處=%,求尸C+小。的最小值.

0D

阿波羅尼斯

圖1圖2

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在OD上取點(diǎn)使得OM：OP=OP：OD=k；

第二步：證明股V）=RW；第三步：連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過(guò)程（部分）：

解：在。。上取點(diǎn)使得。M：OP=OP-.OD=k,

又：ZPOD=/MOP,：.^POM^/\DOP.

任務(wù)：

（1）將以上解答過(guò)程補(bǔ)充完整.

（2）如圖2,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,。為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),

滿(mǎn)足CO=2,利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫(xiě)出AO+Zg。的最小值.

3

【解答】解（1）在0D上取點(diǎn)使得OM：OP=OP：OD=k,

又,：/POD=/MOP,

：./\P0M^/\D0P.

：.MP：PD=k,

:,MP=kPD,

；?PC+kPD=PC+MP,當(dāng)PC+Z尸。取最小值時(shí)，PC+MP有最小值，即C,P,M三點(diǎn)共

線(xiàn)時(shí)有最小值，

利用勾股定理得CM=VoC2-K)M2=Vm2+(kr)2=Vm2+k2r2-

(2)：AC=?7=4,型=2,在CB上取一點(diǎn)M,使得CM=2C￡)=9,

BC333

圖2

【變式1】如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=9,QB的半徑為3,點(diǎn)P

是。2上一點(diǎn)，連接AP,CP,則的最小值為

3

【答案】V37

【解答】解：連接BP,在BC上截取8。=1,連接尸。，AQ,

?.?-B-Q—BP,

BPBC

■:NPBQ=NCBP,

?.?-P-Q-二BP一1’,

CPBC3

：.PQ=1CP,

：.AP+^CP=AP+PQ^AQ,

當(dāng)A、P、。三點(diǎn)依次在同一直線(xiàn)上時(shí)，AP+小CP=AQ=dAB2+BQ2=何的值最小,

3

故答案為：V37.

【典例2】如圖，在扇形AOB中，ZAOB=90°,OA=4,C,。分別為。4,。8的中點(diǎn),

點(diǎn)P是窟上一點(diǎn)，則2PC+PD的最小值為.

【答案】2底.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)。4使AE=O4,連接E￡),EP,0P,

E

'：AO=OB=4,C,。分別是。4,QB的中點(diǎn),

：.OE=S,0P=4,0D=0C=2,

OC=2=OP,且/COP=/EOP,

OP?OE

：.AOPE^AOCP,

.PC=OP=I

"PEOE2

:.EP=2DC,

：.2PC+PD=PE+PD,

:.當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)P,點(diǎn)。三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，2PC+PD的值最小，

：.2PC+PD最小值=五"^=2百？.

【變式2-1］如圖，扇形AOB中，ZAOB=90°,OA=6,C是OA的中點(diǎn)，。是。8上一

點(diǎn)，00=5,P是窟上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+」P。的最小值為.

【答案】

2

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)0A使AE=OB,連接EC,EP,0P,

：AO=OB=6,C分別是。4的中點(diǎn)，

：.0E=12,0P=6,0C=AC=3,

OPOC1

==,S.ZCOP=ZEOP

OEOP7

:.△OPEsMocP

.PC=OP=_1

"PEOE~2

：.EP=2PC,

：.PC+1-PD=^-(2PC+PD)=A(PD+PE),

222

當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)P,點(diǎn)。三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PC+工PO的值最小,

2

,?*DE=VOD2-HDE2=752+122=13'

:.PD+PE與DE=13,

.?.PO+PE的最小值為13,

：.PC+^PD的值最小值為

22

故答案為：旦.

2

【變式2-2］如圖，△ABC為等邊三角形，AB=6,將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0°<0

<120°)得到線(xiàn)段A。，連接CO,NB4O的平分線(xiàn)交C。于點(diǎn)E,點(diǎn)/為。上一點(diǎn)，

S.DF=2CF,連接2?

(1)如圖①，當(dāng)9=60°時(shí)，求EF的長(zhǎng)；

(2)如圖②，連接AR求的最小值.

2

圖①圖②

【解答】解：(1)?..將邊A8繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0°<0<12