阿氏圓（知識解讀）-2023年中考數(shù)學(xué)重難點題型專項訓(xùn)練

專題03阿氏圓(知識解讀)

【專莖餞明】

“PA+k?PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點。此類

問題的處理通常以動點P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即

點P在直線上運動和點P在圓上運動。

(1)其中點P在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；

(2)點P在圓周上運動的類型稱之為“阿氏圓”問題；

本章節(jié)主要學(xué)習(xí)“阿氏圓”解題方法。

【方放技巧】

阿氏圓問題

問題：求解""+，犯3”類加權(quán)線段和最小值

方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值

②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似

③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計算定點位置

④轉(zhuǎn)：“川+針4陣?；癁閊^尸+尸”可可題

關(guān)鍵：①可解性：半徑長與圓心到加權(quán)線段中定點距離比等于加權(quán)系數(shù)

②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型

③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型

【問題背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點A、B,則所有滿足

PA=kPB（kWl）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼

斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。

【模型初探】

（-）點P在圓上運動----------?“阿氏圓”問題

如圖所示2TT,。。的半徑為r,點A、B都在。0外，P為。0上的動點，

已知r=k?OB.連接PA、PB,則當(dāng)“PA+k?PB"的值最小時,P點的位置如何確

分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“k+PB”的大小，（如圖2T-2）在線段0B

上截取0C使OC=k?r,則可說明ABPO與△PCO相似，即k?PB=PC。

，本題求“PA+k?PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，即A、P、C

三點共線時最?。ㄈ鐖D2-1-3）,本題得解。

“阿氏圓”一般解題步驟：

第一步：連接動點至圓心0（將系數(shù)不為1的線段的兩個端點分別與圓心

相連接），則連接OP、0B；

第二步：計算出所連接的這兩條線段OP、0B長度；

第三步：計算這兩條線段長度的比哈=如

第四步：在0B上取點C,使得笠=空；

第五步：連接AC,與圓0交點即為點P.

【龔例隆新】

【典例1】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點A、B,則所有符合地=k1>0且左。1)的點尸會組成一個圓.這個

PB

結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點C(m,0),D(0,n),

點尸是平面內(nèi)一動點，且。尸=廠，設(shè)處=%,求尸C+小。的最小值.

0D

阿波羅尼斯

圖1圖2

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在OD上取點使得OM：OP=OP：OD=k；

第二步：證明股V)=RW；第三步：連接CM,此時CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程(部分)：

解：在。。上取點使得。M：OP=OP-.OD=k,

又：ZPOD=/MOP,：.^POM^/\DOP.

任務(wù)：

(1)將以上解答過程補充完整.

(2)如圖2,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,。為△ABC內(nèi)一動點,

滿足CO=2,利用(1)中的結(jié)論，請直接寫出AO+Zg。的最小值.

3

【變式1】如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=9,QB的半徑為3,點P

是02上一點，連接AP,CP,則的最小值為

3

【典例2】如圖，在扇形A08中，ZAOB=90°,OA=4,C,。分別為。4,的中點,

點P是篇上一點，則2PC+PD的最小值為.

【變式2-1］如圖，扇形AOB中，ZAOB=90°,OA=6,C是OA的中點，。是0B上一

點，0D=5,P是窟上一動點，則PC+工P。的最小值為.

【變式2-2］如圖，△ABC為等邊三角形，AB=6,將邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)。(0°<0

<120°)得到線段A。，連接CDNBA。的平分線交C。于點E,點歹為上一點，

且DP=2CR連接8?

(1)如圖①，當(dāng)。=60°時，求EF的長；

(2)如圖②，連接AF,求8F+工AF的最小值.

圖①圖②

專題03阿氏圓(知識解讀)

【專題餞明】

“PA+k?PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點。此類

問題的處理通常以動點P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。即

點P在直線上運動和點P在圓上運動。

(1)其中點P在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；

(2)點P在圓周上運動的類型稱之為“阿氏圓”問題；

本章節(jié)主要學(xué)習(xí)“阿氏圓”解題方法。

【方放技巧】

阿氏圓問題

問題：求解""+，犯3”類加權(quán)線段和最小值

方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值

②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似

③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計算定點位置

④轉(zhuǎn)：“川+針4陣?；癁閊^尸+尸”可可題

關(guān)鍵：①可解性：半徑長與圓心到加權(quán)線段中定點距離比等于加權(quán)系數(shù)

②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型

③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型

【問題背景】阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點A、B,則所有滿足

PA=kPB（kWl）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼

斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。

【模型初探】

（-）點P在圓上運動----------?“阿氏圓”問題

如圖所示2TT,。。的半徑為r,點A、B都在。0外，P為。0上的動點，

已知r=k?OB.連接PA、PB,則當(dāng)“PA+k?PB"的值最小時,P點的位置如何確

分析：本題的關(guān)鍵在于如何確定“k+PB”的大小，（如圖2T-2）在線段0B

上截取0C使OC=k?r,則可說明ABPO與△PCO相似，即k?PB=PC。

，本題求“PA+k?PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”的最小值，即A、P、C

三點共線時最小（如圖2-1-3）,本題得解。

“阿氏圓”一般解題步驟：

第一步：連接動點至圓心0（將系數(shù)不為1的線段的兩個端點分別與圓心

相連接），則連接OP、0B；

第二步：計算出所連接的這兩條線段OP、0B長度；

第三步：計算這兩條線段長度的比哈=如

第四步：在0B上取點C,使得笠=空；

第五步：連接AC,與圓0交點即為點P.

【龔例隆新】

【典例1】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點A、B,則所有符合地=k1>0且左。1）的點尸會組成一個圓.這個

PB

結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點C（m,0）,D（0,n）,

點尸是平面內(nèi)一動點，且。尸=廠，設(shè)處=%,求尸C+小。的最小值.

0D

阿波羅尼斯

圖1圖2

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在OD上取點使得OM：OP=OP：OD=k；

第二步：證明股V）=RW；第三步：連接CM,此時CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程（部分）：

解：在。。上取點使得。M：OP=OP-.OD=k,

又：ZPOD=/MOP,：.^POM^/\DOP.

任務(wù)：

（1）將以上解答過程補充完整.

（2）如圖2,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,。為△ABC內(nèi)一動點,

滿足CO=2,利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出AO+Zg。的最小值.

3

【解答】解（1）在0D上取點使得OM：OP=OP：OD=k,

又,：/POD=/MOP,

：./\P0M^/\D0P.

：.MP：PD=k,

:,MP=kPD,

；?PC+kPD=PC+MP,當(dāng)PC+Z尸。取最小值時，PC+MP有最小值，即C,P,M三點共

線時有最小值，

利用勾股定理得CM=VoC2-K)M2=Vm2+(kr)2=Vm2+k2r2-

(2)：AC=?7=4,型=2,在CB上取一點M,使得CM=2C￡)=9,

BC333

圖2

【變式1】如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=9,QB的半徑為3,點P

是。2上一點，連接AP,CP,則的最小值為

3

【答案】V37

【解答】解：連接BP,在BC上截取8。=1,連接尸。，AQ,

?.?-B-Q—BP,

BPBC

■:NPBQ=NCBP,

?.?-P-Q-二BP一1’,

CPBC3

：.PQ=1CP,

：.AP+^CP=AP+PQ^AQ,

當(dāng)A、P、。三點依次在同一直線上時，AP+小CP=AQ=dAB2+BQ2=何的值最小,

3

故答案為：V37.

【典例2】如圖，在扇形AOB中，ZAOB=90°,OA=4,C,。分別為。4,。8的中點,

點P是窟上一點，則2PC+PD的最小值為.

【答案】2底.

【解答】解：如圖，延長。4使AE=O4,連接E￡),EP,0P,

E

'：AO=OB=4,C,。分別是。4,QB的中點,

：.OE=S,0P=4,0D=0C=2,

OC=2=OP,且/COP=/EOP,

OP?OE

：.AOPE^AOCP,

.PC=OP=I

"PEOE2

:.EP=2DC,

：.2PC+PD=PE+PD,

:.當(dāng)點E,點P,點。三點共線時，2PC+PD的值最小，

：.2PC+PD最小值=五"^=2百？.

【變式2-1］如圖，扇形AOB中，ZAOB=90°,OA=6,C是OA的中點，。是。8上一

點，00=5,P是窟上一動點，則PC+」P。的最小值為.

【答案】

2

【解答】解：如圖，延長0A使AE=OB,連接EC,EP,0P,

：AO=OB=6,C分別是。4的中點，

：.0E=12,0P=6,0C=AC=3,

OPOC1

==,S.ZCOP=ZEOP

OEOP7

:.△OPEsMocP

.PC=OP=_1

"PEOE~2

：.EP=2PC,

：.PC+1-PD=^-(2PC+PD)=A(PD+PE),

222

當(dāng)點E,點P,點。三點共線時，PC+工PO的值最小,

2

,?*DE=VOD2-HDE2=752+122=13'

:.PD+PE與DE=13,

.?.PO+PE的最小值為13,

：.PC+^PD的值最小值為

22

故答案為：旦.

2

【變式2-2］如圖，△ABC為等邊三角形，AB=6,將邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)。(0°<0

<120°)得到線段A。，連接CO,NB4O的平分線交C。于點E,點/為。上一點，

S.DF=2CF,連接2?

(1)如圖①，當(dāng)9=60°時，求EF的長；

(2)如圖②，連接AR求的最小值.

2

圖①圖②

【解答】解：(1)?..將邊A8繞點A順時針旋轉(zhuǎn)。(0°<0<12