全等三角形綜合檢測過關(guān)卷-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題12全等三角形綜合過關(guān)檢測

（考試時間：120分鐘，試卷滿分：120分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁，全卷滿分120分。考試時間120分鐘?？忌痤}全部答在答題卡上，答在本試卷上無效。

2.請認(rèn)真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將自己的姓名、

考試證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上。

3.答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答

案。答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡的指定位置，在其他位置答題一律無效。

4.作圖題必須用2B鉛筆作答，并請加黑、加粗。

一、選擇題（本題共6小題，每小題2分，共12分。每小題給出的四個選項(xiàng)中?有1個選項(xiàng)符合題意）。

1.如圖，已知VNOC到。08,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AC=OBB.OA=ODC.ZC=Z5D.ZAOC=ZDOB

【答案】A

【分析】本題考查的是全等三角形的對應(yīng)邊與對應(yīng)角的含義，理解對應(yīng)邊與對應(yīng)角的概念是解本題的關(guān)

鍵.全等三角形中，能夠重合的邊是對應(yīng)邊，能夠重合的角是對應(yīng)角，根據(jù)定義逐一判斷即可.

【詳解】解：??,V/OC義VDO5,

；?/C和是對應(yīng)角，N/OC和NDO5是對應(yīng)角，CM和QD是對應(yīng)邊；

故B,C,D正確，不符合題意；

而/C與03不是對應(yīng)邊，故A不正確，符合題意；

故選：A.

2.已知△N8C之△?；蛞掖?c的周長為24,若幺B=IQ,EF=8,/C的長是（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得的長，從而可解答.

【詳解】解：：△NBC^ADEF,

BC=EF=8,

；“3C的周長為24,若N3=10,

NC=24-10-8=6.

故選:B.

3.三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)（）

A.到三角形三邊的距離相等B.到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等

C.到三角形三個頂點(diǎn)與三條邊的距離都相等D.不能確定

【答案】B

【解析】略

4.如圖所示，是用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，則說明9=44（加的依據(jù)是（）

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于掌握判定定理.

根據(jù)圖形的畫法可得知相等線段，再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】解：由作法易得OC=O'C,CD=C'D'

根據(jù)三角形全等的條件SSS可判定△CO。也△CO。.

所以：ZA'O'B'^ZAOB.

故選：B.

5.如圖，4。是小8C的邊3C上的中線，AB=T,AD=5,則NC的取值范圍為（）

C.3<AC<11D.5<NC<17

【答案】C

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系.延長/。至E,使得=連

接CE,證明△科。絲AEO,可得NB=CE=7,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求解.

【詳解】解：延長/。至E,使得?！?仞，連接CE,

?.?3是ANBC的邊5c上的中線，

,BD=CD,

ZADB=NEDC,

:.AABGAECD（SAS）,

AB=CE=7,

AD=5,

:.AE=10,

在AT!￡C中，AE-CE<AC<AE+CE,

即10-7</C<10+7,

3<^C<17.

故選：C

6.如圖，在A?18C中，ABAC=90°,NO是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)、G,交BE于

點(diǎn)、H,給出以下結(jié)論：①S.E=SMCE；@^AFG=ZAGF；③/尸4G=2ZACF；@BH=CH；

⑤AC:AF=BC:BF.其中結(jié)論正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【分析】①根據(jù)等底等高的兩個三角形面積相等即可判斷；②根據(jù)角平分線平分角以及等角的余角相等，

即可判斷；③根據(jù)角平分線平分角以及同角的余角相等，即可判斷；④根據(jù)等腰三角的判定方法即可判斷;

⑤過點(diǎn)F作EW，8c于點(diǎn)/W,根據(jù)角平分線性質(zhì)得出/尸=尸〃，根據(jù)2死尸?月尸即可

作出判斷.

【詳解】解：是中線，

AE=CE,

:-S△咫E=S最CE（等底等高的兩個三角形面積相等），故①正確；

?；c戶是角平分線，

NACB=2ZBCF=2ZACF,

,?*AD是高,

：.ZADB=ZADC=90°,

???ABAC=90°,ZAFG=90°-ZACF,ZAGF=ZDGC=90°-/BCF,

??.ZAFG=ZAGF,故②正確；

?.?ZFAG=90°-ZABC,ZACB=90°-ZABC,

：?NFAG=NACB=2NACF,故③正確；

???連接如圖，

???DE為Rt^ADC的斜邊4C的中線，

：.DE=EC,

：.AEDC=ZACD=2ZHCD,

?.,ZEDC=/DBE+/DEB,

???只有當(dāng)。E=時，/DBE=/DEB,此時=

???AC=IDE=2DB,

條件中不能確定AC=2DB,

：.BH=CH不成立,故④錯誤；

⑤過點(diǎn)產(chǎn)作W_L5C于點(diǎn)V,如圖所示:

???。尸平分//。8,ZCAF=90°,

：.AF=FM,

'：s?=-BC-FM=-BF-AC,

“BCrFP22

...BC-AF=BF-AC,

：.AC:AF=BC:BF,故⑤正確；

綜上分析可知，正確的個數(shù)為4個.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的角平分線，中線和高性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)等知識，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的角平分線，中線和高性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.

二、填空題（本題共10小題，每小題2分，共20分。請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）

7.如圖，公4BC沿△DEF,BC=7,EC=4,則CF的長為.

【答案】3

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF=3C=7,再根據(jù)線段之

間的關(guān)系可得答案.

【詳解】解：:八ABC四LDEF,BC=1,

：.EF=BC=1,

'：EC=4,

：.CF=EF-EC=3,

故答案為：3.

8.如圖，AB=AD,現(xiàn)添加"C3=CD",則判定△/8C之入4。。的直接依據(jù)是.

A

C

【答案】三邊對應(yīng)相等的三角形是全等三角形

【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，熟記定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：VAB=AD,CB=CD,AC=AC,

判斷三角形全等的依據(jù)是：三邊對應(yīng)相等的三角形是全等三角形

故答案為：三邊對應(yīng)相等的三角形是全等三角形

9.如圖，在x、y軸上分別截取OB,使再分別以點(diǎn)2為圓心，以大于;48的長度為半

徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C.若C的坐標(biāo)為(3a,2a+10),則。=.

外

叫￥

~01)

【答案】10

【分析】題考查了角平分線的作法及其性質(zhì)在坐標(biāo)與圖形性質(zhì)問題中的應(yīng)用，根據(jù)作圖方法可知點(diǎn)C在

/80Z的角平分線上，由角平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)C到X軸和〉軸的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：分別以點(diǎn)48為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C,

...點(diǎn)C在/8CU的角平分線上，

...點(diǎn)C到x軸和y軸的距離相等，

又?..點(diǎn)。在第一象限，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3a,2a+10),

3。=2。+10,

a=10.

故答案為：10.

10.如圖，AD平分/BAC,CD=3cm,則點(diǎn)。到48的距離為cm.

c

D

【答案】3

【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.過。點(diǎn)作

DE上AB于點(diǎn)、E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出CD=DE,代入求出即可.

【詳解】如圖，過。點(diǎn)作于點(diǎn)￡,則?！昙礊樗?，

ZC=90°,AD平分NBAC,

ACD=DE（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），

CD=3cm,

DE=3cm.

故答案為：3.

11.如圖，在中，OE直平分3C,AB=S,/C=14,則△48。的周長為.

【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得3D=DC,然后根據(jù)三角形的周長公式和等量代換可得△力助的周

長等于/8+NC即可解答.本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的

距離相等是解答本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：垂直平分3C,

BD=DC,

，△/助的周長等于++a-14=22.

故答案為：22.

12.如圖，A4BC中，AB=AC,/A4c=90。，點(diǎn)。是斜邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在射線A4上運(yùn)動，點(diǎn)E在射

線NC上運(yùn)動，且OD_LOE,若BD=a,CE=b,則NC的長為.

【答案】6或a-6

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)。在線段上

時，當(dāng)點(diǎn)。在A4的延長線上時，證明△/（?￡絲△BOZ）,得出5D=/E,結(jié)合圖形，即可求解.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)。在線段上時，如圖所示，連接/。,

中，4B=AC,NR4c=90。，點(diǎn)。是斜邊BC的中點(diǎn),

ZOAE=ZB=45°,AO=BO,AOIBC

又：OZ)_LOE,

：.ZAOD+ZAOE=90°,

'：AO1BC

：.ZBOD+ZAOD=90°,

ZAOE=ZBOD,

,AAOE之A8OD(ASA)

BD=AE,

'：BD=a,CE=b,

：.AC=AE+EC=a+b；

當(dāng)點(diǎn)。在A4的延長線上時，如圖所示

D

A

BO

E

同理可得△/<?￡1，

則皮)=/￡

AC=AE—EC=a—b

故答案為：6或

13.如圖，/B=12mC4L/B于4刀反L4g于5,且4。=4m上點(diǎn)從5向A運(yùn)動，每分鐘走Im,。點(diǎn)從8向。運(yùn)

動,每分鐘走2m『、0兩點(diǎn)同時出發(fā)，運(yùn)動分鐘后，KAP與八PQB全等.

D

Q

c

、、/匚

APB

【答案】4

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì).設(shè)運(yùn)動x分鐘后AC/P與XPQB全等，則

BP^xm,BQ=2xm,AP=(12-x)m,分兩種情況，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：?.(4于4DBL4B于3

//=ZB=90°

設(shè)運(yùn)動x分鐘后AC*與APQB全等，則8PJP=(12-x)m

分類討論:

(1)若AP=/C=4則x=4

：.AP=n-^=8乃2=8,AP=BQ,

尸30(SAS)；

(2)若BP=AP,貝l]12-x=x

解得：x=6

:.BQ=\^AC

此時AC4P與APQB不全等；

綜上所述：運(yùn)動4分鐘后與-QB全等；

故答案為4

14.如圖，已知，44=90。,/2=/。,。0是//3。的平分線，且CE_LBD交的延長線于點(diǎn)E.若CE=4,

則線段8。長為.

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.延長CE

與胡的延長線相交于點(diǎn)尸，利用ASA證明和全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】證明：如圖，延長CE與的延長線相交于點(diǎn)

?;NEBF+NF=90°,ZACF+ZF=90°,

ZEBF=ZACF,

在和尸中，

ZEBF=NACF

<AB=AC,

NBAC=NCAF

/XABD^AACF(ASA),

BD=CF,

Q8。是/4BC的平分線，

ZEBC=ZEBF.

在和△3FE中，

/EBC=/EBF

<BE=BE,

ZCEB=/FEB

△BCEdBFE(ASA),

:.CE=EF,

:.CF=2CE,

BD=CF=ICE=8.

故答案為：8.

15.如圖，在“5C中，ABAC=90°,AB=AC,5C=2.點(diǎn)。在BC上且BQ：CQ=1：3.連接線段40

繞點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段力￡,連接BE,DE.則△①汨的面積是.

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出4。=/瓦ZDAE=9(f,

再根據(jù)SAS證明之得出NC=N/3￡=45。，CD=BE,得出/助。=90。，再根據(jù)三角形的面

積公式即可求解.

【詳解】解：,??線段4。繞點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段/E,

AD=AE,ZDAE=9(T,

NEAB+NBAD=90。,

在AASC中，ZBAC=90°,AB=AC,

：.ABAD+ACAD=9(T,/C=/ABC=45°,

/EAB=ZCAD,

：.Z\EAB也△ZX4C(SAS),

:?/C=/ABE=45。,CD=BE,

：.ZEBC=ZEBA+/ABC=9cp,

VBC=2,BDxCD=13,

13

BD=~,CD=BE=~,

22

11133

S.BDE=-BD-BE=-X-X-=-

,血22228

故選:B.

16.如圖，在"BC中，AB=AC=12,NA4C=120。，D是邊上一動點(diǎn)，以CD為邊作正ACAE,則邑B°E

最大="

【答案】9G

【分析】過點(diǎn)E作環(huán)，A4交A4于點(diǎn)凡在。尸取點(diǎn)G,使DG=AC,連接EG,設(shè)=X,貝1］助=12-尤，

證明ADEGm△C4。，可得EG=/O=X,/0GE=/R4C=12O。，從而得到.=且工，然后三角形的面積公

2

式可得&皿=；(12r)x*=——67+96,即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作環(huán)_LA4交氏4于點(diǎn)凡在。月上取點(diǎn)G,使DG=AC,連接￡G,

設(shè)4D=%,貝1|30=12-x,

△CDE是等邊三角形，

CD=DE,ZCDE=ZDCE=60°,

??.ZEDG+ZADC=60P,

???ZBAC=nQ0,

：.ZADC+ZACD=18CP-12(F=60P,

???ZEDG=ZACD,

在△DEG和D中，

?:CD=DE,ZEDG=ZACD,DG=AC,

AADEG^ACDA(SAS),

EG=AD=x,NDGE=ZBAC=120°,

ZEGF=60°,

???/G￡尸=30。，

FG=-EG=-x,

22

?“百

??Er=—x,

2

???S.BDE=^BDXEF=g42-刈x(x=x-6)2+^3,

二當(dāng)X=6時，S&BDE最大,最大值為9G.

故答案為：9A/3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，根

據(jù)題意得到ADEGaCAD是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共11小題，共88分。請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟)。

17.如圖，E、尸為ZC上兩點(diǎn)，AE=CF,AD=CB,BE=DF,求證：44DF沿ACBE.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法.根據(jù)題意得出

AF=CE,即可求解.

【詳解】AE=CF,

：.AE+EF=CF+EF,

即AF=CE,

在尸和△CBE中,

AF=CE

<AD=CB

BE=DF

:.AADFACBE'SSS).

18.如圖，在RtA/BC和RLUDE中，NB=ND=9Q°,AC=AE,BC=DE,延長BC,DE交于點(diǎn)M.

(1)求證：點(diǎn)A在/M的平分線上；

(2)若AC〃DM,AB=U,8M=18,求3c的長.

【答案】(1)見解析

(2)5

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理；

(1)連接證明RM48c2Rt"Z)E(HL),可得=根據(jù)角平分線的判定即可解決問題;

(2)證明CM=/C,設(shè)3C=x,所以CM=NC=18-x,根據(jù)勾股定理即可解決問題.

【詳解】(1)證明：如圖，連接/Af,

在RtAyiSC和中，

ZB=ZD=90°,AC=AE,BC=DE,

.?.Rt"BgRtA4DE(HL),

/.AB=AD,

-.?ABLBM,ADLDM,

,MA平分/BMD,

.,.點(diǎn)A在NBMD的平分線上；

(2)解：AC//DM,

NCAM=NAMD,

ZAMB=ZCAM,

CM=AC,

設(shè)3C=x,

:.CM=AC=lS-x,

在RtA43C中，AB2+BC2=AC2,

.-.122+X2=(18-%)2,

..x-5.

BC=5.

19.如圖，在中，是8c邊上的中線,CE_L/D于點(diǎn)￡,_LND交/。的延長線于點(diǎn)尸.

(1)求證：CE=BF；

(2)若AE+AF=16,求ND的長.

【答案】⑴見解析

(2)8

【分析】本題考查了根據(jù)三角形的中線求線段長度、全等三角形(44S)綜合，根據(jù)條件寫全步驟是解決本題

的關(guān)鍵.

(1)中線可得3Z)=CD,通過兩個垂直可以判斷兩個角都為90。，還有對頂角，通過(44S)即可證明兩個三

角形全等，進(jìn)而得證.

(2)通過觀察可發(fā)現(xiàn)/￡+/尸根據(jù)(1)中的全等可拆分為22。，從而得出答案.

【詳解】(1)證明：是BC的邊上的中線，

BD=CD,

'：CELAD,BFLAD,

ZBFD=ZCED=90°.

在4BFD和△CEO中，

ZBFD=ZCED

</BDF=ZCDE,

BD=CD

:ABFDOCED(AAS),

/.BF=CE.

(2)由(1)知NBFD郃CED,

DF=DE,

AE+AF=16,

AE+AE+DE+DF=2AE+2DE=16,

240=16,

JAD=8.

故4)=8.

20.如圖，在“BC中，AB=AC=4,cosB=-45的垂直平分線交邊于點(diǎn)。，交邊/C于點(diǎn)/，交

4f

的延長線于點(diǎn)￡.

⑴求CE的長；

(2)求/￡尸。的正弦值.

【答案】⑴6；

(2)-.

8

【分析】(1)過A作力"_L5C于點(diǎn)M,在中通過cosB二也，求出8。=2即可求解;

AB

(2)過C作于點(diǎn)77,在Rt^CT"中通過cos8=也，求出即可；

BC2

此題考查了解直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)的應(yīng)用.

【詳解】（1）如圖，過A作于點(diǎn)M,

AB=AC,

：?CM=BM,

..BM1

在A中，cos5n=二一,

AB4

:?BM=CM=\,

：.BC=2,

?.?￡7）垂直平分48,AB=AC=4f

：.BD=AD=-AB=2,

2

Vcos5=r^

：?BE=8,

:?CE=BE—BC=8—2=6：

（2）如圖，過。作CH,45于點(diǎn)”,

??.ZCHB=90°,

RH1RH1

在Rt△CHB中，cosB=---=—,即----二—

BC424

：.BH=-

2

17

???AH=AB—BH=4——二一，

22

7

?AH彳7

"smZEFC=—=-^=~，

4848

21.在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個點(diǎn)：/（3,1）,5（3,-1）,C（-l,l）,D（2,-2）,￡（3,0）.

⑵點(diǎn)。與。尸的位置關(guān)系為：點(diǎn)。在。尸;點(diǎn)￡與。尸的位置關(guān)系為：點(diǎn)E在。尸

⑶若在了軸上有一點(diǎn)。，滿足4403=//CB,請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)為

【答案】⑴（1,0）

⑵外，內(nèi)

⑶（0,2）,（0,-2）

【分析】本題考查了外接圓，圓周角定理，垂直平分線的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：

（1）先在平面直角坐標(biāo)系上標(biāo)出么（3，1）,5（3,-1）,再作出線段/A/C的垂直平分線，它們的

交點(diǎn)，即為點(diǎn)P,即可作答.

（2）先在平面直角坐標(biāo)系上標(biāo)出。（2,-2）,￡（3,0）,觀察。尸與點(diǎn)。和點(diǎn)E的位置，即可作答.

（3）根據(jù)同弧所對的圓周角是相等的，取。尸與了軸的交點(diǎn)，即為。，再連接BQ,即可作答.

【詳解】（1）解：如圖所示：

點(diǎn)。與。尸的位置關(guān)系為：點(diǎn)。在。尸外；點(diǎn)E與。尸的位置關(guān)系為:點(diǎn)E在。尸內(nèi);

（3）解：如圖:

???在V軸上有一點(diǎn)0,滿足=

二圖中02即為所求，

且。（0,2）,2（°，-2）

22.（探索發(fā)現(xiàn)）如圖，四邊形/BCD是正方形，M,N分別在CD、3c上，且/K4N=45。，我們把這種模

型稱為"半角模型"，在解決"半角模型"問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法，如圖，將繞點(diǎn)/順時針旋

轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。與點(diǎn)2重合，得到連接/M、AN、MN.

AD

⑴線段。BN,MN之間的數(shù)量關(guān)系是

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，寫出證明過程；

⑶如圖，如果正方形的邊長是4,求ACNM的周長.

【答案】（1）DM+BN=AGV；

⑵證明過程見詳解；

（3）8.

【分析】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用

旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到DM=BE,AM=AE,ZEAM=90°,ZADM=ZABE=90°,即可得到A/EN電九W即

可得到答案；

（2）由（1）的理由即可得到證明過程；

（3）由（1）的結(jié)論即可得到答案.

【詳解】（1）解：MN=DM+BN.

理由如下：由旋轉(zhuǎn)，可知：

AE=AM,BE=DM,NEAM=9。。.ZABE=ZD=90°,

.?.點(diǎn)￡、B、C共線，

■：AMAN=45°,

ZEAN=ZEAM-ZMAN=45°=ZMAN.

在A￡/N和△MNN中，

'AE=AM

<ZEAN=NMAN,

AN=AN

:.AEAN為MAN$網(wǎng).

:.EN=MN，

?：EN=BE+BN,

:.MN=DM+BN；

（2）證明：由旋轉(zhuǎn)，可知：

AE=AM,BE=DM,ZEAM=90°.ZABE=/D=9。。,

???點(diǎn)E、B、C共線，

???ZMAN=45°,

/./EAN=/EAM-AMAN=45°=ZMAN.

在和ZX"/"中，

AE=AM

</EAN=/MAN,

、AN=AN

.?.△￡W也△A￡4N（SAS）.

:.EN=MN,

,;EN=BE+BN,

:.MN=DM+BN；

（3）解：由（1）得，MN=DM+BN、

:.C^CMN=MN+CM+CN=CM+DM+CN+BN=BC+CD,

??,正方形的邊長為4,

?<CMN=8C+CQ=4+4=8；

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,2）,在x軸上任取一點(diǎn)連接力M,作線段4M的垂

直平分線人過點(diǎn)M作％軸的垂線加記'人的交點(diǎn)為尸.

----「--15j--r-

■—4—44——-i--1-一--卜一彳

一一2，一一『…$—『一_「一]

-4-2T示2344

-5-3---L——=[——-J——-；----卜卜——Jx

___I___-------____!___I___L___J

-'---5-」--「」」

⑴線段尸N與尸M有什么數(shù)量關(guān)系？.

①當(dāng)點(diǎn)M坐標(biāo)（2,0）時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是；

②當(dāng)點(diǎn)W坐標(biāo)（4,0）時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

（2）在x軸上改變點(diǎn)M的位置，可得到不同的點(diǎn)P,試著把得到的點(diǎn)P用平滑的曲線連接起來.觀察畫出的

曲線工，猜想它是我們學(xué)過的哪種曲線..

⑶驗(yàn)證（2）的猜想：對于曲線Z上任意一點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（無,力，請根據(jù)P/與PM的關(guān)系求出羽了滿

足的關(guān)系式.你得出的結(jié)論與先前你的猜想一樣嗎？

【答案】（1）①尸/=@（2,2）；③（4,5）

⑵拋物線

（3）J=yX2+l,得出的結(jié)論與猜想一致

4

【分析】（1）①根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等即可得到答案；②根據(jù)題意畫出對應(yīng)的

圖形即可得到答案；③據(jù)題意畫出對應(yīng)的圖形即可得到答案；

（2）根據(jù)題意畫出對應(yīng)的曲線工即可得到答案；

（3）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用勾股定理得到（x-0）2+（y-2）2=y2,進(jìn)而推出y=；/+i,由此可得結(jié)

論.

【詳解】（1）解：①由題意得，點(diǎn)P在線段4M的垂直平分線上，

...PA=PM,

故答案為：PA=PM；

②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M坐標(biāo)2,0時，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(2,2)；

③如圖所示，當(dāng)點(diǎn)W坐標(biāo)(4,0)時，點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(4,5)；

.11

X

(2)解：觀察畫出的曲線可知曲線上是拋物線,

故答案為：拋物線；

(3)解：???點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(x/),尸軸,

?.?4(0,2),PA=PM,

(X-0)2+(J-2)2=j/2,

12+y2_4y+4=y2,

12Y

,,y=-x+1,

4

...得出的結(jié)論與猜想一致.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的定義等等，靈活運(yùn)

用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

24.復(fù)習(xí)過《三角形》后，劉老師設(shè)置了一個問題情境，讓同學(xué)們討論問題情境：

如圖(1),在“8C和AD/E中，AB=AC,AD=AE,/BAC=NDAE,連接8DCE,且//Z)B=90。,

延長DE交3C于點(diǎn)初.試分析你能得出的結(jié)論.

以下是小明和小紅的討論過程.請你細(xì)閱讀并完成任務(wù).

小明：我能得出.

理由：ZDAE=ZDAB+ZBAE,NBAC=NEAC+NBAE,ZDAE=ABAC,

：.ZDAB=EAC.

又AB=AC,AD=AE,

AABD沿AACE.

小紅：我猜測點(diǎn)刊為BC的中點(diǎn).

思路：我考慮，若點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，則可以按照“倍長中線”的思路，如圖(2),過點(diǎn)。作C尸〃AD交。M

的延長線于點(diǎn)尸，只需要證明絲ACfM即可證明所猜.

(1)小明的理由中，得到△48。2△/(?￡的依據(jù)是(填序號)

①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL

(2)小紅的猜測是否正確？若正確，請幫她證明；若不正確，請說明理由.

(3)如圖(3),AB=AC,N8=30。，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，若NANB=120。,AN=1,BN=2,直接寫出CN

的長.

【答案】⑴②

⑵小紅的猜測正確，理由見解析

⑶CN的長為行或舊

【分析】(1)結(jié)合條件得出全等的根據(jù)；

(2)過點(diǎn)C作CF〃AD交。M的延長線于點(diǎn)R先證CF=3O,再證ABMOGACMF即可證出結(jié)論；

(3)將/N繞點(diǎn)/順時針旋轉(zhuǎn)120。得到AP,連接PN,PB,則&NP刖PNg窗(180T20930,分

兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在43下方時，②當(dāng)點(diǎn)N在上方時，分別計(jì)算求出即可.

【詳解】(1)解：VZDAE=ZDAB+ABAE,NBAC=NEAC+NBAE,NDAE=NBAC,

：.ZDAB=EAC,

又AB=AC,AD=AE,

：.AABD^AACE(SAS),

故答案為：②；

(2)解：小紅的猜測正確，理由如下：

過點(diǎn)。作CF〃AD交DM的延長線于點(diǎn)F,

ZBDE=NCFE,

???AD=AE,

/.ZADE=ZAED,

?;AABD-ACE,ZADB=90°,

/ADE+ZBDE=90°,ZAED+ZCEF=180°-90°=90°,BD=CE,

:.ZBDE=NCEF,

ZCFE=ZCEF,

CE=CF,

CF=BD,

?：i)BMD=CMF,

\ABMD^CMF,

:.BM=CM,即點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)；

(3)解：將NN繞點(diǎn)/順時針旋轉(zhuǎn)120。得到/P,連接PN,PB,則&NPOiPN；窗(180T20。30,

分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)N在N3下方時，過點(diǎn)工作尸N于點(diǎn)Q,

貝!IAQ=3AN=；，尸。=NQ=^-AN=^~

\PN=2NQ=百，

■：'DANB=nO0,

\05^=120°-30°=90°,

\BP=>JBN2+PN2=V7

由(1)可知A4B尸也A/CN,

\CN=BP=41;

②當(dāng)點(diǎn)N在N5上方時，過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)E,

同①可得：PN=C，

■:由NB120靶/JVP=30

\D￡27?=180°-30°-120°=30°,

1V3V33

\EP=-PN=—,NE=—PN=-

2222

7

\BE=BN+NE二一，

2

\3P=2PET『+患；苗,

由（1）可知A4B尸也A/CW,

\CN=BP=岳,

綜上所述，CN的長為近或舊.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理、等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌

握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的邊3C在x軸上，A、3、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為/（0,5）,

5（-12,0）,C（10,0）,一動點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線3。勻速運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動

時間為，秒.

⑴AABC的面積=；

⑵若點(diǎn)尸恰好線段N3的垂直平分線上，求此時r的值;

⑶當(dāng)點(diǎn)p在線段上運(yùn)動時，在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)。，使△尸。。與“OC全等？若存在，請求出

f的值并求出此時點(diǎn)。的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由;

⑷連結(jié)P/,若APNB為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（1）55；

,、169

(2)/=—;

48

⑶”1,點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,5）或（0,-5）或點(diǎn)0坐標(biāo)為（0,10）或（0,-10）；

署，。）或（i，o）.

(4)尸(12,0)或

【分析】（1）先求出8C的長，再利用面積公式求面積即可；

（2）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)和勾股定理求出BP的長，從而求得P點(diǎn)運(yùn)動時間：；

（3）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等關(guān)系分為情況，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

（4）由勾股定理得/8=13根據(jù)尸/=尸2、PA=AB.P2=48三種情況分別求解即可，

本題考查了等腰三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)的應(yīng)用，正確求出符合條件的所有情況.

【詳解】（1）VA（0,5）,5（-12,0）,C（10,0）,

：.OA^5,BC=22,

：.AABCm^-BC-OA=-X22x5=55,

22

故答案為：55；

（2）如圖，

點(diǎn)尸恰好線段AB的垂直平分線上,

/.BP=AP,

T§1BP=AP=X,貝!|O尸=12—x,

在中，由勾股定理得：OP^+OA?=Ap2,

即（12-4+52=解得：》=更2,

，此時:=

(3)①當(dāng)△QOP義ZUOC時，。尸=OC=10,

：.BP=OB-OP=12-iO=2,OQ=OA=5,

.??此時"1,點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,5）或（0,-5）；

②當(dāng)△尸00段ZUOC時，0P=04=5,

：.BP=OB-OP=12-5=5,OQ=OA=5,

7

???此時:］，點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,10）或（0,T0）;

綜上可知：”1,點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,5）或（0,-5）或t=點(diǎn)0坐標(biāo)為（0,10）或（0,70）；

（4）如圖，

在RtA^OS中，由勾股定理得AB=^OA2+OB2^A/52+122=13，

當(dāng)/月=/8時，此時占（12,0）；

出。，

當(dāng)工心=3時，由（2）得：P2

當(dāng)54=48時，此時片（1,0）；

詈，?；颉?，0）.

綜上可知：尸（12,0）或

26.為了進(jìn)一步探究三角形中線的作用，數(shù)學(xué)興趣小組合作交流時，小麗在組內(nèi)做了如下嘗試：如圖1,在

△A8C中，40是8c邊上的中線，延長4D到M,使。M=4D,連接8M.

圖1

⑴【探究發(fā)現(xiàn)】圖1中中/C與9的數(shù)量關(guān)系是位置關(guān)系是

⑵【初步應(yīng)用】如圖2,在“3C中，若48=12,AC=8,求BC邊上的中線4D的取值范圍；

⑶【探究提升】如圖3,是AABC的中線，過點(diǎn)A分別向外作4EL4B、AFLAC,使得4E=M,AF=4C,

延長交EF于點(diǎn)P,判斷線段E尸與/。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請說明理由.

【答案】(1)/C=3M,AC//BM

(2)2<AD<10

⑶EF=2AD,EF1AD,理由見解析

【分析】(1)證△NOC烏△MD3(SAS),得=/C4D=,再由平行線的判定即可得出/C〃瓦W；

(2)延長4D到M,使ZW=4D,連接由(1)可知，^MDB^AADC(SAS),得W=/C=8,再

由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

(3)延長4D到使得。M=連接由(1)可知，之△CZM(SAS),得8M=/C,再證

“BM空AEAF(SAS),得AM=EF,/BAM=NE,貝l」EV=24D,然后由三角形的外角性質(zhì)證出

ZAPE=ZBAE=90°,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：?.?4D是"8C的中線，

BD=CD,

在和中，

CD=BD

</CDA=ZBDM,

AD=MD

/\ADC^/\MDB(SAS),

:.AC=BM,ACAD=ZM,

:.AC//BM,

故答案為：AC=BM,AC//BM；

(2)如圖2,延長4。到〃，使。M=連接卸7,

A

：D

圖2

由(1)可知，AMDBMAZDC(SAS),

在"W中，AB-BM<AM<AB+BM,

，12—8</M<12+8,

即4<2AD<20,

2<AD<10,

即8C邊上的中線/D的取值范圍為2<10；

(3)EF=2AD,E