專題訓練一常見幾何體表面積和體積必刷題精練-2021-2022學年高一數(shù)學《考點題型技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019）

專題訓練一：常見幾何體表面積和體積必刷題精練一、單選題1．（2022·湖南·高一）已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A． B． C． D．2．（2020·河南·洛陽歐亞國際雙語學校高一階段練習）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A． B． C． D．3．（2021·全國·高一課時練習）(2015新課標全國I理科)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛4．（2022·全國·高一）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．5．（2019·內蒙古·赤峰二中高一階段練習（文））已知三棱錐的底面是邊長為2的等邊三角形，平面，且，則該三棱錐外接球的表面積為A． B． C． D．6．（2021·湖南·永州市第一中學高一期中）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且三條側棱長分別為1，，，則其外接球的表面積是（

）A． B． C． D．7．（2021·天津經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)第一中學高一期中）若所有棱長都是3的直三棱柱的六個頂點都在同一球面上，則該球的表面積是（

）A． B． C． D．8．（2021·河北·衡水市第十四中學高一期末）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球面上，圓錐的側面展開圖的圓心角為，面積為，則球的表面積等于（

）A． B． C． D．9．（2021·河北·辛集中學高一期中）已知三棱錐的四個頂點都在球O的表面上，且，，若已知，，，，則球O的體積是（

）A． B． C． D．10．（2021·全國·高一課時練習）四棱錐的底面為正方形，底面，，若該四棱錐的所有頂點都在體積為的同一球面上，則的長為（）A．3 B．2 C．1 D．11．（2020·山東·煙臺二中高一階段練習）已知直三棱柱的頂點都在球的球面上，，，若球的表面積為，則這個直三棱柱的體積是A．16 B．15 C． D．12．（2021·江蘇省蘇州實驗中學高一期中）一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側面積的比值是（

）A． B． C． D．13．（2021·河北·深州長江中學高一期中）如圖，已知底面邊長為的正四棱錐的側棱長為若截面的面積為則正四棱錐的體積等于（）A． B． C． D．14．（2021·安徽安慶·高一期末）如圖，在三棱錐中，平面，，，，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題15．（2021·福建省寧化第一中學高一階段練習）已知正三棱錐的底面邊長為1，點到底面的距離為，則（

）A．該三棱錐的內切球半徑為 B．該三棱錐外接球半徑為C．該三棱錐體積為 D．該三棱錐體積為16．（2021·湖南省邵東市第三中學高一期中）已知正方體的各棱長均為2，下列結論正確的是（

）A．該正方體外接球的直徑為B．該正方體內切球的表面積為C．若球O與正方體的各棱相切，則該球的半徑為D．該正方體外接球的體積為17．（2021·全國·高一課時練習）如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點B是圓O上異于A，C的動點，，則下列結論正確的是（

）A．圓錐SO的側面積為B．三棱錐體積的最大值為C．的取值范圍是D．若，E為線段AB上的動點，則的最小值為18．（2021·浙江·高一期中）已知圓錐底面半徑為3，高為4，則（

）A．圓錐的體積是B．圓錐的側面積是C．圓錐的內切球體積是D．圓錐側面展開圖扇形的圓心角為19．（2021·廣東白云·高一期末）某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，下列說法正確的有（

）A．該圓臺軸截面面積為B．該圓臺的體積為C．該圓臺的母線與下底面所成的角為30°D．沿著該圓臺表面，從點到中點的最短距離為20．（2021·福建寧德·高一期末）已知正四面體的外接球、內切球的球面上各有一動點M、N，若線段MN的最小值為，則（

）A．正四面體的外接球的表面積為 B．正四面體的內切球的體積為C．正四面體的棱長為12 D．線段MN的最大值為三、填空題21．（2021·全國·高一課時練習）已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為__________．22．（2021·廣東·深圳市寶安中學（集團）高一期中）已知一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側面積是32π，則母線長為________.23．（2020·山東·新泰市第一中學高一期中）已知空間四邊形中，，，，若平面平面，則該幾何體的外接球表面積為__________．24．（2021·內蒙古杭錦后旗奮斗中學高一階段練習）如圖，在長方體中，，，則四棱錐的體積為______cm3．25．（2021·浙江·高一單元測試）早期的畢達哥拉斯學派學者注意到：用等邊三角形或正方形為表面可構成四種規(guī)則的立體圖形，即正四面體、正六面體、正八面體和正二十面體，它們的各個面和多面角都全等．如圖，正二十面體是由20個等邊三角形組成的正多面體，共有12個頂點，30條棱，20個面，是五個柏拉圖多面體之一．如果把按計算，則該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于___________．四、解答題26．（2021·湖北·咸豐春暉學校高一階段練習）如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是a，過PO的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，（1）求圓柱的表面積；（2）求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的體積．27．（2021·全國·高一課時練習）已知棱長均為5，底面為正方形的四棱錐SABCD如圖所示，求它的側面積?表面積.28．（2021·全國·高一課時練習）如圖，正三棱錐的底面邊長為2，側棱長為3.（1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積.29．（2020·廣東·廣州市第一一三中學高一期中）如圖，已知四棱錐的底面是正方形，且邊長為4cm，側棱長都相等，E為BC的中點，高為PO，且，求該四棱錐的側面積和表面積．30．（2021·河北·任丘市第一中學高一階段練習）一個透明的球形裝飾品內放置了兩個具有公共底面的圓錐，且這兩個圓錐的頂點和底面圓周都在這個球面上，如圖，已知圓錐底面面積是這個球的表面積的，設球的半徑為R，圓錐底面半徑為r.（1）試確定R與r的關系，并求出大圓錐與小圓錐的側面積的比值.（2）求出兩個圓錐的總體積(即體積之和)與球的體積之比.參考答案：1．B【解析】【詳解】分析：首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長，從而進一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關公式求得圓柱的表面積.詳解：根據(jù)題意，可得截面是邊長為的正方形，結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.點睛：該題考查的是有關圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時候，一定要注意是兩個底面圓與側面積的和.2．A【解析】【詳解】根據(jù)題意作出圖形：設球心為O，過ABC三點的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長CO1交球于點D，則SD⊥平面ABC．∵CO1=，∴，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是邊長為1的正三角形，∴S△ABC=，∴．考點：棱錐與外接球，體積．【名師點睛】本題考查棱錐與外接球問題，首先我們要熟記一些特殊的幾何體與外接球（內切球）的關系，如正方體（長方體）的外接球（內切球）球心是對角線的交點，正棱錐的外接球（內切球）球心在棱錐的高上，對一般棱錐來講，外接球球心到名頂點距離相等，當問題難以考慮時，可減少點的個數(shù)，如先考慮到三個頂點的距離相等的點是三角形的外心，球心一定在過此點與此平面垂直的直線上．如直角三角形斜邊中點到三頂點距離相等等等．3．B【解析】【詳解】試題分析：設圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B.考點：圓錐的性質與圓錐的體積公式4．B【解析】【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結果.【詳解】如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點，設圓錐和圓錐的高之比為，即，設球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因為，所以，，所以，，，因此，這兩個圓錐的體積之和為.故選：B.5．D【解析】【分析】由于球中球心與球的小圓圓心的連線垂直于這個小圓，利用也垂直于這個小圓，即可利用球心與小圓圓心建立起直角三角形，，根據(jù)題意可求出是底面三角形的外接圓的半徑，利用計算即可，最后即可求出球的表面積．【詳解】由已知得，作下圖，連結，延長至圓上交于H，過作交于，則為，所以，為斜邊的中點，所以，為的中位線，為小圓圓心，則為的中點，則，則，，則球的半徑球的表面積為答案選D.【點睛】本題考查計算球的表面積，關鍵在于利用進行計算，難點在于構造三要素相關的直角三角形進行求解，難度屬于中等．6．C【解析】【分析】由題設得到三棱錐，由已知Rt△外接圓圓心在中點上，則其外接圓半徑r，三棱錐外接球半徑為R，及的關系為，進而求外接球表面積.【詳解】如下圖，若，，有，∴Rt△外接圓圓心在中點上，設外接圓半徑為r，三棱錐外接球半徑為R，則：.∴.故選：C7．C【解析】【分析】正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積．【詳解】解：由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，底面中心到頂點的距離為：；所以外接球的半徑為：．所以外接球的表面積為：．故選：C【點睛】本題是基礎題，考查正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關鍵，考查空間想象能力，計算能力．8．A【解析】【分析】由圓錐側面展開圖求得圓錐的母線和底面半徑，作出圓錐的軸截面，其外接圓是球的大圓，由圖形求得球半徑，從而可得球表面積．【詳解】設圓錐母線為，底面半徑為，則，解得，如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，設球半徑為，，，，，所以球表面積為．故選：A．【點睛】方法點睛：本題考查求球的表面積，解題關鍵是求得球的半徑．在球圓錐或圓柱、圓臺問題中可以作出圓柱（圓錐，圓臺）的軸截面，軸截面的外接圓為球的大圓，由此建立了球半徑與圓柱（圓錐圓臺）的量之間的關系．9．C【解析】由余弦定理求，再由正弦定理求△的外接圓半徑，又面知△的外接圓的圓心與所構成的截面必過三棱錐外接球的球心，即可求出球的半徑，根據(jù)球的體積公式求體積即可.【詳解】由，，，則由余弦定理有：，即，∴由正弦定理知△的外接圓半徑：，由題意知：面，又，三棱錐的外接球半徑：，由球的體積公式，有：，故選：C【點睛】本題考查了求三棱錐外接球的體積，根據(jù)三棱錐一條棱與底面垂直，該底面的外接圓的圓心與棱所成截面過球心即可求球體的半徑，進而求體積.10．C【解析】【分析】連接AC、BD交于點E，取PC的中點O，連接OE,可得O為球心，由該四棱錐的所有頂點都在體積為的同一球面上，可得PA的值.【詳解】解：連接AC、BD交于點E，取PC的中點O，連接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱錐的所有頂點的距離相等，即O為球心，設球半徑為R，可得，可得，解得PA=1,故選C.【點睛】本題主要考查空間幾何體外接球的相關知識及球的體積公式，得出球心的位置是解題的關鍵.11．A【解析】由題，棱柱為直棱柱，底面為直角三角形，利用球的表面積求得球半徑，再利用外接球求得棱柱的高，最后求得體積即可.【詳解】由題，，因為，，易知三角形ABC為等腰直角三角形，故三棱柱的高故體積故選A【點睛】本題考查了棱柱的外接球的問題，解題的關鍵是找球心的位置，求出棱柱的高，屬于中檔題型.12．B【解析】【分析】根據(jù)圓柱的側面展開圖是一個正方形，得到圓柱的高和底面半徑之間的關系，然后求出圓柱的表面積和側面積即可得到結論．【詳解】設圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，圓柱的側面展開圖是一個正方形，，圓柱的側面積為，圓柱的兩個底面積為，圓柱的表面積為，圓柱的表面積與側面積的比為：，故選：．13．B【解析】【分析】連接，交于，連接，根據(jù)截面的面積為可解得，即可求出體積.【詳解】解：連接，交于，連接，則底面且是中點，，，截面的面積為，，解得，正四棱錐的體積為：.故選：B．14．A【解析】【分析】設，，由三棱錐外接球的表面積為，可得出.根據(jù)等體積法得，利用基本不等式可求得三棱錐體積的最大值.【詳解】設，，由三棱錐外接球的表面積為，得外接球的半徑.又平面，，所以，所以，所以.因為平面，，所以，，過D作，垂足為E，則平面，所以，所以，所以，所以，當且僅當，即，時，“=”成立，所以三棱錐體積的最大值為.故選：A.【點睛】本題考查三棱錐的外接球的相關計算，等體積法的運用，屬于較難題.15．ABD【解析】【分析】設是棱錐的高，則是的中心，是中點，易得幾何體的體積，進而結合等體積法求得內切球的半徑，利用直角三角形求解外接球的半徑.【詳解】如圖，是棱錐的高，則是的中心，是中點，，，故C錯D正確；，，．，所以，設內切球半徑為，則，，A正確；易知外接球球心在高上，球心為，設外接球半徑為，則，解得，B正確；故選：ABD．【點睛】本題考查空間幾何體的內切球，外接球問題，三棱錐的體積求解，考查空間想象能力，運算求解能力，是中檔題.本題內切球的半徑的求解利用等體積法求解，即：（其中為內切球半徑）.16．ABC【解析】【分析】由正方體的棱長為2，分別求出正方體的外接球，正方體的內切球，與正方體的各棱相切的直徑或半徑，進一步求解可得：①若球為正方體的外接球，則外接球直徑等于正方體體對角線，可判斷A、D選項；②若球為正方體的內切球，則內切球半徑為棱長的一半，可判斷B選項；③若球與正方體的各棱相切，則球的直徑等于正方形對角線長，可判斷C選項．【詳解】若正方體的棱長為2，則：①若球為正方體的外接球，則外接球直徑等于正方體體對角線，即，故A正確，外接球體積為，故D錯誤；②若球為正方體的內切球，則內切球半徑為棱長的一半，故，球的表面積為，故B正確；③若球與正方體的各棱相切，則球的直徑等于正方形對角線長，即，球的半徑為，故C正確．故本題選：ABC.【點睛】本題考查幾何體外接球、內切球問題，由若球為正方體的外接球，則外接球直徑等于正方體體對角線，若球為正方體的內切球，則內切球半徑為棱長的一半，若球與正方體的各棱相切，則球的直徑等于正方形對角線長，可求出球的半徑或直徑，屬于中等題．17．ABD【解析】【分析】先求出圓錐的母線長，利用圓錐的側面積公式判斷選項A；當時，的面積最大，此時體積也最大，利用圓錐體積公式求解即可判斷選項B；先用取極限的思想求出的范圍，再利用，求范圍即可判斷選項C；將以為軸旋轉到與共面，得到，則，利用已知條件求解即可判斷選項D.【詳解】在中，，則圓錐的母線長，半徑，對于選項A：圓錐的側面積為：，故選項A正確；對于選項B：當時，的面積最大，此時，則三棱錐體積的最大值為：，故選項B正確；對于選項C：當點與點重合時，為最小角，當點與點重合時，，達到最大值，又因為與不重合，則，又，可得，故選項C不正確；對于選項D：由，得，又，則為等邊三角形，則，將以為軸旋轉到與共面，得到，則為等邊三角形，，如圖：則，因為，則，故選項D正確；故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了圓錐的側面面積以及體積，取極限是解決本題角的范圍問題的關鍵；利用將以為軸旋轉到與共面是解決求的最小值的關鍵.18．BD【解析】【分析】根據(jù)圓錐的性質求解．【詳解】由題意圓錐體積為，A錯；圓錐母線長為，側面積為，B正確；設圓錐內切球半徑為，如圖是圓錐軸截面，則其內切圓為球的大圓，則，，，C錯；圓錐側面展開圖扇形的圓心角為，D正確．故選：BD．【點睛】思路點睛：圓柱、圓錐、圓臺的計算問題，掌握畫出它們的軸截面，在軸截面中有底面圓半徑，高，母線，有側棱與底面所成的角．這個軸截面截它們的內切球得軸截面的內切圓，截外接球得軸截面的外接圓，這樣關系一目了然，偏于計算．19．ABD【解析】【分析】求出圓臺的高，由梯形的面積公式可判斷A；由臺體的體積公式可判斷B；由臺體的母線與高可判斷C；將圓臺補成圓錐，側面展開，取的中點為，連接，可判斷D.【詳解】解：由，且，可得，高，則圓臺軸截面面積為，故A正確；圓臺的體積為，故B正確；圓臺的母線與下底面所成的角為，其正弦值為，所以，故C錯誤；由圓臺補成圓錐，可得大圓錐的母線長為，底面半徑為，側面展開圖的圓心角為，設的中點為，連接，可得，，，則，所以沿著該圓臺表面，從點到中點的最短距離為，故D正確.故選：ABD.20．BC【解析】【分析】首先畫出圖形，求出正四面體的外接球半徑R與內切球的半徑r，然后根據(jù)，求出正四面體的棱長，然后對各選項判斷即可.【詳解】依題作出圖形，如下：設正四面體的棱長為a，則它的外接球與內切球的球心重合，則它的外接球和內切球的球心重合，作平面BCD，垂足為G，則G為的重心，且，則正四面體的高為，設正四面體的外接球半徑為R，內切球半徑為r，由圖可知，，解得，，依題可得，即，解得，故C正確；正四面體的外接球的表面積為，故A錯誤；正四面體的內切球的體積為，故B正確；線段MN的最大值為，故D錯誤.故選：BC.21．【解析】【詳解】分析：先根據(jù)三角形面積公式求出母線長,再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側面積公式求結果.詳解：因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設母線長為所以，因為與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為因此圓錐的側面積為22．4【解析】【分析】寫出側面積表達式，求出，即可得圓臺的母線長．【詳解】解：，，．故答案為：423．【解析】【詳解】如圖：由于是等邊三角形，所以到A,B,D三點距離相等的點在重心O且垂直是平面ABD的直線上，又因為，所以到B,C,D三點距離相等的點在過BD中點E且與平面BCD垂直的直線上，兩直線的交點是O,所以球心為O.半徑R=，．填．24．6．【解析】【分析】如圖，過作于，可證平面，利用體積公式計算即可.【詳解】如圖，過作于，∵長方體底面是正方形，∴中，，，又由，，∴平面，∴．考點：棱錐體積的計算．【點睛】本題考查四棱錐體積的計算，關鍵是高的計算，需利用線面垂直來求，本題屬于基礎題.25．【解析】【分析】可得正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，設外接球半徑為R，正五邊形的外接圓半徑為r，正二十面體的棱長為，可得，，即可表示出外接球的表面積和正二十面體的表面積，得出答案.【詳解】由圖知正二十面體的外接球即為上方正五棱錐的外接球，設外接球半徑為R，正五邊形的外接圓半徑為r，正二十面體的棱長為，則，得，所以正五棱錐的頂點到底面的距離是，所以，即，解得．所以該正二十面體的外接球表面積為，而該正二十面體的表面積是，所以該正二十面體的表面積與該正二十面體的外接球表面積之比等于．故答案為：.【點睛】本題考查幾何體的外接球問題，解題的關鍵是將正二十面體的外接球等價于上方正五棱錐的外接球，表示出半徑.26．（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設圓錐底面半徑為r，圓柱底面半徑為，求得和的值，以及圓柱和圓錐的母線長，結合側面積和圓的面積公式，即可求解；（2）利用圓錐和圓柱的體積公式，即可求得剩下幾何體的體積．【詳解】（1）設圓錐底面半徑為r，圓柱底面半徑為，因為過PO的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，可得，，