高考數(shù)學二輪復習：隱圓、蒙日圓與阿基米德三角形-學案講義

培優(yōu)點7隱圓、蒙日圓與阿基米德三角形

在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及到隱圓、蒙日圓與阿基米德

三角形，這些問題聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，難度

為中高檔.

考點一隱圓(阿波羅尼斯圓)

【核心提煉】

“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個定點4(一。,0),B(cz,0)(o>0)的距離之比為正數(shù)〃;IW1)

的點的軌跡是以q尸77，°)為圓心，尸二T為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓.

例1(多選)古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)“若A,B為平面上相異的兩點，則所有滿足:

犒=小>0,且2W1)的點尸的軌跡是圓，后來人們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.在平面直角

坐標系中，4—2,0),8(4,0),動點P滿足糕=今則下列關(guān)于動點P的結(jié)論正確的是()

I廠力I乙

A.點P的軌跡方程為^+/+8%=0

B.△AP8面積的最大值為6

C.在x軸上必存在異于A,2的兩定點M,N,使得牌

\rly\乙

D.若點0(—3,1),則2照+|PQ的最小值為5小

答案ACD

解析對于選項A,設(shè)P(x,y),

因為「滿足髭=3,

yj(x+2)2+y21

所以，

'N(x-4)2+y22'

化簡得x1+y2+Sx=0,故A正確;

對于選項B,由選項A可知，

點P的軌跡方程為爐+丫2+8尤=0,

即(x+4)2+y2=i6,所以點P的軌跡是以(一4,0)為圓心，4為半徑的圓，

又|AB|=6,且點A,8在直徑所在直線上，

故當點P到圓的直徑所在直線的距離最大時，△AP8的面積取得最大值,

因為圓上的點到直徑的最大距離為半徑，即AAPB的高的最大值為4,

所以△AP8面積的最大值為3x6X4=12,故B錯誤;

對于選項C,假設(shè)在x軸上存在異于A,5的兩定點M,N,使得加徜=]，設(shè)N(H,O),

^/(X-/W)2+p_1

■\j(x—ri)2+y22，

即H(X—〃)2+尸=77?)2+y2,

化簡可得f+y2—也寧十加尹=。

又點P的軌跡方程為/+9+8苫=0,

8m—2n

~~3-=8

可得，

4m2—n2

-3—=0,

m=-6m=-2

解得，〃=-12或(舍去),

〃=4

故存在異于AB的兩定點M(—6,0),M-12,0),

使得牌=3,故C正確;

對于選項D,因為髓=3,所以2|明=|PB|,

所以2|E4|+|PQ=|P2|十|PQ,

又點尸在圓V+V+SxuO上，如圖所示,

所以當尸,Q,8三點共線時，2|B4|+|PQ取得最小值,此時(2|R1|+|PQ)1n^=|8。|

='[4—(―3)]2+(0—1)2=5地,故D正確.

規(guī)律方法對于動點的軌跡問題，一是利用曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)的定義識別

動點的軌跡，二是利用直接法求出方程，通過方程識別軌跡.

跟蹤演練1(多選)在平面直角坐標系中，4—1,0),3(2,0),動點C滿足糕(=/直線I：

1=0,貝(j()

A.動點C的軌跡方程為(x+2)2+y2=4

B.直線/與動點。的軌跡一定相交

C.動點C到直線/距離的最大值為吸+1

D.若直線/與動點C的軌跡交于P,。兩點，且|PQ=26，則加=—1

答案ABD

解析對于A選項，設(shè)C(x,y).

因為局芍

y（x+l）2+y-1

所以

4（龍-2）2+/T

所以^+^^+以=。，即(尤+2>+y2=4,

動點C的軌跡為以N(-2,0)為圓心，2為半徑的圓，故A正確;

對于B選項，因為直線/過定點/(—1,1),而點M(—1,1)在圓N內(nèi)，所以直線/與圓N相交,

故B正確；

對于C選項，當直線/與M0垂直時，動點C到直線/的距離最大，且最大值為r+|NM=2

+小,故C錯誤；

對于D選項，記圓心N到直線/的距離為乩

e,\m—l\

=

則d-I

yjm2+1

因為|尸。F=4(戶一心)=8.

又r=2,所以d=y[2.

由%半=2,得加=—1,故D正確.

考點二蒙日圓

【核心提煉】

72

在橢圓，+g=l(a>6>0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢

圓的中心，半徑等于橢圓長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓叫蒙日圓.

設(shè)P為蒙日圓上任一點，過點P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點A,B,。為原點.

性質(zhì)1PALPB.

b2

性質(zhì)2kOp-kAB=—^2.

〃b2

性質(zhì)3koA-kpA=--^,左OB-APB=一7（垂徑定理的推廣）.

性質(zhì)4PO平分橢圓的切點弦AB.

性質(zhì)5延長E4,尸8交蒙日圓。于兩點C,D,則CD〃AA

ab

性質(zhì)6的最大值為萬，S/XAOB的最小值為〃2+。2.

性質(zhì)7SAAPB的最大值為.十〃2,S^APB的最小值為笠+〃2.

例2(2023?合肥模擬)已知A是圓f+y2=4上的一個動點，過點A作兩條直線凡它們

與橢圓t+V=l都只有一個公共點，且分別交圓于點M,N.

(1)若4—2,0),求直線/i，(的方程;

(2)①求證：對于圓上的任意點A,都有/」/2成立；

②求△AMN面積的取值范圍.

(1)解設(shè)直線的方程為y=Mx+2),

代入橢圓^"+y2=l,消去y,

可得(1+3歸if+lZFx+lZF—SuO,

由/=o,可得F—1=0,

設(shè)/1,/2的斜率分別為后，左2,

工人1=-1,%2=1,

「?直線/i,6的方程分別為y=一欠一2,y=x+2.

⑵①證明當直線/1,/2的斜率有一條不存在時，不妨設(shè)/i的斜率不存在，

??,/i與橢圓只有一個公共點，，其方程為x=i\B，

當/i的方程為％=小時，此時/i與圓的交點坐標為(小，±1),

???/2的方程為y=l(或)=—1),/I_L/2成立，

同理可證，當/1的方程為1=一S時，結(jié)論成立；

當直線/1,/2的斜率都存在時，設(shè)點幾)且加2+幾2=4,

設(shè)方程為y=k(x—m)+n,代入橢圓方程，

可得(1+33)/+6左(〃一七n)%+3(〃一左根)2—3=0,

由/=0化簡整理得(3一機2)3+2加成+1—/=0,

?1m2+n2=4,

(3—m2)^2+2mnk+m2—3=0,

設(shè)/l,，2的斜率分別為所,fo,

??k\k?1,??l\_Lh成3Z19

綜上，對于圓上的任意點A,都有/1_L，2成立.

②解記原點到直線/i,b的距離分別為di,di,

*：MA±NA9.??MN是圓的直徑，

；.|MA|=2d2,|NA|=2di,曷+展=|0A『=4,

△AMN面積為S=；|MA|X|N4|=24d2,

S?=4山曷=4曷(4一%)=—4(比一2產(chǎn)+16,

V^e[l,3],.'.S^e[12,16],

；.SG[2小，4].

規(guī)律方法蒙日圓在雙曲線、拋物線中的推廣

雙曲線/一方=l(a>6>0)的兩條互相垂直的切線PA,PB交點P的軌跡是蒙日圓：x2+y2=(z2

一〃(只有當a>6時才有蒙日圓).

拋物線y2=2〃xS>0)的兩條互相垂直的切線B4,P3交點尸的軌跡是該拋物線的準線：x=—

，可以看作半徑無窮大的圓).

77

跟蹤演練2定義橢圓C：5+方=1(。2°)的“蒙日圓”的方程為V+尸正反，已知橢

圓C的長軸長為4,離心率為e=/

(1)求橢圓C的標準方程和它的“蒙日圓”E的方程；

⑵過“蒙日圓”E上的任意一點M作橢圓C的一條切線MA,A為切點，延長MA與“蒙日

圓”E交于點。，。為坐標原點，若直線OM,O。的斜率存在，且分別設(shè)為眉，無，證明：

如Z2為定值.

C1

⑴解由題意知2〃=4,e='=1,

:?白=3,

22

橢圓C的標準方程為5+^=1,

“蒙日圓”E的方程為F+y2=4+3=7,即f+y2=7.

(2)證明當切線MA的斜率存在且不為零時，設(shè)切線MA的方程為了=日+根，

y=kx+m,

則由<:+$=],

消去y得(3+43)砂+8加丘+4切2—12=0,

：.A=64療於一4(3+4^)(4m2-12)=0,

/.m2=:3+4^2,

y=kx+m,

由

x2+y2=7,

消去y得(1+3)砂+2機fcv+m2—7=0,

???/=4/4(1+8(加一7)=16+12/>0,

設(shè)M(xi,yi),￡)(X2,丁2),

-2mk

則即+也=

1+於'

m2—7

X1X2=T+F,

.jj,yij2

??k,\k.2一

X1X2

（fcxi+徵）（依2+fn）

X1X2

+kmjpci+X2）+力2

X\X2

?根2—7—2mk9

m2—7

T+F

n/2-7於

m2-7'

???m2=3+4^,

.m2-7^23+43—733

?,^lfe=m2-7=3+4^-7=一不

3

當切線MA的斜率不存在且為零時，％%2=一4成立，

任比為定值.

考點三阿基米德三角形

【核心提煉】

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.

性質(zhì)1阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸.

性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊即弦48過拋物線內(nèi)的定點C,則另一頂點。的軌跡為一

條直線.

性質(zhì)3拋物線以。點為中點的弦平行于。點的軌跡.

性質(zhì)4若直線/與拋物線沒有公共點，以/上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點（若

直線/方程為：ax+by+c=O9則定點的坐標為C0,一第.

性質(zhì)5底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為

性質(zhì)6若阿基米德三角形的底邊過焦點，則頂點。的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面

積最小值為p2.

例3（多選X2023?南平模擬）過拋物線f=2*⑦>0）的焦點/作拋物線的弦與拋物線交于A,

5兩點，M為A3的中點，分別過A,8兩點作拋物線的切線/i，6相交于點P.下面關(guān)于

的描述正確的是（）

A.點尸必在拋物線的準線上

B.AP1PB

C.設(shè)4（沏,州），BQ及），則的面積S的最小值為專

D.PFLAB

答案ABD

解析先證明出拋物線y2=2〃x（p>0）在其上一點5）,yo）處的切線方程為yoy=px+pxo.

證明如下：

由于點（出,州）在拋物線丁=2內(nèi)上，則y§=2〃xo,

fy2=2〃x,

聯(lián)立,

[yoy=px+pxo,

可得2yoy=y2+2pxo,

即產(chǎn)一2yoy+弱=0,/=0,

所以拋■物線_/=2〃刈>0）在其上一點（沏，%）處的切線方程為yoy=px+pxo.

如圖所示.設(shè)A（?,yi）,Bgm），直線A8的方程為

x—my+），

聯(lián)立'2

y=2px,

消去x得y2—2mpy-p2=0,

由根與系數(shù)的關(guān)系可得yiy2=—p2,y\+y2=2mp9

對于A,拋物線y2=2px在點A處的切線方程為y\y=px+px\,

即V尸px+5，

同理可知，拋物線y2=2力在點B處的切線方程為y2y=px+^,

_y\yi__P

x~2p

解得，

yi+j2

尸-2-=mp,

所以點P的橫坐標為一冬

即點尸在拋物線的準線上，A正確;

對于B,直線4的斜率為百寸

直線，2的斜率為依與

所以/而=以以=—1,

所以B正確;

對于D,當垂直于x軸時，由拋物線的對稱性可知，點P為拋物線的準線與無軸的交點,

此時PF±AB；

當不與x軸垂直時，直線的斜率為MB=A，

直線尸尸的斜率為kpF=」~=-m,

-P

所以kAB-kpF=-1,則PF1AB.

綜上，PFLAB,D正確；

對于C,\AB\=y[r+^-\yi-y2\,

所以，SAPAB^AB\-\PF\

=枷2+1）."+j|

丹?（小+1）（M+給

[m=0,

當且僅當時，等號成立，C錯誤.

31=±。

規(guī)律方法(1)橢圓和雙曲線也具有多數(shù)上述拋物線阿基米德三角形類似性質(zhì)；

(2)當阿基米德三角形的頂角為直角時，阿基米德三角形頂點的軌跡為蒙日圓.

跟蹤演練3已知拋物線C：/nZpy。)。)的焦點為F,且廠與圓M：/+。+4)2=1上的點

的距離的最小值為4.

⑴求P；

⑵若點P在圓M上，PA,是C的兩條切線，A,B是切點，求面積的最大值.

解(1)易得圓的圓心”(0,-4),拋物線C的焦點為電，\FM\=^+4,

...■F與圓M：f+(y+4)2=l上的點的距離的最小值為?+4—1=4,解得p=2.

⑵拋物線C的方程為f=4y,即y=?,

對該函數(shù)求導得＜=全

設(shè)點A(?,%)，3(%2,刈)，P(xo,yo),

直線PA的方程為y—yi—^2(x—x\)9

即尸竽一V，即xix—2yi—2y=0,

同理可知，直線的方程為XN—2券—2y=0,

由于點尸為這兩條直線的公共點，

gx。一2%—2yo=0,

則

[xzxo-2y2-2yo=0,

???點A,8的坐標滿足方程xg—2y—2yo=O,

「?直線AB的方程為xox—2y—2yo=O,

xox—2y-2yo=O,

聯(lián)立|f

可得X2—2xox+4yo=O,

由根與系數(shù)的關(guān)系可得XI+X2=2XO,

%i%2=4yo,

??.|A3|=1+(X1+X2)2—4X1X2

=、/1+胡勺4看一16yo

=、（焉+4）（君一4yo）,

點P到直線AB的距離為d=^i==^,

q焉+4

?9?S^PAB=^\AB\-d

=勾(*+4)(曾―4yo)?生曾

1,2

=2(%-4%)2，

?."看一4%=1—(yo+4)2—4yo

——yo~12yo_15=—(yo+6)2+21,

由已知可得一5WyoW—3,

i-

**?當yo=-5時，△出6的面積取最大值］X202=2隊

專題強化練

1.若橢圓c：弋+?=im>o）的蒙日圓為/+尸=6,則。等于（）

aIza

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析根據(jù)蒙日圓的定義，得。+2+。=6,解得a=2.

2.（2023?煙臺模擬）過拋物線V=4x的焦點尸作拋物線的弦，與拋物線交于A,B兩點、,分別

過A,B兩點作拋物線的切線/i，/2相交于點P，△出8的面積S的最小值為（）

4

A.QB.2

C.4D.4/

答案C

解析由題知，弦43過拋物線焦點，則由“阿基米德三角形”性質(zhì)知，點P在拋物線的準

線上，△RW的面積的最小值為S=p2=4.

3.已知在平面直角坐標系。孫中，4-2,0）,動點M滿足得到動點〃的軌

跡是阿氏圓C若對任意實數(shù)k,直線/：尤―1）+6與圓C恒有公共點，則b的取值范圍

是()

A.［—巾，巾］B.［一加，,］

C.［—巾，巾］D.f-252的

答案C

解析設(shè)Mx,y),由4-2,0),3-\MA\=yj2\MO\,

得|MA|2=2|MO|2,即(x—2>+y2=8,所以M的軌跡是以C(2,0)為圓心，2、也為半徑的圓，

直線/：y=Z(x—1)+6恒過定點(1,b),

把x=l代入(x—2/+y2=8,解得>=川%

要使對任意實數(shù)鼠直線/：y=-x—l)+b與圓C恒有公共點，

則一由WbW巾，即b的取值范圍是［—巾，巾］.

4.拋物線上任意兩點A,8處的切線交于點P,稱為“阿基米德三角形”，當線段A3

經(jīng)過拋物線的焦點P時，△研8具有以下特征：

①P點必在拋物線的準線上；②

若經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點的一條弦為AB,“阿基米德三角形”為△出'且點P的縱坐

標為4,則直線AB的方程為()

A.x—2y—1=0B.2x+y—2=0

C.x+2y—1=0D.2x—y—2=0

答案A

解析設(shè)拋物線的焦點為足由題意可知，拋物線V=4x的焦點坐標為尸(1,0),準線方程為

x=~l,因為△B4B為“阿基米德三角形”，且線段AB經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，所以點

尸必在拋物線的準線上，所以點P(—1,4),

所以直線尸產(chǎn)的斜率為4,°=-2.

又因為PF1AB,

所以直線A8的斜率為最

所以直線A8的方程為y-0=1(x-l),

即x~2y~l=0.

5.(多選)(2023?廊坊模擬)如圖，△以8為阿基米德三角形.拋物線d=2py(p>0)上有兩個不

同的點A(xi,%),B(X2,y2),以A,8為切點的拋物線的切線B4,PB相交于點尸.給出如下

結(jié)論，其中正確的為()

A.若弦48過焦點，則AAB尸為直角三角形且/4尸8=90。

B.點P的坐標是，.尬,為2）

C.AE4B的邊A2所在的直線方程為⑴+&）無一2py—尤陽=0

D.△出臺的邊AB上的中線與y軸平行（或重合）

答案ACD

解析由題意設(shè)AQI,8（X2,知，Xl<X2,

2

由x=2py,得y=|則y'=p

所以區(qū)1=蔗,kpB煮,

若弦AB過焦點，設(shè)AB所在直線為了=依+$聯(lián)立f=2py,得工2—20日一°2=0,

2

則X1X2=—p,所以kpA,kpB=FT=-L

所以m_LPB,故A正確；

以點A為切點的切線方程為y—卷=?（x—制），以點2為切點的切線方程為y—芫=g（x—X2）,

乙pP乙pP

聯(lián)立消去丫得苫=皿產(chǎn)，

將x=巧這代入y-^=j（x-xi）,

Xl12

得產(chǎn)罰

所以P”上，喔故B錯誤;

設(shè)N為拋物線弦AB的中點，N的橫坐標為XN=注望，因此直線PN平行于y軸（或與y軸重

合），即平行于拋物線的對稱軸（或與對稱軸重合），故D正確;

設(shè)直線AB的斜率為

kyi2P2Pxi+%2

X2-X\X2~X\2P'

故直線AB的方程為廠方=12P2（x-xi）,

化簡得（xi+%2）x—2〃y—加入2=0,故C正確.

6.（多選）已知橢圓C：，+\=1。比>0）的離心率為羋，F(xiàn)i，出分別為橢圓的左、右焦點，A,

B為橢圓上兩個動點.直線/的方程為法+0一/一〃=o.下列說法正確的是（）

A.C的蒙日圓的方程為/+y2=3〃

B.對直線/上任意一點P,m-PB>0

C.記點A到直線/的距離為d,則d—⑷司的最小值為羋。

D.若矩形MNG8的四條邊均與C相切，則矩形面積的最大值為6b2

答案AD

解析對于A,過。（。，可作橢圓的兩條互相垂直的切線x=〃，y=b,

AQ（a,。）在蒙日圓上，

???蒙日圓方程為一+>2="+〃，

由e=?=、/^l=坐得層=2及，

；.C的蒙日圓方程為f+y2=3〃，A正確；

對于B,由/方程知/過P（6,a）,又尸滿足蒙日圓方程，

二尸出，.）在圓x2+y2=3b2±,當A,B恰為過尸作橢圓兩條互相垂直切線的切點時，PAPB=

0,B錯誤；

對于C,在橢圓上，

尸21=2。,

：.d-\AF2\=d—（2a-|AFi|）=d+|AFi|一2。；

當FiA±l時,d+|AB|取得最小值,最小值為Fi到直線I的距離，

22222

-,,nr.,\—bc-a—b\\-b—1b—b\4小

又吊到直線’的距周d=一^而育―=曬=3"

4\[3

（J—|AF2|）min=2a,C錯誤；

對于D,當矩形MNG8的四條邊均與C相切時，蒙日圓為矩形MNG8的外接圓，

二矩形MNG8的對角線為蒙日圓的直徑，設(shè)矩形的長和寬分別為x,y,則爐十產(chǎn)二

12b2,

矩形MNGH的面積S=xy/X,丫=6/（當且僅當x=y=乖b時取等號），即矩形MNGH面

積的最大值為6〃，D正確.

7.拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，因為阿基米

德最早利用逼近的思想證明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德

2

三角形面積的號已知A(—2,D，8(2,1)為拋物線C：V=4y上兩點，則在A點處拋物線C的切

線的斜率為；弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為.

答案-1|

解析因為y=*,所以y'=%,

所以左=y'|x=-2=gx(_2)=-l,

所以在A點處拋物線C的切線的斜率為一1,

切線方程為y—\=—(x+2),即y=—%—1,

同理在B點處拋物線C的切線方程為y=x-l,

■=一尤—1,(尤=0,

由f,解得，

[y=x-l,Ly=-1,

所以兩切線的交點為尸(0,-1),

所以阿基米德三角形面積S=3X4X2=4,

7Q

所以弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為S=4X1=|

8.(2023?贛州模擬)已知兩動點A,8在橢圓C：^+V=l(a>l)上，動點P在直線3葉4廠

10=0上，若NAP8恒為銳角，則橢圓C的離心率的取值范圍為

答案(o,里|

解析根據(jù)題意可得，圓f+y2="+i上任意一點向橢圓。所引的兩條切線互相垂直,

因此當直線3x+4y—10=0與圓/+9=/+1相離時，/APB恒為銳角，

<|0+0-W|\

故居+1<IV3H45J=4,

解得1<?2<3,

從而離心率e

9.(2023?開封模擬)如圖，過點P(m,w)作拋物線C：f=2pyg>0)的兩條切線B4,PB,切點

分別是A,B,動點。為拋物線C上在A,B之間的任意一點，拋物線C在點。處的切線分

別交融，尸8于點M,N.

(1)若AP，尸8,證明：直線AB經(jīng)過點(0,與；

(2)若分別記△「用/',”8。的面積為N，S2，求費的值.

⑴證明設(shè)A(%i,yD，5(x2,m)，直線AB的方程為》=辰+。，

\j^=2py,

由j

[y=kx+b,

消去y并整理得x2—2ph:—2加?=0,有x\X2=~2pb,

令拋物線C：x^=2py在點A處切線方程為y—y\=t(x—x\),

\y-yx=t(x-xx),

由J

[^7=2py,

消去y并整理得x2—2ptx+2ptxi—2py\=0,

則有A=4P2/2—4(2p/xi—2py\)=—4(2p/xi—^)=0,解得￡=旅

同理，拋物線C：*=2py在點8處切線斜率為荔

因為APLPB,則有彳=三四=—1,

解得b=y

所以直線A3：尸質(zhì)十號恒過定點(0,

(2)解由⑴知，切線必的方程為廠v=加一為),

整理得y=》—yi,

同理切線PB的方程為y=y-y2,

設(shè)點。(Xo,Jo),則切線MN的方程為>=；尤一yo,

_X1_X2

而點尸(加,〃)，即有n=~m-y\n=-m—y2

因此直線AB的方程為",

有|4同=〈1+02|內(nèi)—對，

點Q(xo,刃)到直線AB的距離是d2=

tlI±，，匕

則S2=^\xi—X2\-xo-yo-n,

\py=xox—pyo,

由_

[py=xix—pyi,

解得點M的橫坐標硼=也要,

同理點N的橫坐標對=與這，

m

—xo—n—yo