2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：拓展之通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題（學(xué)生版+解析）

第10講：拓展三：通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題

目錄

1、函數(shù)極值的第二判定定理：..............................1

類型一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.........................1

類型二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性.......................3

類型三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍........................18

類型四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式............................5

1、函數(shù)極值的第二判定定理：

若/(X)在x=x0附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)尸(X),且/'(/)=0,r(X0)H0

(1)若尸(%)<0,則/(x)在點(diǎn)x0處取極大值；

(2)若/"(5)〉0,則/(x)在點(diǎn)x0處取極小值

2、二次求導(dǎo)使用背景

(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)r(x),無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)；

(2)對函數(shù)/(X)一次求導(dǎo)得到/''(%)之后，解不等式r(x)>0和/”(x)<0難度較大甚至

根本解不出.

(3)一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有/或Inx

3、解題步驟：

設(shè)g(x)=/'(x)，再求g'(無)，求出g'(x)>0和g'(x)<0的解,即得到-函數(shù)g(x)的單調(diào)性，

得到函數(shù)g(x)的最值，即可得到了'(x)的正,負(fù)情況，即可得到函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

高頻考點(diǎn)

類型一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

典型例題

例題1.(2024?貴州貴陽?一模)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：

e*=l+x+土+工+…+土+…其中”!=1X2X3X4X…x”,e為自然對數(shù)的底數(shù)，

2!3!n\

e=2.71828…….以上公式稱為泰勒公式.設(shè)/@)=三0超(力=三二，根據(jù)以上信息,

并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決如下問題.

⑴證明：e，Nl+x;

(2)設(shè)xe(O,"),證明：qhg(x)；

⑶設(shè)尸(x)=g(x)-+若x=0是尸(x)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

例題2.(23-24高二下?云南玉溪?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=ar-lnrTaeR.

(1)討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=l時，設(shè)g(x)=e"(x)+e，+M(〃?eR),若g(x)20恒成立，求冽的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.(2024?四川遂寧?二模)已知函數(shù)〃x)=e*-ox—2.

(1)若〃尤)在區(qū)間(0,1)存在極值，求。的取值范圍；

(2)若,f(x)>x-sinx-cosx,求。的取值范圍.

2.(2024?四川廣安?二模)已知函數(shù)/(力=/一水一1.

(1)若/(尤)存在極值，求。的取值范圍；

(2)若aVl,xe(0,+oo),證明：/(x)>%-sinx.

類型二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性

典型例題

例題1.(2024?江西九江?二模)已知函數(shù)〃尤)=(2x—a)ln(x—l)+6(a,6eR)在x=2處的切

線方程為3x_y_2=0

(1)求a,b的值；

(2)判斷的單調(diào)性.

例題2.(23-24高二下?廣東清遠(yuǎn)■階段練習(xí))已知函數(shù)"x)=lnx-?x+a,g(x)=xev-2x.

(1)求函數(shù)y=的單調(diào)區(qū)間；

⑵已知a=l,當(dāng)x?0,4w),試比較/(x)與g(x)的大小，并給予證明.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高二下,重慶銅梁?階段練習(xí))拐點(diǎn)，又稱反曲點(diǎn)，指改變曲線向上或向下的點(diǎn)(即

曲線的凹凸分界點(diǎn)).設(shè)了'⑺是函數(shù)y=〃尤)的導(dǎo)函數(shù)，廣⑺是函數(shù)廣⑺的導(dǎo)函數(shù)，若

方程廣(無)=0有實(shí)數(shù)解尤=%,并且在點(diǎn)(廝,/(%))左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號相反，則稱

(%，/(%))為函數(shù)丁=/(元)的"拐點(diǎn)

⑴經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)/(X)=ax3+bx2+cx+d(a^0)都有"拐點(diǎn)"，且該"拐點(diǎn)"也是函

數(shù)y=的圖象的對稱中心.已知函數(shù)/(x)=V+加一9尤+。的圖象的對稱中心為(-1,10),

討論函數(shù)〃無)的單調(diào)性并求極值.

1QC

⑵已知函數(shù)g(x)=27加+[61n(/nr)-15]^+—x---+1,其中機(jī)>0.求g(x)的拐點(diǎn).

mm

2.(23-24高二下?寧夏?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(x-1聲-加.

(1)當(dāng)a40時，求證：/(x)>-2x2-l；

(2)當(dāng)a=-l時，函數(shù)g(x)=/(x)-xe、'+尤在(0,+8)上的最大值為機(jī)，求不超過機(jī)的最大整

數(shù).

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高三下?山東濰坊?階段練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=g*一；/一x.

(1)若/(大)在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

⑵當(dāng)a=l時，證明：Vxe(-2,+oo),/(x)>sinx.

2.(2023?河南?三模)已知函數(shù)〃%)=lnx-%+2,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若此函數(shù)的圖象與直線x=L交于點(diǎn)P,求該曲線在點(diǎn)P處的切線方程;

e

(2)判斷不等式>0的整數(shù)解的個數(shù)；

⑶當(dāng)?<e2時，(1+依e2r—a)/(x)Wxe2r-l,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

類型四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式

典型例題

例題1.(23-24高二下?江蘇蘇州,階段練習(xí))已知〃了)=蕓(e為自然對數(shù)的底數(shù))

⑴求曲線,=〃力在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程;

(2)求證：當(dāng)％>0時，/(%)>—^恒成立；

x+2

(3)已知%>0,如果當(dāng)x>0時，/(同〉丁匚恒成立，求女的最大值.

''ex+l

I—Y

例題2.(2024?黑龍江齊齊哈爾?二模)已知函數(shù)/(x)=alnx+^j,a￡R.

⑴當(dāng)〃=2時，求曲線>=/(同在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)當(dāng)工之。時，證明：exln(x+l)+e-x-cosx>0.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高三下?全國?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(x-a—l)ei—x+alnx(a>0).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若/(元)在(L+8)上有極值點(diǎn)％,求證：/(x0)<-2.

2.(2024?四川廣安二模)已知函數(shù)〃x)=e「依-1.

⑴若“X)存在極值，求”的取值范圍；

(2)若aWl,xe(0,+oo),證明：/(x)>x-sinx.

第10講：拓展三：通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題

目錄

1、函數(shù)極值的第二判定定理：..............................1

類型一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.........................1

類型二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性.......................3

類型三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍........................18

類型四：利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式............................5

1,函數(shù)極值的第二判定定理：

若/(X)在％=不附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)廣(X),且r(/)=o,r(xo)*o

(1)若<0,則/(x)在點(diǎn)%0處取極大值；

(2)若f\x0)>0,則/(%)在點(diǎn)x0處取極小值

2、二次求導(dǎo)使用背景

(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)r(x),無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)；

(2)對函數(shù)/(X)一次求導(dǎo)得到了'(X)之后，解不等式/'(x)>0和/>'(%)<0難度較大甚至

根本解不出.

(3)一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有俄或Inx

3、解題步驟：

設(shè)g(x)=f\x),再求g'(x),求出g\x)>。和g'(x)<0的解，即得到-函數(shù)g(x)的單調(diào)性，

得到函數(shù)g(x)的最值，即可得到/"(x)的正,負(fù)情況，即可得到函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

高頻考點(diǎn)

類型一：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

典型例題

例題1.(2024?貴州貴陽?一模)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：

e*=1+*+上+上+…+工+…其中”!=1X2X3X4X…x”,e為自然對數(shù)的底數(shù)，

2!3!n\

e=2.71828…….以上公式稱為泰勒公式.設(shè)/(司=甘二,g(x)=二二，根據(jù)以上信息,

并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決如下問題.

(1)證明:ex>1+x；

(2)設(shè)xe(O,+?),證明：*!<g(x)；

⑶設(shè)*x)=g(x)-d1+；；若x=0是尸⑴的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

⑵證明見解析

⑶(川

【分析】(1)首先設(shè)/<x)=e，-x-1,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值

問題；

(2)首先由泰勒公式，由e*和0，再求得和g(x)的解析式，即可證明；

(3)分aVl和兩種情況討論，求出產(chǎn)(力在x=0附近的單調(diào)區(qū)間，即可求解.

【詳解】(1)設(shè)Mx)=e=x-1,則〃(x)=e，-L

當(dāng)尤>0時，//(x)>0：當(dāng)x<0時，/Z(x)<0,

所以h(x)在(―,0)上單調(diào)遞減，在(0,+“)上單調(diào)遞增.

因此，/z(x)>/i(0)=0,即e*21+x.

(2)由泰勒公式知e'=l+x+《+立+^+曰+..?+日+…，①

2!3!4!5!n\

丫2345n

2!3!4!5!n\

由①②得

35

0%_「一尤vvV2H-1

/'(無)=-----------=x+——+——+??-+---------------

v'23!5!(2?-1)!

A-x24

z、e+eXx尤”'-2

g(x)=---------=1+—+——+…+T-----+

'，22!4!(2〃-2)!

所以

?fx4”一2

—―=1H--------1-----------1?…+7---------------------------

x3!5!(2n-l)!

22-2

.x尤4x"(\

<1+5+疝+…++…=g()

即g<g(x).

(3)F(x)=g(x)-a1+=_a1+yJ'則

pX_p-XpX-p~XpX_Lp-X

尸(x)=——-----ax,設(shè)G(x)=——-----ax,G，(x)=——-----a.

由基本不等式知，=1,當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時等號成立.

22

所以當(dāng)aWl時，G'(x)21-。20,所以尸'(x)在R上單調(diào)遞增.

又因?yàn)镻(x)是奇函數(shù)，且9(0)=0,

所以當(dāng)x>0時，F(xiàn)(x)>0；當(dāng)x<0時，F(xiàn)(x)<0.

所以*x)在(-8,0)卜.單調(diào)遞減，在(0,+")匕單調(diào)遞增.

因此，x=0是網(wǎng)力的極小值點(diǎn).

下面證明：當(dāng)a>l時，x=0不是尸(無)的極小值點(diǎn).

Ina,-Inai/i\i/i、

當(dāng)a>]時，G，(ln4)=----------a=—IaH—I—a=—I—oI<0,

又因?yàn)镚'(x)是R上的偶函數(shù)，且G'(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)尤e(—Ina,Ina)時，G(x)<0.

因此，尸(x)在(-Ina,Ina)上單調(diào)遞減.

又因?yàn)镕(x)是奇函數(shù)，且F(0)=0,

所以當(dāng)一lna<x<0時，F(xiàn)f(x)>0；當(dāng)0<x<lna時，

所以尸(x)在(Tna,0)上單調(diào)遞增,在(O,lna)上單調(diào)遞減.

因此，x=0是尸(力的極大值點(diǎn)，不是網(wǎng)力的極小值點(diǎn).

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(f』.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問是本題的難點(diǎn)，關(guān)鍵是分。VI和。>1兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判

斷x=0附近的單調(diào)性.

例題2.(23-24高二下?云南玉溪?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=ar-lnx-l,aeR.

(1)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=l時，設(shè)g(尤)=e"(x)+e*+7nr(〃zeR),若g(x)20恒成立,求加的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析；

(2)[-e,+a)).

【分析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得尸(x),然后分aWO與。>0討論，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，分離參數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)一"),求導(dǎo)可得研x),轉(zhuǎn)化為最值

問題，即可得到結(jié)果.

【詳解】⑴〃尤)定義域?yàn)?0,+8),r(x)=a-^=竺?，

①當(dāng)時，/'(同40恒成立，〃尤)在(0,+e)上單調(diào)遞減

②當(dāng)。>0時，

X

a小

/'(尤)

-0+

單調(diào)遞減單調(diào)遞增

綜上所述，當(dāng)aWO時，/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間為(。,+"),

當(dāng)。>0時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為/⑴的單調(diào)遞減區(qū)間為

(2)g(x)=eX(x-lnx-l)+e，+如=已，(%—111%)+如20恒成立，

所以加2」-----^怛成立，設(shè)------L,

XX

皿ex|lwc-x+--l\x-ex(\nx-x}(八

則H(Q_IxJI'_ex?T)(—),

、11—y

設(shè)O=lnx—x—l,貝"/(%)=——1=----,

當(dāng)Ovxvl時，/(九)>0/(九)遞增，當(dāng)x>l時，(X)〈0/(%)遞減，

所以*光)max=，(1)=一2<。，所以當(dāng)x>。時，Inx-x—l<0恒成立，

當(dāng)Ovxvl時，〃(x)>O,/z(x)遞增，當(dāng)%>1時，”(x)<0,力(元)遞減,

所以以肛皿=/i(l)=-e,

由機(jī)2-(爪7)恒成立得mN一

X

所以加的取值范圍為［-Q+8).

練透核心考點(diǎn)

1.(2024?四川遂寧?二模)已知函數(shù)〃x)=e*-ox—2.

⑴若〃尤)在區(qū)間(0,1)存在極值，求。的取值范圍；

⑵若尤e(0,+oo),/(x)>x-sinx-cosx,求。的取值范圍.

【答案】⑴(l，e)

(2)(-?),1]

【分析】(1)對。分類討論研究單調(diào)性后，結(jié)合極值的定義計(jì)算即可得；

(2)設(shè)g(x)=e*+cosx+sinx-(a+l)x-2,原問題即為g(x)>0在xe(0,+oo)時恒成立，

多次求導(dǎo)后，對。VI時及。>1時分類討論，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理與函數(shù)的單調(diào)性即可得

解.

【詳解】(1)由/(x)=e，—辦—2,得尸(x)=e-,

當(dāng)“40時,尸(力>0,則/(x)單調(diào)遞增,f(x)不存在極值,

當(dāng)a>0時，令((x)=0,則x=lna,

若x<lna,則廣(x)<0,“X)單調(diào)遞減；

若x>lno,則尸(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以x=lna是〃尤)的極小值點(diǎn)，

因?yàn)?(X)在區(qū)間(0,1)存在極值，則0<lna<l,即l<a<e,

所以，"力在區(qū)間(0」)存在極值時，。的取值范圍是(Le)；

(2)由了(%)>龍一$111%—(：0$尤在了€(0,+8)時恒成立，

即e*+cosx+sinx-(a+l)尤一2>0在元e(0,+8)時恒成立，

設(shè)g(x)=e，+cosx+sinx-(a+l)x-2,貝!Jg(x)>0在xe(0,+8)時恒成立，

貝！]g'M-^-sinx+cosx-(a+l),

令〃?(x)=(x)=eA-sinx+cosx-(fl+1),貝!J〃/(x)=e*-cosx-sinx,

令〃(x)=〃z'(x)=eX-cosx-sin%,貝!|n'(x)=er+sinx-cosx,

xe(0,l)時，e*+sinx>l,貝卜/(x)=e"+sinx-cosx>0,xe[l,+8)時,12e,貝I〃'(x)>0,

所以尤e(0,+8)時，//(x)>0,則〃(x)即加(x)單調(diào)遞增,

所以加(x)>加(0)=0,則即g'(x)單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'(O)=l-。,

①當(dāng)aWl時，g,(0)=l-fl>0,故尤e(O,+e),g[x)>0,則g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)>g⑼=0,

所以〃x)>x-sinx-cosx在xe(0,+oo)時恒成立，

②當(dāng)a>l時，g,(0)=l-?<0,

g,[ln(a+3)]=a+3-sin[in(a+3)]+cos[in(a+3)]-(a+1)

=2-V2sinIn(a+3)-?>0,

故在區(qū)間(0,ln(a+3))上函數(shù)/(x)存在零點(diǎn)看,即5(x°)=0,

由于函數(shù)g'(x)在(O,+e)上單調(diào)遞增，則x?0,%)時,g'(x)<g'仇)=0,

故函數(shù)g(無)在區(qū)間(0,尤。)上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)xe(O,x0)時，函數(shù)g(x)<g(O)=O,不合題意,

綜上所述，的取值范圍為(為』.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于多次求導(dǎo)后，得到g'(x)>g'(O)=l-。，從而通

過對。V1及。>1進(jìn)行分類討論.

2.(2024,四川廣安?二模)已知函數(shù)〃力=3—以-1.

⑴若〃尤)存在極值，求。的取值范圍；

(2)若aVl,xe(0,-Hx>),證明：/(x)>x-sinx.

【答案】⑴(0,+功

⑵證明見解析

【分析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分aWO、a>0兩種情況討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，

從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)，即可得解；

(2)依題意即證明e*+sinx—(a+l)x—l>。在尤?0,收)時恒成立，設(shè)

g(x)=e'+siar-(a+l)x-l,xe(0,4w),利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證.

【詳解】(1)由/(％)=6"-辦-1,x&R,得/'(x)=e*—a,

當(dāng)aWO時，f\x)>0,則/(尤)單調(diào)遞增，/(X)不存在極值；

當(dāng)a>0時、令/'(x)=0,貝!]x=Ina,

當(dāng)x<lna,則/'(力<0,即/(x)在(一8,Ina)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>lna,則用x)>0,即在(Ina,+“)上單調(diào)遞增.

所以x=Ina是"力的極小值點(diǎn)，

所以當(dāng)a>0時，“X)存在極值，

綜上所述，/(無)存在極值時，。的取值范圍是(0,+").

(2)欲證不等式〃x)>x-sinx在xe(O,"Hx>)時恒成立，

只需證明e'+sinx—(a+l)x—1>0在xe(0,+oo)時恒成立.

設(shè)g(x)=e*+sinx-(a+l)x-l,xe(0,+oo),

貝！Jg'(x)=e，+cosx—(a+1),

令77i(x)=g'(x)=e*+cos^-(a+l),xe(0,+oo),

則加(x)=ex—sinx.

當(dāng)尤w(0,+oo)時e工>1,-l<-sinx<l,所以加(x)>0,

所以m(x)即g，(x)在(0,+動上單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'(O)=l-。，

因?yàn)閍<l,所以g'(0)=l-a20,

故xe(0,+co),g，(x)>0,所以g(x)在(0,+功上單調(diào)遞增,

所以g(x)>g(O)=O，

即當(dāng)xe(0,+oo)時，不等式/(x)>x-sinx恒成立.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單

調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、

不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.

類型二：利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性

典型例題

例題1.(2024?江西九江?二模)已知函數(shù)/(x)=(2x—a)ln(x—l)+b(a,Z?wR)在x=2處的切

線方程為3x_y_2=0

(1)求a,b的值；

⑵判斷的單調(diào)性.

【答案】⑴」=1,b=4

(2)/(尤)在(1,+s)上單調(diào)遞增

【分析】(1)借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；

(2)借助導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的最值后即可得原函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】(1)r(%)=21n(x-l)+—由題意可得尸⑵=3,/⑵=3x2—2=4,

X—1

貝I］尸⑵=21n(2_l)+(2x2_a).」-=0+4_q=3,可得a=l,

2—1

/(2)=(2x2-?)ln(2-l)+/?=&=4,

即Q=1,Z?=4；

7r-I

(2)/(x)=(2x—l)ln(x-l)+4,/r(x)=21n(x-l)H-----(x>l),

令g(犬)=/'(%)=21n(x-l)+——-(x>1),

x—1

22(x-1)-(2x-1)2x—3

則g'(x)=----1------------=-----

x—1

當(dāng)尤l)時,gf(x)<0,當(dāng)xe,,+co)時,g，(x)>0,

故g(x)在［1,1］上單調(diào)遞減，在弓，+j上單調(diào)遞增，

3

即g⑴=廣⑴2d2m+^

=4-21n2>0

2-

故了(無)在(1,+8)上單調(diào)遞增.

例題2.(23-24高二下?廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx-ox+a,g(x)=xex-2x.

(1)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵己知a=l,當(dāng)xe(O,y),試比較〃x)與g(x)的大小，并給予證明.

【答案】⑴答案見解析

(2)/(x)<g(x),證明見解析

【分析】

(1)先求出〃力的導(dǎo)函數(shù)，再對。分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；

(2)構(gòu)造函數(shù)尸(x)=g(x)—/(x),求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再令力(x)=xe-l,利用導(dǎo)數(shù)分析版回

的單調(diào)性，從而得到函數(shù)尸(方的最值，從而得證.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=ln尤-6+。，定義域?yàn)?0,+8),

所以尸(%)=4—a=(尤>0)，

XX

當(dāng)。40時，r(x)>0,所以“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),沒有單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>0時，令/(無)>0,得0<%<工；令/(無)<0,解得了>工，

aa

所以〃無)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,J，單調(diào)遞減區(qū)間為1,+8；

綜上，當(dāng)aWO時，/(無)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),沒有單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>0時，〃尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,單調(diào)遞減區(qū)間為+8；

(2)f(x)<g(x),證明如下:

當(dāng)1=1時，f(x)=]nx-x+l,又g(x)=xe"—2九，

令F(x)=g(x)-f(x)=xex-lnx-x-l(x>0),

貝Uk(無)=尤+e*—,一1=四(無e*-1),

XXv7

令人(x)=xe、—1,則“(%)=(%+1)爐>0,又力(0)<0,力⑴>0,

所以函數(shù)以工)在(。,+")上單調(diào)遞增，且存在唯一零點(diǎn)?！?0」)，使得%(。)=0,

且光?0,c)時，h{x)<0；]￡(c,+oo)時，h{x}>0,

即X￡(o,c)時，F(xiàn)r(x)<0；無￡(0,+00)時，F(xiàn)'(X)>0,

所以函數(shù)/(%)在(o,c)上單調(diào)遞減，在(c,y)上單調(diào)遞增，

則方(無)之尸(。)=次'-111。一。一1,而/z(c)=ceC—1=0,即ce0=l,

兩邊取對數(shù)得lnc+c=0,

所以F(x)>F(c)=0,故f(x)<g(x)在(0,+e)上恒成立.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高二下?重慶銅梁?階段練習(xí))拐點(diǎn)，又稱反曲點(diǎn)，指改變曲線向上或向下的點(diǎn)(即

曲線的凹凸分界點(diǎn)).設(shè)尸(x)是函數(shù)'=/(尤)的導(dǎo)函數(shù)，尸'(尤)是函數(shù)/⑴的導(dǎo)函數(shù)，若

方程廣(無)=0有實(shí)數(shù)解x=x°,并且在點(diǎn)(廝,/(%))左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號相反，則稱

(%，/(%))為函數(shù)V=/(尤)的"拐點(diǎn)

⑴經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)/。)=辦3+6/+cx+d(a*0)都有"拐點(diǎn)"，且該"拐點(diǎn)”也是函

數(shù)y=/(x)的圖象的對稱中心.已知函數(shù)/(X)=尤3+加_9x+。的圖象的對稱中心為(-1,10),

討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性并求極值.

1Q,

(2)已知函數(shù)g(%)=2m/+[61口(如)一15]兀之+—x——-+1,其中機(jī)>0.求g(x)的拐點(diǎn).

mm

【答案】⑴〃尤)在(―,-3),(1,口)上單調(diào)遞增，在(-3,1)上單調(diào)遞減，極大值為26,極小

值為-6；

【分析】

(1)根據(jù)題意，由條件結(jié)合二階導(dǎo)數(shù)的定義可得/龕)=丁+3--緘-1,然后求導(dǎo)即可得

到單調(diào)區(qū)間以及極值；

(2)根據(jù)題意，求函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)可得g"(x)=12皿+121n(皿)-12,然后構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為零

點(diǎn)問題，即可求解.

【詳解】(1)

尸(x)=3尤2+26無一9,f"(x)=6x+2b,

由題意得T'(T)=0,即-6+2b=0,解得6=3,

且/(—1)=10,即(一1)3+3乂(-1)2+9+°=10,解得a=T,

故/。)=丁+3/-9x-l,

所以尸(x)=3/+6x-9,

令/'(x)>0得尤>1或％<—3,令/'(尤)<0得一3<x<l,

故/(無)在(-8,-3),(1,+“)上單調(diào)遞增，在(-3,1)上單調(diào)遞減，

故〃尤)在x=-3處取得極大值，在x=1處取得極小值，

故極大值為〃-3)=-27+27+27—1=26,極小值為〃1)=1+3-9-1=-6；

(2)

g(x)=2iwc3+[61n(mx)—151J:2+-x--^-+1,

mm

由于m>0,mx>0,故x>0,即g(x)的定義域?yàn)?0,+a),

18

g'(x)=6mx2+6x+2[61n(mx)-15]XH,

m

gXx)=12mx+6+12+2[61n(mx)-15]=12mx+121n(mx)—12,

令g"(%)=°得，mr-l+ln(mx)=0,

令力(x)=x+lnx—l,x>0,

貝(x)=1+g>0在(0,+8)上恒成立，

故M%)=x+lnx-l在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又可1)=0,由零點(diǎn)存在性定理知，/i(x)=x+lnx—1有唯一的零點(diǎn)元=1,

故儂:=1,即％=工時，滿足g-l+ln(mx)=0,

m

當(dāng)了=!時，g215185…

正一府+版一版+1=1'

mm

故g(x)的拐點(diǎn)為

2.(23-24高二下?寧夏?階段練習(xí))己知函數(shù)〃x)=(x—1)/—62.

(1)當(dāng)時，求證：/(%)>-2x2-l；

⑵當(dāng)a=-l時，函數(shù)g(x)=〃x)-xe,+x在(0,+e)上的最大值為"z,求不超過機(jī)的最大整

數(shù).

【答案】⑴證明見解析；

(2)-1.

【分析】(1)令網(wǎng)幻=〃幻+2犬2+1,利用導(dǎo)數(shù)證明1n20即可;

(2)利用導(dǎo)數(shù)求g(無)的最大值，得不超過〃，的最大整數(shù).

【詳解】(1)4(-^)=/(%)+2x2+1=(x-1)er-ox2+2x2+1,

則/'(x)=x(e*-2a+4),

當(dāng)aWO時,xe(Yo,0)時，F(xiàn)(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減,

%w(0,+oo)時，F(xiàn)f(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增，

則網(wǎng)x)1Al=產(chǎn)(0)=0,

所以尸(x)NO,gp/(x)>-2/-l.

(2)當(dāng)a=T時，g(x)=f(%)—%el+x=-ex+x2+x,

g,(x)=-eT+2x+l,

令/z(x)=-e'+2x+l,貝=-e*+2,

當(dāng)xe(O,ln2)時，h'(x)>0,則函數(shù)g'(x)單調(diào)遞增，

xe(ln2,w)時，〃(x)<0,則函數(shù)g'(x)單調(diào)遞減，

又g'(0)=0,g,(l)=3-e>0,g'[￡|=4-￡=廂-府<0,

所以存在唯一的％41,0,使/(為)=0,即e』=2x°+l,

所以當(dāng)飛?0,%)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

時，g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

gOOxg"。)，

=

加=g(%o)=—e*。+XQ+XQ——(2%o+1)+%Q+XQ=XQ_x?！?(—-l-i

，所以加￡(-1，一；

又/

所以不超過機(jī)的最大整數(shù)為-1.

類型三：利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍

典型例題

例題1.(23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí))己知了(*=17M(e為自然對數(shù)的底數(shù))

(1)求曲線y=在點(diǎn)(0,”0))處的切線方程；

(2)求證：當(dāng)尤>0時，恒成立；

x+2

kx

(3)已知%>0,如果當(dāng)1>0時，/(力>??；恒成立，求上的最大值.

Je+1

【答案】⑴y=gx

⑵證明見解析

(3)1

【分析】(1)求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)將不等式轉(zhuǎn)化為e*>x+l恒成立，構(gòu)造函數(shù)g(x)=e-x-1,x>0,然后求其最小值

即可；

(3)將不等式轉(zhuǎn)化為e，-1-丘>0恒成立，構(gòu)造函數(shù)//(x)=e*-1-辰，然后求導(dǎo)研究其最

值即可.

e"e'+l)_e"e'-l)ex

【詳解】(1)由已知尸(x)='J]——-=7——2口，

(51)"

則八。)=高4,/(。)=急肛

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,〃0))處的切線方程為y=

(2)——->1———?>ex>x+1,

v7x+2ex+lx+2ex+lx+2

設(shè)g(x)=eX—x—l,x>0,

則/⑺=1>0,所以g(x)在(0,+」)上單調(diào)遞增,

所以g(%)>g⑼=0,即e"-x-1>0,

所以當(dāng)X>。時，”力啖恒成立;

(3)當(dāng)％>0,左>0時，f(x\>-^—<=>-——-><^>ex-1>kx<^ex-l-kx>0,

v7ex+le%+le%+l

令/?(%)=/一1一區(qū)，x>0,貝ij//(%)=e"—左，

令v(x)=ex-左，則/⑺=e”>0,所以〃(%)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

令”(x)>0,得光>ln左，令〃'(x)vO,得xvlnk,

當(dāng)In/40,即0v左<1時，力⑺在(0,+功上單調(diào)遞增，

所以/i(x)>M°)=°，即e-l—京〉0恒成立，

當(dāng)In左>0,即左>1時，力(4)在(OJn左)上單調(diào)遞減，在(in匕y)上單調(diào)遞增，

所以/1(足左)<刈。)=0,不符合1-京〉0恒成立，

所以?！醋?lt;1,

kx

所以當(dāng)x>0時，/(x)〉E恒成立，上的最大值為1.

7e+1

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明e-l-近>0在(0,+“)上恒成立，

然后再設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到范圍.

例題2.(23-24高三下?江西?階段練習(xí))記函數(shù)y="x)(xe。)在。上的導(dǎo)函數(shù)為y=/'(x),

若尸'(x)>0(其中尸(x)=J(x)]')恒成立，則稱y=/(x)在。上具有性質(zhì)

(1)判斷函數(shù)y=log“x(a>0且"1)在區(qū)間(0,+句上是否具有性質(zhì)"?并說明理由；

(2)設(shè)。力均為實(shí)常數(shù)，若奇函數(shù)8(尤)=2/+62+三在了之處取得極值，是否存在實(shí)數(shù)c,

使得y=g(x)在區(qū)間匕y)上具有性質(zhì)〃？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說

明理由；

⑶設(shè)左eZ且左>0,對于任意的工€(0,內(nèi))，不等式""(x+l)>上成立,求人的最大值.

XX+1

【答案】⑴不具有，理由見解析

⑵存在，(0,+8)

(3)3

【分析】(1)根據(jù)題意，求得r(x)=：J〃(x)=。一,結(jié)合新定義，即可求解；

x\naxma

(2)根據(jù)題意，求得g(x)=2/+g,得至Ijg，(x)=6/-A，進(jìn)而得至IJg"(x)=12x+4,進(jìn)

XXX

而新定義，即可求解；

(3)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為&<(x+l)[l+ln(x+l)],々b(x)=(x+l)[l+ln(x+l”,求得

XX

尸⑺=i(；+l)[令G(x)=x-ln(x+l)-l,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)G(x)的單調(diào)性，結(jié)合

G(2)<0,G(3)>0,得到存在毛e(2,3),使G(x0)=O,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得尸⑴的最

小值為尸伉)，由G(x0)=O,得到求得—x0)e(3,4),即可求解.

【詳解】⑴解：^y=/(x)=logax,xe(0,-H?),貝"⑺二-^!—J"(尤,

尤In。xln〃

-i_i

當(dāng)Ova<l時，f，r(x)=~i——>0；當(dāng)a>l時，f，f(x)=~i——<0,

xinaxIna

所以當(dāng)0<。<1時，函數(shù)y=log?x在區(qū)間(0,+8)上具有性質(zhì)"；

當(dāng)時，函數(shù)y=log”尤在區(qū)間(0,+8)上不具有性質(zhì)V.

/?h

(2)解：因?yàn)榍?%)=2%3+依2+_,所以,(%)=6冗2+2以一--,

%x

因?yàn)間(x)在尤=1處取得極值，且g(x)為奇函數(shù)，

所以g(x)在x=-1處也取得極值，則：，：)=6-2a-b=0,解得"°，6=6，

所以g(無)=2/+9,可得短(尤)=6/一_與,

XX

當(dāng)x>0時，令夕(力>0,解得x>l；令g[x)<0,解得0<x<l,

故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，滿足g(無)在x=l處取得極值，

19

所以g"(x)=12x+12尸=⑵+三，

1?

當(dāng)x?0,y)時，g"(x)=12尤+了>0恒成立，

所以，存在實(shí)數(shù)C,使得y=g(x)在區(qū)間[。,+⑹上具有性質(zhì)加，且C的取值范圍是(0,+8).

(3)解：因?yàn)閤e(O,y),所以1+E(x+1)>上,即左<310*131,

Xx+1X

令ax)=(x+l)[l+ln(x+l)],則/x)「一叱+1)-1,

X兀

1Y

令G(九)=%—ln(x+l)—l,貝!JG'(x)=l-----=----,

當(dāng)x?0,y)時，G(x)>0,G(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)镚(2)=l—ln3<0,G(3)=2—ln4>0,

所以存在毛￡(2,3),使G(%o)=毛-ln(Xo+l)-l=O,

因?yàn)楫?dāng)xe(O,x0)時，G(x)<0尸(x)<0,F(x)在區(qū)間(O,x0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)尤e(與,+oo)時，G(x)>0尸(x)>0,尸(x)在區(qū)間優(yōu),+oo)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xe(0,y)時，F(xiàn)(x)的最小值為F(x0)=伍+l)[l+g+l)],

由G(x())=尤o—In(龍o+l)—1=0,有始(為+1)=無0_1,

所以小。)=見史31-

玉)

因?yàn)閄。42,3),所以尸(與)?3,4),

又因?yàn)樽?lt;G+1)口+1/+1)]

=F(x)恒成立，所以左</(不)，

因?yàn)閗eZ且左>0,所以人的最大值為3.

【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分

離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就

要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

練透核心考點(diǎn)

1.(23-24高三下?山東濰坊?階段練習(xí))已知函數(shù)/⑺=ae'-；/-x.

⑴若/")在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵當(dāng)4=1時，證明：VXG(-2,+00),/(x)>sin%.

【答案】⑴[1,+?0

(2)證明見解析

【分析】

(1)求得尸(x)=ae;x-1,轉(zhuǎn)化為尸(x)2。在R上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為“二?在R上恒

成立，令刈月=可，得出函數(shù)外月的單調(diào)性和最大值，即可求解.

(2)當(dāng)。=1時，得到〃司=6。]27且/(0)=1,當(dāng)x>0時，只需使得利用導(dǎo)

數(shù)求得了⑺單調(diào)遞增，得到/(x)>/(0)；當(dāng)x=0時，顯然滿足了(期>1；當(dāng)-2<x<0時,

由sinxvO和/(%)>0,得到f(x)>sinx,即可得證.

【詳解】(1)

x

由函數(shù)/(力=〃?"-；入2一%,可得f^x)=ae-x-lf

因?yàn)閒M在R上單調(diào)遞增，可得之。在R上恒成立,

即海-％-120在R上恒成立，即盛中在R上恒成立，

e

令〃(x)=/,可得磯x)J-(；+l)=￡,

當(dāng)x>0時，〃(x)<0,版龍)在(0,+8)單調(diào)遞減；

當(dāng)無<0時，h'(x)>0,/z(x)在(一8,0)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時，函數(shù)版x)取得極大值，最大值碗)=1,所以。21,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為口,+⑹.

(2)

當(dāng)。=1時，/(x)=e^-1x2-x,可得"0)=1

可得r(x)=e'-尤-1,要使得fa)>sim,只需使得/(x)>l,

當(dāng)x>0時，令g(x)=/'(x)=eX—x—1,可得g，(x)=e=120,

所以g(無)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又由g(0)=0,所以g(x)>g(x)=0,所以f(x)在(0,y)上單調(diào)遞增,

所以/。)>/(0)=1；

當(dāng)x=0時，可得"0)=1且sin0=0,所以〃0)>sin0,滿足/(x)>l：

1191191

當(dāng)一2<x<0時，可得sinx<0,因?yàn)閑*>0且――9-尤=――(%+1?+->――(-2+1)-+-=0,

22''22'72

所以/(尤)>0,所以f(x)>Onx,

綜上可得，對于Vxe(-2,+co),都有f(x)>sinx.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍以及利用導(dǎo)數(shù)證明不

等式，解答的關(guān)鍵是將證明以4-2,+動時，不等式/'(x)>sinx成立，轉(zhuǎn)化為證明

然后分類討論x的取值范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可證明結(jié)論.

2.(2023?河南?三模)已知函數(shù)/(x)=lnx-x+2,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若此函數(shù)的圖象與直線x=L交于點(diǎn)P,求該曲線在點(diǎn)P處的切線方程；

e

(2)判斷不等式/(x)>0的整數(shù)解的個數(shù)；

⑶當(dāng)?<e2時，(1+依e2r—a)/(x)Wxe2r-l,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴1=(eT)x

(2)3

⑶aWl----

e-1

【分析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得直線的斜率，繼而可解；

(2)利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)/(X)的單調(diào)性，確定零點(diǎn)所在區(qū)間即可求解；

(3)變形不等式，參變分離后，利用換元法變形不等式，利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性即可

求解.

【詳解】(1)=所以尸=X/f-Kln---