專題05 三角函數(shù)（5大易錯點分析+解題模板+舉一反三+易錯題通關(guān)）（新高考專用）含答案及解析

專題05三角函數(shù)易錯點一：三角函數(shù)值正負(fù)判斷不清導(dǎo)致錯誤（任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)）1．角的概念（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是．（3）象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．（4）象限角的集合表示方法：2．弧度制（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．3．任意角的三角函數(shù)（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設(shè)點到原點的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T．三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線易錯提醒：（1）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)賦值來求得所需的角．（2）確定的終邊位置的方法先寫出或的范圍，然后根據(jù)的可能取值確定或的終邊所在位置．（3）利用三角函數(shù)的定義，已知角終邊上一點的坐標(biāo)可求的三角函數(shù)值；已知角的三角函數(shù)值，也可以求出角終邊的位置．（4）判斷三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.例如圖，已知兩質(zhì)點A，B同時從點P出發(fā)，繞單位圓逆時針做勻速圓周運動，質(zhì)點A，B運動的角速度分別為3rad/s和5rad/s，設(shè)兩質(zhì)點運動時這兩質(zhì)點間的距離為．

(1)求的解析式；(2)求這兩質(zhì)點從點P出發(fā)后第n次相遇的時間（單位：s）．變式1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點，.(1)求的值；(2)射線繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點，點與關(guān)于軸對稱，求的值.變式2．角α的終邊與單位圓交于點，分別寫出點P關(guān)于x軸、y軸和原點對稱的點的坐標(biāo)，并求角，，，的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值．變式3．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點，是扇形的內(nèi)接矩形，設(shè).

(1)若，求線段的長；(2)已知當(dāng)時，矩形的面積最大.求圓心角的大小，并求此時矩形面積的最大值是多少？1．已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點，則（

）A．2 B． C．或2 D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊過點，且，則（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角以坐標(biāo)原點為頂點，x軸非負(fù)半軸為始邊，且終邊過點，則取最小值時x的可能取值為（

）A． B． C． D．4．已知是第三象限角，則點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．已知角終邊上有一點，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角6．已知角，終邊上有一點，則（

）A．2 B． C． D．7．已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩個點，，且，則（

）A． B． C．或 D．或8．已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B．1 C． D．9．已知角的終邊與單位圓的交點為，則（

）A． B． C． D．10．下列說法正確的是（

）A．若，則與是終邊相同的角B．若角的終邊過點，則C．若扇形的周長為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度D．若，則角的終邊在第一象限或第三象限11．如圖所示，角的終邊與單位圓交于點，將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與圓交于點.

(1)求；(2)若的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，，求.易錯點二：誘導(dǎo)公式認(rèn)識不清導(dǎo)致變形錯誤（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式求值問題）1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；2．三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限題型1．同角三角函數(shù)關(guān)系齊次化（1）利用方程思想，對于，由公式，可以“知一求二”．對于，由下面三個關(guān)系式，可以“知一求二”．（2）的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于的齊次式，或含有及的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉(zhuǎn)化為“切”求解．題型2．利用誘導(dǎo)公式化簡及其計算（1）誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；②化簡：統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了．（2）學(xué)會誘導(dǎo)公式的逆用，如等，再如，能將中的系數(shù)由負(fù)變正，且不改變“正弦”前面的符號．（3）學(xué)會觀察兩角之間的關(guān)系，看看它們的和或差是否為的整數(shù)倍．技巧：1．利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．2．“”方程思想知一求二．易錯提醒：奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可。例．已知．(1)求的值．(2)求的值．變式1．已知均為銳角，且．(1)求的值；(2)求的值．變式2．．已知，且，化簡并求的值.變式3．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點.(1)求的值；(2)若銳角滿足，求的值.1．若，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊過點，且，則（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．6．已知，且，則（

）A． B． C． D．7．若，且，則（

）A． B． C． D．8．已知，，則（

）A． B． C． D．9．已知，則.10．已知是第四象限角，且滿足，則．11．若，且，則．易錯點三：忽視三角函數(shù)圖象變換研究對象選取（三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)）1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點是：．函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無對稱中心對稱軸方程無2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；3．與的圖像與性質(zhì)（1）最小正周期：．（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．（3）最值假設(shè)．①對于，②對于，（4）對稱軸與對稱中心．假設(shè)．①對于，②對于，正、余弦曲線的對稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢茫?、余弦的對稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點的位置．（5）單調(diào)性．假設(shè)．①對于，②對于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：．先相位變換，后周期變換．方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．結(jié)論：關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為題型1．研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性等）的前提是用公式把已給函數(shù)化成同一個角同一種類型的三角函數(shù)形式（簡稱：同角同函）或，常見方法有：（1）用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式或誘導(dǎo)公式將已給函數(shù)化成同函；（2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數(shù)化成同角；（3）用兩角和、差公式或輔助角公式將已給函數(shù)化成同函．題型2．研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性等）時，一般是把已給函數(shù)化成同同角同函型，但未必所有三角函數(shù)都能化成上述或的形式，有時會化簡為二次函數(shù)型：或，這時需要借助二次函數(shù)知識求解，但要注意的取值范圍．若將已給函數(shù)化簡為更高次的函數(shù)，如，則換元后可通過導(dǎo)數(shù)求解．如：解析式中同時含有和，令，由關(guān)系式得到關(guān)于的函數(shù)表達式．題型3．求三角函數(shù)的值域（最值），通常利用正余弦函數(shù)的有界性，一般通過三角變換化為下列基本類型：（1），令，則；（2），引入輔助角，化為；（3），令，則；（4），令，則，所以；（5），根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．易錯提醒：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少.例．定義在上的函數(shù)滿足在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點和一個極值點，則下列說法不正確的是（

）A．的最小正周期為B．將的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于原點對稱C．圖象的一個對稱中心為D．在區(qū)間上單調(diào)遞增變式1．已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若時，方程有實根，則實數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．變式2．已知函數(shù)的初相為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為C．若把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則為偶函數(shù)D．若函數(shù)在區(qū)間上的值域為變式3．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象的對稱軸方程為D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到1．為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度2．要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度3．函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．若函數(shù)在區(qū)間上沒有最小值，則實數(shù)的取值范圍是D．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是4．已知函數(shù)的最小正周期是，把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，下列正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在上有3個零點5．已知函數(shù)，且對，都有，且把圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再把圖象右移，得到函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．在上有兩個零點6．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將得到的曲線上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模ǎ?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在上有且僅有兩個不同實數(shù)滿足，則的取值可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．87．已知函數(shù)，，其中，則（

）A．與的圖像關(guān)于直線對稱B．與的圖像關(guān)于點對稱C．當(dāng)與在區(qū)間上單調(diào)性相反時，的最大值為1D．當(dāng)與在區(qū)間上單調(diào)性相同時，的最大值為8．已知函數(shù)，以下說法中，正確的是（

）A．函數(shù)關(guān)于點對稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時，的取值范圍為D．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，所得圖像的解析式為9．已知，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為B．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關(guān)于軸對稱C．若在區(qū)間上的最大值是，則的最小值為D．若，則10．已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．若，則是的整數(shù)倍B．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模傧蜃笃揭茊挝坏玫紺．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞增11．已知是的導(dǎo)函數(shù)（

）A．是由圖象上的點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移得到的B．是由圖象上的點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移得到的C．的對稱中心坐標(biāo)是D．是的一條切線方程.易錯點四：求φ時忽略升降零點的區(qū)別（函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及其應(yīng)用）函數(shù)的物理意義簡諧運動的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式，其中．在物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數(shù)有關(guān)：就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；這個簡諧運動的周期是，這是做簡諧運動的物體往復(fù)運動一次所需要的時間；這個簡諧運動的頻率由公式給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)；稱為相位；時的相位稱為初相．題型1．已知的部分圖象求的方法：（1）利用極值點的縱坐標(biāo)求；（2）把某點的坐標(biāo)代入求．題型2．已知的部分圖象求的方法：由，即可求出．常用結(jié)論：（1）相鄰兩個極大（?。┲迭c之間的距離為；（2）相鄰兩個零點之間的距離為（3）極值點到相鄰的零點，自變量取值區(qū)間長度為．題型3．已知的部分圖象求的方法：求的值時最好選用最值點求．峰點：；谷點：．也可用零點求，但要區(qū)分該零點是升零點，還是降零點．升零點（圖象上升時與軸的交點）：；降零點（圖象下降時與軸的交點）：（以上）．易錯提醒：求的值時若用零點求時一定要明確該零點是升零點，還是降零點.例．已知函數(shù)滿足．(1)求函數(shù)的解析式及最小正周期；(2)函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，若，求的最小值．變式1．已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值，并寫出的對稱軸方程；(2)在中角的對邊分別是滿足，求函數(shù)的取值范圍．變式2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求的值.變式3．如圖為函數(shù)的部分圖象，且，．(1)求，的值；(2)將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，討論函數(shù)在區(qū)間的零點個數(shù)．1．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間上恰有兩個零點，且在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)在的值域為D．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位3．函數(shù)的部分圖像如圖所示，在上的極小值和極大值分別為..，，下列說法正確的是（

）

A．的最小正周期為B．C．的圖像關(guān)于點對稱D．在上單調(diào)遞減4．已知函數(shù)，把的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（

）A．是奇函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對稱C．在上單調(diào)遞增D．不等式的解集為5．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．當(dāng)時，的值域是C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在上單調(diào)遞增6．已知函數(shù)向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，若是偶函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．點是圖像的一個對稱中心C．在的值域為D．函數(shù)在上單調(diào)遞增7．已知函數(shù)的最小正周期為，則（

）A．B．的圖象在區(qū)間上存在對稱軸C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．將的圖象向左平移個單位長度可得到的圖象8．已知函數(shù)在軸上的截距為，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，無極值點，則的取值范圍是．9．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個對稱中心，給出下列四個結(jié)論：①的值可能是3；

②的最小正周期可能是；③在區(qū)間上單調(diào)遞減；

④圖象的對稱軸可能是.其中所有正確結(jié)論的序號是.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間．11．已知函數(shù)（且）的兩個相鄰的對稱中心的距離為．(1)求在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)，若，，求的值．12．已知函數(shù)的最小值周期為.(1)求的值與的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若且，求的值.易錯點五：遺忘非特殊角其實也是一種特殊角（三角恒等變換）1．兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；2．二倍角公式①；②；③；3．降次（冪）公式4．半角公式5．輔助角公式（其中）．結(jié)論：1．兩角和與差正切公式變形；．2．降冪公式與升冪公式；．3．其他常用變式．3．拆分角問題：①；；②；③；④；⑤．注意特殊的角也看成已知角，如．易錯提醒：1．給角求值給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察會發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，從而得解．2．給值求值：已知三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路：（1）先化簡所求式子．（2）觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系（從三角函數(shù)名及角入手）．（3）將已知條件代入所求式子，化簡求值．3．給值求角通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，有以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)．（2）已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范圍是，則選余弦較好；若角的范圍為，則選正弦較好．4．與三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合的綜合問題（1）利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成或的形式．（2）利用公式求周期．（3）根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據(jù)所給關(guān)系式的特點，也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值．（4）根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)或的單調(diào)區(qū)間．例．下列各式計算正確的有（

）A． B．C． D．變式1．已知，下列說法正確的是（

）A．B．C．D．變式2．下列各式的值是方程的根的為（

）．A． B．C． D．變式3．下列選項中，與的值相等的是（

）A． B．C． D．1．已知，則（

）A．，使得B．若，則C．若，則D．若，，則的最大值為2．已知，且，，，則（

）A．的取值范圍為 B．存在，，使得C．當(dāng)時， D．t的取值范圍為3．下列化簡正確的是（

）A．B．C．D．4．下列化簡正確的是（

）A．B．C．D．5．下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．6．已知，，，下列選項正確的有（

）A． B．C． D．7．下列化簡結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．8．下列等式成立的有（

）A． B．C． D．9．下列計算或化簡結(jié)果正確的是（

）A．＝2 B．若，則C．若，則＝1 D．10．下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．11．下列化簡正確的是（

）A．B．C．D．

專題05三角函數(shù)易錯點一：三角函數(shù)值正負(fù)判斷不清導(dǎo)致錯誤（任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)）1．角的概念（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角．（2）所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是．（3）象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．（4）象限角的集合表示方法：2．弧度制（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0．（2）角度制和弧度制的互化：，，．（3）扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：．3．任意角的三角函數(shù)（1）定義：任意角的終邊與單位圓交于點時，則，，．（2）推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點P是角終邊上異于頂點的任一點，設(shè)點到原點的距離為，則，，三角函數(shù)的性質(zhì)如下表：三角函數(shù)定義域第一象限符號第二象限符號第三象限符號第四象限符號＋＋－－＋－－＋＋－＋－記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A（1，0）作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T．三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線易錯提醒：（1）利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)賦值來求得所需的角．（2）確定的終邊位置的方法先寫出或的范圍，然后根據(jù)的可能取值確定或的終邊所在位置．（3）利用三角函數(shù)的定義，已知角終邊上一點的坐標(biāo)可求的三角函數(shù)值；已知角的三角函數(shù)值，也可以求出角終邊的位置．（4）判斷三角函數(shù)值的符號，關(guān)鍵是確定角的終邊所在的象限，然后結(jié)合三角函數(shù)值在各象限的符號確定所求三角函數(shù)值的符號，特別要注意不要忽略角的終邊在坐標(biāo)軸上的情況.例如圖，已知兩質(zhì)點A，B同時從點P出發(fā)，繞單位圓逆時針做勻速圓周運動，質(zhì)點A，B運動的角速度分別為3rad/s和5rad/s，設(shè)兩質(zhì)點運動時這兩質(zhì)點間的距離為．

(1)求的解析式；(2)求這兩質(zhì)點從點P出發(fā)后第n次相遇的時間（單位：s）．【詳解】（1）由質(zhì)點A，B運動的角速度分別為3rad/s和5rad/s，得時質(zhì)點A，B的坐標(biāo)分別為，，則，所以的解析式為.（2）因為兩質(zhì)點從點P出發(fā)后每相遇一次即對應(yīng)函數(shù)的一個零點，因此為在區(qū)間上第n個零點，由，得，解得，所以兩質(zhì)點從點P出發(fā)后第n次相遇的時間.變式1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點，.(1)求的值；(2)射線繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點，點與關(guān)于軸對稱，求的值.【詳解】（1）解：因為銳角的終邊與單位圓交于點，，所以.（2）設(shè)單位圓與x軸負(fù)半軸交點為Q，則，設(shè)，則，所以，所以.變式2．角α的終邊與單位圓交于點，分別寫出點P關(guān)于x軸、y軸和原點對稱的點的坐標(biāo)，并求角，，，的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值．【詳解】

點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)，點P關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)，點P關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo).易知角的終邊經(jīng)過點，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，；角的終邊經(jīng)過點，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，；角的終邊經(jīng)過點，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，；角的終邊經(jīng)過點，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，.變式3．如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點，是扇形的內(nèi)接矩形，設(shè).

(1)若，求線段的長；(2)已知當(dāng)時，矩形的面積最大.求圓心角的大小，并求此時矩形面積的最大值是多少？【詳解】（1）

，，.（2）由題意知，，，，所以當(dāng)，即時，面積最大，最大值為.1．已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點，則（

）A．2 B． C．或2 D．【答案】D【分析】先確定所在的象限，再根據(jù)三角函數(shù)的定義及二倍角的正切公式求出，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系化弦為切即可得解.【詳解】由題意，得角是第二象限角，則，故，當(dāng)時，，為第一象限角，當(dāng)時，，為第三象限角，所以是第一象限角或第三象限角，則，又因為，所以或（舍去），所以．故選：D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊過點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用終邊經(jīng)過的點求出即可求解.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，且，所以，解得，所以．故選：B3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角以坐標(biāo)原點為頂點，x軸非負(fù)半軸為始邊，且終邊過點，則取最小值時x的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的定義可得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計算即可.【詳解】∵角θ的終邊經(jīng)過點，∴，，∴，，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在取最小值時．，，即，時A正確；對于B，，不符合；對于C，，不符合；對于D，，不符合；故選:A．4．已知是第三象限角，則點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)角所在象限結(jié)合二倍角正弦公式即可判斷答案.【詳解】因為是第三象限角，故，則，故在第二象限，故選：B5．已知角終邊上有一點，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】根據(jù)終邊相同角的定義即可求解.【詳解】已知角終邊上有一點，即點，，為第三象限角.故選：C.6．已知角，終邊上有一點，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)弦切互化，結(jié)合正切和差角公式，即可得，結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】，故，．又，，故在第三象限，故，．故選:C．7．已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩個點，，且，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義式可得，又結(jié)合二倍角的余弦公式及齊次式的原因可得，接方程組即可.【詳解】由已知可得，，又，，，即，聯(lián)立得，解得或，，故選：C.8．已知角的終邊落在直線上，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義以及同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角公式即可解決.【詳解】因為角的終邊落在直線上，所以.則.故選：B9．已知角的終邊與單位圓的交點為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，利用三角函數(shù)定義求出的值，再利用二倍角余弦公式求解即可.【詳解】由題得，所以，所以或，所以.故選：B10．下列說法正確的是（

）A．若，則與是終邊相同的角B．若角的終邊過點，則C．若扇形的周長為3，半徑為1，則其圓心角的大小為1弧度D．若，則角的終邊在第一象限或第三象限【答案】CD【分析】舉反例判斷A；由三角函數(shù)的定義判斷B；由弧長公式判斷C；由與同號判斷D.【詳解】對于A：當(dāng)時，，但終邊不同，故A錯誤；對于B：，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C：由，得，故C正確；對于D：，即與同號，則角的終邊在第一象限或第三象限，故D正確；故選：CD11．如圖所示，角的終邊與單位圓交于點，將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與圓交于點.

(1)求；(2)若的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，，求.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式直接得解；（2）由已知可得，再利用余弦定理可得，進而可得面積.【詳解】（1）由題知，，所以；（2）由題知，，，，且，所以，而，則，故，由正弦定理可知，整理得，解得，故，或.易錯點二：誘導(dǎo)公式認(rèn)識不清導(dǎo)致變形錯誤（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式求值問題）1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：．（2）商數(shù)關(guān)系：；2．三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限題型1．同角三角函數(shù)關(guān)系齊次化（1）利用方程思想，對于，由公式，可以“知一求二”．對于，由下面三個關(guān)系式，可以“知一求二”．（2）的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于的齊次式，或含有及的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“”代換后轉(zhuǎn)化為“切”求解．題型2．利用誘導(dǎo)公式化簡及其計算（1）誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；②化簡：統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了．（2）學(xué)會誘導(dǎo)公式的逆用，如等，再如，能將中的系數(shù)由負(fù)變正，且不改變“正弦”前面的符號．（3）學(xué)會觀察兩角之間的關(guān)系，看看它們的和或差是否為的整數(shù)倍．技巧：1．利用可以實現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實現(xiàn)角的弦切互化．2．“”方程思想知一求二．易錯提醒：奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可。例．已知．(1)求的值．(2)求的值．【詳解】（1）；（2）.變式1．已知均為銳角，且．(1)求的值；(2)求的值．【詳解】（1），，又，，，.（2）為銳角，，．．變式2．已知，且，化簡并求的值.【詳解】解：因為，且，則，所以，，故.變式3．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點.(1)求的值；(2)若銳角滿足，求的值.【詳解】（1）由題設(shè)知：，則，又，；（2）由（1）知：，且，又為銳角，為第四象限角，所以為第四象限角或第一象限角.當(dāng)為第一象限角時，則，當(dāng)為第四象限角時，則.1．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦、余弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為“齊次式”，代入即可求解.【詳解】由，則.故選：A.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所求角通過拆角、變角，利用兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】，所以，，因為，所以，因為，所以，，故選：B．3．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊在x軸的正半軸上，終邊過點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用終邊經(jīng)過的點求出即可求解.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，且，所以，解得，所以．故選：B4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】方法一：根據(jù)平方關(guān)系、二倍角公式化簡已知可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡可得所求；方法二：利用輔助角公式化簡已知可得，再根據(jù)二倍角公式化簡可得所求.【詳解】方法一：，，，即，.方法二，即，，，.故選：D.5．已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩角和差的正弦公式求解即可.【詳解】因為所以，當(dāng)時，，為銳角，不合題意，舍去；當(dāng)時，，滿足題意；所以.故選：C6．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正余弦公式求解即得.【詳解】由，得，而，則，，因此，即有，所以.故選：C7．若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先左右兩邊平方，得出，再應(yīng)用弦化切，最后結(jié)合角的范圍可得求出正切值．【詳解】∵，∴，即，∴，∴，得，∴，∴或，∵，且，∴由三角函數(shù)定義知，∴，故．故選：D.8．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先將兩邊平方，結(jié)合，得出，結(jié)合得出，再計算出，即可求出和，根據(jù)同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，二倍角的余弦公式和正切公式，兩角的余弦公式分別計算即可判斷各選項．【詳解】由得，，則，因為，，所以，所以，由，解得，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，因為，所以，則，，即，解得或（舍去），故C正確；對于D，，故D錯誤，故選：BC．9．已知，則.【答案】【分析】利用弦切互化和兩角和的正切公式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，即，所以.故答案為：.10．已知是第四象限角，且滿足，則．【答案】【分析】根據(jù)得到，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得，進而求得，聯(lián)立方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由是第四象限角，可得，則，因為，可得，可得，又由，因為，可得，聯(lián)立方程組，可得，所以.故答案為：.11．若，且，則．【答案】/【分析】結(jié)合角的范圍和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，先求出角的正弦與余弦，再將所求式子利用二倍角公式轉(zhuǎn)化為角的正余弦，代入求值即可.【詳解】因為，聯(lián)立，解得，則．故答案為：.易錯點三：忽視三角函數(shù)圖象變換研究對象選?。ㄈ呛瘮?shù)的圖象和性質(zhì)）1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（1）在正弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點是：．（2）在余弦函數(shù)，的圖象中，五個關(guān)鍵點是：．函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間無對稱中心對稱軸方程無2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；3．與的圖像與性質(zhì)（1）最小正周期：．（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．（3）最值假設(shè)．①對于，②對于，（4）對稱軸與對稱中心．假設(shè)．①對于，②對于，正、余弦曲線的對稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大（?。┲档奈恢茫?、余弦的對稱中心是相應(yīng)函數(shù)與軸交點的位置．（5）單調(diào)性．假設(shè)．①對于，②對于，（6）平移與伸縮由函數(shù)的圖像變換為函數(shù)的圖像的步驟；方法一：．先相位變換，后周期變換．方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．結(jié)論：關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論；（1）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（2）函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為；（3）函數(shù)函數(shù)無對稱軸，對稱中心為；（4）求函數(shù)的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．（5）求函數(shù)的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為題型1．研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性等）的前提是用公式把已給函數(shù)化成同一個角同一種類型的三角函數(shù)形式（簡稱：同角同函）或，常見方法有：（1）用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式或誘導(dǎo)公式將已給函數(shù)化成同函；（2）用倍角公式（升冪或降冪）將已給函數(shù)化成同角；（3）用兩角和、差公式或輔助角公式將已給函數(shù)化成同函．題型2．研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性等）時，一般是把已給函數(shù)化成同同角同函型，但未必所有三角函數(shù)都能化成上述或的形式，有時會化簡為二次函數(shù)型：或，這時需要借助二次函數(shù)知識求解，但要注意的取值范圍．若將已給函數(shù)化簡為更高次的函數(shù)，如，則換元后可通過導(dǎo)數(shù)求解．如：解析式中同時含有和，令，由關(guān)系式得到關(guān)于的函數(shù)表達式．題型3．求三角函數(shù)的值域（最值），通常利用正余弦函數(shù)的有界性，一般通過三角變換化為下列基本類型：（1），令，則；（2），引入輔助角，化為；（3），令，則；（4），令，則，所以；（5），根據(jù)正弦函數(shù)的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數(shù)形結(jié)合法求最值．易錯提醒：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發(fā)生多大變化，而不是“角”變化多少.例．定義在上的函數(shù)滿足在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點和一個極值點，則下列說法不正確的是（

）A．的最小正周期為B．將的圖象向右平移個單位長度后關(guān)于原點對稱C．圖象的一個對稱中心為D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【詳解】依題可知，于是，于是，∴，又，∴，∴，對于A，由，則的最小正周期為，故A錯誤；對于B，因為，所以將的圖象向右平移個單位長度后得，則，所以不關(guān)于原點對稱，故B錯誤；對于C，由，所以不是圖象的一個對稱中心，故C錯誤；對于D，由，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ABC．變式1．已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若時，方程有實根，則實數(shù)的取值可以為（

）A． B． C． D．【詳解】因為，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時，，則，由得，可得，所以，，解得，故選：CD.變式2．已知函數(shù)的初相為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為C．若把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則為偶函數(shù)D．若函數(shù)在區(qū)間上的值域為【詳解】由題意知，所以．對于選項A，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A項正確；對于選項B，由，，得，，則當(dāng)時，函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為，故B項正確；對于選項C，的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，所以為奇函數(shù)，故C項錯誤；對于選項D，因為，所以，所以，所以，即：在區(qū)間上的值域為，故D項錯誤．故選：AB.變式3．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象的對稱軸方程為D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到【詳解】，故A正確；函數(shù)的最小正周期為，故B正確；由，得，故C錯誤；由的圖象向左平移個單位長度，得，故D錯誤.故選：AB1．為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】D【分析】將函數(shù)變?yōu)榈耐瘮?shù)，然后利用函數(shù)圖象的平移變換法則即可得解.【詳解】，所以將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象.故選：D．2．要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡得到，然后根據(jù)圖象的平移變換判斷即可.【詳解】，，，所以的圖象向右平移得到的圖象.故選：A.3．函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．若函數(shù)在區(qū)間上沒有最小值，則實數(shù)的取值范圍是D．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及對稱軸求出函數(shù)解析式，由函數(shù)的平移判斷A，根據(jù)單調(diào)性判斷B，由函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷CD.【詳解】由題意且，可得，，故當(dāng)時，，.對A，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可得，故函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故A正確；對B，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，故B正確；對C，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上沒有最小值，則需，即，故C錯誤；對D，由C，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個零點，則，即，故D錯誤.故選：AB4．已知函數(shù)的最小正周期是，把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，下列正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在上有3個零點【答案】AC【分析】根據(jù)周期及奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以，則，把它圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為，因為為奇函數(shù)，所以，，即，，因為，所以，，所以，對于A，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B，，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；對于D，由，得，即，令，解得，又，所以或，所以函數(shù)在上有2個零點，分別為，，故D錯誤.故選：AC.5．已知函數(shù)，且對，都有，且把圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再把圖象右移，得到函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．在上有兩個零點【答案】AB【分析】對于A，求導(dǎo)得，由可得關(guān)于直線對稱，從而可得，結(jié)合求得即可判斷；對于B，由題意，計算即可判斷；對于C，計算，從而可判斷；對于D，由可得，從而可判斷零點的個數(shù)，從而可判斷.【詳解】對于A，，關(guān)于直線對稱，，，又當(dāng)時，，故A為正確；對于B，，由題意，當(dāng)時，，∴關(guān)于點對稱，滿足，B正確；對于C，∵為偶函數(shù)，C不正確；對于D，當(dāng)時，，則在上只有一個零點，D不正確.故選：AB．6．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將得到的曲線上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模ǎv坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在上有且僅有兩個不同實數(shù)滿足，則的取值可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】ABC【分析】由圖象變換得到解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性，將條件轉(zhuǎn)化為在上最值的取值情況，將看作整體角，根據(jù)函數(shù)圖象得到不等關(guān)系求解即可.【詳解】由題意得，,由，得或，由已知在上有且僅有兩個不同實數(shù)滿足，則在上只取得一次最大值和一次最小值，，令，則，由圖象可知，，解得，即的取值范圍是，故選：ABC．

7．已知函數(shù)，，其中，則（

）A．與的圖像關(guān)于直線對稱B．與的圖像關(guān)于點對稱C．當(dāng)與在區(qū)間上單調(diào)性相反時，的最大值為1D．當(dāng)與在區(qū)間上單調(diào)性相同時，的最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、圖象變換逐項判斷即可.【詳解】，所以與的圖像關(guān)于直線對稱，故A正確；，與的圖像關(guān)于點對稱，故B正確；如圖，

函數(shù)的圖像為函數(shù)的圖像向左平移得到，函數(shù)的圖像為函數(shù)的圖像向右平得到，所以與的圖像關(guān)于軸對稱，且的每一個極值點對應(yīng)的一個零點，易知在軸右側(cè)的第一個極大值點為；若與在區(qū)間上單調(diào)性相反,則有，即，故C不正確；若函數(shù)在軸右側(cè)的第一個極小值點為上單若與在區(qū)間上單調(diào)性相同，則有，且，即，故D正確.故選：ABD.8．已知函數(shù)，以下說法中，正確的是（

）A．函數(shù)關(guān)于點對稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時，的取值范圍為D．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，所得圖像的解析式為【答案】BCD【分析】利用二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因為，對于A，由，即，所以對稱中心為，令，得到一個對稱中心為，所以A錯誤；對于B，當(dāng)時，，由的圖像與性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，所以B正確；對于C，當(dāng)時，，所以，所以，所以C正確；對于D，將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，得到圖像對應(yīng)的解析式為，所以D正確.故選：BCD.9．已知，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期為B．把的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象關(guān)于軸對稱C．若在區(qū)間上的最大值是，則的最小值為D．若，則【答案】BD【分析】先化簡函數(shù)，得，根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像性質(zhì)研究周期性、平移、值域等問題.【詳解】，所以的最小正周期為，故A錯誤；把的圖象向左平移個單位長度，所得函數(shù)為，是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對稱，故B正確；當(dāng)時，，當(dāng)，即時，最大值為，所以m的最小值為，故C錯誤；令，解得，當(dāng)時，的一個對稱中心為，故時，有，故D正確.故選：BD.10．已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．若，則是的整數(shù)倍B．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向左平移單位得到C．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】CD【分析】利用誘導(dǎo)公式可判斷A選項；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷B選項；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷C選項；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，則或，可得或，A錯；對于B選項，因為，所以，函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向左平移個單位得到，B錯；對于C選項，因為，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，C對；對于D選項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，D對.故選：CD.11．已知是的導(dǎo)函數(shù)（

）A．是由圖象上的點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移得到的B．是由圖象上的點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移得到的C．的對稱中心坐標(biāo)是D．是的一條切線方程.【答案】BC【分析】由三角函數(shù)的平移和伸縮變換可判斷A，B；由三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】，是由橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)伸長2倍，再把得到的曲線向左平移，故A錯誤；函數(shù)圖象將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得，再向右平移個長度單位，得，即，故B正確；因為，令，則，則的對稱中心坐標(biāo)是，故C正確；因為，所以，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義令，可得：，即，解得:，所以切點為，而不在上，故D錯誤.故選：BC.易錯點四：求φ時忽略升降零點的區(qū)別（函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及其應(yīng)用）函數(shù)的物理意義簡諧運動的圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式，其中．在物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數(shù)有關(guān)：就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；這個簡諧運動的周期是，這是做簡諧運動的物體往復(fù)運動一次所需要的時間；這個簡諧運動的頻率由公式給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)；稱為相位；時的相位稱為初相．題型1．已知的部分圖象求的方法：（1）利用極值點的縱坐標(biāo)求；（2）把某點的坐標(biāo)代入求．題型2．已知的部分圖象求的方法：由，即可求出．常用結(jié)論：（1）相鄰兩個極大（?。┲迭c之間的距離為；（2）相鄰兩個零點之間的距離為（3）極值點到相鄰的零點，自變量取值區(qū)間長度為．題型3．已知的部分圖象求的方法：求的值時最好選用最值點求．峰點：；谷點：．也可用零點求，但要區(qū)分該零點是升零點，還是降零點．升零點（圖象上升時與軸的交點）：；降零點（圖象下降時與軸的交點）：（以上）．易錯提醒：求的值時若用零點求時一定要明確該零點是升零點，還是降零點.例．已知函數(shù)滿足．(1)求函數(shù)的解析式及最小正周期；(2)函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，若，求的最小值．【詳解】（1）∵，∴，而，∴，即，∴的最小正周期為：；（2）由題意，，∵，∴，∴Z，∴，∴的最小值為．變式1．已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值，并寫出的對稱軸方程；(2)在中角的對邊分別是滿足，求函數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）．，．故令，解得，故對稱軸方程為：（2）由得，．，，,．，，，變式2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求的值.【詳解】（1）設(shè)的最小正周期為，則，可得,且，解得，由圖象可知：當(dāng)時，取到最大值，且，則，可得，解得，又因為，可得，則，且的圖象過點，則，解得，所以.（2）令，由，可得，可知的零點等價于與的圖象交點橫坐標(biāo)，且，作出在內(nèi)的圖象，不妨設(shè)，如圖所示：由圖象可知：，且關(guān)于直線對稱，所以.變式3．如圖為函數(shù)的部分圖象，且，．(1)求，的值；(2)將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，討論函數(shù)在區(qū)間的零點個數(shù)．【詳解】（1）根據(jù)題意得，，故，，故．將代入，得，解得，又，故．（2）依題意，．函數(shù)在區(qū)間的零點個數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線在上的交點個數(shù)．當(dāng)時，，結(jié)合余弦函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，，，作出函數(shù)在上的大致圖象如圖所示．觀察可知，當(dāng)或時，有個零點；當(dāng)時，有個零點；當(dāng)或時，有個零點．1．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，所得圖象在區(qū)間上恰有兩個零點，且在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題目的要求伸縮變換得到解析式，然后結(jié)合函數(shù)在上恰有兩個零點以及在上單調(diào)遞減，列出不等式組，即可求得本題答案.【詳解】依題意可得，因為，所以，因為在恰有2個零點，且，，所以，解得，令，，得，，令，得在上單調(diào)遞減，所以，所以，又，解得．綜上所述，，故的取值范圍是．故選：C.2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)在的值域為D．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位【答案】ACD【分析】先由圖象信息求出表達式，從而即可判斷A；注意到是的對稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，由此即可判斷B；直接由換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求值域?qū)Ρ燃纯膳袛郈；直接按題述方式平移函數(shù)圖象，求出新的函數(shù)解析式，對比即可判斷.【詳解】如圖所示：

由圖可知，又，所以，所以，又函數(shù)圖象最高點為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，故A選項正確；由A選項分析可知，而是的對稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對稱，故B選項錯誤；當(dāng)時，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在的值域為，故C選項正確；若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，則得到的新的函數(shù)解析式為，故D選項正確.故選：ACD.3．函數(shù)的部分圖像如圖所示，在上的極小值和極大值分別為..，，下列說法正確的是（

）

A．的最小正周期為B．C．的圖像關(guān)于點對稱D．在上單調(diào)遞減【答案】BC【分析】AB選項，根據(jù)圖象得到振幅和周期，求出；C選項，根據(jù)分別為極小值點和極大值點，由對稱性得到C正確；D選項，由圖象得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【詳解】A選項，由題圖可知，，則，故A錯誤.B選項，，所以.又在極小值和極大值分別為，，所以，故B正確.C選項，因為分別為極小值點和極大值點，故點為函數(shù)的圖像的對稱中心，故C正確.D選項，，從圖象可以看出函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D錯誤.故選：BC.4．已知函數(shù)，把的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（

）A．是奇函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對稱C．在上單調(diào)遞增D．不等式的解集為【答案】AB【分析】A選項，由左加右減得到的解析式，從而判斷出奇偶性；B選項，，故B正確；C選項，整體法判斷函數(shù)的單調(diào)性；D選項，由得到，求出不等式的解集.【詳解】A選項，，由于的定義域為R，且，故為奇函數(shù)，A正確；B選項，，故的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；C選項，時，，其中在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)，故C錯誤；D選項，，則，則，故，D錯誤.故選：AB5．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．當(dāng)時，的值域是C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在上單調(diào)遞增【答案】BD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移變換求出的表達式，然后依次判斷各個選項即可.【詳解】因為，所以．

由，得，，則，又，所以，

所以．

對于A：，所以不是奇函數(shù)，A錯誤；對于B：當(dāng)時，，則，B正確；對于C：因為，所以的圖象不關(guān)于點對稱，C錯誤；對于D：當(dāng)時，，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，D正確．故選：BD6．已知函數(shù)向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，若是偶函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．點是圖像的一個對稱中心C．在的值域為D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】BC【分析】A選項，根據(jù)為偶函數(shù)及，得到，進而得到A錯誤；B選項，計算出，B正確；C選項，由得到，從而結(jié)合圖象求出值域；D選項，由得到，結(jié)合圖象得到答案.【詳解】由題意得，，解得，因為，所以只有當(dāng)，滿足題意，A選項，，故最小正周期，A錯誤；B選項，，故，故點是圖像的一個對稱中心，B正確；C選項，，則，故，C正確；D選項，，則，由于在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)遞增，D錯誤.故選：BC7．已知函數(shù)的最小正周期為，則（

）A．B．的圖象在區(qū)間上存在對稱軸C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．將的圖象向左平移個單位長度可得到的圖象【答案】AB【分析】先由函數(shù)的最小正周期，求出；根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B,C選項，再由三角函數(shù)圖像平移后可判斷D選項.【詳解】由，得，故選項A正確；令，，解得，，當(dāng)時，，所以是圖象的一條對稱軸，故選項B正確；當(dāng)時，，余弦函數(shù)在此區(qū)間不單調(diào)，故選項C錯誤；依題意平移后的解析式為，故選項D錯誤．故選：AB．8．已知函數(shù)在軸上的截距為，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，無極值點，則的取值范圍是．【答案】【分析】先根據(jù)在軸上的截距得到方程，求出，進而由得到，根據(jù)有零點，無極值點，得到不等式，求出答案.【詳解】由題意知，則，結(jié)合，得，所以．當(dāng)時，，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，無極值點，所以，（建立不等式時，要注意是否能取等號）,解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，所以不等式組無解，當(dāng)時，，所以，所以不等式組無解，當(dāng)或時，不滿足條件．所以的取值范圍是．故答案為：9．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個對稱中心，給出下列四個結(jié)論：①的值可能是3；

②的最小正周期可能是；③在區(qū)間上單調(diào)遞減；

④圖象的對稱軸可能是.其中所有正確結(jié)論的序號是.【答案】①②③【分析】由題意，結(jié)合角的范圍可得，求出的范圍可判斷①，利用三角函數(shù)的周期公式可判斷②，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷③④.【詳解】函數(shù)，，，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個對稱中心，則，，即的取值范圍是，而，故①正確；周期，由，得，，的最小正周期可能是，故②正確；，，，，又，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③正確；當(dāng)，即，又，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故④不正確.故答案為：①②③.10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求出，，進而得出.根據(jù)“五點法”，即可求出的值；（2）先求出，根據(jù)已知得出.結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，解，即可得出答案.【詳解】（1）由圖易知，，所以，．易知，故函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以．又，∴．∴．（2）由題意，易知，因為時，所以.解可得，，此時單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.11．已知函數(shù)（且）的兩個相鄰的對稱中心的距離為．(1)求在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)，若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡函數(shù)得，再根據(jù)單調(diào)性求解即可；（2）先由平移伸縮得出，再結(jié)合二倍角余弦公式計算即得.【詳解】（1），由題意知，的最小正周期為，所以，解得，∴，令，，解得，所以在R上的單調(diào)遞增區(qū)間為（2），，得，∵，∴，∴，∴12．已知函數(shù)的最小值周期為.(1)求的值與的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若且，求的值.【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡得出，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求出的值，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)的增區(qū)間；（2）由已知條件可得出，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，再利用兩角和的余弦公式可求出的值.【詳解】（1）解：，因為函數(shù)的最小正周期為，且。所以，解得，所以，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）解：由（1）知，則，因為，所以，因為，所以，所以，所以.易錯點五：遺忘非特殊角其實也是一種特殊角（三角恒等變換）1．兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；2．二倍角公式①；②；③；3．降次（冪）公式4．半角公式5．輔助角公式（其中）．結(jié)論：1．兩角和與差正切公式變形；．2．降冪公式與升冪公式；．3．其他常用變式．3．拆分角問題：①；；②；③；④；⑤．注意特殊的角也看成已知角，如．易錯提醒：1．給角求值給角求值中一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察會發(fā)現(xiàn)非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式將非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)，從而得解．2．給值求值：已知三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的一般思路：（1）先化簡所求式子．（2）觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系（從三角函數(shù)名及角入手）．（3）將已知條件代入所求式子，化簡求值．3．給值求角通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時，有以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，則選正切函數(shù)．（2）已知正、余弦函數(shù)值，則選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是，則選正、余弦皆可；若角的范