北京市順義某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題

牛欄山一中2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試卷

（120分鐘）

2023.11

第一部分（填空題共65分）

一、填空題共15小題，其中110題，每小題4分，1115題，每小題5分，共65分，把答案

填在答題卡相應(yīng)位置上.

1已知全集"={L，3,4,集合A={L4},貝愜4=.

【答案】{2,3}

【解析】

【分析】利用補(bǔ)集的定義直接求解.

【詳解】全集。={123,4},集合A={1,4},則e4={2,3}.

故答案為：{2,3}.

2.已知集合A={x|x>l},B=^x\x<a^,JLA|JB=R,則°的取值范圍為.

【答案】（L+8）

【解析】

【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.

【詳解】因?yàn)锳UB=R，所以a>l.

故答案為：（L+8）.

3.“VxeR,|x巨0"的否定是.

【答案】3%e/?,|x|<0

【解析】

【分析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題解答即可.

【詳解】由題意命題“也6尺|%巨0”是全稱命題，故它的否定是：3xe7?,|%|<0.

故答案為：3%e/?,|x|<0.

【點(diǎn)睛】本題考查了含有一個(gè)量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

4.函數(shù)/(力=衣曰+工的定義域?yàn)?

【答案】［-1,O)U(O,4W)

【解析】

【分析】由被開(kāi)方數(shù)非負(fù)和分母不等式0得到不等式，求出定義域.

x+l>0

【詳解】由題意得1c,解得1且XWO,

故/(x)=而1+工的定義域?yàn)椋郇Dl,O)U(O,y).

故答案為：［—1,0)U(0,+8)

5.已知函數(shù)/'(x)=｛，，則/(/(T))=_____.

—x,x<0

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/(%)的解析式由內(nèi)而外逐層計(jì)算可得出/(/(-1))的直

［詳解］因?yàn)?(x)=］x">0,則〃T)=1,故⑴=12=1

故答案為：1.

6.若j_H=3，則X+》T=.

【答案】11

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】由%一;3=3,兩邊同時(shí)平方可得x+^T—2=9,所以x+元T=1L

故答案為：11

7.關(guān)于X的方程4*—2*=2的解為.

【答案】x=l

【解析】

【分析】由平—2工=2可得出(2、+1)(2工一2)=0,結(jié)合2、>0可求得為的值.

【詳解】由羋―2、=2可得(2丁—2*—2=0,gp(2T+l)(2A,-2)=0,

因?yàn)?*>0，可得2、=2，故x=L

所以，方程關(guān)于*的方程4'—2'=2的解為x=L

故答案為：x=l.

8.若不等式九2+狽+b〉o的解集為{x[x<2或1>3},則a+Z?=

【答案】1

【解析】

【分析】由題意可知：2,3是方程必+公+人二。的兩根，利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：2,3是方程9+a%+b=。的兩根，

一a=2+3a=-5

則可得,，所以a+Z?=l.

工=2x3b=6

故答案為：L

9.寫出/>1成立的一個(gè)充分不必要條件.

【答案】a>l（答案不唯一）

【解析】

【分析】解不等式/>1，結(jié)合集合的包含關(guān)系可得出結(jié)果.

【詳解】解不等式/>1可得a<-1或

因?yàn)閧a|a>l}{a|a<—1或a〉l},故">i成立的一個(gè)充分不必要條件為.>1.

故答案為：a>l（答案不唯一）.

10.不等式x（尤2-6尤+6）<0的解集為.

【答案】（-s,0）U（3-百,3+6）

【解析】

x>0x<0

【分析】根據(jù)題意分析可得《或4,結(jié)合一元二次不等式分析求解.

%2—6x+6<0[J-6x+6>0

x>0fx<0

【詳解】由題意可知:<

x~—6x+6<0%2—6x+6>0

解得3—百<x<3+G或無(wú)<0,

所以不等式的解集為（-s,0）U（3-6,3+

故答案為：(―s,0)U(3—6,3+百).

11.不等式2T>x+l的解集為.

【答案】(—8,0)

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,則2T>2°=1，而x+l<l,滿足2T>x+l;

當(dāng)x=0時(shí)，則2-*=2°=1，而x+l=l,則2一工=%+1;

當(dāng)尤>0時(shí)，一%<0,則2T<2°=1，而x+l>l，則2T<x+l，

綜上，不等式2r>x+l的解集為(-8,0).

故答案為：(-8,0).

12.已知二次函數(shù)/(%)=依2+灰，且/(%)=/(%)(菁,則/(玉+為2)=.

【答案】0

【解析】

【分析】當(dāng)%+%2=0時(shí)，/(%+%2)=/(0)=0，當(dāng)時(shí)，

/(西)一/(々)=：：：2/(西+々)=0,可知/(玉+々)=0.

【詳解】已知二次函數(shù)/(%)=依2+灰，且〃%)=/(*2)(石0》2)，

當(dāng)%+%2=0時(shí)，/(玉+%2)=/(°)=。，

當(dāng)為+%2片。時(shí),由/(%)=/(%)(玉*X2),

0=渥+bxx—{ax^+匕%2)=a(x；+-x2)

2=

———+X2)+5(X]+%)]~~~—/(%1+x2),

X]-％2。0，故/(石+%2)=0.

故答案為：0

14

13.己知a,b為正實(shí)數(shù)，且滿足aZ?=2,則一+—的最小值為，此時(shí)a+/?=

ab

【答案】①.2夜②.迫##』立

22

【解析】

【分析】利用基本不等式求解即可.

【詳解】-+->2.1^=2.1^=2y/2,

abb\2

當(dāng)且僅當(dāng)工=±且曲=2,即。=也*=2應(yīng)時(shí)取等號(hào)，

ab2

則:+，的最小值為2夜，止匕時(shí)。+6=曰+20=半.

故答案為：2&，述.

2

14.若函數(shù)M（x）=max{N，K+6|},則河（％）的最小值為,止匕時(shí)x=

【答案】①.3②.-3

【解析】

【分析】作出函數(shù)M（尤）的圖象，可得出函數(shù)河（九）的最小值及其對(duì)應(yīng)的x的值.

【詳解】由|x|K|x+6|可得尤2<尤2+]2%+36,解得x13,

由|x|>|x+6|可得/>9+12%+36，解得1<一3,

x|,x<-3

故Af(x)=max{|x],|x+6|}=<

%+6|,x>-3

作出函數(shù)"（九）的圖象如下圖中的實(shí)線部分所示:

由圖可知，當(dāng)x=—3時(shí)，函數(shù)”（九）取最小值3.

故答案為：3；-3.

15.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元

/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到

120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng)尤=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為

【答案】0.130.②.15.

【解析】

【分析】由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類討論，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問(wèn)題可得x的最

大值.

【詳解】(1)x=10,顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)—10=130元.

(2)設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為y元，

y<120元時(shí),李明得到的金額為yx80%,符合要求.

丁2120元時(shí),有(丁—力義80%2元70%恒成立,即8(y—即xWg=15元

8I8Jmin

所以x的最大值為15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力，以實(shí)際生活

為背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

第二部分(簡(jiǎn)答題共85分)

二、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

T\x<\

16.已知函數(shù)-

(x-2),^>1

(D在直角坐標(biāo)系xQy下，畫(huà)出函數(shù)了(%)的草圖(用鉛筆作圖)；

(2)寫出函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若關(guān)于X方程/(力=上有3個(gè)解，求k取值范圍(直接寫出答案即可).

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析

(2)減區(qū)間為(—8,1)、(1,2),增區(qū)間為(2,+8).

(3)T1

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式直接作出函數(shù)/(%)的圖象；

(2)根據(jù)函數(shù)/(%)的圖象可得出函數(shù)7(%)的增區(qū)間和減區(qū)間；

(3)分析可知，直線y=k與函數(shù)/(九)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

解：作出函數(shù)外力=2的圖象如下圖所示：

(x—2),尤21

解：由圖可知，函數(shù)”外的減區(qū)間為(Y。/)、(1,2),增區(qū)間為(2,+8).

【小問(wèn)3詳解】

解：如下圖所示：

此時(shí)，方程關(guān)于X方程/（%）=左有3個(gè)解，故實(shí)數(shù)人的取值范圍是.

17.已知函數(shù)/（%）=%+芻.

（1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)/（X）在（2,+8）上單調(diào)遞增；

（2）比較++的大小.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）f^a+—^<f^4a+—^

【解析】

【分析】（1）由定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；

（2）通過(guò)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.

【小問(wèn)1詳解】

4

函數(shù)/（x）=x+—，任取2<%<々，

X

./.\/.A\/.\

/（七）一/（%2）=玉+一一尤2+一=（玉-%）+------=（七一工2）——

Mlx27X2JV石工2）

由2<%<%2，再％2>4,x1-x2<0,/（x,）-/（x2）<0,即/（藥）</（工2），

所以函數(shù)八%）在（2,+8）上單調(diào)遞增.

小問(wèn)2詳解】

4I~44

a>l,則〃+=22、〃?二二4,當(dāng)且僅當(dāng)。=—,即〃=2時(shí)等號(hào)成立，

a\aa

.1（4-33（a2-l）

4〃+——a-\--=3〃——=-------，

a\aJaa

1（4、14

由Q>1,有/―i>o，貝！J4〃+——a+->0,4a+->a+->4f

aa）aa

函數(shù)/（%）在（2,+s）上單調(diào)遞增，所以

18.已知函數(shù)=f+|x—a|+l（Q￡R）.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求了(尤)的最小值；

(2)若函數(shù)八%)是偶函數(shù)，求。值；

(3)證明函數(shù)/(%)不是奇函數(shù).

【答案】(1)1(2)0

(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；

(2)利用偶函數(shù)的定義求解；

(3)利用奇函數(shù)的定義判斷.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=0時(shí)，=X2+國(guó)+1=+國(guó)+1=++；，

???國(guó)》0,.?.當(dāng)W=0,即X=0時(shí)，/(X)min=L

【小問(wèn)2詳解】

若函數(shù)"X)是偶函數(shù),則〃-力=/(尤)，

??(_X)-+1_X_￡/|+1—爐+k一iz|+1>

|%+a|=|%-a|,即(x+a)-=(尤-a)?,

得4ar=0,則a=0.

【小問(wèn)3詳解】

函數(shù)/(x)=d+|x-a|+l(aeR)的定義域?yàn)镽,

/(a)=a?+1,f(~ci)-a?+2時(shí)+1,

/(—a)+/(a)=2a?+2問(wèn)+2=2［問(wèn)++-^-0>即/(-a)#-/(a),

函數(shù)/(%)不是奇函數(shù).

19.已知函數(shù)=2、—2：

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，直接寫出答案；

(2)若%+々=0,求/(%)+/(%)；

(3)若占+%>0,判斷/(%)+/(%)的符號(hào)并證明.

【答案】(1)函數(shù)/(X)=2、-2一、在R上為增函數(shù)，且為奇函數(shù)

⑵/(%)+/(9)=。

(3)/(%)+/(%)>0,證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)奇偶性的定義直接判斷可得出結(jié)論，然后結(jié)合單調(diào)性和奇偶性

的定義證明即可；

(2)利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得出/(/)+/(%)的值；

(3)判斷出/(石)+/(%2)>0，由占+%2>0可得出外〉一無(wú)2，利用函數(shù)/(%)的單調(diào)性及奇函數(shù)的性

質(zhì)可證得結(jié)論成立.

【小問(wèn)1詳解】

解：函數(shù)/(x)=2*—2T在R上為增函數(shù)，且為奇函數(shù)，理由如下：

任取毛、x2eR,且占<々，則2當(dāng)>2''，所以，2$一2上<0，1+^->0,

則/㈤-〃々)=}$[一"一]]=(2。*)+[$]

=(2』-2xA+r'_2'2=(2X'+

\)2再+“2\/I2』十%)

所以，函數(shù)〃%)=2，—2T在R上為增函數(shù)，

對(duì)任意的xeR,/(—x)=2f—2'=—/(￡),故為奇函數(shù).

【小問(wèn)2詳解】

解：因?yàn)橛?%2=0，則%2=一看，

又因?yàn)楹瘮?shù)/(%)為R上的奇函數(shù)，

故/)+/(%2)=/(%)+/(-%)=/(%)-/(%)=。.

【小問(wèn)3詳解】

解：/(%)+/(%)>°，證明如下：

因?yàn)閄+x2>0,則西〉-x2,

又因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=21—2-x在R上為增函數(shù)，且為奇函數(shù),

則/(%)＞/(—%2)=一/(%2)，所以，/(%)+/(%)＞。

y=2kx,

X=X,%一%

20.已知參數(shù)人為非零實(shí)數(shù)，記《與＜2為關(guān)于X,y的方程組＜（y+l『的兩組不同實(shí)

-1

I42

y=-3kx,

X=X%%一%

數(shù)解；記《與＜4為關(guān)于尤，y的方程組＜f(y+l)2的兩組不同實(shí)數(shù)解.

丁=%口=%

丁-2—-

8k2

(1)求證：%；+X=-

28/+1'X1X2~^Sk2+l

2XX3退%的宿

(2)求----X--2-+-------的值;

玉+x2x3+x4

占%一%%上七%一々為%,由

(3)求-----------+------------的值.

%一%%一為

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;

(2)0；(3)0.

【解析】

【分析】(1)由給定方程組消去y,再利用韋達(dá)定理列式即得.

(2)由⑴結(jié)論，求出馬+%,七%,再代入計(jì)算即得.

（3）由為4,七,Z表示給定式子，再結(jié)合（1）（2）的信息計(jì)算即得.

【小問(wèn)1詳解】

y=2kx

由＜（＞+1）2［消去y并整理得：（8F+1）X2+8AX-2=0,顯然％,馬是此一元二次方程的兩個(gè)

—+

I42

根,

8k2

所以：X]+x?=—8r+1'//—節(jié)71

【小問(wèn)2詳解】

y=~3kx

由＜(y+以消去y并整理得：（18左2+l）f_i2a-2=0,顯然退，了4是此一元二次方程的兩個(gè)

=1

I42

根,

12k24，、％8k2

z,X->XA=z,由（1）矢口Xi+XQ-~=9，

1842+1341842+1”28左2+11-842+1

23|——1—

2

8F+1（18左2+1

所以2為々?3%%」+

8k12k

X]+x2%3+x4

8人2+118V+1

【小問(wèn)3詳解】

4,、八8k212k2

由（1）（2）知％+x,=------——,x.x7=-----；——，%+%=----；——,x,x,=------；——,

1-8k2+1128k2+13418P+13418左2+1

石%一%%工3%一工2>3__3g%—2米4%2kx3X2+3kxx

所以—I23

%一%-3AX4-2kxi2kx2+3kx3

5%]%45XX_5%]%4（2%2+3%3）+5%2%3（2%+3%）

123—

2%i+3X42X2+3X3（2玉+3X4）（2X2+3X3）

=10占々(為3+%)+15七匕(%+々)=1°(-8k2+1),18》+1+"(-189+1)(-8r+1)=0.

(2%i+3%4)(29+3%3)(2萬(wàn)+3%4)(2%+3x3)

21.已知5“={1,2,…，九}(九43),A={q，4，L,4}優(yōu)22)是5“的子集,定義集合

￡={q-引為口小人且9>%},若A*U{〃}=S“，則稱集合A是S”的恰當(dāng)子集.用因表示有限