12.3 角的平分線的性質（第1課時）人教版八年級數(shù)學

12.3角的平分線的性質第1課時人教版數(shù)學八年級上冊在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分線嗎？

用量角器度量，也可用折紙的方法．

如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？探究新知知識點1角平分線的畫法問題1：問題2：提煉圖形探究新知如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對應角相等.探究新知問題3：【思考】如果沒有此儀器，我們用數(shù)學作圖工具，能實現(xiàn)該儀器的功能嗎？ABO請大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點與角的頂點重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？探究新知做一做ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細觀察步驟

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖，大家一定要掌握噢!作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.半徑小于MN或等于MN，可以嗎？探究新知已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法.ABOC探究新知1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB

，點D,E為垂足，測量PD,PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結果，猜想線段PD與PE的大小關系，寫出結果：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDEOC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的任意一點.猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質知識點2探究新知已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.探究新知驗證猜想一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程.探究新知歸納總結性質定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應用格式：∵OP是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.PD⊥OA，

PE⊥OB，BADOPEC探究新知判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），

∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵如上右圖，

DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.

∴

=

，

(

)在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BD

CD×BADC缺少“垂直距離”這一條件缺少“角平分線”這一條件探究新知如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點O，OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，則OD與OE的大小關系是(

)A.OD>OEB．OD＝OEC.OD<OED．不能確定B鞏固練習例1已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分別為E，F(xiàn).求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，

DE⊥AB，DF⊥AC，∴

DE=DF，

∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和

Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.探究新知角平分線的性質的應用素養(yǎng)考點1如圖，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM＝PN.證明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2，又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4，又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN.(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)鞏固練習例2

如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D,E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4提示：存在兩條垂線段——直接應用.探究新知利用角平分線的性質求線段的長度素養(yǎng)考點2ABCP如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，

AB=14.（1）則點P到AB的距離為_______.D4提示：存在一條垂線段——構造應用.鞏固練習1.應用角平分線性質：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質：面積周長條件利用角平分線的性質所得到的等量關系進行轉化求解探究新知歸納總結如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，則∠MAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°B

N鏈接中考2.△ABC中，

∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點D到AB的距離是

.ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，

DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG課堂檢測基礎鞏固題3.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）SSSASAAAS

角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA課堂檢測4.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，下列結論中錯誤的是(

)A.PC＝PD

B.OC＝OD

C.∠CPO＝∠DPO

D.OC＝PCD5.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEADF課堂檢測EDCBA68101.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段與DE相等？為什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8.∴

AE＝AB–BE=2.∴△AED的周長=AE+ED+DA=2+6=8.能力提升題CD課堂檢測2.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).

求證：CE＝CF.證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.課堂檢測如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB