第2章 一元二次方程（8類壓軸題專練）

第2章一元二次方程（壓軸題專練）題型01：公式法解一元二次方程1．將關(guān)于x的一元二次方程x2?px+q=0變形為x2=px?q，就可以將表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如x3=x?x2=xpx?q2．閱讀下面的例題：分解因式：x2解：令x2+2x?1=0得到一個(gè)關(guān)于∵a=1，b=2，c=?1∴x=解得x1=?1+2∴x這種因式分解的方法叫求根法，請(qǐng)你利用這種方法完成下面問(wèn)題：(1)已知代數(shù)式x2?2x?k對(duì)應(yīng)的方程解為?5和7，則代數(shù)式x2(2)將代數(shù)式分解因式．題型02：換元法解一元二次方程3．閱讀下列材料：方程：x4設(shè)x2=y，那么x4解這個(gè)方程得：y1=1，當(dāng)y=1時(shí)，x2=1，∴x=±1；當(dāng)y=5時(shí)，x2所以原方程有四個(gè)根：x1=1，x2=?1，在這個(gè)過(guò)程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．(1)利用換元法解方程x2(2)若，求x2+(3)利用換元法解方程：x24．閱讀材料，解答問(wèn)題：材料1為了解方程x22?13x2+36=0，如果我們把看作一個(gè)整體，然后設(shè)y=x2材料2

已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2?m?1=0，n2?n?1=0，且m≠n，顯然m，n根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：(1)直接應(yīng)用：解方程：x4(2)間接應(yīng)用：已知兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)m，n滿足：m2?7m+2=0，n(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，求4x45．閱讀材料，解答問(wèn)題：材料一：已知實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足，b2+3b?1=0，則可將a，b看作一元二次方程材料二：已知實(shí)數(shù)a，bab≠1滿足2a2?3a+1=0，b2?3b+2=0，將b2?3b+2=0兩邊同除以b2，得1?請(qǐng)根據(jù)上述材料，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答下列問(wèn)題：(1)已知實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足a2?7a?2=0，b(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足3a2?5a+1=0，b2?5b+3=06．閱讀材料，解答問(wèn)題：【材料1】為了解方程x22?13x2+36=0，如果我們把x2看作一個(gè)整體，然后設(shè)y=【材料2】已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2?m?1=0，，且m≠n，顯然m，n是方程x2?x?1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知m+n=1根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為；(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：2a4?7a2+1=0，題型03：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用7．閱讀材料．材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)根為x1，x(1)材料理解：一元二次方程5x2+10x?1=0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)m，n滿足7m2?7m?1=0，7n2(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)，t分別滿足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且8．對(duì)于一元二次方程ax①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根；③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩根為x1，x2且滿足x1≠x2≠0，則方程A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④9．（1）x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2（2）已知：α，βα>β是一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)s1=α+β，s2=α2+β根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：①直接寫出s1，s②經(jīng)計(jì)算可得：s3=4，s4=7，s5=11，當(dāng)n≥3時(shí)，請(qǐng)猜想10．定義：已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若x1<x2<0請(qǐng)閱讀以上材料，回答下列問(wèn)題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說(shuō)明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2(3)若關(guān)于x的一元二次方程x2+1?m題型04：一元二次方程有關(guān)的新定義題型11．根據(jù)絕對(duì)值定義：可將a表示為a=aa≥0?aa<0，故化簡(jiǎn)a+b可得a+b①化簡(jiǎn)x+②化簡(jiǎn)x+③若an=2n?9，Sn=a1以上說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)12．根據(jù)絕對(duì)值的定義可知x=xx≥0①化簡(jiǎn)|a|+|b|+|c|一共有8種不同的結(jié)果；②x+3+③若an=3n?19，Sn=a1④若關(guān)于x的方程有2個(gè)不同的解，其中b為常數(shù)，則?4<b<2或A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)13．定義：如果代數(shù)式A=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與B=a2x2（1）代數(shù)式：?2x2+3x（2）若8mx2+nx?5與6n（3）當(dāng)b1=b2=0時(shí)，無(wú)論x（4）若A、B互為“同心式”，A?2B=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則b1其中，正確的結(jié)論有（

）個(gè)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型05：存在性問(wèn)題14．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以(1)當(dāng)x為何值時(shí)，△PBQ(2)當(dāng)x為何值時(shí)，△PBQ的面積為；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，△PDQ15．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn)B，當(dāng)有一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(1)當(dāng)t=1時(shí)，直接寫出P，Q兩點(diǎn)間的距離．(2)是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)是否存在t，使得△BPQ的面積等于10cm216．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16厘米，BC=20厘米，點(diǎn)D在BC上，且CD=12厘米．現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以4厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以5厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(1)CP=；（用t的代數(shù)式表示）(2)連接CE，并運(yùn)用割補(bǔ)的思想表示△AEC的面積（用t(3)是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形EQDP是平行四邊形，如果存在，請(qǐng)求出t，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)當(dāng)t為何值時(shí)，△EDQ題型06：一元二次方程的幾何應(yīng)用17．在凸四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD+(1)如圖1，將△ADC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ABE，畫出圖形，并寫出∠CBE(2)如圖2，已知∠BAD=60°①求證：BC②若AC=7BD=718．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=α，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，C重合），連接BD，將BD繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到DE，連接CE．

(1)①如圖1，當(dāng)α=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)猜想：CE與AD數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，當(dāng)α=90°，點(diǎn)D是AC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，①中的結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．(2)如圖3，若α=60°，AC=4，直接寫出△DEC題型07：一元二次方程與平面直角坐標(biāo)系19．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(10,0)，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線l，點(diǎn)P是在直線l上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，AP．(1)求出SΔAOP(2)若OP平分∠APB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)C是直線y=85x上一點(diǎn)，若ΔAPC是以AP20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為0，10．點(diǎn)E的坐標(biāo)為20，0，直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)F和點(diǎn)E，直線l1與直線相交于點(diǎn)P(1)求直線l1的表達(dá)式和點(diǎn)P(2)矩形ABCD的邊AB在y軸的正半軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)B在線段OF上，邊AD平行于x軸，且AB=6，AD=9，將矩形ABCD沿射線FE的方向平移，邊AD始終與x軸平行，已知矩形ABCD以每秒5個(gè)單位的速度勻速移動(dòng)（點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)止移動(dòng)），設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒t>0．①當(dāng)t=1時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)是_________，移動(dòng)t秒時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________，②矩形ABCD在移動(dòng)過(guò)程中，B、C、D三點(diǎn)中有且只有一個(gè)頂點(diǎn)落在直線l1或l2上時(shí)，矩形會(huì)發(fā)出紅光，請(qǐng)直接寫出矩形發(fā)出紅光時(shí)③若矩形ABCD在移動(dòng)的過(guò)程中，直線CD交直線l1于點(diǎn)N，交直線l2于點(diǎn)M．當(dāng)△PMN題型08：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用21．正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計(jì)劃在元宵節(jié)前用21天的時(shí)間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時(shí)加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計(jì)劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每袋手工湯圓的成本為13元，售價(jià)為25元時(shí)每天可售出225袋，售價(jià)每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價(jià)25元銷售2天后，余下8天進(jìn)行降價(jià)促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價(jià)格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)多少元？22．“中國(guó)元素”幾乎遍布卡塔爾世界杯的每一個(gè)角落，某特許商品專賣店銷售中國(guó)制造的紀(jì)念品，深受大家喜愛(ài)．自世界杯開(kāi)賽以來(lái)，其銷量不斷增加，該商品銷售第x天（1≤x≤28，且x為整數(shù)）與該天銷售量y（件）之間滿足函數(shù)關(guān)系如下表所示：第x天1234567…銷售量y（件）220240260280300320340…為回饋?lái)?xiàng)客，該商家將此紀(jì)念品的價(jià)格不斷下調(diào)，其銷售單價(jià)z（元）與第x天（1≤x≤28，且x為整數(shù)）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)x=1時(shí)，z=98，當(dāng)時(shí)，．已知該紀(jì)念品成本價(jià)為20元/件．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求這28天中第幾天銷售利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)；(3)商店擔(dān)心隨著世界杯的結(jié)束該紀(jì)念品的銷售情況會(huì)不如從前，決定在第10天開(kāi)始每件商品的單價(jià)在原來(lái)價(jià)格變化的基礎(chǔ)上再降價(jià)a元銷售，銷售第x天與該天銷售量y（件）仍然滿足原來(lái)函數(shù)關(guān)系，問(wèn)第幾天的銷售利潤(rùn)取得最大值，若最大利潤(rùn)是20250元，求a的值．

第2章一元二次方程（壓軸題專練）題型01：公式法解一元二次方程1．將關(guān)于x的一元二次方程x2?px+q=0變形為x2=px?q，就可以將表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如x3=x?x2=xpx?q【答案】1+【分析】先利用x2?x?1=0得到x2=x+1，代入得到x3?2x【解析】解：，∴∴x解x2a=1,b=?1,c=?1b∵∴∴x故答案為：1+5【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程：通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程，也有的通過(guò)因式分解來(lái)解，通過(guò)把一元二次方程變形為用一次式表示二次式，從而達(dá)到“降次”的目的，這是解決本題的關(guān)鍵．2．閱讀下面的例題：分解因式：x2解：令x2+2x?1=0得到一個(gè)關(guān)于∵a=1，b=2，c=?1∴x=解得x1=?1+2∴x這種因式分解的方法叫求根法，請(qǐng)你利用這種方法完成下面問(wèn)題：(1)已知代數(shù)式x2?2x?k對(duì)應(yīng)的方程解為?5和7，則代數(shù)式x2(2)將代數(shù)式分解因式．【答案】(1)x+5(2)x?【分析】（1）根據(jù)題中給出的求根法的定義即可得出答案；（2）先令x2?3x?1=0，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，用求根公式求出它的兩根，然后代入【解析】（1）解：∵代數(shù)式x2?2x?k對(duì)應(yīng)的方程解為∴代數(shù)式x2?2x?k分解后為故答案為：x+5x?7（2）解：令x2?3x?1=0，得到一個(gè)關(guān)于∵a=1，b=?3，c=?1∴b∴x=解得x1=3+∴x【點(diǎn)睛】本題主要考查的是求根法因式分解，公式法解一元二次方程，對(duì)于二次三項(xiàng)式的因式分解有：ax2+bx+c=ax?x1x?題型02：換元法解一元二次方程3．閱讀下列材料：方程：x4設(shè)x2=y，那么x4解這個(gè)方程得：y1=1，當(dāng)y=1時(shí)，x2=1，∴x=±1；當(dāng)y=5時(shí)，x2所以原方程有四個(gè)根：x1=1，x2=?1，在這個(gè)過(guò)程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．(1)利用換元法解方程x2(2)若，求x2+(3)利用換元法解方程：x2【答案】(1)x1=?2(2)1(3)x1=1+【分析】（1）設(shè)x2?x=y，代入得到y(tǒng)2?4y?12=0，解得y1=?2，y2=6，當(dāng)y1=?2時(shí)，x2（2）設(shè)x2+y2=m，代入得到m+1m+3=8．解得m（3）設(shè)2xx2?4=y，則x2?42x=1y，代入得到1y+y?2=0，得到【解析】（1）設(shè)x2?x=y，則于是原方程可變?yōu)閥2解這個(gè)方程得：y1=?2，當(dāng)y1=?2時(shí)，移項(xiàng)得：x2∵Δ=?7<0，∴此方程無(wú)解，當(dāng)y2=6時(shí)，解得x1=?2，故答案為：x1=?2，（2）設(shè)x2+y解得：m1=?5，∵x∴m=1，即x（3）設(shè)2xx2?4原方程變形為：1y去分母，得y2即y?1解得，y1=經(jīng)檢驗(yàn)，y=1是分式方程的根．∴2x即x解得：x1=1+5經(jīng)檢驗(yàn)，1±5是分式方程的根．∴原分式方程的解為：x1=1+5【點(diǎn)睛】本題主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握換元法的一般步驟設(shè)元、換元、解元、還原幾步．解分式方程注意驗(yàn)根．4．閱讀材料，解答問(wèn)題：材料1為了解方程x22?13x2+36=0，如果我們把看作一個(gè)整體，然后設(shè)y=x2材料2

已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2?m?1=0，n2?n?1=0，且m≠n，顯然m，n根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：(1)直接應(yīng)用：解方程：x4(2)間接應(yīng)用：已知兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)m，n滿足：m2?7m+2=0，n(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，求4x4【答案】(1)x(2)45(3)7【分析】（1）仿照題意利用換元法解方程即可；（2）仿照題意利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)，，則可得a2?a=3，b2+b=3，進(jìn)一步得到a+ba?b?1=0，再證明a+b>0，推出a?b=1；由a【解析】（1）解：設(shè)y=x2，則方程x4∴y+2y?3∴y+2=0或y?3=0，∴或y=?2（舍去），∴x1（2）解：∵實(shí)數(shù)m，n滿足：m2∴實(shí)數(shù)m，n是方程x2∴m+n=7，mn=2，∴n===；（3）解：設(shè)，，∵，∴a2∴a2∴a2∴a+ba?b∴a+ba?b?1∵，∴a+b>0，∴a?b?1=0，∴a?b=1；∵a2∴a2∴a2∴4x【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法解方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．5．閱讀材料，解答問(wèn)題：材料一：已知實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足，b2+3b?1=0，則可將a，b看作一元二次方程材料二：已知實(shí)數(shù)a，bab≠1滿足2a2?3a+1=0，b2?3b+2=0，將b2?3b+2=0兩邊同除以b2，得1?請(qǐng)根據(jù)上述材料，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答下列問(wèn)題：(1)已知實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足a2?7a?2=0，b(2)已知實(shí)數(shù)a，b滿足3a2?5a+1=0，b2?5b+3=0【答案】(1)20(2)5【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)材料二，采用換元法解一元二次方程，即可求解．【解析】（1）解：∵實(shí)數(shù)a，ba≠b滿足a2?7a?2=0∴可將a，b看作方程x2∴a+b=7，ab=?2，∴=2=2×7?3×=14+6=20；（2）解：在方程b2?5b+3=0的兩邊同時(shí)除以b2又∵實(shí)數(shù)a滿足3a2?5a+1=0∴可將a，1b看作方程3∴a+1b∴3ab+3【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，換元法解一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)模仿例題解決問(wèn)題．6．閱讀材料，解答問(wèn)題：【材料1】為了解方程x22?13x2+36=0，如果我們把x2看作一個(gè)整體，然后設(shè)y=【材料2】已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2?m?1=0，，且m≠n，顯然m，n是方程x2?x?1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知m+n=1根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為；(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：2a4?7a2+1=0，【答案】(1)x1=2，x2(2)45?7414或45+7【分析】（1）利用換元法解方程，設(shè)y=x2，則原方程可化為y2?5y+6=0，解關(guān)于y的方程得到y(tǒng)1=2，（2）根據(jù)已知條件，當(dāng)a=?b時(shí)，a2=b2，解關(guān)于a2的一元二次方程2當(dāng)a≠?b時(shí)，把a(bǔ)2、b2看作方程2x2?7x+1=0的兩不相等的實(shí)數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a【解析】（1）解：，設(shè)y=x2，則原方程可化為解得：y1=2，當(dāng)y=2時(shí)，x2=2，解得：x1當(dāng)時(shí)，x2=3，解得：x3=∴原方程的解為x1=2，x2=?故答案為：x1=2，x2=?（2）解：∵實(shí)數(shù)a，b滿足：2a4?7a2當(dāng)a=?b時(shí)，a2=b2，解關(guān)于得：a2∴a4當(dāng)a≠?b時(shí)，則a2、b2是方程∴a2+b∴a4∴a4+b4的值為45?741【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0題型03：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用7．閱讀材料．材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)根為x1，x(1)材料理解：一元二次方程5x2+10x?1=0的兩個(gè)根為x1，x2，則x(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)m，n滿足7m2?7m?1=0，7n2(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)，t分別滿足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且【答案】(1)?2；?(2)?(3)【分析】（1）直接根據(jù)閱讀材料可得答案；（2）由題意得出m，n可看作方程7x2?7x?1=0的兩個(gè)根，據(jù)此知m+n=1（3）把t2+7t+7=0變形為71t2+7?1t+1=0，據(jù)此可得實(shí)數(shù)和【解析】（1）解：x1+x故答案為：?2；?1（2）∵7m2?7m?1=0，7∴m，n可看作方程7x∴m+n=1，mn=?1∴m2∴m2n+mn（3）∵，t分別滿足7s2+7s+1=0，t2∴71∴和1t可看作方程7x∴s+1t=?1∴2st+7s+2=2s+=2=2×=?1，∴2st+7s+2t的值為．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，因式分解的應(yīng)用，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立合適的方程及分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．8．對(duì)于一元二次方程ax①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根；③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩根為x1，x2且滿足x1≠x2≠0，則方程A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式及根的定義以及求根公式逐個(gè)判斷排除．【解析】解：①若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0②方程ax∴Δ=0?4ac>0則方程ax2+bx+c=0∴方程ax故②錯(cuò)誤；③∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩根為x1，∴Δ=b令x1=?b+∴方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，令兩根分別為x1'，∴x1x2∴方程，必有實(shí)根1x1，1故③正確；④若x0是一元二次方程a則由求根公式可得：，∴2a∴b故④正確．故正確的有①③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判斷，根據(jù)方程形式，判斷根的情況是求解本題的關(guān)鍵．9．（1）x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2（2）已知：α，βα>β是一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)s1=α+β，s2=α2+β根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：①直接寫出s1，s②經(jīng)計(jì)算可得：s3=4，s4=7，s5=11，當(dāng)n≥3時(shí)，請(qǐng)猜想【答案】（1）1；（2）①s1=1，s2=3【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=2k+1，（2）①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出α+β=?ba=1，αβ=ca=?1，進(jìn)而可求出s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2?2αβ=3；②由一元二次方程的解的定義可得出α【解析】解：（1）∵x1，x2是關(guān)于∴x1+x∴x1整理，得：，解得：k1=?3，當(dāng)k=?3時(shí)，Δ=b∴此時(shí)原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴k=?3不符合題意；當(dāng)k=1時(shí)，Δ=b∴此時(shí)原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴k=1符合題意，∴k的值為1；（2）①∵x2∴a=1，b=?1，c=?1．∵α，βα>β是一元二次方程x∴α+β=?ba=1∴s1=α+β=1，②猜想：sn證明：根據(jù)一元二次方程根的定義可得出α2?α?1=0，兩邊都乘以αn?2，得：同理可得：βn?由①+②，得：αn∵sn=αn+∴sn?s【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的定義．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為，且當(dāng)Δ>0時(shí)，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ<0時(shí)，該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：x110．定義：已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若x1<x2<0請(qǐng)閱讀以上材料，回答下列問(wèn)題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說(shuō)明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2(3)若關(guān)于x的一元二次方程x2+1?m【答案】(1)此方程為“限根方程”，理由見(jiàn)解析(2)k的值為2(3)m的取值范圍為?13【分析】（1）解該一元二次方程，得出x1（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=?k+72，x（3）解該一元二次方程，得出x1=?1，x2=m或x1=m，x2【解析】（1）解：，x+2x+7∴或x+7=0，∴x1∵?7<?2，3<?7∴此方程為“限根方程”；（2）∵方程2x2+∴x1+x∵x1∴?k+7解得：k1=2，分類討論：①當(dāng)k=2時(shí)，原方程為2x∴x1=?7∴x1<x∴此時(shí)方程2x∴k=2符合題意；②當(dāng)k=?1時(shí)，原方程為2x∴x1=?2，∴x1<x∴此時(shí)方程2x∴k=?1不符合題意．綜上可知k的值為2；（3）x2(x+1)(x?m)=0，∴x+1=0或，∴x1=?1，x∵此方程為“限根方程”，∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ>0，m<0且m≠?1，∴1?m2+4m>0，即∴m<0且m≠?1．分類討論：①當(dāng)?1<m<0時(shí)，∴x1∵3<x∴3<?1解得：?1②當(dāng)m<?1時(shí)，∴x1∵3<x∴3<m解得：?4<m<?3．綜上所述，m的取值范圍為?13<m<?【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式．讀懂題意，理解“限根方程”的定義是解題關(guān)鍵．題型04：一元二次方程有關(guān)的新定義題型11．根據(jù)絕對(duì)值定義：可將a表示為a=aa≥0?aa<0，故化簡(jiǎn)a+b可得a+b①化簡(jiǎn)x+②化簡(jiǎn)x+③若an=2n?9，Sn=a1以上說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】①由于|x|、|y|、|z|的結(jié)果分別有2種，則的結(jié)果共有2×2×2=8種；②根據(jù)x的取值范圍化簡(jiǎn)絕對(duì)值可得當(dāng)x≥1時(shí)，；當(dāng)0≤x<1時(shí)，；當(dāng)?2≤x<0時(shí)；當(dāng)x<?2時(shí)，；則的結(jié)果共有4種；③根據(jù)題意可得，再由求出n的值即可【解析】解：①的結(jié)果有兩種，|y|的結(jié)果有兩種，|z|的結(jié)果有兩種，的結(jié)果共有2×2×2=8種，故①說(shuō)法正確；當(dāng)x≥1時(shí)，=3x+1；當(dāng)0≤x<1時(shí)，=x+3；當(dāng)?2≤x<0時(shí)，=?x?1當(dāng)x<?2時(shí)，x+的結(jié)果共有4種情況，故②說(shuō)法錯(cuò)誤；③解得，n=34或（舍去）∴故③說(shuō)法正確，∴正確的說(shuō)法有2個(gè)，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)、一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵12．根據(jù)絕對(duì)值的定義可知x=xx≥0①化簡(jiǎn)|a|+|b|+|c|一共有8種不同的結(jié)果；②x+3+③若an=3n?19，Sn=a1④若關(guān)于x的方程有2個(gè)不同的解，其中b為常數(shù)，則?4<b<2或A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】由a、b、c的結(jié)果分別有2種，則|a|+|b|+|c|的結(jié)果共有2×2×2=8種，可判斷①；根據(jù)x的取值，化簡(jiǎn)運(yùn)算x+3+2?x即可判斷【解析】解：a、b、c的結(jié)果分別有2種，∴|a|+|b|+|c|的結(jié)果共有2×2×2=8種，故①正確；當(dāng)x>2時(shí)，x+3+當(dāng)0≤x≤2時(shí)，x+3+當(dāng)?3≤x<0時(shí)，x+3+當(dāng)x<?3時(shí)，x+3+故②錯(cuò)誤；∵n∴aS6Sn=51+2+3n?19當(dāng)n=35時(shí)，Sn故③正確；13當(dāng)x≤?2或x≥4時(shí)，13∴1∵方程有2個(gè)不同的解，Δ=b解得：b>?57當(dāng)?2<x<4時(shí)，?1∴?∵方程有2個(gè)不同的解，Δ=b解得：b<33故④錯(cuò)誤；綜上，正確的有①③，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，絕對(duì)值的性質(zhì)，一元二次方程的判別式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．定義：如果代數(shù)式A=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常數(shù)）與B=a2x2（1）代數(shù)式：?2x2+3x（2）若8mx2+nx?5與6n（3）當(dāng)b1=b2=0時(shí)，無(wú)論x（4）若A、B互為“同心式”，A?2B=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則b1其中，正確的結(jié)論有（

）個(gè)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)同心式的定義結(jié)合代數(shù)式和方程求解即可【解析】根據(jù)同心式的定義：（1）∵?2+2=0，3≠?3∴代數(shù)式：?2x2+3x故（1）是錯(cuò)誤的；（2）∵8mx2+nx?5∴8m+6n=0n=4解得：m=?3n=4∴m+n2022故（2）是正確的；（3）當(dāng)b1=b2=0∴A=a1x2+c1故（3）是正確的；（4）∵A、B互為“同心式”，∴A=a1x∵A?2B=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴3a∴Δ=b12故（4）是正確的；故選：C【點(diǎn)睛】本題根據(jù)新定義和題目的要求構(gòu)建方程，考查了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，解題的關(guān)鍵是理解題目中的新定義．題型05：存在性問(wèn)題14．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以(1)當(dāng)x為何值時(shí)，△PBQ(2)當(dāng)x為何值時(shí)，△PBQ的面積為；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，△PDQ【答案】(1)當(dāng)時(shí)，△PBQ是等腰三角形(2)x為1或5時(shí)，△PBQ的面積為(3)x為或613?18時(shí)，△【分析】（1）由題意得AP=xcm，BQ=2xcm，得（2）由三角形面積公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，在Rt△APD和Rt②當(dāng)時(shí)，在Rt△BPQ和Rt【解析】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=6cm，AD=BC=12cm，根據(jù)題意得：AP=xcm∴BP=(6?x)cm當(dāng)△PBQ為等腰三角形時(shí)，BP=BQ∴6?x=2x，解得：，即當(dāng)時(shí)，△PBQ是等腰三角形；（2）解：由題意得：，整理得：x2解得：x1答：當(dāng)x為1或5時(shí)，△PBQ的面積為；（3）解：根據(jù)題意，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖1所示：在Rt△APD和Rt△CDQ中，由勾股定理得：∴，解得：或（不合題意舍去），∴；②當(dāng)時(shí)，如圖2所示：在Rt△BPQ和Rt△CDQ中，∴，解得：或（不合題意舍去），∴．綜上所述，當(dāng)x為或613?18時(shí)，△【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形面積公式、一元二次方程的解法、勾股定理、分類討論等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn)(1)當(dāng)t=1時(shí)，直接寫出P，Q兩點(diǎn)間的距離．(2)是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出t(3)是否存在t，使得△BPQ的面積等于10cm【答案】(1)；(2)t=5或t=9；(3)t=1或t=6．【分析】（1）求出PB=10cm，BQ=2cm，再利用勾股定理即可求出（2）因?yàn)椤螧=90°，所以當(dāng)△BPQ是等腰三角形時(shí)，只有BP=BQ，表示出，當(dāng)0≤t≤4時(shí)，BQ=2tcm；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；利用BP=BQ，即可求出t的值；（3）由（2）可知：，當(dāng)0≤t≤4時(shí)，BQ=2tcm；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；利用，解關(guān)于t的方程即可．【解析】（1）解：當(dāng)t=1時(shí)，由題意可知：AP=1cm，BQ=2∵AB=11cm∴PB=10cm∵∠B=90°∴；（2）解：∵∠B=90°∴△BPQ是等腰三角形時(shí)，只有BP=BQ由題意可知：，∵Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后返回點(diǎn)B，當(dāng)有一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)0≤t≤4時(shí)，BQ=2tcm；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∵BP=BQ∴，解得：，故不符合題意；，解得：t=5，符合題意；，解得：t=9，符合題意；綜上所述：t=5或t=9；（3）解：假設(shè)存在t使得△BPQ的面積等于10由（2）可知：，當(dāng)0≤t≤4時(shí)，BQ=2tcm；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴當(dāng)0≤t≤4時(shí)，；解得：t=1或（舍去）當(dāng)時(shí)，，解得：t=6或t=13（舍去）；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)棣ぃ?，故無(wú)解，綜上所述，當(dāng)t=1或t=6時(shí)△BPQ的面積等于10【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，等腰三角形的定義，勾股定理，一元二次方程的幾何應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，結(jié)合圖形表示出BQ的值．16．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16厘米，BC=20厘米，點(diǎn)D在BC上，且CD=12厘米．現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以4厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以5厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ(1)CP=；（用t的代數(shù)式表示）(2)連接CE，并運(yùn)用割補(bǔ)的思想表示△AEC的面積（用t(3)是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形EQDP是平行四邊形，如果存在，請(qǐng)求出t，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)當(dāng)t為何值時(shí)，△EDQ【答案】(1)16?4t(2)24t(3)存在，t=1(4)t=52【分析】（1）用AC減去AP的長(zhǎng)即可；（2）連接CE，由平行線的性質(zhì)可得S△PCD=S△CDE，由（3）由平行四邊形的性質(zhì)可得QD=PE，可得3t=8?5t，可求t的值；（4）分兩種情況討論，利用直角三角形的性質(zhì)和面積和差關(guān)系可求解．【解析】（1）解：由題意可得：CP=AC?AP=16?4t；（2）如圖1，連接CE，∵PE∴S∵AP=4t∴CP=AC?AP=(16?4t)∵S12×162=∴PE=3t∴S△（3）∵四邊形EQDP是平行四邊形，，∴3t=8?5t∴t=1∴當(dāng)t=1時(shí)，使四邊形EQDP是平行四邊形；（4）如圖2，當(dāng)∠EQD=90°，∴EQ又∵EP∴四邊形EPCQ是平行四邊形，∴EP=CQ=3t∴5t+3t=20∴t=當(dāng)∠DEQ=90°∵AC=16cm，CD=12∴AD=∵S12×12×16=∴QE=4t?∵AE=∴DE=20?5t，∴(5t?8，（不合題意舍去），綜上所述：t=52或3.1時(shí)，【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．題型06：一元二次方程的幾何應(yīng)用17．在凸四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD+(1)如圖1，將△ADC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ABE，畫出圖形，并寫出∠CBE(2)如圖2，已知∠BAD=60°①求證：BC②若AC=7BD=7【答案】(1)圖見(jiàn)解析，∠CBE=90°(2)①見(jiàn)解析；②32【分析】（1）根據(jù)題意，畫出圖形，設(shè)P為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，利用三角形外角的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求解即可；（2）①作出△ABE，連接CE，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△CAE②利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得S△【解析】（1）解：圖形如下，設(shè)P為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠BEA=∠ACD，∠由三角形外角的性質(zhì)可得：∠CBP=∠ACB+∠BAC，∠EBP=∴∠CBE=（2）①證明：作出△ABE，連接CE，如下圖：由（1）可得∠CBE=90°，即BC由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CD=BE，∠EAB=∠CAD，AC=AE∴∠CAE=∴△CAE為等邊三角形，即AC=CE∴BC②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：S△SS∵AC=∴AC=7，BD=1S△ACE=1過(guò)點(diǎn)B作BH⊥設(shè)BC=2x，由①可得CD=BE=C在Rt△BCH中，∠BCD=30°，∴BH=x，CH=B在Rt△BDH∵CD=DH+CH∴3x+1?x2=即BC=3或BC=2則BC=3BE=2或S△S【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．18．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=α，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，C重合），連接BD，將BD繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，得到DE，連接CE．

(1)①如圖1，當(dāng)α=90°，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)猜想：CE與AD數(shù)量關(guān)系是；②如圖2，當(dāng)α=90°，點(diǎn)D是AC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，①中的結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．(2)如圖3，若α=60°，AC=4，直接寫出△DEC【答案】(1)①CE=2AD；(2)【分析】（1）①延長(zhǎng)AC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，證明△ABD≌△FDE，得出AB=DF，EF=AD，證明DF=AC，得出AD+DC=DC+CF，即AD=CF，得出AD=CF=EF，根據(jù)勾股定理得出CE=C②延長(zhǎng)AC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，證明△ABD≌△FDE，得出AB=DF，EF=AD，證明DF=AC，得出AD+DC=DC+CF，即AD=CF，得出AD=CF=EF，根據(jù)勾股定理得出CE=C（2）連接，延長(zhǎng)AC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，證明△ABC、△BDE都是等邊三角形，得出BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，證明△ABD≌△CBE，得出AD=CE，∠BCE=∠BAC=60°，求出∠ECF=180°?∠BCE?∠ACB=60°，得出，根據(jù)勾股定理得出EF=CE2?CF2=32CE，設(shè)AD=CE=x0<x<4，則CD=4?x，EF=32x，根據(jù)三角形面積公式得出【解析】（1）解：①延長(zhǎng)AC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)

則∠DFE=90°∵α=90°，∴∠A=∴∠ABD+∴∠ABD=根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，BD=DE，∴△ABD∴AB=DF，EF=AD，∵AB=AC，∴DF=AC，∴AD+DC=DC+CF，∴AD=CF，∴AD=CF=EF，∵∠CFE=90°∴CE=C故答案為：CE=2②成立；理由如下：延長(zhǎng)AC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)則∠DFE=90°∵α=90°，∴∠A=∴∠ABD+∴∠ABD=根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，BD=DE，∴△ABD∴AB=DF，EF=AD，∵AB=AC，∴DF=AC，∴AD+DC=DC+CF，∴AD=CF，∴AD=CF=EF，∵∠CFE=90°∴CE=C（2）解：連接，延長(zhǎng)AC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F

∵α=60°，∴∠A=∵AB=AC，BD=DE，∴△ABC、△BDE∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∴∠ABD+∴∠ABD=∴△ABD∴AD=CE，∠BCE=∴∠ECF=180°?∴，∴CF=1∴EF=C設(shè)AD=CE=x0<x<4，則CD=4?x，EF=∴S==?=?=?3∵x?22∴?3∴當(dāng)時(shí)，?34x?22∴△DEC的面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，含30度角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明三角形全等．題型07：一元二次方程與平面直角坐標(biāo)系19．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(10,0)，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線l，點(diǎn)P是在直線l上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，AP．(1)求出SΔAOP(2)若OP平分∠APB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)C是直線y=85x上一點(diǎn)，若ΔAPC是以AP【答案】(1)40(2)(4,8)或(16,8)(3)(10,16)或（2，16【分析】（1）先求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算△AOP（2）設(shè)P(m,8),根據(jù)BP∥OA,OP平分∠APB可得PA=OA=10,，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求出m的值即可得P點(diǎn)的坐標(biāo).（3）設(shè)P(m,8),C(n,85n),分兩種情況討論：①當(dāng)∠APC=90°且AP=CP時(shí)；②當(dāng)∠PAC=90°,且AP=AC時(shí).畫出圖形，構(gòu)造三垂直模型，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列出關(guān)于m,n的方程組，求出m,n【解析】（1）如圖1，作PH⊥x軸與∵A(10,0)，∴∵l∥x軸，點(diǎn)P是在直線l，∴∴（2）設(shè)P(m,8),∵∴∵OP平分∠APB∴∴∴∴∴(m?10解得，m∴點(diǎn)P的坐標(biāo)(4,8)或(16,8).（3）設(shè)P(m,8),當(dāng)∠APC=90°，且AP=CP時(shí)，①如圖2，C點(diǎn)在直線l上方時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作直線EF⊥l,則EF⊥x軸于F點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥EF于E點(diǎn),則∠∠∴又∵∴∴∴n?m=885則8則C(10,16).②如圖3，由△PCECE=PF,EP=FA,∴m?n=885則8∴C(10,16).

當(dāng)∠PAC=90°,且AP=AC時(shí),如圖4

作CE⊥x軸于E，PF⊥x軸于F,則△ACE∴則85n=m?1010?n=8則85∴C（2，綜上，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(10,16)或（2，16【點(diǎn)睛】本題綜合性較強(qiáng)，難度較大.主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想.注意第（3）小題考慮問(wèn)題要全面.正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵.20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為0，10．點(diǎn)E的坐標(biāo)為20，0，直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)F和點(diǎn)E，直線l1與直線相交于點(diǎn)P(1)求直線l1的表達(dá)式和點(diǎn)P(2)矩形ABCD的邊AB在y軸的正半軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)B在線段OF上，邊AD平行于x軸，且AB=6，AD=9，將矩形ABCD沿射線FE的方向平移，邊AD始終與x軸平行，已知矩形ABCD以每秒5個(gè)單位的速度勻速移動(dòng)（點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)止移動(dòng)），設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒t>0．①當(dāng)t=1時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)是_________，移動(dòng)t秒時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________，②矩形ABCD在移動(dòng)過(guò)程中，B、C、D三點(diǎn)中有且只有一個(gè)頂點(diǎn)落在直線l1或l2上時(shí)，矩形會(huì)發(fā)出紅光，請(qǐng)直接寫出矩形發(fā)出紅光時(shí)③若矩形ABCD在移動(dòng)的過(guò)程中，直線CD交直線l1于點(diǎn)N，交直線l2于點(diǎn)M．當(dāng)△PMN【答案】(1)y=?12x+10，點(diǎn)(2)①2，9，9+2t，10?t；②1310或85；【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）①利用平移的性質(zhì)即可求解；②分情況討論，當(dāng)點(diǎn)D在直線上l2時(shí)，利用點(diǎn)D與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為9，列式計(jì)算求解即可；當(dāng)點(diǎn)B在l2直線上時(shí)，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)比點(diǎn)③設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)D橫坐標(biāo)為a+9，再用a表示出Ma+9，34a+9，Na+9，?12【解析】（1）解：設(shè)直線l1的表達(dá)式為，∵直線l1過(guò)點(diǎn)F0，10，∴b=1020k+b=0，解得k=?直線l1的表達(dá)式為y=?聯(lián)立，得，解得x=8，，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為8，6；（2）解：①∵F0，10，E∴OE=20，OF=10，EF=1∵矩形ABCD以每秒5個(gè)單位的速度沿射線FE的方向勻速移動(dòng)，相當(dāng)于矩形ABCD以每秒1個(gè)單位的速度沿y的方向向下勻速移動(dòng)，或以每秒2個(gè)單位的速度沿x的方向向右勻速移動(dòng)，∴當(dāng)t=1時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)是0+2，10?1，即2，9；當(dāng)t時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)是9+2t，10?t；故答案為：2，9，9+2t，10?t；②如圖，當(dāng)點(diǎn)D在直線上l2∵AD=9，∴點(diǎn)D與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之差為9，∴將直線l1與直線l2的解析式變?yōu)椤?3y?20?2y則點(diǎn)A的坐標(biāo)為：135則，∵點(diǎn)A速度為每秒5個(gè)單位，∴t=13如圖，當(dāng)點(diǎn)B在l2∵AB=6，∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)比點(diǎn)B的縱坐標(biāo)高6個(gè)單位，∴直線l1的解析式減去直線l2的解析式得解得x=165，則點(diǎn)A坐標(biāo)為則，∵點(diǎn)A速度為每秒5個(gè)單位，∴t=故t值為1310或8③如圖，設(shè)直線AB交l2于點(diǎn)H設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)D橫坐標(biāo)為a+9，∴Ma+9，34∴MN=3此時(shí)點(diǎn)P到MN距離為：a+9?8=a+1，∵△PMN∴，解得a1∴，則此時(shí)t為，當(dāng)時(shí)，△PMN的面積等于18．【點(diǎn)睛】本題是代數(shù)幾何綜合題，涉及到待定系數(shù)法、兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定理、三角形的面積等，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)、運(yùn)用分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．題型08：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用21．正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計(jì)劃在元宵節(jié)前用21天的時(shí)間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時(shí)加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了