2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布列第六節(jié)二項(xiàng)分布正態(tài)分布及其應(yīng)用課時(shí)規(guī)范練理含解析新人教版

PAGE第六節(jié)二項(xiàng)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用[A組基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練]1．打靶時(shí)，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo)，則他們同時(shí)中靶的概率是()A．eq\f(14,25) B．eq\f(12,25)C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,5)解析：因?yàn)榧酌看?0次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P(甲)＝eq\f(4,5)，P(乙)＝eq\f(7,10)，所以他們都中靶的概率是eq\f(4,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(14,25).答案：A2．先后拋擲硬幣三次，則至少一次正面朝上的概率是()A．eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)解析：三次均反面朝上的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)，所以至少一次正面朝上的概率是1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).答案：D3．(2024·江西九江模擬)已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(5，4)，且P(X>k)＝P(X<k－4)，則k的值為()A．6 B．7C．8 D．9解析：∵eq\f(（k－4）＋k,2)＝5，∴k＝7.答案：B4．投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為()A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312解析：依據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過測(cè)試的概率為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))0.62×0.4＋0.63＝0.648.答案：A5．(2024·四川成都模擬)依據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料，某地三月份吹東風(fēng)的概率為eq\f(3,10)，下雨的概率為eq\f(11,30)，既吹東風(fēng)又下雨的概率為eq\f(8,30)，則在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為()A．eq\f(9,11) B．eq\f(8,9)C．eq\f(2,5) D．eq\f(8,11)解析：設(shè)事務(wù)A表示某地三月份吹東風(fēng)，事務(wù)B表示某地三月份下雨，依據(jù)條件概率計(jì)算公式可得，在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率P(B|A)＝eq\f(\f(8,30),\f(3,10))＝eq\f(8,9).答案：B6．已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)聽從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：由已知μ＝0，σ＝3.所以P(3<ξ<6)＝eq\f(1,2)[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]＝eq\f(1,2)(95.44%－68.26%)＝eq\f(1,2)×27.18%＝13.59%.答案：B7．(2024·福建廈門模擬)袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是()A．eq\f(2,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(18,125)D．eq\f(54,125)解析：袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1＝eq\f(3,5)，∴3次中恰有2次抽到黃球的概率P＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(54,125).答案：D8．盒中裝有10個(gè)乒乓球，其中6個(gè)新球，4個(gè)舊球．不放回地依次取出2個(gè)球運(yùn)用，在第一次取出新球的條件下，其次次也取到新球的概率為()A．eq\f(3,5)B．eq\f(1,10)C．eq\f(5,9)D．eq\f(2,5)解析：記“連續(xù)兩次取球中第一次取到新球”為Ω，記“第一次取到新球，其次次也取到新球”為事務(wù)B，則Ω對(duì)應(yīng)的取法共有：Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9))＝6×9＝54(種)，事務(wù)B對(duì)應(yīng)的取法有：Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＝6×5＝30(種).故所求事務(wù)的概率為P＝eq\f(30,54)＝eq\f(5,9).答案：C9．(2024·河北唐山模擬)已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(3，σ2)，且P(X＜5)＝0.8，則P(1＜X＜3)＝________．解析：由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，P(X＜3)＝P(X＞3)＝0.5，故P(X＞1)＝P(X＜5)＝0.8，所以P(X≤1)＝1－P(X＞1)＝0.2，P(1＜X＜3)＝P(X＜3)－P(X≤1)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.310．(2024·河南洛陽(yáng)模擬)為向國(guó)際化大都市目標(biāo)邁進(jìn)，某市今年新建三大類重點(diǎn)工程，它們分別是30項(xiàng)基礎(chǔ)設(shè)施類工程、20項(xiàng)民生類工程和10項(xiàng)產(chǎn)業(yè)建設(shè)類工程．現(xiàn)有3名民工相互獨(dú)立地從這60個(gè)項(xiàng)目中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)，則這3名民工選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率是________．解析：記第i名民工選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施類、民生類、產(chǎn)業(yè)建設(shè)類分別為事務(wù)Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.由題意，事務(wù)Ai，Bi，Ci(i＝1，2，3)相互獨(dú)立，則P(Ai)＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2)，P(Bi)＝eq\f(20,60)＝eq\f(1,3)，P(Ci)＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6)，i＝1，2，3，故這3名民工選擇的項(xiàng)目所屬類別互異的概率是P＝Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))P(AiBiCi)＝6×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)11．(2024·貴州模擬)在我校2025屆高三11月模擬中理科數(shù)學(xué)成果ξ～N(90，σ2)(σ>0)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示P(60≤ξ≤120)＝0.8，假設(shè)我校參與此次考試有780人，那么試估計(jì)此次考試中，我校成果高于120分的有________人．解析：因?yàn)槌晒巍玁(90，σ2)，所以其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x＝90對(duì)稱．又P(60≤ξ≤120)＝0.8，由對(duì)稱性知成果在120分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的eq\f(1,2)(1－0.8)＝0.1，所以估計(jì)成果高于120分的有0.1×780＝78(人).答案：7812．二項(xiàng)分布與正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中兩大特別重要的分布．在現(xiàn)實(shí)生活中，許多隨機(jī)變量都聽從或近似地聽從這兩大分布，例如檢查產(chǎn)品的不合格品數(shù)，射擊競(jìng)賽中射中目標(biāo)的次數(shù)等近似聽從二項(xiàng)分布；長(zhǎng)度的測(cè)量誤差，零件的尺寸，電子管的運(yùn)用壽命等聽從或近似聽從正態(tài)分布．并且這兩大分布的關(guān)系特別親密，經(jīng)探討表明，假如一個(gè)隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布B(n，p)，當(dāng)np>5且n(1－p)>5時(shí)，二項(xiàng)分布就可以用正態(tài)分布近似替代即P(X≤x)≈P(Y≤x)，其中隨機(jī)變量Y～N(np，np(1－p))(1)假如某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.6，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．①計(jì)算他在連續(xù)三次射擊中恰連續(xù)兩次命中目標(biāo)的概率；②他在10次射擊中，擊中目標(biāo)幾次的概率最大？并說(shuō)明理由；(2)假如某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，在100次的射擊中，記擊中目標(biāo)的次數(shù)為η，計(jì)算P(68≤η≤92).參考數(shù)據(jù)：ξ～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9544，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9974.解析：(1)①依題意，設(shè)事務(wù)A表示擊中目標(biāo)，A表示沒有擊中目標(biāo)，B表示連續(xù)三次射擊中恰連續(xù)兩次命中目標(biāo)．所以P(B)＝P(AAA)＋P(AAA)＝0.6×0.6×0.4＋0.4×0.6×0.6＝0.288.②在10次射擊中，擊中6次的概率最大．10次射擊中擊中目標(biāo)k次的概率為Pk＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(10))0.6k(1－0.6)10－k，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(Pk,Pk－1)＞1,\f(Pk,Pk＋1)＞1))得，k＝6.(2)因?yàn)镋(X)＝100×0.8＝80＞5，D(X)＝100×0.8×0.2＝16＞5，所以近似的η～N(80，16)，所以P(68≤η≤92)＝P(80－3×4＜η≤80＋3×4)＝0.9974.[B組素養(yǎng)提升練]1．甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成果(單位：分)如下：甲組：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；乙組：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74.現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，將“抽出的學(xué)生為甲組學(xué)生”記為事務(wù)A；“抽出的學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測(cè)試成果不低于85分”記為事務(wù)B，則P(AB)，P(A|B)的值分別是()A．eq\f(1,4)，eq\f(5,9) B．eq\f(1,4)，eq\f(4,9)C．eq\f(1,5)，eq\f(5,9) D．eq\f(1,5)，eq\f(4,9)解析：由題意知，P(AB)＝eq\f(10,20)×eq\f(5,10)＝eq\f(1,4)，依據(jù)條件概率的計(jì)算公式得P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(1,4),\f(9,20))＝eq\f(5,9).答案：A2．(2024·江西南昌模擬)口袋中裝有大小形態(tài)相同的紅球2個(gè)，白球3個(gè)，黃球1個(gè)，甲從中不放回地逐一取球，已知第一次取得紅球，求其次次取得白球的概率．解析：口袋中裝有大小形態(tài)相同的紅球2個(gè)，白球3個(gè)，黃球1個(gè)，甲從中不放回地逐一取球，設(shè)事務(wù)A表示“第一次取得紅球”，事務(wù)B表示“其次次取得白球”，則P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(2,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)，∴第一次取得紅球后，其次次取得白球的概率為P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,3))＝eq\f(3,5).3．一次探討性學(xué)習(xí)有“整理數(shù)據(jù)”“撰寫報(bào)告”兩項(xiàng)任務(wù)，兩項(xiàng)任務(wù)無(wú)先后依次，每項(xiàng)任務(wù)的完成相互獨(dú)立，互不影響．某班有甲、乙兩個(gè)小組參與這次探討性學(xué)習(xí)．依據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，甲小組完成探討性學(xué)習(xí)兩項(xiàng)任務(wù)的概率都為eq\f(1,2)，乙小組完成探討性學(xué)習(xí)兩項(xiàng)任務(wù)的概率都為q.若在一次探討性學(xué)習(xí)中，兩個(gè)小組完成任務(wù)項(xiàng)數(shù)相等，而且兩個(gè)小組完成的任務(wù)都不少于一項(xiàng)，則稱該班為“和諧探討班”．(1)若q＝eq\f(2,3)，求在一次探討性學(xué)習(xí)中，已知甲小組完成兩項(xiàng)任務(wù)的條件下，該班榮獲“和諧探討班”的概率；(2)設(shè)在完成4次探討性學(xué)習(xí)中該班獲得“和諧探討班”的次數(shù)為ξ，若ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)≥1，求q的取值范圍．解析：(1)設(shè)“甲小組完成兩項(xiàng)任務(wù)”為事務(wù)A，“該班榮獲‘和諧探討班’”為事務(wù)B，∴P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，P(AB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9).∴P(B|A)＝eq\f(4,9).(2)該班在一次探討性學(xué)習(xí)中榮獲“和諧探討班”的概率為P＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a