概率（講義）（原卷版）-2024年中考數(shù)學一輪復習

第34講概率

目錄

題型04列舉法求概率

一、考情分析題型05畫樹狀圖法/列表法求概率

二、知識建構題型06幾何概率

考點一概率的相關概念題型07由頻率估計概率

題型01事件的分類題型08用頻率估計概率的綜合應用

題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小題型09放回實驗概率計算方法

題型03理解概率的意義題型10不放回實驗概率計算方法

題型04判斷幾個事件概率的大小關系題型11游戲公平性

考點二概率的計算方法題型12概率的應用

題型01根據(jù)概率公式計算概率題型13概率與統(tǒng)計綜合

題型02根據(jù)概率作判斷

題型03已知概率求數(shù)量

考點要求新課標要求命題預測

概率問題在中考數(shù)學中的考察難度在中檔以下，年年

概率的相

>能通過列表、畫樹狀圖等方法列出都會考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右，預

關概念

簡單隨機事件所有可能的結果，以計2024年各地中考還將出現(xiàn).該專題考題的類型也比較

及指定隨機事件發(fā)生的所有可能結的固定，單獨考察時，通常作為選擇或者填空題，考概率

果，了解隨機事件的概率.的基本定義和簡單計算;綜合考察時會和統(tǒng)計圖表類問題

概率的計

>知道通過大量重復試驗，可以用頻結合，作為最后一問，考察概率的樹狀圖或者列表分析.

算方法

率估計概率.因為整體難度較小，屬于中考數(shù)學中必拿分點，審題時要

多加注意即可.

概率的定義及計算公式題型01事件的分類

概率的相題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小

關概念確定事件后隨機事件題型03理解概率的意義

題型04判斷幾個事件概率的大小關系

概題型01根據(jù)概率公式計算概率

題型02根據(jù)概率作判斷

題型03已知概率求數(shù)量

公式法題型04列舉法求概率

列舉法題型05畫樹狀圖法/列表法求概率

題型06幾何概率

概率的計畫樹狀圖法,題型07由頻率估計概率

算方法題型08用頻率估計概率的綜合應用

列表法題型09放回實驗概率計算方法

用頻率估計概率的方法.題型10不放回實驗概率計算方法

題型11游戲公平性

題型12概率的應用

題型13概率與統(tǒng)計綜合

考點一概率的相關概念

一夯基-必備基礎知識梳理

1.概率的定義及計算公式

概率的定義：一般地，對于一個隨機事件A,把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱之為隨機事件A發(fā)生的概率,

記為P（A）.

概率的意義：一個事件發(fā)生的概率是一個確定的數(shù),它從數(shù)值上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小.

隨機事件出現(xiàn)的次數(shù)

概率公式:P（隨機事件）=

所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)

2.確定事件與隨機事件

定義事件發(fā)生的概率

確必然在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，P（必然事件）=1

定事件這些事情稱為必然事件。

事不可能在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)P（不可能事件）=0

件事件生，這些事情稱為不可能事件。

不確定事件在一定條件下，許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，Q<P（隨機事件）

（隨機事件）這些事情稱為不確定事件（又叫隨機事件）。

提升-必考題型歸納

題型01事件的分類

【例1】（2023.安徽合肥.統(tǒng)考模擬預測）彩民李大叔購買1張彩票，中獎.這個事件是（）

A.必然事件B.確定性事件C.不可能事件D.隨機事件

【變式1-1］（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水漲船高C.水滴石穿D.水中撈月

【變式1-2］（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考一模）下列事件是必然事件的是（）

A.三角形內角和是180。B.端午節(jié)賽龍舟，紅隊獲得冠軍

C.擲一枚均勻骰子，點數(shù)是6的一面朝上D.打開電視，正在播放神舟十四號載人飛船發(fā)射實況

【變式1-3］（2021?貴州貴陽?統(tǒng)考一模）如圖，電路圖上有4個開關4、B、C、。和1個小燈泡，同時閉合開

關4B或同時閉合開關C、。都可以使小燈泡發(fā)光.下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是（）

AB

CD

A.只閉合1個開關B.只閉合2個開關C.只閉合3個開關D.閉合4個開關

【變式1-4］（2024.福建福州??？家荒＃┫铝惺录惺请S機事件的是（）

A.明天太陽從東方升起

B.經(jīng)過有交通信號燈的路口時遇到紅燈

C.平面內不共線的三點確定一個圓

D.任意畫一個三角形，其內角和是540。

題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小

【例2】（2022?廣東中山?統(tǒng)考一模）某校九年級選出三名同學參加學校組織的“法治和安全知識競賽”.比賽

規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順序，主持人將表示出場順序的數(shù)字1,2,3分別寫在3張同樣的紙

條上，并將這些紙條放在一個不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個抽，下列說法中正

確的是（）

A.小星抽到數(shù)字1的可能性最小B.小星抽到數(shù)字2的可能性最大

C.小星抽到數(shù)字3的可能性最大D.小星抽到每個數(shù)的可能性相同

【變式2-1］（2021?河北唐山?統(tǒng)考一模）下列4個袋子中，裝有除顏色外完全相同的10個小球，任意摸出

一個球，摸到紅球可能性最大的是（）

【變式2-2］（2023?安徽蕪湖?蕪湖市第二十九中學?？家荒＃┐永镉?個紅球，機個白球，3個黑球，每

個球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，若摸到紅球的可能性最大，則根的值不可能是（）

A.1B.3C.5D.10

【變式2-3］（2023?貴州貴陽?校考一模）將4張質地相同的卡片背面朝上放置，正面分別標有1?4四個數(shù)

字，隨機抽出一張，出現(xiàn)可能性最大的是（）

A.數(shù)字大于2的卡片B.數(shù)字小于2的卡片

C.數(shù)字大于3的卡片D.數(shù)字小于4的卡片

方法技巧

判斷事件發(fā)生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大為100%,不可能事件的可

能性最小為0,隨機事件的可能性有大有小，其發(fā)生可能性介于0—100%.在隨機事件中，要想判斷隨

機事件發(fā)生的概率就要列舉出隨機事件中可能出現(xiàn)的各種結果，其中包含的結果數(shù)多的事件發(fā)生的可能

性大.所以平時要多加練習如何列舉全隨機事件中包含的各種結果，如果少列舉一種都會造成錯誤結果.

題型03理解概率的意義

【例3】（2022?廣東深圳??？家荒＃?4人中至少有2人在同一個月過生日”這一事件發(fā)生的概率為P,則（

A.尸=0B.0<P<lC.P=\D.P>\

【變式3-1］（2022?安徽蕪湖?統(tǒng)考一模）縣氣象站天氣預報稱，明天千島湖鎮(zhèn)的降水概率為90%,下列理解

正確的是（）

A.明天千島湖鎮(zhèn)下雨的可能性較大

B.明天千島湖鎮(zhèn)有90%的地方會下雨

C.明天千島湖鎮(zhèn)全天有90%的時間會下雨

D.明天千島湖鎮(zhèn)一定會下雨

【變式3-2］（2022.河北石家莊?校聯(lián)考一模）拋擲一枚質地均勻的硬幣時，正面向上的概率是0.5.則下列

判斷正確的是（）

A.連續(xù)擲2次時，正面朝上一定會出現(xiàn)1次

B.連續(xù)擲100次時，正面朝上一定會出現(xiàn)50次

C.連續(xù)擲271次時，正面朝上一定會出現(xiàn)71次

D.當拋擲次數(shù)越大時，正面朝上的頻率越穩(wěn)定于0.5

【變式3-3］（2023?山西晉城?統(tǒng)考一模）在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，如果沒有硬幣，我們可以用替代物，

但下列物品不能做替代物的是（）

A.一枚均勻的普通六面體骰子B.兩張撲克牌（一張黑桃，一張紅桃）

C.兩個只有顏色不同的小球D.一枚圖釘

題型04判斷幾個事件概率的大小關系

【例4】（2021?福建福州?福州三牧中學?？级＃┰谝粋€布袋中裝有紅、白兩種顏色的小球，它們除顏色外

沒有任何其他區(qū)別.其中紅球若干，白球5個，袋中的球已攪勻.若從袋中隨機取出1個球，取出紅球的

可能性大，則紅球的個數(shù)是（）

A.4個B.5個C.不足4個D.6個或6個以上

【變式4-1］（2023?廣東云浮?統(tǒng)考二模）任意拋擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉動后，發(fā)生可能性最大的事

件是（）

A.朝上一面的點數(shù)大于2B.朝上一面的點數(shù)為3

C.朝上一面的點數(shù)是2的倍數(shù)D.朝上一面的點數(shù)是3的倍數(shù)

【變式4-2］（2020?內蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考一模）桌子上有6杯同樣型號的杯子，其中1杯84消毒液，2杯

75%的酒精，3杯雙氧水，從6個杯子中隨機取出1杯，請你將下列事件發(fā)生的可能性從大到小排列：_.（填

序號即可）①取到75%的酒精；②取到雙氧水；③沒有取到75%的酒精；④取到84消毒液.

考點二概率的計算方法

夯基?必備基礎知識梳理

公式法P（A）=墨,其中n為所有事件的總數(shù)，m為事件A發(fā)生的總次數(shù).

在一次試驗中，如果可能出現(xiàn)的結果只有有限個，且各種結果出現(xiàn)的可能性大小相等，我們可通過列

舉試驗結果的方法，分析出隨機事件發(fā)生的概率，這種方法稱為列舉法.

【注意事項】

列舉法1）直接列舉試驗結果時，要有一定的順序性，保證結果不重不漏.

2）用列舉法求概率的前提有兩個：①所有可能出現(xiàn)的結果是有限個②每個結果出現(xiàn)的可能性相等.

3）所求概率是一個準確數(shù)，一般用分數(shù)表示.

當事件中涉及兩個以上的因素時，用樹狀圖的形式不重不漏地列出所有可能的結果的方法叫畫樹狀圖

法.

畫樹狀圖法求概率的步驟：

畫樹狀圖法1）明確試驗由幾個步驟組成；

2）畫樹狀圖分步列舉出試驗的所有等可能結果；

3）根據(jù)樹狀圖求出所關注事件包含的結果數(shù)及所有等可能的結果數(shù)，再利用概率公式求解.

當事件中涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，用表格不重不漏地列出所有可能的結果，

這種方法叫列表法.

列表法列表法求概率的步驟：

1）列表，并將所有可能結果有規(guī)律地填人表格；

2）通過表格計數(shù)，確定所有等可能的結果數(shù)n和符合條件的結果數(shù)m的值；

3）利用概率公式P（A）=（計算出事件的概率.

通過大量重復試驗，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示

用頻率估計出一定的穩(wěn)定性.因此可以用隨機事件發(fā)生的頻率來估計該事件發(fā)生的概率.

概率的方法適用范圍：當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數(shù)很多，或各種可能結果發(fā)生的可能性不相等

時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率.

易混易錯

1.當一次試驗要涉及兩個因素或一個因素做兩次試驗并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重不漏地

列出所有可能的結果，通?？梢圆捎昧斜矸ǎ部梢杂脴錉顖D法.當試驗包含三步或三步以上時，不能

用列表法，用畫樹狀圖法比較方便.

2.概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，且隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確.

■提升.必例型鼬

題型01根據(jù)概率公式計算概率

【例1】（2023?廣西?模擬預測）書架上有2本數(shù)學書、1本物理書.從中任取1本書是物理書的概率為（）

1117

A.-B.-C.-D.-

4323

【變式1-1］（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測）在一個不透明的袋子里，裝有3個紅球、1個白球，它們除顏

色外都相同，從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是（）

3111

A.-B.-C.-D.-

4234

【變式「2】（2023?廣西?模擬預測）老師從甲、乙，丙、丁四位同學中任選一人去學校勞動基地澆水，選中

甲同學的概率是（）

【變式1-3］（2023?遼寧撫順?統(tǒng)考一模）如圖，一個質地均勻的正五邊形轉盤，指針的位置固定，當轉盤自

由轉動停止后，觀察指針指向區(qū)域內的數(shù)（若指針正好指向分界線，則重新轉一次），這個數(shù)是一個奇數(shù)的

概率是______

題型02根據(jù)概率作判斷

【例2】（2020?北京?一模）一個不透明的袋中裝有8個黃球，a個紅球，個白球，每個球除顏色外都相同.任

意摸出一個球，是黃球的概率與不是黃球的概率相同，下列爪與n的關系一定正確的是（）

A.m=n=8B.n—m=8C.m+n=8D.m—n=8

【變式2-l］（2015?河北石家莊?統(tǒng)考一模）已知電流在一定時間段內正常通過電子元件"”的概率是0.5,

則在一定時間段內，由該元件組成的圖示電路4B之間，電流能夠正常通過的概率是.

【變式2-2］（2023?福建廈門?統(tǒng)考一模）一個不透明盒子中裝有1個紅球、2個黃球，這些球除顏色外無其

他差別.從該盒子中隨機摸出1個球，請寫出概率為1的事件：.

題型03已知概率求數(shù)量

【例3】（2023?廣東?統(tǒng)考二模）一個不透明的口袋中裝有“個白球，為了估計白球的個數(shù)，向口袋中加入兩

個紅球，它們除顏色外其它完全相同.通過多次摸球實驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在10%附近，則〃

的值為（）

A.18B.20C.22D.24

【變式3-1］（2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模）一個不透明的箱子中有5個紅球和若干個黃球，除顏色外無其它差

別.若任意摸出一個球，摸出紅球的概率為J,則這個箱子中黃球的個數(shù)為個.

4

【變式3-2］（2018?四川成都?成都外國語學校?？家荒＃┐醒b有6個黑球和幾個白球，經(jīng)過若干次試驗，發(fā)

現(xiàn)“若從袋中任摸出一個球，恰是黑球的概率為￥，則這個袋中白球大約有個.

4

【變式3-3］（2020?遼寧鞍山?統(tǒng)考一模）在一個不透明的袋子中裝有6個紅球和若干個白球，這些球除顏色

外都相同，將球攪勻后隨機摸出一個球，記下顏色后放回，不斷重復這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有20

次摸到紅球，估計袋子中白球的個數(shù)約為.

【變式3-4］（2023?廣西南寧?廣西大學附屬中學校聯(lián)考一模）黔東南州某校數(shù)學興趣小組開展摸球試驗，具

體操作如下：在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的小球共4個，這些球除顏色外無其它差別，將

球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，然后再把它放回盒子里攪勻，再隨機摸出一球記下顏色，不斷重

復摸球實驗.下表是這次活動的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)〃1001502005008001000

摸到白球的次數(shù)加263850127197251

摸到白球的頻率二

n0.2600.2530.2500.2540.2460.251

（1）請你根據(jù)上表統(tǒng)計數(shù)據(jù)估計：從不透明的盒子里隨機摸出一個球，摸出的球是白球的概率約為

（精確到0.01）;

（2）試估算盒子里有多少個白球？

（3）根據(jù)第（2）題的估算結果，若從盒子里隨機摸出兩球，請畫樹狀圖或列表求“摸到兩個顏色相同小球”的

概率.

題型04列舉法求概率

【例4】（2023?湖北武漢??？寄M預測）隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進我們的日常生活，其圖案主要

由黑、白兩種小正方形組成.現(xiàn)對由三個小正方形組成的」II”進行涂色，每個小正方形隨機涂

成黑色或白色，恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（）

1312

A.-B.-C.-D.-

3823

【變式4-1］（2023?廣東佛山?校考一模）宋代程穎的《秋月》有四句古詩如下：

①空水澄鮮一色秋；②白云紅葉兩悠悠；

③清溪流過碧山頭；④隔斷紅塵三十里

這四句古詩的順序被打亂了，敏敏想把這四句古詩調整為正確位置，則她第一次就調整正確的可能性是（

A.-B.-C.-D.一

12182464

【變式4-2］.（2021?山東濰坊??？级＃┈F(xiàn)有下列長度的五根木棒：3,5,8,10,13,從中任取三根，可

以組成三角形的概率為.

題型05畫樹狀圖法/列表法求概率

【例5】（2023?山東濟南?統(tǒng)考一模）為了疫情防控，某小區(qū)需要從甲、乙、丙、丁4名志愿者中隨機抽取2

名負責該小區(qū)入口處的測溫工作，則甲被抽中的概率是（）

【變式5-1］（2022?廣東深圳?校考一模）同時擲兩枚質地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概

率是（）

1111

A.石B.-C.-D.-

【變式5-2］（2023?遼寧沈陽?模擬預測）一只不透明的袋子中裝有3個大小、質地完全相同的乒乓球，球面

上分別標有數(shù)字1、2、3,攪勻后先從袋子中任意摸出1個球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸

出1個球，記下數(shù)字.

（1）第一次摸到標有偶數(shù)的乒乓球的概率是;

（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標有奇數(shù)的乒乓球的概率.

【變式5-3］（2023?陜西寶雞?統(tǒng)考一模）有五個封裝后外觀完全相同的紙箱,且每個紙箱內各裝有一個西瓜，

其中，所裝西瓜的重量分別為6kg,6kg,7kg,7kg,8kg.現(xiàn)將這五個紙箱隨機擺放.

（1）若從這五個紙箱中隨機選1個，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是；

（2）若從這五個紙箱中隨機選2個，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg

的概率.

【變式5-4］（2023?陜西西安?校考模擬預測）如圖所示，甲、乙兩個帶指針的轉盤分別被分成三個面積相等

的扇形（兩個轉盤除表面數(shù)字不同外，其它完全相同），轉盤甲上的數(shù)字分別是-6,-1,8,轉盤乙上的數(shù)

字分別是-4,5,7（規(guī)定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉一次）.

（1）轉動轉盤，轉盤甲指針指向正數(shù)的概率是；轉盤乙指針指向正數(shù)的概率是

（2）若同時轉動兩個轉盤，轉盤甲指針所指的數(shù)字記為。，轉盤乙指針所指的數(shù)字記為6,請用列表法或樹狀

圖法求滿足a+b<0的概率.

題型06幾何概率

【例6】（2023?安徽合肥?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在5x6的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色

外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形0A8的圓心及弧的兩端均為格點.假設飛鏢擊中每一塊小正方

形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB

（陰影部分）的概率是（）

A.二B.二C.叵D.迪

12246060

【變式6-1］（2022?福建漳州.統(tǒng)考模擬預測）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在

白色區(qū)域的概率為（）

【變式6-2］（2022?福建龍巖?統(tǒng)考一模）如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），

小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為5m,寬為4m的長方形，將不規(guī)則圖案圍

起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上

或長方形區(qū)域外不計實驗結果），他將若干次有效實驗的結果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不

【變式6-3］（2020?浙江衢州?統(tǒng)考模擬預測）如圖是一個游戲轉盤，自由轉動轉盤，當轉盤停止轉動后，指

針落在數(shù)字“II”所示區(qū)域內的概率是（）

【變式6-4］（2022?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考模擬預測）如圖，將一個棱長為3的正方體表面涂上顏色，再把它分割成

棱長為1的小正方體，將它們全部放入一個不透明盒子中搖勻，隨機取出一個小正方體，只有一個面被涂

色的概率為（）

【變式6-5］（2023?湖南株洲??？寄M預測）如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機的停留在某

塊方磚上，那么它最終停留在陰影區(qū)域的概率是.

【變式6-6］（2022?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）如圖，正方形力BCD中，對角線4C和BD相交于點。，點E在線

段BC上，。尸，OE交CD于點R小明向正方形內投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在陰影部分的概率是.

題型07由頻率估計概率

【例7】（2020?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預測）某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的

頻率，繪制了如下的表格，則符合這一結果的實驗最有可能的是（）

實驗次數(shù)10020030050080010002000

頻率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333

A.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

B.拋一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是5

C.在“石頭、剪刀、布''的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”

D.拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率

【變式7-1］（2023?山東青島?模擬預測）在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共8個，這些球除顏色外都

相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，

共摸了100次球，發(fā)現(xiàn)有75次摸到紅球，則口袋中紅球的個數(shù)約為.

【變式7-2］（2023?江蘇揚州??？级＃榱吮容^甲、乙兩魚池中的魚苗數(shù)目，小明從兩魚池中各撈出100

條魚苗，每條做好記號，然后放回原魚池；一段時間后，在同樣的地方，小明再從甲、乙兩魚池中各撈出

100條魚苗，發(fā)現(xiàn)其中有記號的魚苗分別是5條、10條，可以初步估計魚苗數(shù)目較多的是_________魚池（填

甲或乙）

【變式7-3］（2023?廣東佛山?統(tǒng)考一模）2022年3月12日是我國第44個植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了考察某

種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，對這種幼樹進行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，下表是

這種幼樹移植過程中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

幼樹移植數(shù)（棵）100100050008000100001500020000

幼樹移植成活數(shù)（棵）878934485722489831344318044

幼樹移植成活的頻率0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902

估計該種幼樹在此條件1;移植成活的概率是—（結果精確到0.1)

【變式7-4］（2023?福建三明?統(tǒng)考一模）某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下:

射擊次數(shù)20801002004008001000

射中九環(huán)以上次數(shù)186882166330664832

射中九環(huán)以上的頻率0.900.850.820.830.8250.830.832

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“中九環(huán)以上”的概率約是.（精確到0.01）

題型08用頻率估計概率的綜合應用

【例8】（2022.福建.二模）不透明袋子中裝有紅、黃小球各若干個，這些球除顏色外無其他差別.把“從袋

子中隨機摸出一個小球”作為試驗，每次試驗后，將摸出的小球放回搖勻，再進行下一次試驗.試驗數(shù)據(jù)顯

示：大量重復試驗后，摸出紅球的頻率越來越穩(wěn)定于02則下列對于袋子中球的數(shù)量的估計，最合理的是

（）

A.紅球有2個B.黃球有10個

C.黃球的數(shù)量是紅球的4倍D.黃球和紅球的數(shù)量相等

【變式8-1］（2015?河北?模擬預測）某小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，繪

制了如圖的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結果的實驗最有可能的是（）

A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”

B.一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃

C.暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球

D.擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是6

【變式8-2］（2023?北京朝陽?統(tǒng)考二模）某射箭選手在同一條件下進行射箭訓練，結果如下:

射箭次數(shù)n102050100200350500

射中靶心的次數(shù)m7174492178315455

射中靶心的頻率二

n0.700.850.880.920.890.900.91

下列說法正確的是（）

A.該選手射箭一次，估計射中靶心的概率為0.90

B.該選手射箭80次，射中靶心的頻率不超過0.90

C.該選手射箭400次，射中靶心的次數(shù)不超過360次

D.該選手射箭1000次，射中靶心的次數(shù)一定為910次

【變式8-3］（2020.江蘇揚州.統(tǒng)考模擬預測）大數(shù)據(jù)分析技術為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用.如圖

是小明同學的蘇康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機打印于邊長為2cm的正方形區(qū)域內，為了估計圖中黑

色部分的總面積，在正方形區(qū)域內隨機擲點，經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左

右，據(jù)此可以估計黑色部分的總面積約為cm2.

回麒回

【變式8-4］（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考一模）國務院教育督導委員會辦公室印發(fā)的《關于組織責任督學進行“五

項管理,,督導的通知》指出，要加強中小學生作業(yè)、睡眠、手機、讀物、體質管理.某校數(shù)學社團成員采用

隨機抽樣的方法，抽取了八年級部分學生，對他們一周內平均每天的睡眠時間t

（單位：h）進行了調查，將數(shù)據(jù)整理后得到下列不完整的統(tǒng)計圖表：

組別睡眠時間分組頻數(shù)頻率

At<640.08

B6<t<780.16

C7<t<810a

D8<t<9210.42

Et>9b0.14

請根據(jù)圖表信息回答下列問題：

（1）頻數(shù)分布表中，a=,b=；

（2）扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形的圓心角的度數(shù)是。；

（3）請估算該校600名八年級學生中睡眠不足7小時的人數(shù)；

（4）研究表明，初中生每天睡眠時長低于7小時，會嚴重影響學習效率.請你根據(jù)以上調查統(tǒng)計結果，向

學校提出一條合理化的建議.

題型09放回實驗概率計算方法

【例9】（2017?河北?模擬預測）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共40個，小穎做摸球試驗,

她將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，然后把它放回盒子中，不斷重復上述過程.如

圖所示為“摸到白球”的頻率折線統(tǒng)計圖.

“摸到白球”的頻率折線統(tǒng)計圖

頻率］

050三三三三WlWW三:

0.45三三三三三三三三三三三

04。1二二二二二二二二二二二二三三三二二二二二二二二二二二二

f）------------1----1----1----1----1----1----1------->,

406080100摸球的次數(shù)〃

（1）請估計：當〃足夠大時，摸到白球的頻率將會接近（結果精確到0.1）,假如小李摸一次球，小

李摸到白球的概率為；

（2）試估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個；

（3）在（2）的條件下，如果要使摸到白球的頻率穩(wěn)定在|,需要往盒子里再放入多少個白球？

【變式9-1］（2024.福建南平.統(tǒng)考一模）在一個不透明的盒子里，裝有四個分別標有數(shù)字1,3,4,5的小

球.它們的形狀、大小、質地等完全相同.小明先從盒子里隨機取出一個小球，記下數(shù)字為尤，放回盒子

搖勻后，再由小華隨機取出一個小球，記下數(shù)字為y.

（1）列出表示點（久,y）的所有可能出現(xiàn)的結果；

（2）求小明、小華各取一次小球所確定的點Q,y）落在一次函數(shù)y=5久的圖象上的概率.

【變式9-2］（2022?陜西西安??？寄M預測）一個不透明的箱子里裝有1枚黑棋子和若干枚白棋子，這些棋

子除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的棋子搖勻后隨機摸出一枚棋子，記下顏色后再放回箱子里，通

過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到黑棋子的頻率穩(wěn)定于

(1)請你估計箱子里白棋子的數(shù)量；

(2)若一個不透明的袋子里裝有2枚黑棋子和1枚白棋子，從箱子和袋子里各隨機摸出一枚棋子，請用樹狀

圖或列表法求摸出的兩枚棋子顏色不同的概率.

【變式9-3](2021?廣東清遠.一模)為慶祝黨的二十大勝利召開，陽光中學舉行作文比賽，題目有“科技托

起強國夢”“家鄉(xiāng)的新變化““時代賦予我們的使命”.比賽時，將這三個作文題目寫在三張無差別不透明的卡

片的正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，然后參賽學生依次抽?。簶窐废葟闹须S機抽取一張卡片，放回

后洗勻，再由貝貝從中隨機抽取一張卡片，……，每人所抽取到的卡片題目均為自己此次參賽作文的題目.

科技托起家鄉(xiāng)的|時代賦予我

強國夢新變化們的使命

⑴貝貝抽中題目“家鄉(xiāng)的新變化"的概率是.

(2)請用畫樹狀圖或列表的方法表示出樂樂和貝貝兩人抽取的所有可能的結果，并求出他倆抽中不同題目的

概率.(三個作文題目分別用字母A,B,C表示)

題型10不放回實驗概率計算方法

【例10】(2023?江蘇鹽城??？级?鹽城地處黃海之濱，市域內海洋灘涂資源豐富，灘涂面積占江蘇省灘

涂總面積近70%,被譽為“東方濕地之都”.黃海濕地文化是鹽城身份認同、文化自信的重要載體，丹頂鶴、

麋鹿、勺嘴鶴“濕地吉祥三寶”更是世界聞名.為保護與宣傳這“三寶”，某校生物興趣小組設計了3張環(huán)保宣

傳卡片，正面分別繪有丹頂鶴、麋鹿、勺嘴鶴圖案，除此之外卡片完全相同.

丹頂鶴麋鹿勺嘴鶴

(1)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，則抽取的卡片正面圖案恰好是“麋鹿”的概率為；

(2)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，不放回，再從剩余的兩張卡片中隨機抽取一張，請

用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的卡片正面圖案恰好是“丹頂鶴”和“勺嘴鶴”的概率.

【變式10-1](2023?陜西榆林?統(tǒng)考模擬預測)中國一中亞峰會于5月18日至19日在陜西省西安市舉行，讓

千年古都再次聚焦世界的目光.也讓每一個西安人、陜西人感到驕傲.在一個不透明的口袋里，裝有分別

標著漢字“喜”、“迎”、“中”、“亞”、“峰”、“會”的六個小球

(1)若從袋中任取一個小球，則取到的小球上的漢字恰好是“亞”的概率為；

(2)從袋中任取一個小球，不放回.攪勻后再從剩下的五個小球中任取一個，請用畫樹狀圖或列表法(漢字

不分先后順序)求出取到的兩個小球上的漢字恰能組成“喜迎”或“中亞”或“峰會”的概率.

【變式10-2](2022?廣東湛江?校聯(lián)考二模)在一個不透明的布袋中，有紅，白兩種顏色的小球，這些球除

顏色外都相同，其中白球1個，現(xiàn)從中任意摸出一個紅球的概率為|.

（1）求袋中紅球的個數(shù)為.

（2）攪勻后先從中任意摸出1個球（不放回），再從余下的球中任意摸出1個球.請用樹狀圖或表格求兩次都摸

到紅球的概率.

【變式10-3］（2023?吉林白山?校聯(lián)考二模）從一副撲克牌中取出四張牌，它們的牌面數(shù)字分別為1、2、2、

3,將這四張撲克牌背面，朝上洗勻，從中隨機抽取一張，不放回，再從剩余的三張牌中隨機抽取一張.請

用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字之和為偶數(shù)的概率.

【變式10-4】（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考一模）將圖中的A型、8型、C型矩形紙片分別放在3個盒子中，盒

子的形狀、大小、質地都相同，再將這3個盒子裝入一只不透明的袋子中.

H2同2?1

31I

（1）攪勻后從中摸出1個盒子，則摸出的盒子中是A型矩形紙片的概率」

（2）攪勻后先從中摸出1個盒子（不放回），再從余下的兩個盒子中摸出一個盒子，用列表法或畫樹狀圖法求2

次摸出的盒子的紙片能拼成一個新矩形的概率（不重疊無縫隙拼接）.

方法技巧

對于“放回”和“不放回”的題目，易錯點在于不知道如何判斷是“放回”還是“不放回”，只要判

斷正確，然后結合樹狀圖等方法就能迎刃而解：如，過紅綠燈、選擇直行、左、右轉彎等，就屬于放回

這類問題，他們有共同特征就是每一次都有同樣多的選擇；從幾個人里選兩個人參加活動、一次性選擇

兩個物品等，屬于不放回問題，他們的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一種情況，特別注意同時

抽取，也是表示抽出來不放回.做題時，一定要看清每次選擇后的下一步選擇是都有同樣多的選擇還是

少了一種選擇以正確判斷是“放回”還是“不放回”.

題型11游戲公平性

【例H】（2022.北京西城.統(tǒng)考二模）如圖，在8個格子中依次放著分別寫有字母。?耳的小球.

??

甲、乙兩人輪流從中取走小球，規(guī)則如下：

①每人首次取球時，只能取走2個或3個球；后續(xù)每次可取走1個，2個或3個球；

②取走2個或3個球時，必須從相鄰的格子中取走；

③最后一個將球取完的人獲勝.

（1）若甲首次取走寫有6,c，d的3個球，接著乙首次也取走3個球，則（填“甲”或“乙”）一定獲勝;

（2）若甲首次取走寫有a,b的2個球，乙想要一定獲勝，則乙首次取球的方案是

【變式11-1］（2023?云南?模擬預測）2022年3月23日下午，“天宮課堂”第二課開講，航天員翟志剛、王亞

平、葉光富相互配合進行授課，激發(fā)了同學們學習航天知識的熱情.小冰和小雪參加航天知識競賽時，均

獲得了一等獎，學校想請一位同學作為代表分享獲獎心得.小冰和小雪都想分享，于是兩人決定一起做游

戲，誰獲勝誰分享，游戲規(guī)則如下：甲口袋裝有編號為1,2的兩個球，乙口袋裝有編號為1,2,3,4,5

的五個球，兩口袋中的球除編號外都相同.小冰先從甲口袋中隨機摸出一個球，小雪再從乙口袋中隨機摸

出一個球，若兩球編號之和為奇數(shù)，則小冰獲勝；若兩球編號之和為偶數(shù)，則小雪獲勝.

請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲對雙方是否公平.

【變式1「2】（2021?云南昆明?校聯(lián)考一模）小穎和小亮都想去觀看“垃圾分類”宣傳演出，但只有一張入場

券，于是他們設計了一個“配紫色”游戲：A,B是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤都被分成面積相等的

幾個扇形、同時轉動兩個轉盤，如果其中一個轉盤轉出了紅色，另一個轉盤轉出了藍色，那么可以配成紫

色.若配成紫色，則小穎去觀看，否則小亮去觀看.這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由.

【變式1-3】（2020?云南昆明.統(tǒng)考一模）現(xiàn)有A、B兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的

小球.其中，A袋裝有2個白球，1個紅球；B袋裝有2個紅球，1個白球.

（1）將A袋搖勻，然后從A袋中隨機取出一個小球，求摸出小球是白色的概率；

（2）小華和小林商定了一個游戲規(guī)則：從搖勻后的A,B兩袋中隨機摸出一個小球，摸出的這兩個小球，

若顏色相同，則小林獲勝；若顏色不同，則小華獲勝.請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則

對雙方是否公平.

題型12概率的應用

【例12】（2022?福建?校聯(lián)考一模）商場在國慶期間舉行部分商品優(yōu)惠促銷活動，顧客只能從以下兩種方案

中選擇一種：

方案一：購物每滿200元減66元；

方案二：顧客購物達到200元可抽獎一次.具體規(guī)則是：在一個箱子內裝有四張一樣的卡片，四張卡片中

有2張寫著數(shù)字1,2張寫著數(shù)字5.顧客隨機從箱子內抽出兩張卡片，兩張卡片上的數(shù)字和記為w,w的值

和享受的優(yōu)惠如表所示.

W的值2610

實際付款8折7折6折

（1）若按方案二的抽獎方式，利用樹形圖（或列表法）求一次抽獎獲得7折優(yōu)惠的概率;

（2）若某顧客的購物金額為a元（200<a<300）,請用所學統(tǒng)計與概率的知識，求出選擇方案二更優(yōu)惠時a的

取值范圍.

【變式12-1］（2022?山西?山西大附中?？家荒＃┠成虉?，為了吸引顧客，在“元旦”當天舉辦了商品有獎酬

賓活動，凡購物滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：

方案一：是直接獲得20元的禮金卷；

方案二：是得到一次搖獎的機會.規(guī)則如下：已知如圖是由轉盤和箭頭組成的兩個轉盤4B,這兩個轉盤

除了顏色不同外，其它構造完全相同，搖獎者同時轉動兩個轉盤，指針分別指向一個區(qū)域（指針落在分割

線上時重新轉動轉盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少.

指針指向兩紅一紅一藍兩藍

禮金券（元）18918

/款8款（1）請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉盤指針

分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的概率.

（2）如果一名顧客當天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為

實惠.

【變式12-2］（2021.江蘇無錫.校聯(lián)考一模）一款游戲的規(guī)則如下：如圖①為游戲棋盤，從起點到終點共7

步；如圖②是一個被分成4個大小相等的扇形的轉盤，轉動轉盤，待轉盤自動停止后，此時，稱為轉動轉

盤一次（若指針指向兩個扇形的交線，則不計轉動的次數(shù)，重新轉動轉盤，直到指針指向一個扇形的內部

為止），每次棋子按照指針所指的數(shù)字前進相應的步數(shù)，若棋子最終能恰