2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之平面向量及其應(yīng)用

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之平面向量及其應(yīng)

選擇題（共8小題）

1.（2024?河南模擬）如圖，在平面四邊形A8CD中，若BC=2AB=4,AC=2V7,AB±BD,ZBCD=

q

則（）

A.V3B.2C.2V6-2V2D.4b一4

2.（2024?浙江開學(xué)）已知平面向量云，盛滿足：而=而|=2,且蔡在三上的投影向量為｝則向量就與

向量骨—藐的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

_>TTTTT

3.（2024秋?安徽月考）已知向量a=（l,V3）,若（a—3b）la,貝帕在a上的投影向量為（）

4.（2024秋?靖遠(yuǎn)縣月考）已知向量a,b滿足|a|=2|b|=2,且bl（b-a）,則g-a|=（）

A.1B.2C.V2D.A/3

TTTT—TT

5.（2024秋?泉州月考）己知|b|=2|a|,若a與6的夾角為60°,則2a-b在b上的投影向量為（）

T[T273T

A.bB.—萬(wàn)bC.—fbD.-b

222

6.（2024?西城區(qū)校級(jí)開學(xué)）在△ABC中，已知a=2,4=半則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)6=1時(shí)，ZkABC是銳角三角形

B.當(dāng)6=竽時(shí)，△ABC是直角三角形

C.當(dāng)人=看時(shí)，AABC是鈍角三角形

D.當(dāng)6=孩時(shí)，ZVIBC是等腰三角形

7.(2024秋?五華區(qū)校級(jí)月考)已知向量a=(1,2),|a+勿=V7,若b1(6-2a),貝|cos(a,b)=()

_V5B一匹V5V5

A.B，10c.—D.

105

8.（2024秋?五華區(qū)校級(jí)月考）設(shè)橢圓E；各，=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為R過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線與E

->O-?―>—>—>—>

交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)。滿足若AB-OC=0,AC-BF=0,則E的離心率為（)

V5V5V5

A.B.—C.D.

9753

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2024?西吉縣校級(jí)開學(xué)）下列命題正確的是（）

-?―>

A.若向量AB,CD共線，則A,B,C,。必在同一條直線上

—>—>—?—>

B.若A,B,C為平面內(nèi)任意三點(diǎn)，則力B+BC+C4=0

—>―?—>—>

C.若點(diǎn)G為△ABC的重心，則G4+GB+GC=0

—>…>r

D.已知向量a=(4+x,y-2),b=(x,y),若a〃b,則無(wú)-2y=0

（多選）10.（2024秋?吳江區(qū)校級(jí)月考）已知力、荒是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中,

能作為基底的一組是（）

A.+?2和—2。2

B.2%—°2和2。2—

C.4—2方和G

D.+。2和2?2+el

TT

（多選）11.（2024?湖南開學(xué)）設(shè)向量a=（3,k）,b=（2,-1）,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

-?T

A.若a與b的夾角為鈍角，則上>6

B.面的最小值為9

C.與％共線的單位向量只有一個(gè)，為（孝，—孝）

D.若向=3畝，則2士6

（多選）12.（2024?章貢區(qū)校級(jí)開學(xué)）在AABC中，下列說法正確的是（）

—>

A.與旗共線的單位向量為士理

叫

B.AB-AC=BC

C.若前?品V0,則△ABC為鈍角三角形

D.若△A8C是等邊三角形，則幾，晶的夾角為120°

三.填空題（共4小題）

T—TTT

13.（2024?河南模擬）已知a=（—l,3）,b=（t,2）,若（a-6）1b,貝h的值為.

—>—>—>

14.（2024?曹縣開學(xué)）己知圓。的半徑為4,BC,DE是圓。的兩條直徑，若8尸=3F。，則尸。?

FE=.

.TT—TT

15.（2024?鐵東區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知向量。=（—1,1）,b=（1/m）,若a1（jna+b）,貝|根

16.（2024?靖遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）已知正方形尸QRS的邊長(zhǎng)為2vL兩個(gè)點(diǎn)A,B（兩點(diǎn)不重合）都在直線QS

—>—>

的同側(cè)（但A,2與尸在直線SQ的異側(cè)），A,B關(guān)于直線PR對(duì)稱，若P2-RB=0,則面積的

取值范圍是.

四.解答題（共4小題）

17.（2024?江西開學(xué)）已知△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中遮asinBcosA=bsi/4.

（1）求A的值；

（2）若△ABC的面積為百，周長(zhǎng)為6,求△ABC的外接圓面積.

18.（2024?安徽開學(xué)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,高^=焉若.

（1）求角C；

（2）若△ABC的面積S=2遮，若癥）=2而，且|而|=3里，求△ABC的周長(zhǎng).

19.（2024秋?五華區(qū)校級(jí)月考）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a-26+2ccosA=0.

（1）求角C；

V3

（2）若AB邊上的高為1,△ABC的面積為可，求AABC的周長(zhǎng).

20.（2024?峨眉山市校級(jí)模擬）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足2csin2cosA

b(sinAcosB+cosAsinB).

(I)求A；

(H)若△ABC的面積為16百，。為AC的中點(diǎn)，求8。的最小值.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之平面向量及其應(yīng)用（2024年9月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1.（2024?河南模擬）如圖，在平面四邊形A8CZ）中，若BC=2AB=4,AC=2^7,AB±BD,ZBCD=

則B_D=（）

A.V3B.2C.2V6-2V2D.4V3-4

【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】先由余弦定理得出/ABC的余弦值，進(jìn)而可得NABC的大小，再由正弦定理求出8。的大小.

【解答】解：在△ABC中，BC=2AB=4,AC=2小,

義4口十占工用h田BA2+BC2-AC222+42-（2V7）2

由余弦定理可侍：cosZABC=—前就一=-^4—=-

而NA8C6（0,n）,

所以NNBC=竽，

因?yàn)槊驞所以加建,

在△8CQ中，/BCD/ZBDC=n-l-l=^n,

7nnnnnnnV6+V2

sin—=sin(—+-)=sin-cos-+cos-sin-=---------

123434344

BDBC

由正弦定理可得:

sinZ-BCDsin乙BDC'

匹

BCsin乙BCD4x

所以=7^=48-4.

sin乙BDC

~4

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

2.（2024?浙江開學(xué)）已知平面向量藍(lán)，I滿足：的=向=2,且蔡在盛上的投影向量為］71,則向量藍(lán)與

向量管-蔡的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【考點(diǎn)】平面向量的投影向量；數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義可得/■=2,再由向量的夾角公式，代入計(jì)算，即可求解.

——mnn1-?——

【解答】解：因?yàn)樾≡趎上的投影向量為=-九，所以6-n=2,

\n\\n\2

又m?(n—m)=m-n—\m\2=2—22=—2,

—?—>22

\n—m\=—m)2=J|n|—2m-n+\m\=-4—2x2+4=2,

—>—>—>

m-(n—Tn)—21

所以cos〈zn,n一加=而7r宓=—2,

且0。<(m,n—m)<180°,則On,n—m>=120°.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

—>TTTTT

3.（2024秋?安徽月考）已知向量a=（LV3）,若（a—3b）La,則b在a上的投影向量為（）

A.G，圣B.（一/，一歲

C.V，—孕）D.小竽）

【考點(diǎn)】平面向量的投影向量.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

T4

b--

【分析】由日-36）12得到三3再結(jié)合投影向量的定義，從而可求解.

TTTTT-

【解答】解：因?yàn)?a-36)la,所以a2-3a-6=0.

,->__>T4

又因?yàn)閍=(1,V3),所以。,/)=玉

TT—>T

ttabaa1V3,,?

故6在a上的投影向量為==-=故A正確.

|a||a|

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題.

7T->tTT—T7

4.（2024秋?靖遠(yuǎn)縣月考）已知向量a,b滿足|a|=2聞=2,且bl（b-a）,則仍一可=（）

A.1B.2C.V2D.V3

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂

直關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

TTTT

【分析】根據(jù)向量垂直得到方程，求出a-6=l,進(jìn)而得到g-a|.

TTTTT

【解答】解：因?yàn)閨a|=2|b|=2,且bl(6—a),

T—TTT

所以|a|=2,\b\=1,Z??(Z?—a)=0,

7——TT

即》—a-b=0,解得a?b=1,

所以—a\=J(b—a)2=Ja2+b2—2a-b=V3.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，屬于基礎(chǔ)題.

TT.TT-

5.（2024秋?泉州月考）已知|b|=2|a|,若a與b的夾角為60°,則2a—b在b上的投影向量為（

—>113T

A.bB.-2bC.-7TbD.-b

2

【考點(diǎn)】平面向量的投影向量.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

_,_>_._V->—>_V

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律，算出a?=|a『、（2a-b>b=-2\a\2,然后根據(jù)投影

向量的公式加以計(jì)算，即可得到本題的答案.

【解答】解：根據(jù)題意，可得a?b=|a|*|h|cos60°=\a\*2\a\9-=|a|2,

_>—>—>_>—>_>_>_>_)

所以(2a—b)，b=2a,b—b2=2|a|2-41al2=-2|a|,

TTTTT、T

可得2/--在「上的投影向量為（2口?）必x4-=一絲?x-4r=--b.

\b\\b\2|a|2\a\2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)、投影向量的概念等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2024?西城區(qū)校級(jí)開學(xué)）在aABC中，已知a=2,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)6=1時(shí)，△A8C是銳角三角形

B.當(dāng)6=竽時(shí)，△ABC是直角三角形

C.當(dāng)6=彳寸，△ABC是鈍角三角形

D.當(dāng)6=|時(shí)，"BC是等腰三角形

【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷.

【專題】方程思想；綜合法；解三角形；邏輯推理.

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：因?yàn)閍=2,A=l，由正弦定理得：sinB=嗯獸=萼=單,

3ClZ4,

對(duì)于4當(dāng)6=1時(shí)，sinB=由6ca且s譏B=苧V*可知，BV卷可得C*,

所以△ABC為鈍角三角形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,當(dāng)6=時(shí)，sinB=l,即B為直角，故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，sEB=嚕>1,可知2不存在，二角形不存在，故C錯(cuò)誤；

r7171717171

對(duì)于。，當(dāng)力=可時(shí)，sinB=>TJ,又b〈a,所以一VBV一,所以一VCV—,

$/6332

顯然△ABC不可能是等腰三角形，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.

—>—>_>-T—>>

7.（2024秋?五華區(qū)校級(jí)月考）已知向量a=（1,2）,|a+。=夕，若b1（b-2a）,則cos〈a/b）=（

AV5BV5cV5V5

A

-FB.-JoC.10D.5

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】c

T—T—T

【分析】根據(jù)向量的模的公式，算出聞=逐.設(shè)Va,6>=①根據(jù)|a+6|=g,利用平面向量數(shù)量積

—>—>—>—>_>—>—>

的運(yùn)算性質(zhì)算出2V5|b|cos8+|b|2=2,根據(jù)b1(b一2a)歹U式算出|bF-2V^|b|cose=0,兩式聯(lián)解算出cos6

的值，即可得到本題的答案.

TTT—______

【解答】解：設(shè)Vfl,b>=0,由。=(1,2),得|a|=7I?+2?=6,

因?yàn)閨a+b|=J7,所以(a+匕)2=\a\1+2a9b+|b|2=7,

—>—>—>—>

即5+2迷網(wǎng)cose+網(wǎng)2=7,整理得2通網(wǎng)cose+g|2=2…①.

->—>_->—>_—>—>

因?yàn)閎l(b-2a),所以b?b-2a)=0,即網(wǎng)?一2西|b|cos9=0…②.

由①②組成方程組，解得面=1,cosB=磊即cosvZ,b>=^.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的模的公式、平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，考查了計(jì)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

8.(2024秋?五華區(qū)校級(jí)月考)設(shè)橢圓E：盤+*l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為R過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線與E

交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C滿足4尸=,(7,若4B?3=(),AC-BF=0,則E的離心率為()

V5V5V5V5

A.—B.—C.—D.—

9753

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；解三角形；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

—>—>

【分析】根據(jù)題意可得AB_LOC且BP_LAC,且AF：FC=2：3,因此設(shè)|4F|=2f、|FC|=3rG>0),利

用垂直平分線的性質(zhì)與勾股定理求出BC=5f,BF=4f,A3=2有人設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為/，連接/A、

F'B,可得四邊形AFBP為平行四邊形，從而利用橢圓的定義求出橢圓的離心率6=年窖而=坐.

AF+71F3

—>—>—>—>—>—>

【解答】解：設(shè)網(wǎng)=200),則|FC|=3f,由4B-OC=0,AC-BF=0,可得A8_L0C且BHLAC,

因?yàn)锳、8關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱，所以。4=02,結(jié)合ABL0C可得CA=CB,結(jié)合CA=|4F|+|FC|=5r,可得

CB=5t.

RtABFC中，BF=yJCB2-FC2=V25t2-9t2=4r；RtAABF中，AB=y/AF2+BF2=V16t2+4t2=

2V5t.

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為P,連接/A、F'B,則四邊形AEBP為平行四邊形，所以EF'=AB=245t,

因?yàn)锳F'=BF=4t,AP=2t,所以橢圓的離心率e=先=肅"==尊

乙aAr+4P4t+zu3

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積及其性質(zhì)、利用勾股定理解三角形、橢圓的定義與簡(jiǎn)單幾何性

質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2024?西吉縣校級(jí)開學(xué)）下列命題正確的是（）

A.若向量前，而共線，則A,B,C,。必在同一條直線上

—>—>—>—>

B.若A,B,（?為平面內(nèi)任意三點(diǎn)，貝1]48+8。+。4=0

-?—>—>—>

C.若點(diǎn)G為△ABC的重心，則GA+GB+GC=0

,TT.,T

D.已知向量a=（4+尤，y-2）,b={x,y）,右a〃b,貝lj尤-2y=0

【考點(diǎn)】平面向量的平行向量（共線向量）.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】BC

【分析】根據(jù)向量共線的定義判斷出A項(xiàng)的正誤；平面向量的線性運(yùn)算法則判斷出B項(xiàng)的正誤；根據(jù)

平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)與三角形重心的性質(zhì)，可判斷出C項(xiàng)的正誤；根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示，

判斷出。項(xiàng)的正誤.

->—>

【解答】解：對(duì)于A,若向量AB,CD共線，只需兩個(gè)向量方向相同或相反，

不一定A、B、C、。在同一直線上，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

—>―?—>—>—>—>

對(duì)于8,根據(jù)平面向量線的性運(yùn)算法則，可知力B+BC+ca=ac+a4=o,故B項(xiàng)正確；

—>—>—>—>—>

對(duì)于C,若點(diǎn)G為△ABC的重心，設(shè)AB中點(diǎn)為M,貝UG4+GB+GC=2GM+GC,

—>—>—>—>—>—>—>—>—>

由三角形重心的性質(zhì)，得CG=2GM,可得2GM+GC=0,所以G4+GB+GC=0,故C項(xiàng)正確；

對(duì)于。，因?yàn)橄蛄?=（4+x,y-2）,b-（x,y）,且三〃6,

所以（4+xAy=x?（y-2）,化簡(jiǎn)得尤+2y=0,故。項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算法則、三角形重心的性質(zhì)、兩個(gè)向量平行的條件等知識(shí)，考

查概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）10.（2024秋?吳江區(qū)校級(jí)月考）已知言、苴是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，

能作為基底的一組是（）

A.er+e2A口0—2e2

B.2?i-92和—4e1

C.e1—20和G

―?~~?--

D.e1+02和2e2+e］

【考點(diǎn)】用平面向量的基底表示平面向量.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)基向量定義，利用待定系數(shù)法判斷每組向量是否共線，即可得到所求答案.

【解答】解：對(duì)于A,設(shè)易+g=2（易—2尾）=2易—22扇，則/方程組無(wú)解，

所以5+屆和3-2最不共線，它們能作為基底，A項(xiàng)符合題意；

對(duì)于8,因?yàn)楸椤?溢=—2（2el—g），所以遍—扇和2苴—4溫共線，不能作為基底，3項(xiàng)不符合題

.在一

忌；

對(duì)于。、D,類似于A的方法，可證出3-2扇和/不共線，［+扇和2扇+/也不共線.

因此，/一2最與3、［+■與2最+［均能作為基底，。、。兩項(xiàng)都符合題意.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量共線的條件、基向量的概念等知識(shí)，考查概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）11.（2024?湖南開學(xué)）設(shè)向量a=（3,k）,b=（2,—1）,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若a與b的夾角為鈍角，則上>6

B.血的最小值為9

C.與不共線的單位向量只有一個(gè)，為（孝，—孝）

->T

D.若|a|=3\b\,則k=±6

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】BC

T—T——

【分析】A選項(xiàng)，a-bV0且a,6不反向共線，得到不等式，求出Q6；B選項(xiàng)，利用模長(zhǎng)公式得到|a|的

—>

tb

最小值為3；C選項(xiàng)，求出網(wǎng)=強(qiáng)，從而得到利用=求出答案；。選項(xiàng)，利用模長(zhǎng)公式得到方程，求

\b\

出k=±6.

T—TTTT

【解答】解：A選項(xiàng)，Q與b的夾角為鈍角，故且%b不反向共線，

貝Ua-6=（3,fc）-（2,—1）=6—kVO且-3-2AW0,解得Q>6且k力一會(huì)

綜上，k>6,A正確；

B選項(xiàng)，位|=回不23,當(dāng)且僅當(dāng)人=0時(shí)，等號(hào)成立，故向的最小值為3,8錯(cuò)誤；

—>—>

C選項(xiàng)，|b|=vm=v^,與b共線的單位向量有2個(gè)，

為±弓，急=±（竽，-金，c錯(cuò)誤;

。選項(xiàng)，若向=3畝，則<9+爐=3后解得仁士6,。正確.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量夾角、向量數(shù)量積公式、模長(zhǎng)公式、單位向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

屬于基礎(chǔ)題.

（多選）12.（2024?章貢區(qū)校級(jí)開學(xué)）在△ABC中，下列說法正確的是（）

A.與詬共線的單位向量為士理

\AB\

B.AB-AC=BC

—>—>

C.^AB-AC<0,則△ABC為鈍角三角形

—>—>

D.若△ABC是等邊三角形，貝以8,AC的夾角為120°

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角；平面向量中的零向量與單位向量.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】AC

【分析】根據(jù)單位向量與向量共線的定義判斷出A項(xiàng)的正誤；由向量的減法法則判斷出B項(xiàng)的正誤；

由平面向量的夾角的定義與平面向量數(shù)量積的定義，判斷出C、。兩項(xiàng)的正誤.

—>

【解答】解：對(duì)于A,與我共線的單位向量為土絲，符合單位向量與向量共線的定義，故A項(xiàng)正確;

|明

—>—>—>

對(duì)于8,根據(jù)向量的減法法則，可得力B-4C=CB,故3項(xiàng)錯(cuò)誤；

—>—>—>—>

對(duì)于C,AB-AC=\AB\■\AC\cosA<0,所以cosA<0,結(jié)合Ae(0,n)可知A為鈍角，故C項(xiàng)正確；

對(duì)于。，若△ABC是等邊三角形，貝MB,AC的夾角為NB4c=60°,故。項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了單位向量的概念、平面向量的夾角與數(shù)量積的定義及其運(yùn)算，考查概念的理解

能力，屬于基礎(chǔ)題.

三.填空題(共4小題)

T—TTT

13.(2024?河南模擬)己知a=(—1,3),b=(t,2),若(a—6)1b,則f的值為-2或1.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】-2或1.

T—TT——

【分析】由(a-b)1b可得(a-b)-b=0,展開代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【解答】解：由題意可得a—b=(―1—tf1),

TT—T—T

因?yàn)?a—b)lb,所以(a—b)-b=0,

所以(-1-力什2=6

解得t=-2或/=1.

故答案為：-2或1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

-?—>—>—>

14.(2024?曹縣開學(xué))己知圓。的半徑為4,BC,OE是圓O的兩條直徑，若8F=3FO,則/。?FE=.

【考點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】-15.

—>―?—>—>—>—>

【分析】由題可得尸。|=L\OD\=4,利用向量基本定理和數(shù)量積公式得到F。?FE=\FO\2-\OD\2

-15.

—>—>

【解答】解：由題意可得，\FO\=1,\OD\=4,

____

—?—?—?—>—>—>—?—>—>—>—>—>

FD-FE=(F。+。。)?(F。+OE)=(FO+。。)?(F。-。。)=|FO|2-|OD|2=-15.

故答案為：-15.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

一TTTTT1

15.(2024?鐵東區(qū)校級(jí)開學(xué))已知向量a=(-1,1),b=(1,m),若al(ma+6),則.=:

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】1.

TT

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得ma+b=(1-ni,2m),結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.

->TTT

【解答】解：因?yàn)閍=(-1,1),b=(1,m),則ma+b=(1-2m),

若a1(ma+b),則a-(ma+h)=m—1+2m=0,解得m

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2024?靖遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬)已知正方形PQRS的邊長(zhǎng)為2/，兩個(gè)點(diǎn)A,B(兩點(diǎn)不重合)都在直線0s

—>—>

的同側(cè)(但A,B與尸在直線S。的異側(cè))，A,B關(guān)于直線PR對(duì)稱，若P2-RB=0,則△BAS面積的

取值范圍是(2,+8).

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(2,+8).

—>—>

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由P4-RB=0求出A點(diǎn)軌跡，由軌跡特征求A點(diǎn)到直線PS的距離的取

值范圍，可求面積的取值范圍.

【解答】解：以PR為無(wú)軸，QS為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

貝I]P(-2,0),R(2,0),S(0,2),Q(0,-2),

->—>

設(shè)A(x,y)(x>0),B(x,-y),所以PA=(久+2,y),RB=(久—2,—y),

因?yàn)橐?薪=0,所以(尤+2)(尤-2)-y2=0,

即A位于雙曲線？-/=4的右支上，漸近線方程為丁二苫或丫二-x,

直線y=x與直線PS：x-y+2=0的距離為迎，

即A點(diǎn)到直線尸S的距離的取值范圍是(a，+oo),

又PS=2/，所以△BAS面積的取值范圍是(2,+8).

故答案為:(2,+°°).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量與解析幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

四.解答題(共4小題)

17.(2024?江西開學(xué))已知△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中V5as譏8cos4=bsi/4.

(1)求A的值；

(2)若AABC的面積為舊，周長(zhǎng)為6,求AABC的外接圓面積.

【考點(diǎn)】解三角形.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)A=~

47r

(2)—.

3

【分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，從而求得A.

(2)根據(jù)三角形的面積公式、余弦定理等知識(shí)求得外接圓的半徑，從而求得外接圓的面積.

【解答】解：(1)由正弦定理得V5sinAsiziBcosZ=

因?yàn)閟inA,sinBWO,故EcosZ=sinZ,則tcmZ=遍，

因?yàn)锳C(0,n),故4=*

(2)由題意S-BC==空兒=遮，故/?c=4.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=(A+c)2-3bc=(6-a)2-12,

解得a=2.故△ABC的外接圓半徑R=無(wú)為=:，

ZsinAJ3

故所求外接圓面積S=71R2=舞.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.

18.(2024?安徽開學(xué))在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,備=約2.

COSCCOSD

(1)求角c；

(2)若△ABC的面積S=28，若AD=2DB,且|。。|=管匕求△ABC的周長(zhǎng).

【考點(diǎn)】解三角形.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)C=J

(2)6+2百或9+后.

【分析】(1)由正弦定理邊化角再結(jié)合兩角和的正弦公式即可求出cosC,進(jìn)而求出角C.

T1T2T

(2)先由三角形面積公式得〃。=8,再由題意得CD=［乙4+1。8,兩邊平方化簡(jiǎn)后結(jié)合出?=8即可求

出〃，b,進(jìn)而得c,從而得解.

—，一c2a-b「一、,"siziC2sinA-sinB

【解答】解：(1)由于--=-根據(jù)正弦定理得一-=----------，

cosCcosBcosCcosB

所以sinCcosB=2sinAcosC-sinBcosC,

所以sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosC,

則有sin(B+C)=sinA=2sinAcosC,

在△ABC中,sinAWO,cosC=則C=*

(2)由(1)得S-BC=:absinC=^abx^-=^-ab=2百，

7TT2/71

故ab=8,又AD=2DB,且|CD|=^^,

ADB

所以CD=CB-DB=CB-^AB=CB-1(CB-CA)=^CA+^CB,

又G4?CB=abcosC=abcos-^==4,

4T4后-144

222cb224

所以|CB|2=(IcA+1CB)=^CA+-+---+-a+-X-

9CB9999

所以戶+4/=68,結(jié)合必=8解得｛彳］；或［二；，

當(dāng)。=4,b—2時(shí)，c2=a2+b2-2abeosC=42+22—2x4x2cos=12,

故c=2百，此時(shí)三角形周長(zhǎng)為6+2次；

當(dāng)。=1,6=8時(shí)，c2=a2+b2-2abcosC=l2+82-2xlx8cos^=57,

故c=蜀,此時(shí)三角形周長(zhǎng)為9+后.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，余弦定理，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.（2024秋?五華區(qū)校級(jí)月考）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a-26+2ccosA=0.

（1）求角C;

（2）若AB邊上的高為1,△ABC的面積為匚，求△ABC的周長(zhǎng).

【考點(diǎn)】解三角形；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)C=/

(2)2V3.

【分析】(1)根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合sinB=sin(A+C),利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到sinA

1

(1-2cosC)=0,由sinA>0可得cosC=5，結(jié)合Ce(0,TT)算出角C的大小；

(2)根據(jù)三角形的面積公式算出c=竽且必=*然后利用余弦定理。2=/+廿_2"cosC求出竽,

進(jìn)而求得aABC的周長(zhǎng).

【解答】解：(1)由〃-2/?+2ccosA=0,根據(jù)正弦定理得sinA-2sinB+2sinCcosA=0,

將sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC代入，整理得sinA(1-2cosC)=0,

因?yàn)锳C(0,IT),可得sinA>0,所以1-2cosC=0,即cosC=會(huì)結(jié)合Ce(0,IT),得C=?

(2)因?yàn)椤鰽BC的AB邊上的高Zz=l,所以SAABC=^=字，解得c=孥.

4

由c=半-

3

7T4AA.

根據(jù)余弦定理c1=a2+b2-2abeos—=-，得J+d_帥=5,即(a+b)2-3ab=中

3333

竽

24當(dāng)

所以

-心

可得(〃+/?)3

因此，八鉆。的周長(zhǎng)〃+。+°=竽