【滬教】第三次月考卷【24~26章】

九年級上學期第三次月考卷（考試時間：100分鐘試卷滿分：150分）第Ⅰ卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】1．（2023秋?普陀區(qū)期中）下列y關(guān)于x的函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（）A． B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y＝2x2﹣2x+12．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）如果a：b＝4：7，那么下列四個選項中一定正確的是（）A．7a＝4b B．（b﹣a）：a＝3：7 C．4a＝7b D．b﹣a＝33．（2023秋?閔行區(qū)期中）已知是非零向量，如果與同方向的單位向量記作，那么下列式子中正確的是（）A．|| B．＝1 C． D．＝4．（2023秋?普陀區(qū)期中）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0 C．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0 D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜05．（2023秋?楊浦區(qū)期中）下列兩個三角形不一定相似的是（）A．有一個內(nèi)角是30°的兩個等腰三角形 B．有一個內(nèi)角是60°的兩個等腰三角形 C．有一個內(nèi)角是90°的兩個等腰三角形 D．有一個內(nèi)角是120°的兩個等腰三角形6．（2023秋?楊浦區(qū)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應位置上】7．（2023秋?黃浦區(qū)期中）如果x：y＝5：3，那么＝．8．（2023秋?黃浦區(qū)期中）如果在比例尺為1：1000000的地圖上，A、B兩地的圖上距離是1.6厘米，那么A、B兩地的實際距離是千米．9．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）已知點B在線段AC上，且，設AC＝2cm，則AB的長為cm．10．（2023秋?普陀區(qū)期中）如圖，正方形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上，如果BC＝12，△ABC的面積是36，那么DG的長為．11．（2023秋?閔行區(qū)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，如果AB＝14，那么AC＝．12．（2023秋?楊浦區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，點D在邊AB上，AC＝AD＝3BD，∠DCB＝∠A，那么cos∠ACD的值是．13．（2023秋?普陀區(qū)期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，M是DE的中點，CM的延長線交邊AB于點N，那么的值為．14．（2023秋?普陀區(qū)期中）已知點A（3，n）在二次函數(shù)y＝2x2﹣5x﹣3的圖象上，那么n的值為．15．（2023秋?徐匯區(qū)月考）將拋物線y＝x2+2向下平移3個單位，那么平移后所得拋物線的表達式為．16．（2023秋?黃浦區(qū)期中）已知點G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的長為．17．（2023秋?黃浦區(qū)期中）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．18．（2022秋?靜安區(qū)校級期末）若拋物線y＝ax2+c與x軸交于點A（m，0）、B（n，0），與y軸交于點C（0，c），則稱△ABC為“拋物三角線”．特別地，當mnc＜0時，稱△ABC為“正拋物三角形”；當mnc＞0時，稱△ABC為“倒拋物三角形”．那么，當△ABC為“倒拋物三角形”時，a、c應分別滿足條件．三、解答題：（本大題共7題，19-22題每題10分，23-24題每題12分，25題14分，滿分78分）19．（2023秋?黃浦區(qū)期中）計算：|cot30°﹣1|．20．（2023秋?黃浦區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足為點D，E是BD的中點，聯(lián)結(jié)AE并延長，交邊BC于點F．（1）求∠EAD的正切值；（2）求的值．21．（2023秋?普陀區(qū)期中）已知拋物線y＝ax2﹣4x與x軸交于點A（4，0），其頂點記作點P．（1）求此拋物線的頂點P的坐標．（2）將拋物線y＝ax2﹣4x向左平移m（m＞0）個單位，使其頂點落在直線y＝x上，求平移后新拋物線的表達式．22．（2023秋?閔行區(qū)期中）已知：如圖，平行四邊形ABCD中，點M、N分別在邊DC、BC上，對角線BD分別交AM、AN于點E、F，且DE：EF：BF＝1：2：1．（1）求證：MN∥BD；（2）設，，請直接寫出和關(guān)于、的分解式：＝；＝．23．（2023秋?楊浦區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC中，點P是邊BC上的一點，連接AP，S△ABP2＝S△ACP?S△ABC．（1）求證：BP2＝CP?BC；（2）過點A作AD⊥BC，垂足為點D，BD＝4DC，點E在邊AB上，S△BDE＝S△ABP，求的值．24．（2023秋?黃浦區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．求證：（1）△ABE∽△ADF；（2）CD?EF＝AC?AE．25．（2023秋?普陀區(qū)期中）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線y＝x2+bx+c過點A、B、C，點A的坐標是（3，0），點C的坐標是（0，﹣3），連接AC，拋物線的頂點為點D．（1）求拋物線的表達式；（2）求△ACD的面積；（3）如果點P是拋物線上的一點，當∠PCA＝15°時，求點P的橫坐標．

九年級上學期第三次月考卷（考試時間：100分鐘試卷滿分：150分）一．選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（2023秋?普陀區(qū)期中）下列y關(guān)于x的函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（）A． B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x﹣1 D．y＝2x2﹣2x+1【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個判斷即可．【解答】解：A．不是二次函數(shù)，故本選項不符合題意；B．當a＝0時，不是二次函數(shù)，故本選項符合題意；C．是一次函數(shù)，故本選項不符合題意；D．是二次函數(shù)，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，能熟記二次函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫二次函數(shù)．2．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）如果a：b＝4：7，那么下列四個選項中一定正確的是（）A．7a＝4b B．（b﹣a）：a＝3：7 C．4a＝7b D．b﹣a＝3【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進行計算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵a：b＝4：7，∴7a＝4b，故A符合題意；B、∵a：b＝4：7，∴＝，∴＝﹣1＝﹣1＝，故B不符合題意；C、∵a：b＝4：7，∴7a＝4b，故C不符合題意；D、∵a：b＝4：7，∴設a＝4k，b＝7k，∴b﹣a＝3k，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?閔行區(qū)期中）已知是非零向量，如果與同方向的單位向量記作，那么下列式子中正確的是（）A．|| B．＝1 C． D．＝【分析】單位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量，單位向量具有確定的方向．一個非零向量除以它的模，可得與其方向相同的單位向量．單位向量有無數(shù)個；不同的單位向量，是指它們的方向不同．【解答】解：A、||＝，原計算錯誤，不符合題意；B、＝，原計算錯誤，不符合題意；C、||＝，原計算正確，符合題意；D、，原計算錯誤，不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查了平面向量的模與向量的一些基礎知識，應熟練掌握一個非零向量除以它的模，可得與其方向相同的單位向量．4．（2023秋?普陀區(qū)期中）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0 C．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0 D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可以判斷a、b、c的正負情況，從而可以解答本題．【解答】解：由函數(shù)圖象，可得函數(shù)開口向上，則a＞0，頂點在y軸左側(cè)，則b＞0，圖象與y軸交點在y軸負半軸，則c＜0，故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確a、b、c的符號根據(jù)圖象如何判斷．5．（2023秋?楊浦區(qū)期中）下列兩個三角形不一定相似的是（）A．有一個內(nèi)角是30°的兩個等腰三角形 B．有一個內(nèi)角是60°的兩個等腰三角形 C．有一個內(nèi)角是90°的兩個等腰三角形 D．有一個內(nèi)角是120°的兩個等腰三角形【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定方法分別判斷得出答案．【解答】解：A、有一個內(nèi)角是30°的兩個等腰三角形，因為30°是等腰三角形的頂角與底角不能確定，則兩個三角形不一定相似，故此選項符合題意；B、有一個內(nèi)角是60°的兩個等腰三角形都是等邊三角形，兩個等邊三角形相似，故此選項不合題意；C、有一個內(nèi)角為90°的兩個等腰三角形，一定相似，故此選項不合題意；D、有一個內(nèi)角是120°的兩個等腰三角形，一定相似，故此選項不合題意．故選：A．【點評】本題考查相似三角形的判定，相似三角形的最常用的方法判斷方法：（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．6．（2023秋?楊浦區(qū)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【分析】由銳角的三角函數(shù)定義，即可解決問題．【解答】解：∵sinB＝＝，∴令AC＝3x，AB＝5x，∵∠C＝90°，∴BC＝＝4x，∴sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝，cotA＝＝＝．故選：D．【點評】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)定義．二．填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（2023秋?黃浦區(qū)期中）如果x：y＝5：3，那么＝．【分析】先把化成﹣1，再代值計算即可．【解答】解：∵x：y＝5：3，∴＝﹣1＝﹣1＝；故答案為：．【點評】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，是一道基礎題．8．（2023秋?黃浦區(qū)期中）如果在比例尺為1：1000000的地圖上，A、B兩地的圖上距離是1.6厘米，那么A、B兩地的實際距離是16千米．【分析】實際距離＝圖上距離：比例尺，根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)可直接得出實際距離．【解答】解：根據(jù)題意，1.6÷＝1600000厘米＝16千米．即實際距離是16千米．故答案為：16．【點評】本題考查了比例線段的知識，注意掌握比例線段的定義及比例尺，并能夠靈活運用，同時要注意單位的轉(zhuǎn)換．9．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）已知點B在線段AC上，且，設AC＝2cm，則AB的長為（﹣1）cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進行計算，即可解答．【解答】解：∵點B在線段AC上，且，∴點B是AC的黃金分割點，∴＝，∵AC＝2cm，∴AB＝AC＝（﹣1）cm，故答案為：（﹣1）．【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋?普陀區(qū)期中）如圖，正方形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上，如果BC＝12，△ABC的面積是36，那么DG的長為4．【分析】由三角形的面積公式可求AH的長，通過證明△ADG∽△ABC，可得，即可求解．【解答】解：如圖：過點A作AH⊥BC于H，交DG于N，∵△ABC的面積是36，BC＝12，∴×BC?AH＝36，∴AH＝6，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，∴，∴DG＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋?閔行區(qū)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，如果AB＝14，那么AC＝4．【分析】根據(jù)cosB＝，AB＝14，得cosB＝＝＝，求出BC＝10，再根據(jù)勾股定理可得AC的長．【解答】解：∵cosB＝，AB＝14，∴cosB＝＝＝，∴BC＝10，∴AC＝＝＝4．故答案為：．【點評】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形和勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．12．（2023秋?楊浦區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，點D在邊AB上，AC＝AD＝3BD，∠DCB＝∠A，那么cos∠ACD的值是．【分析】過A作AH⊥CD于H，設BD＝m，可得AC＝AD＝3m，AB＝4m，由△DCB∽△CAB，得＝＝，故BC＝2m，CD＝m，從而CH＝CD＝m，可得cos∠ACH＝＝＝，即cos∠ACD＝．【解答】解：過A作AH⊥CD于H，如圖：設BD＝m，∵AC＝AD＝3BD，∴AC＝AD＝3m，AB＝4m，∵∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，∴△DCB∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得BC＝2m，CD＝m，∵AC＝AD，AH⊥CD，∴CH＝CD＝m，在Rt△ACH中，cos∠ACH＝＝＝，∴cos∠ACD＝；故答案為：．【點評】本題考查解直角三角形和相似三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形和掌握三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定代入．13．（2023秋?普陀區(qū)期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，M是DE的中點，CM的延長線交邊AB于點N，那么的值為．【分析】由三角形中位線定理可得DE∥BC，DE＝BC，通過證明△DNM∽△BNC，可得＝（）2＝，即可求解．【解答】解：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC，DE＝BC，∵M是DE的中點，∴DM＝DE＝BC，∵DE∥BC，∴△DNM∽△BNC，∴＝（）2＝，∴＝，故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的定理，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋?普陀區(qū)期中）已知點A（3，n）在二次函數(shù)y＝2x2﹣5x﹣3的圖象上，那么n的值為0．【分析】將A（3，n）代入二次函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)＝2x2﹣5x﹣3，然后解關(guān)于n的方程即可．【解答】解：∵點A（3，n）在二次函數(shù)y＝2x2﹣5x﹣3的圖象上，∴n＝2×9﹣5×3﹣3＝0，即n＝0，故答案為：0．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．二次函數(shù)圖象上所經(jīng)過的點，均能滿足該函數(shù)的解析式．15．（2023秋?徐匯區(qū)月考）將拋物線y＝x2+2向下平移3個單位，那么平移后所得拋物線的表達式為y＝x2﹣1．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)則“上加下減”進行求解即可．【解答】解：將拋物線y＝x2+2向下平移3個單位，那么平移后所得拋物線的表達式為y＝x2+2﹣3，即y＝x2﹣1．故答案為：y＝x2﹣1．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握函數(shù)圖象平移規(guī)則是解答的關(guān)鍵．16．（2023秋?黃浦區(qū)期中）已知點G是等腰直角三角形ABC的重心，AC＝BC＝6，那么AG的長為2．【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍解答即可．【解答】解：∵G是等腰直角△ABC的重心，AC＝BC＝6，∴CD＝BC＝3，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AG＝×＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了三角形的重心，熟記三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋?黃浦區(qū)期中）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為15．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計算即可．【解答】解：如圖，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴陰影梯形的面積＝（HK+GF）?GH＝（1+4）×6＝15．故答案為：15．【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對應邊成比例．18．（2022秋?靜安區(qū)校級期末）若拋物線y＝ax2+c與x軸交于點A（m，0）、B（n，0），與y軸交于點C（0，c），則稱△ABC為“拋物三角線”．特別地，當mnc＜0時，稱△ABC為“正拋物三角形”；當mnc＞0時，稱△ABC為“倒拋物三角形”．那么，當△ABC為“倒拋物三角形”時，a、c應分別滿足條件a＞0，c＜0．【分析】根據(jù)m、n關(guān)于y軸對稱，則mn＜0，則c的符號即可確定，然后根據(jù)拋物線與x軸有交點，則可以確定開口方向，從而確定a的符號．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+c的對稱軸是y軸，∴A（m，0）、B（n，0）關(guān)于y軸對稱，∴mn＜0，又∵mnc＞0，∴c＜0，即拋物線與y軸的負半軸相交，又∵拋物線y＝ax2+c與x軸交于點A（m，0）、B（n，0），∴函數(shù)開口向上，∴a＞0．故答案為：a＞0，c＜0．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確確定二次函數(shù)的開口方向是本題的關(guān)鍵．三、解答題：（本大題共7題，19-22題每題10分，23-24題每題12分，25題14分，滿分78分）19．（2023秋?黃浦區(qū)期中）計算：|cot30°﹣1|．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可．【解答】解：原式＝+|﹣1|＝+﹣1＝+﹣1＝+1+﹣1＝+．【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋?黃浦區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足為點D，E是BD的中點，聯(lián)結(jié)AE并延長，交邊BC于點F．（1）求∠EAD的正切值；（2）求的值．【分析】（1）先根據(jù)三角函數(shù)值求AD的長，由勾股定理得BD的長，根據(jù)三角函數(shù)定義可得結(jié)論；（2）作平行線，構(gòu)建平行線分線段成比例定理可設CG＝3x，F(xiàn)G＝5x，分別表示BF和FC的長，代入可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADE＝90°，Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC＝，∴AD＝5，由勾股定理得：BD＝＝＝12，∵E是BD的中點，∴ED＝6，∴∠EAD的正切＝＝；（2）過D作DG∥AF交BC于G，∵AC＝8，AD＝5，∴CD＝3，∵DG∥AF，∴＝，設CG＝3x，F(xiàn)G＝5x，∵EF∥DG，BE＝ED，∴BF＝FG＝5x，∴．【點評】本題是考查了解直角三角形的問題，熟練掌握三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)的定義列式，如果沒有直角三角形，或?qū)⒔寝D(zhuǎn)化到直角三角形內(nèi)，或作垂線構(gòu)建直角三角形．21．（2023秋?普陀區(qū)期中）已知拋物線y＝ax2﹣4x與x軸交于點A（4，0），其頂點記作點P．（1）求此拋物線的頂點P的坐標．（2）將拋物線y＝ax2﹣4x向左平移m（m＞0）個單位，使其頂點落在直線y＝x上，求平移后新拋物線的表達式．【分析】（1）依據(jù)題意，將A（4，0）代入拋物線解析式可得a的值，再配方成頂點式可以得解；（2）由（1）所求拋物線根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合此時頂點特征可以得解．【解答】解：（1）由題意，將A（4，0）代入拋物線y＝ax2﹣4x得，∴16a﹣16＝0．∴a＝1．∴拋物線為y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4．∴此拋物線的頂點P（2，﹣4）．（2）由題意，拋物線y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4向左平移m（m＞0）個單位，∴新拋物線為y＝（x﹣2+m）2﹣4．∴此時頂點為（2﹣m，﹣4）．又頂點落在直線y＝x上，∴2﹣m＝﹣4．∴m＝6．∴新拋物線的表達式為y＝（x﹣2+6）2﹣4＝（x+4）2﹣4，即y＝（x+4）2﹣4．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及圖形的旋轉(zhuǎn)以及配方法求二次函數(shù)頂點坐標等知識，正確記憶二次函數(shù)平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．22．（2023秋?閔行區(qū)期中）已知：如圖，平行四邊形ABCD中，點M、N分別在邊DC、BC上，對角線BD分別交AM、AN于點E、F，且DE：EF：BF＝1：2：1．（1）求證：MN∥BD；（2）設，，請直接寫出和關(guān)于、的分解式：＝；＝．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以及DE：EF：BF＝1：2：1．推出即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形計算法則得出，由（1）的結(jié)論得出，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD．∵DE：EF：BF＝1：2：1，∴，∵AB∥CD，，又∵AB＝CD，∴，同理可得，∴，∴MN∥BD；（2）解：∵，，∴，∵MN∥BD，∴，∴BD＝，∴．故答案為：，．【點評】本題考查了平面向量，平行四邊形的性質(zhì)，數(shù)據(jù)平面向量的三角形運算法則是解題的關(guān)鍵．23．（2023秋?楊浦區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC中，點P是邊BC上的一點，連接AP，S△ABP2＝S△ACP?S△ABC．（1）求證：BP2＝CP?BC；（2）過點A作AD⊥BC，垂足為點D，BD＝4DC，點E在邊AB上，S△BDE＝S△ABP，求的值．【分析】（1）由三角形的面積公式可得（×BP?AH）2＝×CP?AH××BC?AH，即可求解；（2）由（1）的結(jié)論可求BP＝，通過證明△BEN∽△BAD，可得＝，即可求解．【解答】（1）證明：如圖，過點A作AH⊥BC于點H，∵S△ABP2＝S△ACP?S△ABC，∴（×BP?AH）2＝×CP?AH××BC?AH，∴BP2＝CP?BC；（2）解：∵S△BDE＝S△ABP，∴×BD?EN＝×BP?AD，∴＝，∵BD＝4CD，∴BC＝5CD，∵BP2＝CP?BC，∴BP2＝（BC﹣BP）?BC，∴BP2+5CD?BP﹣25CD2＝0，∴BP＝（負值舍去），∵EN⊥BC，AD⊥BC，∴EN∥AD，∴△BEN∽△BAD，∴＝，∴＝＝＝．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．24．（2023秋?黃浦區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．求證：（1）△ABE∽△ADF；（2）CD?EF＝AC?AE．【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得∠B＝∠D，再根據(jù)垂直的定義得到∠AEB＝∠AFD＝90°，于是可根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似判斷△ABE∽△ADF；（2）先根據(jù)相似的性質(zhì)得＝，而AD＝BC，根據(jù)比例性質(zhì)得＝，然后利用AB∥CD得到∠BAF＝∠AFD＝90°，則可根據(jù)等角的余角相等得∠B＝∠EAF，則可根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似判斷△AEF∽△ABC即可解答．【解答】證明：（1）∵四邊形A