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2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期第一次月考B卷·重點難點過關(guān)測(考試時間:100分鐘試卷滿分:150分)注意事項:1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答第Ⅰ卷時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.測試范圍:第24章、第25章(滬教版)5.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題:(本大題共6題,每題4分,滿分24分)【下列各題的四個選項中,有且只有一個選項是正確的,選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1.(2023春?浦東新區(qū)校級期末)已知P是線段AB的黃金分割點,且AP>BP,則下列比例式能成立的是()A. B. C. D.2.(2021秋?沈河區(qū)期末)如圖,△ABC中,∠A=76°,AB=8,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是()A. B. C. D.3.(2023春?靜安區(qū)期末)下列判斷中,不正確的是()A.= B.= C.如果||=||,那么 D.+()=()4.(2020秋?嵐山區(qū)月考)如圖,D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點,且DE∥AC,AE、CD相交于點O,若S△DOE:S△COA=1:25,則S△BDE與S△CDE的比是()A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:255.(2023?楊浦區(qū)一模)已知點A(1,2)在平面直角坐標系xOy中,射線OA與x軸正半軸的夾角為α,那么cosα的值為()A. B.2 C. D.6.(2023春?普陀區(qū)校級期末)如圖,在△ABC中,點D、E分別在邊AB、AC上,AD=2,BD=3,能判斷DE∥BC的是()A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空題:(本大題共12題,每題4分,滿分48分)【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7.(2023春?浦東新區(qū)期末)如圖,已知梯形ABCD,AB∥DC,點E在底邊AB上,EC∥AD.如果設(shè)那么=.(用向量的式子表示).8.(2023春?普陀區(qū)期中)如圖,在平地上種植樹木時,要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)為4m,如果在坡比為的山坡上種樹,也要求株距為4m,那么相鄰兩樹間的坡面距離為米.9.(2019秋?普陀區(qū)期末)如圖,斜坡AB長為100米,坡角∠ABC=30°,現(xiàn)因“改小坡度”工程的需要,將斜坡AB改造成坡度i=1:5的斜坡BD(A、D、C三點在地面的同一條垂線上),那么由點A到點D下降了米.(結(jié)果保留根號)10.(2023春?普陀區(qū)校級期末)已知點P是線段AB上的黃金分割點,AP>BP,AB=6,那么AP=.11.(2023?金山區(qū)二模)如圖,已知AD、BE是△ABC的中線,AD和BE交于點G,當∠AEG=∠ADC時,那么的值等于.12.(2023?奉賢區(qū)一模)已知一斜坡的坡度i=1:3,高度為20米,那么這一斜坡的坡長約米.13.(2023春?楊浦區(qū)期末)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,點E、F分別是對角線BD,AC的中點,如果AD=2,EF=3,那么BC=.14.(2023?松江區(qū)一模)如果=,那么=.15.(2023?徐匯區(qū)模擬)如果把兩條鄰邊中較短邊與較長邊的比值為的矩形稱作黃金矩形.現(xiàn)將長度為20cm的鐵絲折成一個黃金矩形,這個黃金矩形較短的邊長是cm.16.(2023?徐匯區(qū)一模)如圖,在由正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中,A、B、C三點均在格點上,則sin∠BAC的值為.17.(2023春?浦東新區(qū)校級期末)在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,BC=10,點E、F分別是AB、CD的中點,那么EF的長為.18.(2023?崇明區(qū)二模)如圖,已知在兩個直角頂點重合的Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,BC=3,CE=2,將△CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn),當點D恰好落在AB邊上時,聯(lián)結(jié)BE,那么BE=.三、解答題:(本大題共7題,19-22題每題10分,23-24題每題12分,25題14分,滿分78分)19.(2022春?閔行區(qū)校級月考)已知a+b+c≠0,,求的值.20.(2023春?閔行區(qū)期末)已知:如圖矩形ABCD中,AC和BD相交于點O,設(shè),.(1)填空:=;(用a、b的式子表示)(2)在圖中求作.(不要求寫出作法,只需寫出結(jié)論即可.)21.(2021秋?寶山區(qū)校級月考)如圖,已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點A、B、C,截直線l5于點D、E、F,且l1∥l2∥l3.(1)如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的長.(2)如果DE:EF=2:3,AB=6,求AC的長.22.(2022秋?徐匯區(qū)校級期中)每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”,為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識,某消防大隊進行了消防演習.如圖1,架在消防車上的云梯AB可伸縮(最長可伸至20m),且可繞點B轉(zhuǎn)動,其底部B離地面的距離BC為2m,當云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時,底部B到EF的距離BD為9m.(1)若∠ABD=53°,求此時云梯AB的長.(2)如圖2,若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險情,請問在該消防車不移動位置的前提下,云梯能否伸到險情處?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.3)23.(2022秋?青浦區(qū)校級期末)已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,點F在邊AC上,DF與BE相交于點G,且∠EDF=∠ABE.求證:(1)△DEF∽△BDE;(2)DG?DF=DB?EF.24.(2022秋?徐匯區(qū)校級月考)如圖,在直角坐標平面內(nèi)有點A(6,0),B(0,8),C(﹣4,0),點M、N分別為線段AC和射線AB上的動點,點M以2個單位長度/秒的速度自C向A方向做勻速運動,點N以5個單位長度/秒的速度自A向B方向做勻速運動,MN交OB于點P.(1)求證:MN:NP為定值;(2)若△BNP與△MNA相似,求CM的長;(3)若△BNP是等腰三角形,求CM的長.25.(2022秋?松江區(qū)月考)已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜邊AB上的一個動點,PD⊥AB,交邊AC于點D(點D與點A、C都不重合),E是射線DC上一點,且∠EPD=∠A.設(shè)A、P兩點的距離為x,△BEP的面積為y.(1)求證:AE=2PE;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域;(3)當△BEP與△ABC相似時,求△BEP的面積.
2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期第一次月考A卷·重點難點過關(guān)測(考試時間:100分鐘試卷滿分:150分)注意事項:1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答第Ⅰ卷時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一.選擇題(共6小題)1.(2023春?浦東新區(qū)校級期末)已知P是線段AB的黃金分割點,且AP>BP,則下列比例式能成立的是()A. B. C. D.【分析】根據(jù)黃金分割的定義:把線段AB分成兩條線段AP和BP(AP>BP),且使AP是AB和BP的比例中項,叫做把線段AB黃金分割,點P叫做線段AB的黃金分割點【解答】解:根據(jù)黃金分割定義可知:AP是AB和BP的比例中項,即AP2=AB?BP,∴=.故選:C.【點評】本題考查了黃金分割,解決本題的關(guān)鍵是掌握黃金分割定義.2.(2021秋?沈河區(qū)期末)如圖,△ABC中,∠A=76°,AB=8,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是()A. B. C. D.【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可.【解答】解:A、陰影三角形與原三角形有兩個角相等,故兩三角形相似,故本選項不符合題意;B、陰影三角形與原三角形有兩個角相等,故兩三角形相似,故本選項不符合題意;C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例,故兩三角形不相似,故本選項符合題意;D、陰影三角形中,∠A的兩邊分別為6﹣2=4,8﹣5=3,則兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等,故兩三角形相似,故本選項不符合題意.故選:C.【點評】本題考查的是相似三角形的判定,熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.3.(2023春?靜安區(qū)期末)下列判斷中,不正確的是()A.= B.= C.如果||=||,那么 D.+()=()【分析】根據(jù)平面向量的加減運算法則計算即可.【解答】解:∵=,,,∴A、B、D正確,∵||=||,∴或,故C錯誤,故選:C.【點評】本題考查了平面向量,熟練掌握平面向量的加減運算法則是解題的關(guān)鍵.4.(2020秋?嵐山區(qū)月考)如圖,D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點,且DE∥AC,AE、CD相交于點O,若S△DOE:S△COA=1:25,則S△BDE與S△CDE的比是()A.1:3 B.1:4 C.1:5 D.1:25【分析】由DE∥AC,推出△DEO∽△CAO,可得=()2=,推出DE:AC=BE+BC=1:5,推出BE:EC=1:4,根據(jù)等高模型即可解決問題.【解答】解:∵DE∥AC,∴△DEO∽△CAO,∴=()2=,∴DE:AC=BE:BC=1:5,∴BE:EC=1:4,∴S△BED:S△DEC=1:4,故選:B.【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方,掌握等高模型解決問題.5.(2023?楊浦區(qū)一模)已知點A(1,2)在平面直角坐標系xOy中,射線OA與x軸正半軸的夾角為α,那么cosα的值為()A. B.2 C. D.【分析】根據(jù)題意,畫出相應(yīng)的平面直角坐標系,然后根據(jù)勾股定理可以得到OA的長,從而可以計算出cosα的值.【解答】解:連接OA,作AB⊥x軸于點B,則∠ABO=90°,∵點A(1,2)∴OB=1,AB=2,∴OA===,∵射線OA與x軸正半軸的夾角為α,∴cosα===,故選:C.【點評】本題考查解直角三角形、坐標與圖形的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,求出OA的長.6.(2023春?普陀區(qū)校級期末)如圖,在△ABC中,點D、E分別在邊AB、AC上,AD=2,BD=3,能判斷DE∥BC的是()A. B. C. D.【分析】先求出比例式,再根據(jù)相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC,根據(jù)相似推出∠ADE=∠B,根據(jù)平行線的判定得出即可.【解答】解:只有選項D正確,理由是:∵AD=2,BD=3,=,∴==,∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC,根據(jù)選項A、B、C的條件都不能推出DE∥BC.故選:D.【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理,相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵.二.填空題(共12小題)7.(2023春?浦東新區(qū)期末)如圖,已知梯形ABCD,AB∥DC,點E在底邊AB上,EC∥AD.如果設(shè)那么=.(用向量的式子表示).?【分析】先證明四邊形ADCE是平行四邊形,得出,再根據(jù)平面向量三角形運算法則求解即可.【解答】解:∵AB∥DC,AD∥CE,∴四邊形ADCE是平行四邊形,∴CE=AD,∵,∴,又∵,∴=,故答案為:.【點評】本題考查了平面向量,平行四邊形的判定與性質(zhì),熟練掌握平面向量的三角形運算法則是解題的關(guān)鍵.8.(2023春?普陀區(qū)期中)如圖,在平地上種植樹木時,要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)為4m,如果在坡比為的山坡上種樹,也要求株距為4m,那么相鄰兩樹間的坡面距離為5米.【分析】根據(jù)坡度為0.75求得豎直高度,再根據(jù)勾股定理求出相鄰兩樹間的坡面距離即可.【解答】解:水平距離為4m,坡比為,∴豎直高度=4×=3(米),∴由勾股定理得:=5(米).故答案為:5.【點評】本題是基礎(chǔ)題,考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題,以及勾股定理的運用.9.(2019秋?普陀區(qū)期末)如圖,斜坡AB長為100米,坡角∠ABC=30°,現(xiàn)因“改小坡度”工程的需要,將斜坡AB改造成坡度i=1:5的斜坡BD(A、D、C三點在地面的同一條垂線上),那么由點A到點D下降了(50﹣10)米.(結(jié)果保留根號)【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AC,根據(jù)余弦的定義求出BC,根據(jù)坡度的概念求出CD,結(jié)合圖形計算,得到答案.【解答】解:在Rt△ABC中,∠ABC=30°,∴AC=AB=50,BC=AB?cos∠ABC=50,∵斜坡BD的坡度i=1:5,∴DC:BC=1:5,∴DC=10,則AD=50﹣10,故答案為:(50﹣10).【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題,掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵.10.(2023春?普陀區(qū)校級期末)已知點P是線段AB上的黃金分割點,AP>BP,AB=6,那么AP=3﹣3.【分析】根據(jù)黃金分割的定義進行計算,即可解答.【解答】解:∵點P是線段AB上的黃金分割點,AP>BP,AB=6,∴AP=AB=×6=3﹣3,故答案為:3﹣3.【點評】本題考查了黃金分割,熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.11.(2023?金山區(qū)二模)如圖,已知AD、BE是△ABC的中線,AD和BE交于點G,當∠AEG=∠ADC時,那么的值等于.【分析】根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)得到AG=AD,證明△AGE∽△ACD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.【解答】解:∵AD、BE是△ABC的中線,∴點G是△ABC的重心,AE=AC,∴AG=AD,∵∠AEG=∠ADC,∠EAG=∠DAC,∴△AGE∽△ACD,∴=,∴=,∴=,∴=,故答案為:.【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì),掌握相似三角形的判定定理、三角形的重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12.(2023?奉賢區(qū)一模)已知一斜坡的坡度i=1:3,高度為20米,那么這一斜坡的坡長約20米.【分析】先根據(jù)勾股定理求出斜坡與高的比,再列方程求解.【解答】解:設(shè)斜坡的坡長為x米,∵i=1:3,∴斜坡占=份,∴x:20=:1,解得:x=20,故答案為:20.【點評】本題考查了解直角三角形,掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.13.(2023春?楊浦區(qū)期末)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,點E、F分別是對角線BD,AC的中點,如果AD=2,EF=3,那么BC=8.【分析】連接DF,并延長交BC于G,由△AFD≌△CFG(AAS),推出DF=FG,CG=AD=2,得到EF是△DBG的中位線,即可求出BG的長,于是得到BC的長.【解答】解:連接DF,并延長交BC于G,∵AD∥BC,∴∠DAF=∠GCF,∠ADF=∠CGF,∵AF=CF,∴△AFD≌△CFG(AAS),∴DF=FG,CG=AD=2,∵DE=BE,∴EF是△DBG的中位線,∴EF=BG,∵EF=3,∴BG=6,∴CB=BG+CG=6+2=8.故答案為:8.【點評】本題考查梯形,全等三角形的判定和性質(zhì),三角形中位線定理,關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造全等三角形,從而推出EF是△DBG的中位線.14.(2023?松江區(qū)一模)如果=,那么=.【分析】直接利用已知得出x,y的關(guān)系,進而代入原式化簡即可.【解答】解:∵=,則x=y(tǒng),∴===.故答案為:.【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì),正確用y表示出x的值是解題關(guān)鍵.15.(2023?徐匯區(qū)模擬)如果把兩條鄰邊中較短邊與較長邊的比值為的矩形稱作黃金矩形.現(xiàn)將長度為20cm的鐵絲折成一個黃金矩形,這個黃金矩形較短的邊長是(15﹣5)cm.【分析】設(shè)這個黃金矩形較長的邊長是xcm,根據(jù)長方形的周長公式列出算式求出x的值,再根據(jù)黃金分割的定義即可得出這個黃金矩形較短的邊長.【解答】解:設(shè)這個黃金矩形較長的邊長是xcm,根據(jù)題意得:2(x+x)=20,解得:x=5﹣5,則這個黃金矩形較短的邊長是×(5﹣5)=(15﹣5)cm.故答案為:(15﹣5).【點評】本題考查了黃金分割的定義:把一條線段分成兩部分,使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項,這樣的線段分割叫做黃金分割,它們的比值()叫做黃金比.同時考查了矩形的周長公式.16.(2023?徐匯區(qū)一模)如圖,在由正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中,A、B、C三點均在格點上,則sin∠BAC的值為.【分析】由等邊三角形的性質(zhì),求出BC長,由勾股定理求出AB長,由銳角的正弦定義即可計算.【解答】解:令正三角形的邊長是“1”,∴AC=2,BC=×1=,∴AB===,∴sin∠BAC===.故答案為:.【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì),解直角三角形,勾股定理,關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)定義.17.(2023春?浦東新區(qū)校級期末)在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,BC=10,點E、F分別是AB、CD的中點,那么EF的長為7.【分析】根據(jù)梯形中位線定理得到EF=(AD+BC),然后把AD=4,BC=10代入可求出EF的長.【解答】解:∵E,F(xiàn)分別是邊AB,CD的中點,∴EF為梯形ABCD的中位線,∴EF=(AD+BC)=(4+10)=7.故答案為:7.【點評】本題考查了梯形中位線定理:梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半.18.(2023?崇明區(qū)二模)如圖,已知在兩個直角頂點重合的Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,BC=3,CE=2,將△CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn),當點D恰好落在AB邊上時,聯(lián)結(jié)BE,那么BE=.【分析】證明△ACD∽△BCE,推出==,∠A=∠CBE,再證明∠DBE=90°,設(shè)BE=x,則AD=x,在Rt△DBE中,DE2=BD2+BE2,構(gòu)建方程求出x即可.【解答】解:Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,BC=3,CE=2,∴==,AB=2BC=6,DE=2CE=4,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD∽△BCE,∴==,∠A=∠CBE,∵∠A+∠ABC=90°,∴∠CBE+∠ABC=90°,∴∠DBE=90°,設(shè)BE=x,則AD=x,在Rt△DBE中,DE2=BD2+BE2,∴(6﹣x)2+x2=42,∴x=(負根已經(jīng)舍去),∴BE=.【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題,屬于中考??碱}型.三.解答題(共7小題)19.(2022春?閔行區(qū)校級月考)已知a+b+c≠0,,求的值.【分析】直接利用已知用同一未知數(shù)表示出a,b,c的值,進而化簡得出答案.【解答】解:∵a+b+c≠0,,∴設(shè)a=2x,b=3x,c=4x,∴原式===.【點評】此題主要考查了比例的性質(zhì),正確用同一未知數(shù)表示各數(shù)是解題關(guān)鍵.20.(2023春?閔行區(qū)期末)已知:如圖矩形ABCD中,AC和BD相交于點O,設(shè),.(1)填空:=;(用a、b的式子表示)(2)在圖中求作.(不要求寫出作法,只需寫出結(jié)論即可.)【分析】(1)先將用,表示后,即可得出結(jié)果;(2)延長CD到E,使CD=DE,由,,得出.【解答】解:(1)∵,,,∴=,故答案為:;(2)如圖所示,即為所求;【點評】本題考查了平面向量,矩形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握平面向量三角形計算法則.21.(2021秋?寶山區(qū)校級月考)如圖,已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點A、B、C,截直線l5于點D、E、F,且l1∥l2∥l3.(1)如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的長.(2)如果DE:EF=2:3,AB=6,求AC的長.【分析】(1)由平行線分線段成比例定理得出比例式,即可得出DE的長;(2)由平行線分線段成比例定理得出比例式,求出BC的長,即可得出AC的長.【解答】解:(1)∵l1∥l2∥l3.∴==,∴DE=EF=6;(2)∵l1∥l2∥l3.∴=,∴BC=AB=×6=9,∴AC=AB+BC=6+9=15.【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理;熟練掌握平行線分線段成比例定理,并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵.22.(2022秋?徐匯區(qū)校級期中)每年的11月9日是我國的“全國消防安全教育宣傳日”,為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識,某消防大隊進行了消防演習.如圖1,架在消防車上的云梯AB可伸縮(最長可伸至20m),且可繞點B轉(zhuǎn)動,其底部B離地面的距離BC為2m,當云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時,底部B到EF的距離BD為9m.(1)若∠ABD=53°,求此時云梯AB的長.(2)如圖2,若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險情,請問在該消防車不移動位置的前提下,云梯能否伸到險情處?請說明理由.(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.3)【分析】(1)在Rt△ABD中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長,即可解答;(2)根據(jù)題意可得DE=BC=2m,從而求出AD=17m,然后在Rt△ABD中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長,進行比較即可解答.【解答】解:(1)在Rt△ABD中,∠ABD=53°,BD=9m,∴AB=≈=15(m),∴此時云梯AB的長為15m;(2)在該消防車不移動位置的前提下,云梯能伸到險情處,理由:由題意得:DE=BC=2m,∵AE=19m,∴AD=AE﹣DE=19﹣2=17(m),在Rt△ABD中,BD=9m,∴AB===(m),∵m<20m,∴在該消防車不移動位置的前提下,云梯能伸到險情處.【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.23.(2022秋?青浦區(qū)校級期末)已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,點F在邊AC上,DF與BE相交于點G,且∠EDF=∠ABE.求證:(1)△DEF∽△BDE;(2)DG?DF=DB?EF.【分析】(1)由AB=AC,根據(jù)等邊對等角,即可證得:∠ABC=∠ACB,又由DE∥BC,易得∠ABC+∠BDE=180°,∠ACB+∠CED=180°,則可證得:∠BDE=∠CED,又由已知∠EDF=∠ABE,則可根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似,證得△DEF∽△BDE;(2)由(1)易證得DE2=DB?EF,又由∠BED=∠DFE與∠GDE=∠EDF證得:△GDE∽△EDF,則可得:DE2=DG?DF,則證得:DG?DF=DB?EF.【解答】證明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ABC+∠BDE=180°,∠ACB+∠CED=180°.∴∠BDE=∠CED,∵∠EDF=∠ABE,∴△DEF∽△BDE;(2)由△DEF∽△BDE,得.∴DE2=DB?EF,由△DEF∽△BDE,得∠BED=∠DFE.∵∠GDE=∠EDF,∴△GDE∽△EDF.∴,∴DE2=DG?DF,∴DG?DF=DB?EF.【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定.注意有兩角對應(yīng)相等的三角形相似以及相似三角形的對應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用,還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.24.(2022秋?徐匯區(qū)校級月考)如圖,在直角坐標平面內(nèi)有點A(6,0),B(0,8),C(﹣4,0),點M、N分別為線段AC和射線AB上的動點,點M以2個單位長度/秒的速度自C向A方向做勻速運動,點N以5個單位長度/秒的速度自A向B方向做勻速運動,MN交OB于點P.(1)求證:MN:NP為定值;(2)若△BNP與△MNA相似,求CM的長;(3)若△BNP是等腰三角形,求CM的長.【分析】(1)過點N作NH⊥x軸于點H,然后分兩種情況進行討論,綜合兩種情況,求得MN:NP為定值.(2)當△BNP與△MNA相似時,當點M在CO上時,只可能是∠MNB=∠MNA=90°,所以△BNP∽△MNA∽△BOA,所以,所以,,即;當點M在OA上時,只可能是∠NBP=∠NMA,所以∠PBA=∠PMO,根據(jù)題意可以判定不成立,所以.(3)由于等腰三角形的特殊性質(zhì),應(yīng)分三種情況進行討論,即BP=BN,PB=PN,NB=NP三種情況進行討論.【解答】證明:(1)過點N作NH⊥x軸于點H,設(shè)AN=5k,得:AH=3k,CM=2k,①當點M在CO上時,點N在線段AB上時:∴OH=6﹣3k,OM=4﹣2k,∴MH=10﹣5k,∵PO∥NH,∴,②當點M在OA上時,點N在線段AB的延長線上時:∴OH=3k﹣6,OM=2k﹣4,∴MH=5k﹣10,∵PO∥NH,∴;解:(2)當△BNP與△MNA相似時:①當點M在CO上時,只可能是∠MNB=∠MNA=90°,∴△BNP∽△MNA∽△BOA,∴,∴,,,②當點M在OA上時,只可能是∠NBP=∠NMA,∴∠PBA=∠PMO,∵∴∠PBA≠∠PMO,矛盾∴不成立;(3)∵,,∴,,①當點M在CO上時,BN=10﹣5k,(ⅰ)BP=BN,,,;(ⅱ)PB=PN,則∠PNB=∠PBN,∵∠PNB>∠BAC>∠PBN,矛盾,∴不成立;(ⅲ)NB=NP,則∠NBP=∠NPB∵∠NPB=∠MNH,∠NBP=∠ANH,∴∠MNH=∠ANH又∵NH⊥MA,可證△MNA為等腰三角形,∴MH=A
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