2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之填空題：計(jì)數(shù)原理（10題）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：計(jì)數(shù)原理（10題）

—.填空題（共10小題）

1.（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)aeZ,且0Wa<13,若512。24+”能被匕整除，則“=.

2.（2024?冀州區(qū)校級(jí)模擬）校運(yùn)會(huì)期間，需要學(xué)生志愿者輔助裁判老師進(jìn)行記錄工作，學(xué)生會(huì)將從6名

志愿者中任意選派3名同學(xué)分別承擔(dān)鉛球記錄、跳高記錄、跳遠(yuǎn)記錄工作，其中甲、乙2人不承擔(dān)鉛球

記錄工作，則不同的安排方法共有種.

3.（2024?攀枝花三模）若（1-2x）"（"6N*）的展開(kāi)式中小的系數(shù)為-80,則展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式

系數(shù)之和為.（以數(shù)字作答）

4.（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）把1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一個(gè)數(shù)列，要求該數(shù)列恰好先遞增后

遞減，則這樣的數(shù)列共有個(gè).

5.（2024?蘇州三模）（2+x-x2）（1-x）5的展開(kāi)式中/的系數(shù)為.

6.（2024?青秀區(qū)校級(jí)模擬）已知二項(xiàng)式（五-5久）”的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，"

7.（2024?坪山區(qū)校級(jí)模擬）已知（a久-2）。+|）5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為240,則a=.

8.（2024?海南模擬）（x-2y+l）6展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.

9.（2024?邵陽(yáng)模擬）（2爐一5）5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）

10.（2024?河南模擬）在（代+!產(chǎn)的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)為.（填數(shù)字）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：計(jì)數(shù)原理（10題）

參考答案與試題解析

一.填空題（共10小題）

1.（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)aeZ,且0Wa<13,若50024+.能被13整除，則。=匠.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】12.

【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式解決整除問(wèn)題.

【解答】解：512024=（52-1）2024=以2?522024—程2?522023+…+C黃?（—1）2024+。，

由于c黃?（一1）2°24=I,且0Wa<13；

故1+a能被13整除，故a=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開(kāi)式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

2.（2024?冀州區(qū)校級(jí)模擬）校運(yùn)會(huì)期間，需要學(xué)生志愿者輔助裁判老師進(jìn)行記錄工作，學(xué)生會(huì)將從6名

志愿者中任意選派3名同學(xué)分別承擔(dān)鉛球記錄、跳高記錄、跳遠(yuǎn)記錄工作，其中甲、乙2人不承擔(dān)鉛球

記錄工作，則不同的安排方法共有80種.

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】80.

【分析】先安排鉛球工作，再安排其他兩項(xiàng)工作進(jìn)而求解.

【解答】解：依題意，分兩步：①在甲乙之外4人中任選1人，承擔(dān)鉛球記錄工作，有4種情況；

②在剩下的5人中任選2人,承擔(dān)跳高和跳遠(yuǎn)記錄工作，有瑪=20種情況，

則不同的安排方法有4義20=80種.

故答案為：80.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列問(wèn)題，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

3.（2024?攀枝花三模）若（l-2x）n（neN*）的展開(kāi)式中城的系數(shù)為-80,則展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式

系數(shù)之和為32.（以數(shù)字作答）

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的和.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】32.

【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式求出結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)（1-2x）"的展開(kāi)式7；+i=瑪?（一2廠?/,（r=0,1,2,3,及）

當(dāng)r=3時(shí)，-%-23=-80,解得w=5；

故所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為25=32.

故答案為：32.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開(kāi)式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

4.（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）把1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)隨機(jī)地排成一個(gè)數(shù)列，要求該數(shù)列恰好先遞增后

遞減，則這樣的數(shù)列共有14個(gè).

【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】14.

【分析】根據(jù)已知條件，分從1,2,3,4中選出一個(gè)數(shù)排在5的右側(cè)，其余排在5的左側(cè)，從1,2,

3,4中選出兩個(gè)數(shù)排在5的右側(cè)，其余排在5的左側(cè)，從1,2,3,4中選出三個(gè)數(shù)排在5的右側(cè)，其

余排在5的左側(cè)三種情況討論，并對(duì)所求的結(jié)果求和，即可求解.

【解答】解：從1,2,3,4中選出一個(gè)數(shù)排在5的右側(cè)，其余排在5的左側(cè)，得到先增后減的數(shù)列有程，

從1,2,3,4中選出兩個(gè)數(shù)排在5的右側(cè)，其余排在5的左側(cè)，得到先增后減的數(shù)列有盤(pán)，

從1,2,3,4中選出三個(gè)數(shù)排在5的右側(cè)，其余排在5的左側(cè)，得到先增后減的數(shù)列有值，

故滿足條件的數(shù)量總個(gè)數(shù)為盤(pán)+4+盤(pán)=14個(gè).

故答案為：14.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，考查分類(lèi)討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2024?蘇州三模）（2+x-尤2）（1-x）5的展開(kāi)式中了的系數(shù)為14.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】14.

【分析】利用二項(xiàng)式定理可得（1-%）5的展開(kāi)式，進(jìn)而可求得C2+X-X2）（1-x）5的展開(kāi)式中?的

系數(shù).

【解答】解：：（1-%）5=1+盤(pán)（-無(wú)）+c“-x）2+廢（7尸+第（-x）4-?=l-5X+1OX2-10X3+5X4

(2+x-/)(1-x)5的展開(kāi)式中/的系數(shù)為2X10+1X(-5)-1X1=14.

故答案為：14.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，屬于中檔題.

6.（2024?青秀區(qū)校級(jí)模擬）已知二項(xiàng)式（《-5x）n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,"

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專(zhuān)題】方程思想；定義法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】10.

【分析】借助二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.

【解答】解：因?yàn)槎?xiàng)式（F-5支產(chǎn)的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

所以盤(pán)=盤(pán)，由組合數(shù)的性質(zhì)可得“=10.

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2024?坪山區(qū)校級(jí)模擬）已知（ax—2）（久+|）5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為240,則a=3.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù).

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及給定的常數(shù)項(xiàng)求出。值.

【解答】解：0+35的展開(kāi)式的通項(xiàng)〃+1=噩*5-7?=2“05-2度&=。，1,2,3,4,5）,

令5-2r=-1得r=3,令5-2r=0,無(wú)解，

所以（a久-2）（x+$5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為a?23d=80a=240,所以。=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開(kāi)式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2024?海南模擬）（x-2y+l）6展開(kāi)式中含x2y3項(xiàng)的系數(shù)為-480.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】-480.

【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的展開(kāi)方法求解.

【解答】解：（尤-2y+l）6展開(kāi)式中含的項(xiàng)為盤(pán)/盤(pán)（_2y）3盤(pán)1】=盤(pán)盤(pán)（_2）3/y3=—480%2y3,

故答案為：-480.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二項(xiàng)展開(kāi)式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔

題.

9.（2024?邵陽(yáng)模擬）（2爐—'）5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是-40.（用數(shù)字作答）

【考點(diǎn)】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù).

【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求解即可.

【解答】解：（2/一占5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為=砥2/尸.（_/=（_1）『帽,25-.爐5『

令15-5r=0,貝！Jr=3,

所以73+1=（—1＞俏.22=-40,即展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是-40.

故答案為：-40.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理，熟練掌握展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基

礎(chǔ)題.

10.（2024?河南模擬）在（?+喪產(chǎn)的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)為11.（填數(shù)字）

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；二項(xiàng)式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】1L

【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式和組合數(shù)求出結(jié)果.

—1ll-rll-5r

【解答】解：根據(jù)（代+/尸的展開(kāi)式7V+1=4?x2.?x―2—（r=0,L2,3,11）,

令r=l時(shí)，X3的系數(shù)為盤(pán)1=11.

故答案為：11.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開(kāi)式，組合數(shù)主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.排列組合的綜合應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、排列組合問(wèn)題的一些解題技巧：

①特殊元素優(yōu)先安排；

②合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步；

③排列、組合混合問(wèn)題先選后排；

④相鄰問(wèn)題捆綁處理；

⑤不相鄰問(wèn)題插空處理；

⑥定序問(wèn)題除法處理；

⑦分排問(wèn)題直排處理；

⑧“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部；

⑨構(gòu)造模型；

⑩正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化.

對(duì)于無(wú)限制條件的排列組合問(wèn)題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)分類(lèi)，二是按時(shí)間發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分

步.對(duì)于有限制條件的排列組合問(wèn)題，通常從以下三個(gè)途徑考慮：

①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；

②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；

③先不考慮限制條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù).

2、排列、組合問(wèn)題幾大解題方法：

(1)直接法；

(2)排除法；

(3)捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來(lái)考慮，待整體排好之后再考慮它們

“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問(wèn)題”；

(4)插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元

素不相鄰問(wèn)題”；

(5)占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問(wèn)題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置

的特殊性上講，對(duì)問(wèn)題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解

題原則;

（6）調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法；

cc

a-D同月

（7）平均法：若把加個(gè)不同元素平均分成左組，每組"個(gè)，共有X：；

（8）隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問(wèn)題；

（9）定位問(wèn)題：從〃個(gè)不同元素中每次取出上個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在

某r個(gè)指定位置則有工：42；

（10）指定元素排列組合問(wèn)題：

①?gòu)?個(gè)不同元素中每次取出上個(gè)不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi).先C后A

策略，排列月上；組合

②從〃個(gè)不同元素中每次取出上個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi).先C后A

策略，排列組合C「；

③從"個(gè)不同元素中每次取出左個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元

素中的s個(gè)元素.先c后A策略，排列。；。斤4士組合C；C=；.

2.二項(xiàng)式定理

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

二項(xiàng)式定理又稱(chēng)牛頓二項(xiàng)式定理.公式（。+6）"=￡憶。C}1a丁、乩通過(guò)這個(gè)定理可以把一個(gè)多項(xiàng)式的多

次方拆開(kāi).

例1：用二項(xiàng)式定理估算1.011°=1.105.（精確到0.001）

982

解：1.011°=（1+0.01）i0=ii0+cio?iX0.01+C^o.l.0.01^l+0.1+0.0045^1.105.

故答案為：1.105.

這個(gè)例題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，也是比較常見(jiàn)的題型.

例2：把（Vli-久）1°把二項(xiàng)式定理展開(kāi)，展開(kāi)式的第8項(xiàng)的系數(shù)是.

解:由題意78=』x（V3i）3X（一1）7=120X3V3Z=360V3Z.

故答案為：3605

通過(guò)這兩個(gè)例題，大家可以看到二項(xiàng)式定理的重點(diǎn)是在定理，這類(lèi)型的題都是圍著這個(gè)定理運(yùn)作，解題的

時(shí)候一定要牢記展開(kāi)式的形式，能正確求解就可以了.

性質(zhì)

1、二項(xiàng)式定理

一般地，對(duì)于任意正整數(shù)“，都有

(a+b)"=C：a"+C)""+…++…+(〃cN.)

這個(gè)公式就叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b/的二項(xiàng)展開(kāi)式.其中各項(xiàng)的系數(shù)C：(r=0J2…/)

叫做二項(xiàng)式系數(shù).

注意：

(1)二項(xiàng)展開(kāi)式有n+1項(xiàng)；

(2)二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念；

(3)每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為w次，展開(kāi)式依a的降幕排列，6的升幕排列展開(kāi)；

(4)二項(xiàng)式定理通常有如下變形：

①(a-6尸=。：優(yōu)一CM"+…+(-1)‘+…+(-1)“c?”；

②(1+x)”=1+o)】+C；x'H---1-C^xr4—?+x".

(5)要注意逆用二項(xiàng)式定理來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.

2、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式

二項(xiàng)展開(kāi)式的第”+1項(xiàng)力2=C"b’(尸=°工2,…/)叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.它體現(xiàn)了二項(xiàng)展

開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項(xiàng)式定理的核心，它在求展開(kāi)式的某些特定的項(xiàng)及其系數(shù)方面

有著廣泛的應(yīng)用.

注意：

(1)通項(xiàng)公式表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第什1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是加；

(2)字母。的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

(3)a與b的次數(shù)之和為n.

3、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).

(1)對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即

C2,C=CL最y_2,…,

(2)增減性與最大值：當(dāng)上V竽時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的.由對(duì)稱(chēng)性知，它的后半部分是逐漸減小

n

的，且在中間取最大值.當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)點(diǎn)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，則中間的兩項(xiàng)

九一171+1

聲，鏟相等，且同時(shí)取得最大值.

3.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】