福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2024—2025學(xué)年第一學(xué)期半期考聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘總分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線的傾斜角求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，整理有：故選：A2.公差不為0的等差數(shù)列中，，則的值不可能是（）A.9 B.16 C.22 D.25【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得，的所有可能取值，即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕?，，所以或或或或或或或或，所以的值可能是，，，?故選：.3.已知數(shù)列，，，則（）A.8 B.16 C.24 D.64【答案】D【解析】【分析】由可求得，進(jìn)而求出，可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列an為等比數(shù)列，（），所以.故選：D.4.從含有3件次品的8件新產(chǎn)品中，任意抽取4件進(jìn)行檢驗(yàn)，抽出的4件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理，先抽次品，再抽正品，即可求解.【詳解】由題意，8件新產(chǎn)品中有3件次品，件正品，先從3件次品中取出2件次品，有種抽法，再從件正品中取出2件正品，有種抽法，所以抽出的4件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法種數(shù)為.故選：.5.已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在圓上，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓求解即可.【詳解】解：設(shè)對(duì)稱的點(diǎn)，則，解得，所以，所以，所以.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選：C.6.數(shù)學(xué)與自然、生活相伴相隨，無論是蜂的繁殖規(guī)律，樹的分枝，還是鋼琴音階的排列，當(dāng)中都蘊(yùn)含了一個(gè)美麗的數(shù)學(xué)模型Fibonacci（斐波那契數(shù)列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這個(gè)數(shù)列的前兩項(xiàng)都是1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前面兩項(xiàng)之和.請(qǐng)你結(jié)合斐波那契數(shù)列，嘗試解答下面的問題：小明走樓梯，該樓梯一共7級(jí)臺(tái)階，小明每步可以上一級(jí)或二級(jí)，請(qǐng)問小明的不同走法種數(shù)是（）A.21 B.13 C.12 D.15【答案】A【解析】【分析】設(shè)級(jí)臺(tái)階的走法為，找出數(shù)列的遞推公式，即可求解.【詳解】設(shè)級(jí)臺(tái)階的走法為，則，，當(dāng)時(shí)，，所以，，，，.故選：.7.已知圓，一條光線從點(diǎn)射出經(jīng)軸反射，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的方程為B.若反射光線與圓相切于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，則C.若反射光線平分圓的周長，則反射光線所在直線的方程為D.若反射光線與圓交于，兩點(diǎn)，則面積的最大值為1【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A，由對(duì)稱的性質(zhì)直接求解即可；對(duì)于B由題意可反射光線過點(diǎn)，則，利用圓的性質(zhì)求切線長即可；對(duì)于C，確定直線過點(diǎn)，，由兩點(diǎn)式求直線方程即可；對(duì)于D，設(shè)，利用性質(zhì)，把弦長、弦心距用表示，從而求出面積的最大值.【詳解】對(duì)于A，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心，半徑，圓心關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，半徑為，所以圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的方程為：，即，故A錯(cuò)誤；關(guān)于B，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，，根據(jù)已知條件有：，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榉瓷涔饩€平分圓的周長，所以反射光線經(jīng)過圓心，所以反射光線過，，所以反射光線的方程為，整理得：，故C正確；對(duì)于D，反射光線過點(diǎn)，若直線的斜率不存在，直線與圓相離，不合題意；所以直線斜率存在設(shè)為，所以直線的方程為：，整理有：，設(shè)，則圓心到直線的距離為，所以，所以，則當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：C8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且關(guān)于的不等式有且僅有4個(gè)解，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系構(gòu)造出常數(shù)列，再求通項(xiàng)，然后分離參變量，再利用數(shù)列的單調(diào)性思想，研究不等式成立的條件.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，所以?shù)列是常數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以，即，因?yàn)椋裕?，所以，?dāng)時(shí)，，即，，，，，，為了滿足不等式有且僅有4個(gè)解，則，此時(shí)有，，，.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過數(shù)列遞推關(guān)系構(gòu)造出常數(shù)列，不等式恒成立或有解問題要用分離參變量方法，數(shù)列的單調(diào)性用作差或作商法來研究.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的展開式的第2項(xiàng)與第3項(xiàng)系數(shù)的和為3，則（）A.B.展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為C.展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為256D.展開式的常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng)【答案】ACD【解析】【分析】應(yīng)用的展開式的通項(xiàng)公式結(jié)合題意求出，再利用通項(xiàng)公式研究常數(shù)項(xiàng)；由可求展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和；由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可求展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和.【詳解】解：因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，（），所以，即，解得（舍去），故A正確；所以（），當(dāng)，即時(shí)為常數(shù)項(xiàng),故D正確；所以展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為，故B錯(cuò)誤；所以展開式各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故C正確.故選：ACD.10.傳承紅色文化，宣揚(yáng)愛國精神，湖洋中學(xué)國旗隊(duì)在高一年級(jí)招收新成員，現(xiàn)有小明、小紅、小華等7名同學(xué)加入方陣參加訓(xùn)練，則下列說法正確的是（）A.7名同學(xué)站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為840B.7名同學(xué)站成一排，小明、小紅兩人相鄰，則不同的排法種數(shù)為720C.7名同學(xué)站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480D.7名同學(xué)分成三組（每組至少有兩人），進(jìn)行三種不同的訓(xùn)練，則有630種不同的訓(xùn)練方法【答案】AD【解析】【分析】A先從7個(gè)位置中選3個(gè)排小明等3人，隨后排列剩下4人，可得排法總數(shù)；B將小明，小紅兩人捆綁為1人，隨后與剩下5人一起排列，可得排法總數(shù)；C先排剩下5人，隨后將小明小紅排進(jìn)5人的空隙中，可得排法總數(shù)；D先將7人按2+2+3形式分為3組，再給每組安排訓(xùn)練，可得安排總數(shù).【詳解】A選項(xiàng)，先從7個(gè)位置中選3個(gè)排小明等3人，有種方法，隨后排列剩下4人，有種方法，則共有種方法，故A正確；B選項(xiàng)，將小明，小紅兩人捆綁為1人，有2種排列方法，隨后與剩下5人一起排列，有種方法，則共有種方法，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，先排剩下5人，有種方法，再將小明小紅排進(jìn)5人產(chǎn)生的6個(gè)空隙中，有種方法，則共有種方法，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由題分組情況為2人的2組，3人的一組，則有種方法，隨后安排訓(xùn)練，有種方法，則共有種方法，故D正確.故選：AD11.已知圓和圓.其中正確的結(jié)論是（）A.當(dāng)時(shí)，圓和圓有4條公切線B.若圓與圓相交，則的取值范圍為C.若直線與圓交于，兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的值為D.若，設(shè)為平面上的點(diǎn)，且滿足：存在過點(diǎn)的無窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，則所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，由圓的一般方程得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)而得到圓心和半徑，判斷兩圓的位置關(guān)系即可求解；對(duì)于，根據(jù)兩圓相交得到，進(jìn)而得到的取值范圍；對(duì)于，設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，聯(lián)立直線和圓的方程，可得的取值范圍，由韋達(dá)定理代入即可求解；對(duì)于，設(shè)點(diǎn)，由可得兩直線方程，根據(jù)弦長和半徑相等得到圓心到直線的距離相等，再根據(jù)有無數(shù)多條直線，得到關(guān)于的方程有無數(shù)多組解，從而解出，，即得到的坐標(biāo).【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，，，，，所以，所以，因?yàn)?，所以圓和圓外離，所以圓和圓有4條公切線，故正確；對(duì)于，，若圓與圓相交，則，解得，故正確；對(duì)于，若直線與圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)Px1,y1，Qx聯(lián)立，得，所以，解得，，所以，因?yàn)椋?，故不正確；對(duì)于，設(shè)點(diǎn)，直線和的方程分別為，，即，，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，所以，化簡(jiǎn)得或，因?yàn)榇嬖谶^點(diǎn)無窮多對(duì)互相垂直的直線和，所以關(guān)于的方程有無窮多解，從而有或，解得或，故正確.故選：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)點(diǎn)，由可得兩直線方程，根據(jù)弦長和半徑相等得到圓心到直線的距離相等，因?yàn)榇嬖谶^點(diǎn)的無窮多對(duì)互相垂直的直線和，得到關(guān)于的方程有無數(shù)多組解，從而解出，.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與圓，則兩圓的公共弦所在的直線方程為____________________.【答案】【解析】【分析】判斷兩圓位置關(guān)系，再將兩圓方程相減即得.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，于是，即圓相交，由消去二次項(xiàng)得，即，所以兩圓的公共弦所在的直線方程為.故答案為：13.已知，若過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)（與A，不重合），則的值為__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)題意直線方程可得，，分析可知，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閯?dòng)直線過定點(diǎn)，動(dòng)直線過定點(diǎn)，且，可知，即，所以.故答案為：1.14.在數(shù)列相鄰的每?jī)身?xiàng)中間插人這兩項(xiàng)的平均數(shù)，構(gòu)造成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)過程稱為原數(shù)列的一次"平均拓展"，再對(duì)新數(shù)列進(jìn)行如上操作，稱為原數(shù)列的二次“平均拓展”.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，現(xiàn)在對(duì)數(shù)列進(jìn)行次“平均拓展”，得到一個(gè)新數(shù)列，記為與之間的次平均拓展之和，為與之間的次平均拓展之和，，則__________；依此類推，將數(shù)列1，3，5，，21經(jīng)過次“平均拓展”后得到的新數(shù)列的所有項(xiàng)之和記為，則__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由已知，分析每次構(gòu)造后的值，總結(jié)規(guī)律求出；由分析可得，利用分組求和即可計(jì)算.【詳解】設(shè)表示與之間的次平均拓展之和，所以數(shù)列bn對(duì)于而言，第一次構(gòu)造得到1，2，3，其中，第二次構(gòu)造得到1，，2，，3，其中，第三次構(gòu)造得到1，，，，，3，其中，第四次構(gòu)造得到1，，，，，，3，其中，由觀察歸納，第次構(gòu)造得到1，，，，3，則；因?yàn)榻?jīng)過次“平均拓展”得到的新數(shù)列的項(xiàng)分別為1，，，，3，，，，5，，7，，9，，，由，則，，則，，則，，所以數(shù)列bn的各項(xiàng)分別為，，，，所以，因，所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：經(jīng)過次構(gòu)造可得1，，，，3，則；數(shù)列bn每次構(gòu)造后所添加的個(gè)數(shù)相同，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由展開式的通項(xiàng)計(jì)算即可；（2）利用賦值法計(jì)算即可.【小問1詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，，因?yàn)?，所以；【小?詳解】令，則，令，則，可得，因此.16.已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，.（1）求的面積；（2）求外接圓的方程.【答案】（1）9（2）【解析】【分析】（1）求出與點(diǎn)到直線的距離，再利用求解即可；（2）利用待定系數(shù)法設(shè)圓的一般方程，建立方程組，求出即可.【小問1詳解】解：已知，，直線的斜率，則直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離.又，所以的面積.【小問2詳解】解：設(shè)外接圓的方程為，把點(diǎn)，，的坐標(biāo)代入圓的方程，得,可得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.所以圓的方程為.17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)與關(guān)系求an的通項(xiàng)公式，由等比數(shù)列基本量的運(yùn)算即可求解bn的通項(xiàng)公式；（2）用裂項(xiàng)相消法求奇數(shù)項(xiàng)的和，由錯(cuò)位相減法求偶數(shù)項(xiàng)的和，即可求解.【小問1詳解】數(shù)列an的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橐策m合上式，所以，設(shè)數(shù)列bn的公比為，因?yàn)椋?，解得，又，所以；【小?詳解】由題意得，設(shè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則，，所以，兩式相減得，所以，故.18.已知圓和點(diǎn).（1）點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且為線段ME的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡曲線的方程.（2）設(shè)為（1）中曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為.（i）求的取值范圍.（ii）試探究：在軸上是否存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得為定值？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）（i）；（ii）存在定點(diǎn)，【解析】【分析】（1）應(yīng)用相關(guān)點(diǎn)法可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的方程；（2）（i）根據(jù)，只需找出的最大值和最小值即可求得；（ii）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)滿足條件，據(jù)分析對(duì)恒為定值的條件，確定值即可.【小問1詳解】解：設(shè)，，則，由點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，得，所以，則即為點(diǎn)的軌跡曲線的方程.小問2詳解】解：（i）依題意可知直線與圓相切于點(diǎn)，所以，當(dāng)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值7和最小值3，所以的取值范圍為.（ii）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn).假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)）滿足條件，設(shè)，因?yàn)闉閳A的切線，且圓的半徑為1，所以.若對(duì)恒為定值，則必有，得，所以或（舍去），所以在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值19.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，以他的名字命名的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù).例如：，，.已知數(shù)列滿足，.（1）求.（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（3）求的個(gè)位數(shù).【答案】（1）（2）證明見解析