2019年北京市高考數(shù)學試卷(理科)含答案

2019年北京市高考數(shù)學試卷（理科）

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項。

1.已知復數(shù)z=2+i,則z?5=（）

A.75B.x/5C.3D.5

2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知直線/的參數(shù)方程為["H，（/為參數(shù)），則點（1,0）到直線/的距離是（）

y=2+4/

.1D2「4n6

A.—D.—C?—D.-

5555

4.已知橢圓二+[=13">0）的高心率為L則（）

a-b~2

A.n2=7h2B.3/72=4h2C..a=1bD.3a=4b

5.若x,y滿足且y…-1,則3x+y的最大值為（）

A.-7B.1C.5D.7

6.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足

-〃?今，其中星等為恤的星的亮度為片（女=1,2）.已知太陽的星等是-26.7,天

狼星的星等是7.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為（）

A.IO101B.10.1C.feld.1D.IO-101

7.設點A,B,C不共線，則“人4與AC的夾角為銳角”是“|48+AC|>|8C|”的（

）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如

圖）.給出下列三個結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）：

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過血；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（）

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

9.函數(shù)/(x)=siif2x的最小正周期是.

10.設等差數(shù)列｛an｝的前〃項和為S”，若/=-3,§5=-11),則%=,S”的最小值為.

11.某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正

①/_L〃z；②m3a、③/_La.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：—.

13.設函數(shù)/(%)="+念7(。為常數(shù)).若/(x)為奇函數(shù)，則。=—；若是R上的增

函數(shù)，則〃的取值范圍是—?

14.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價

格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行

促銷：?次購買水果的總價達到120元，顧客就少付工元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，

李明會得到支付款的80%.

①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付一元；

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大

值為.

三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

15.(13分)在A4BC中，a=3,b-c=2,cosB=--.

2

(I)求〃，c的值；

(II)求sin(B-C)的值.

16.(14分)如圖，在匹棱錐P-ABC力中，Q4JL平面4HC7)，AD1CD,AD//BC.

pp1

PA=AD=CD=2,BC=3.E為尸。的中點，點尸在PC上，且——=一.

PC3

(I)求證：CD_L平面E4D；

(II)求二面角/—AE—P的余弦值；

（HI）設點G在依上，且t=2.判斷直線AG是否在平面AE”內(nèi)，說明理由.

17.（13分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主

要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,8兩種移動支付方式的使用情況，從全校學

生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,8兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使

用人和僅使用4的學生的支付金額分布情況如下：

支付金額（元）(0,1OOOJ(1000,2000]大于2000

支付方式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（I）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A,8兩種支付方式都使用的概率;

（H）從樣本僅使用A和僅使用8的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支

付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

（III）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨

機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣本僅使

用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

18.（14分）已知拋物線C:f=-2py經(jīng)過點（2,-1）.

（I）求拋物線。的方程及其準線方程；

（H）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線/交拋物線C于兩點M,N,

宜線y=T分別交直線OM,ON于點、A和點B.求證：以為直徑的圓經(jīng)過），軸上的兩

個定點.

19.（13分）已知函數(shù)=一f+X.

（I）求曲線），=/（?的斜率為/的切線方程；

（II）當xw［-2,4］時，，求證：不一6綃（x）x；

（III）設尸（或=|/3-。+。）|（0€砌，記尸㈤在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M（a）.當例

（a）最小時，求。的值.

20.（13分）已知數(shù)列｛%｝,從中選取第耳項、第％項、…、第M項"?V%，若

則稱新數(shù)列由，%，…，”為｛凡｝的長度為，〃的遞增子列.規(guī)定：數(shù)

列｛”“｝的任意一項都是｛《｝的長度為1的遞增子列.

（I）寫出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9的一個長度為4的遞增子列；

（II）己知數(shù)列｛6｝的長度為〃的遞增子列的末項的最小值為〃,如，長度為夕的遞增子列的

末項的最小值為%.若p<q,求證：a<a；

（山）設無窮數(shù)列｛%｝的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等.若他”｝的長度為s的遞增

子列末項的最小值為2s-1,且長度為s末項為2s-1的遞增子列恰有末7個（s=l,2,...）,

求數(shù)列｛%｝的通項公式.

【歸納與總結(jié)】本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查點到直線距離公式的應用，是基礎題.

丫2v21

4.已知橢圓4=的離心率為L則（）

a~b~2

A.a1=2b2B.3a2=4b-C.a=2bD.3a=帖

【思路分析】由橢圓離心率及隱含條件/=〃+c2得答案.

【解析】：由題意，-=得￡?=,，則匕2二,，

a2a~4a24

/.4a2-4/?2=a2，即3a2=4b2.

故選：B.

【歸納與總結(jié)】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，熟記隱含條件是關鍵，是基礎題.

5.若x,y滿足且y…-1,則3%+y的最大值為（）

A.-7B.1C.5D.7

【思路分析】由約束條件作出可行域，令z=3x+），，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得

到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.

令z=3%+y,化為y=-3x+z,

由圖可知，當直線y=-3[+z過點A時，z有最大值為3x2-1=5.

故選：C.

【歸納與總結(jié)】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

6.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足

牲-肛=g/g看，其中星等為恤的星的亮度為4（女=],2）.已知太陽的星等是-26.7,天

狼星的星等是T.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為（）

A.IO101B.10.1C.k10.1D.IO-101

【思路分析】把已知熟記代入如-q二』々互，化簡后利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解.

2E2

【解析】：設太陽的星等是班=-26.7,天狼星的星等是也=-1.45,

由題意可得：-1.45-（-26.7）=|/g亮，

.g=弊=]01，則紋=]om.

E25E2

故選：A.

【歸納與總結(jié)】本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎的計算題.

7.設點A,B,。不共線，則“A3與AC的夾角為銳角”是“|4B+AC|>|BC|”的（

)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【思路分析】與AC5的夾角為銳角”=>a\AB+AC\>\BC\f\a\AB+AC\>\BC\

=>“A3與AC的夾角為銳角”，由此能求出結(jié)果.

【解析】：點A,B,。不共線，

“/仍與AC的夾角為銳角”=>i（\AI3+AC\>\BCI",

U\AB+AC\>\BC\,fn“A8與AC的夾角為銳角”，

設點A,B,C不共線，則“A4與AC'的夾角為銳角”是“|A8+AC|>|8C|"的充分必

要條件.

故選：C.

【歸納與總結(jié)】本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，考查向量等基礎知識，考

查推理能力與計算能力，屬于基礎題.

8.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C:/+），2=l+|x|），就是其中之一（如

圖）.給出下列三個結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；

②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過0；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（）

【思路分析】將x換成t方程不變，所以圖形關于y軸對稱，根據(jù)對稱性討論），軸右邊的

圖形可得.

【解析】：將工換成r方程不變，所以圖形關于y軸對稱，

當大=0時，代入得/=1,...y=±i,即曲線經(jīng)過（0,1）,（0,-1）；

當x>0時，方程變?yōu)槎?-.9+/_1=。，所以△=x2-4（f-i）..。，解得xw（o,竽],

所以x只能取整數(shù)1,當/=1時，y2-y=0,解得），=0或），=1,即曲線經(jīng)過（1,0）,（1,1）,

根據(jù)對稱性可得曲線還經(jīng)過（-1,0）,（-1,1）,

故曲線一共經(jīng)過6個整點，故①正確.

丫2+v2

當X>0時，由V+）?=1+.得f+）,2_]=孫,，:--2_,（當X=），時取等），

X2+2,.??G+嬉O,即曲線C上），軸右邊的點到原點的距離不超過五，根據(jù)對

稱性可得：曲線C上任意一點到原點的距離都不超過正；故②正確.

在x軸上圖形面積大于矩形面積=1x2=2,文軸下方的面枳大于等腰直角三角形的面枳

=1x2x1=1,因此曲線。所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于2+1=3,故③錯誤.

2

故選：C.

【歸納與總結(jié)】本題考查了命題的真假判斷與應用，屬中檔題.

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

9.函數(shù)f(x)=sin?2x的最小正周期是—.

~2~

【思路分析】用二倍角公式可得f(x)=-,cos(4x)+,，然后用周期公式求出周期即可.

22

[解析1：\f(x)=sin2(2^),

二.f(x)=-gcos(4x)+g,/(K)的周期T=],故答案為：y.

【歸納與總結(jié)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關鍵是合理使用二倍角公式，屬基礎題.

10.設等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S。，若％=-3,55=-1(),則4=0,S〃的最小值

為?

【思路分析】利用等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和公式、通項公式列出方程組，能求出4=~4,

d=l,由此能求出處的S”的最小值.

【解析】：設等差數(shù)列｛%)的前“項和為S”,4=-3,S5=-1O,

q+d=-3

?5x4?解得4=-4,d=1,/.a5=at+4d=-44-4x1=0?

5q+—d=-10

°n(n-\),.n(n-1)1,981

S?=na.+-----=T〃+---------=-(n一一)x—2——，

“122228

二〃=4或〃=5時，S“取最小值為，=Ss=-10.故答案為：0,-10.

【歸納與總結(jié)】本題考查等差數(shù)列的第5項的求法，考查等差數(shù)列的前〃項和的最小值的求

法，考杳等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題.

11.某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正

方形的邊長為/,那么該兒何體的體積為40.

【思路分析】由三視圖還原原幾何體，然后利用一個長方體與一個棱柱的體積作和求解.

【解析】：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體是把棱長為4的正方體去掉一個四棱柱，

則該幾何體的體積V=4x2x2+；（2+4）x2x4=40.

故答案為：40.

【歸納與總結(jié)】本題考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

12.已知,,,〃是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：

①/_!_〃？；②〃z//a；③/J_a.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：若Ua,

/±m(xù),則m/la_.

【思足兩i】由二，〃是平面a外的兩條不同直線，利用線面平行的判定定理得若/_La,

I?則〃?//a.

【解析】：由/,〃?是平面a外的兩條不同直線，知：

由線面平行的判定定理得:若/-La,/_!_〃?，則mlla.故答案為:若/JLa?ILm，則mlla.

【歸納與總結(jié)】本題考查滿足條件的真命題的判斷，考直空間中線線、線面、面面間的位置

關系等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.

13.設函數(shù)/（x）=e'+aef（a為常數(shù)）.若/（幻為奇函數(shù)，則。若/（幻是R上的

增函數(shù)，則a的取值范圍是—.

【思路分析】對于第一空：由奇函數(shù)的定義可得/（一為二一/5），即6-+。，=-（/+馥7）,

變形可得分析可得。的值，即可得答案：

對于第二空：求出函數(shù)的導數(shù)，由函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關系分析可得/（幻的導數(shù)

r（x）=e'-aeT.O在上恒成立，變形可得：出小恒成立，據(jù)此分析可得答案.

【解析】：根據(jù)題意,函數(shù)/。）=力+%-",

若/（X）為奇函數(shù)，則/（—x）=—/（x）,^e~x+aex=-（ex+ae-x）,變形可得〃=一1,

函數(shù)/（X）="+導數(shù)f\x）=e-x

若f（x）是R上的增函數(shù)，則/*）的導數(shù)/（幻=F-a1..0在R上恒成立，

變形可得：氏恒成立，分析可得4,0,即a的取值范圍為（y,0］；

故答案為：一1，（f，0J.

【歸納與總結(jié)】本題考有函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定，關鍵是理解函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

的定義，屬于基礎題.

14.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價

格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行

促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付1元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，

李明會得到支付款的80%.

①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付130元;

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大

值為.

【思路分析】①由題意可得顧客一次購買的總金額，減去X,可得所求值；

②在促銷活動中，設訂單總金額為〃?元，可得?！?x)x80%..〃zx70%,解不等式，結(jié)合恒

成立思想，可得x的最大值.

【解析】：①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140(元)，

即有顧客需要支付140-10=130(元)：

②在促銷活動中，設訂單總金額為〃，元，

可得-x)x80%..mx70%,

即有K,9，

8

由題怠可得加.120,

可得與呦=15,

8

則X的最大值為15元.

故答案為：130,15

【歸納與總結(jié)】本題考查不等式在實際問題的應用，考有化簡運算能力，屬于中檔題.

三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

15.(13分)在A4BC中，a=3,b-c=2,cos?=--.

2

(I)求力，c的值；

(II)求sin(3-C)的值.

【思路分析】(I)利用余弦定理可得從=/+/—2〃ccos4,代入已知條件即可得到關于〃

的方程，解方程即可；

(II)sin(^-C)=sinBcosC-cos/?sinC>根據(jù)正弦定理可求出sinC,然后求出cosC,代

入即可得解.

【解析】：(I)a=3,b-c=2,cosB=--.

2

.??由余弦定理，得/=a2+c2-2accosB=9+(b-2)2-2x3x0-2)x(-l),

2

,.Z?=7,：.c=b—2=5；

(II)在AABC中，vcosB=--,:.s\nB=—,

22

由正弦定理布注二熹._csinB*25指

z.sinC=-----=-----=---

b714

?.Z?>c>B>CJ/.C為銳角，cosC=—,

14

sin(4-C)=sin4cosC-cosZ?sinC=*x-^-(-^)x.

【歸納與總結(jié)】本題考查了正弦定理余弦定理和兩角差的正弦公式，屬基礎題.

16.(14分)如圖，在匹棱錐產(chǎn)一ABCZ)中，八4_1_平面A8CD,ADLCD,AD//BC,

PF1

PA=AD=CD=2,4c=3.E為叨的中點，點尸在PC上，且一=-.

PC3

(I)求證：CO_L平面2V)；

(II)求二面角廠一4￡一夕的余弦值；

(IH)設點G在尸B上，且絲=2.判斷直線AG是否在平面詆內(nèi)，說明理由.

PB3

D

【思路分析】(I)推導出Q4_LCD，ADLCD,由此能證明CO_L平面Q4O.

(II)以A為原點，在平面A8CD內(nèi)過A作CD的平行線為x軸，A。為)軸，AP為z軸,

建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角廠-AE-尸的余弦值.

47422

(IH)求出AG=(—，0,-),平面W的法向量6=(1,1,-1),m>AG=----=一。0,

33333

從而直線AG不在平面AEF內(nèi).

【解答】證明：(I)?.,兩_L平面A8CZ),.?.Q4_LCO,

?/AD±CD,PAQAD=A,

.??。。，平面皿).

解：(H)以A為原點，在平面ABC。內(nèi)過A作C。的平行線為X軸，

4)為)，軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

A(O,0,0),E(1,0,I),/(|,|,1),。(0,0,2),

724

AE=(1,0,1),A尸=(三母§),

平面AE尸的法向量〃=(1,0,0),

設平面的法向量〃?=(x,y,z),

m?AE=x+z=O

則，224，取x=1,得，〃=(1,1,-1),

m?AF=—x+—y+—z=O

333

設二面角尸一他一尸的平面角為夕，則cose=?L=J==g.

二二面角尸—AE—尸的余弦值為年.

(III)直線AG不在平面A即內(nèi)，理由如下：

,點G在心上，且絲=2.二.G(士，0,-),

PB333

42

4G=(；,0,1),

?.?平面AE尸的法向量用=(1,1,-1),

422

n>AG=----=一00,

333

故直線AG不在平面AEF內(nèi).

【歸納與總結(jié)】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查直線是否在已

知平面內(nèi)的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理

能力與計算能力，屬于中檔題.

17.（13分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主

要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,8兩種移動支付方式的使用情況，從全校學

生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,8兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使

用A和僅使用“的學生的支付金額分布情況如下：

支付金額（元）(0,1OOOI(1000,2000]大于2000

支付方式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（I）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A,8兩種支付方式都使用的概率;

（II）從樣本僅使用A和僅使用8的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支

付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

（III）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨

機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣本僅使

用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

【思路分析】（I）從全校所有的1000名學生中隨機抽取的100人中，A,8兩種支付方

式都不使用的有5人，僅使用A的有30人，僅使用笈的有25人，從而A,"兩種支付方

式都使用的人數(shù)有40人，由此能求出從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A,

4兩種支付方式都使用的概率.

（II）從樣本僅使用A和僅使用8的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支

付金額大于1000元的人數(shù)，則X的可能取值為0,1,2,分別求出相應的概率，由此能求

出X的分布列和數(shù)學期望E（X）.

（川）從樣本僅使用A的學生有30人，其中27人月支付金額不大于2000元，有3人月支

付金額大于2000元，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大廣2000元的概率為

=1,不能認為認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有

Ci4060

變化.

【解析】：（I）由題意得：

從全校所有的1000名學生中隨機抽取的100人中，

A，4兩種支付方式都不使用的有5人，

僅使用A的有30人，僅使用8的有25人，

二.A,8兩種支付方式都使用的人數(shù)有：100-5-30-25=40,

.??從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A,8兩種支付方式都使用的概率

400

p=----=0.4.

100

(H)從樣本僅使用4和僅使用A的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支

付金額大于1000元的人數(shù)，

則X的可能取值為0,1,2,

樣本僅使用A的學生有30人，其中支付金額在(0,1000］的有18人，超過100()元的有12

人，

樣本僅使用8的學生有25人，其中支付金額在(0,1000］的有10人，超過1000元的有15

人,

1Q180_6

P(X=O)=-X=，

30750-25

1Q121039013

p(X=l)=，x.+-----X-—----=-------=-----9

30302575025

…12151806

P(X=2)=—x—=---=—

302575025

」.X的分布列為：

X012

p6136

252525

數(shù)學期望E(X)=OX9+1X￡+2X9=1.

252525

(III)不能認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，

理由如下：

從樣本僅使用A的學生有30人，其中27人月支付金額不大于2000元，有3人月支付金額

大于2000元,

隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元的概率為〃=圣=康

雖然概率較小，但發(fā)生的可能性為」一.

4060

故不能認為認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.

【歸納與總結(jié)】本題考查概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查古典概型、

相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查推理能力與計算能力，是中檔題.

18.(14分)已知拋物線C:f=一2萬經(jīng)過點(2,-1).

(I)求拋物線。的方程及其準線方程；

(H)設O為原點，過拋物線。的焦點作斜率不為0的直線/交拋物線C于兩點N,

直線y=-l分別交直線OM,ON于點、A和點B.求證：以為直徑的圓經(jīng)過)，軸上的兩

個定點.

【思路分析】(I)代入點(2,-1),解方程可得〃，求得拋物線的方程和準線方程；

(II)拋物線丁=7)，的焦點為/(0,-1),設直線方程為)，=米-1,聯(lián)立拋物線方程，運用

韋達定理，以及直線的斜率和方程，求得A,8的坐標，可得AB為直徑的圓方程，可令x=O,

解方程，即可得到所求定點.

【解析】：(I)拋物線。：爐=-2處，經(jīng)過點(2,-1).可得4=2p,即p=2,

可得拋物線C的方程為f=-4y,準線方程為y=l；

(II)證明：拋物線x2=Y)，的焦點為尸

設直線方程為)，=履-1,聯(lián)立拋物線方程，可得x2+4米-4=0,

設M(X］,y),N(X2,y2),

可得X+x,=-4Z，％t=-4，

直線QM的方程為)，=&1，即)，二一五x,

耳'4

直線ON的方程為>，=&/?，即)，=-至一

x2^4

44

可得A(—,-1),B(—,-1),

%與

-AL

可得回的中點的橫坐標為2(」I+工1)=2二竺=2h

再x2-4

即有AB為直徑的圓心為(2七-1),

半徑為空1」比_，2巫互=2百，

22x{x24

可得圓的方程為［X-2k)2可y+1)2=4(1+A:2),

化為f-4日+()，+1)2=4,

由x=0,可得)，=1或一3.

則以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(0,1),(0,-3).

【歸納與總結(jié)】本題考查拋物線的定義和方程、性質(zhì)，以及圓方程的求法，考查直線和拋物

線方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題.

19.(13分)已知函數(shù)

(I)求曲線)，=/(#的斜率為/的切線方程；

(II)當xw(-2,4］時，求證：工一6期'(x)x；

(III)設戶(x)"a)-(x+a)|3eK),記尸㈤在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M(a).當M

(a)最小時,求a的值.

【思路分析】(I)求導數(shù)尸(x)，由廣(x)=1求得切點，即可得點斜式方程；

(II)把所證不等式轉(zhuǎn)化為-6期(x)-x0,再令gQ)=/(x)-x,利用導數(shù)研究g(x)在［-2,

41的單調(diào)性和極值點即可得證；

(III)先把尸(力化為IgCO-al，再利用(II)的結(jié)論，引進函數(shù)力⑺結(jié)合絕對值

函數(shù)的對稱性，單調(diào)性，通過對稱軸與-3的關系分析即可.

【解析】：(I)/^)=-^2-2x+l,

4

Q

由r(x)=i得/@一京=().

8

得玉=0,x2=-.

又八。)=。，〃|)=*

小88

y=x和y----=x——,

,273

即y=x和y=x-^j；

(II)證明：欲證x—第'(x)X，

只需證-6期(x)-x0,

令g(x)=/(x)-4=一/，xe［-2,4］,

4

aaQ

則g<x)=二/-2x=-x(x——),

443

QQ

可知g'(x)在［-2,0］為正,在(0,-)為負，在［-,4］為正,

33

.?.以X)在［-2,0］遞增，在［0,1遞減,在1,4］遞增,

33

又g(-2)=-6,g(0)=0，5(1)=-->-6?g(4)=0，

.?.-6轟山⑴0,

X；

(III)由(H)可得，

F(x)=if［x)-(x+a)\

=4f(x)-x-a\

=(g(x)-a|

??,在［—2,4］上,0,

令f=g(x),h(t)=\t-a\,

則問題轉(zhuǎn)化為當，e［-6，0］時，力⑺的最大值M(a)的問題了,

此時一a.3,當〃=-3時，M(a)取得最小值3；

②當〃..一3時，M(a)=//(-6)=1-6-?|=|6+?|,

6+a.3,:.M(a)=6+a,

也是〃=一3時，M(a)最小為3.

綜上，當加(a)取最小值時。的值為-3.

【歸納與總結(jié)】此題考查了導數(shù)的綜合應用，構(gòu)造法，轉(zhuǎn)化法，數(shù)形結(jié)合法等，難度較大.

20.(13分)已知數(shù)列｛%｝,從中選取第/；項、第力項.....第"項&<?,,<")，若

4<%<一<