《數(shù)學實驗 第4版》課件 9.3 傳染病模型

1第九章綜合實驗實驗9.1數(shù)學建模簡介實驗9.2手機模型數(shù)學實驗實驗9.3傳染病模型2實驗9.3傳染病模型一、問題描述二、模型準備實驗9.3

傳染病模型三、模型假設四、模型構成與求解五、模型檢驗與改進3實驗目的一、問題描述利用已經(jīng)掌握的數(shù)據(jù)資料,建立適當?shù)臄?shù)學模型，研究傳染病,通過本實驗了解如何對較復雜的問題進行數(shù)學建模，如何對模型進行改進，以及如何利用MATLAB軟件求解常微分方程模型.實驗9.3

傳染病模型對其傳播蔓延進行必要的控制，減少人民生命財產的損失.并需要對數(shù)學模型進行一定的比較分析和評價展望.4二、模型準備這是涉及傳染病傳播情況的實際問題，其中涉及傳染病感染人數(shù)隨時間的變化情況及一些初始資料.不是從醫(yī)學角度分析各種傳染病的特殊機理,而是按照傳播過程的一般規(guī)律建立數(shù)學模型.

描述傳染病的傳播過程.

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律.

預報傳染病高潮到來的時刻.

預防傳染病蔓延的手段.實驗9.3

傳染病模型5三、模型假設1）在疾病傳播期內所考察地區(qū)的總人數(shù)N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移.2）時間以天為計量單位.3）假設時刻t已感染者（infective，以下簡稱病人）人數(shù)比例為i(t)，并假設i(t)是連續(xù)、可微函數(shù).實驗9.3

傳染病模型4）每個病人每天有效接觸(足以使人致病)平均人數(shù)為常數(shù)λ，稱為日接觸率.6實驗9.3

傳染病模型四、模型構成與求解模型一考察t到t+△t病人人數(shù)的增加，就有：方程兩邊同時除以△t，并設t=0時，病人比例是即得微分方程分離變量直接可得微分方程的解析解7從模型中不難看出時，有.不符合實際情況，需要修改模型增加假設：實驗9.3

傳染病模型五、模型檢驗與改進模型二（SI模型）區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)時刻t易感染者（susceptible，以下簡稱健康者）人數(shù)比例為s(t)，于是有8實驗9.3

傳染病模型方程兩邊同時除以△t得又因為即得微分方程解得稱為Logistic模型，也叫阻滯增長模型9的圖形：設λ=1，

i0=0.02，用MATLAB作出>>t=0:0.1:10;i=1./(1+(1/0.02-1).*exp(-t));plot(t,i)axisongridonxlabel('t')ylabel('i')↙實驗9.3

傳染病模型10實驗9.3

傳染病模型的圖形：設λ=1，

i0=0.02，用MATLAB作出>>i=0:0.01:1;di=i.*(1-i);plot(i,di)axisongridonxlabel('i')ylabel('di/dt')↙11實驗9.3

傳染病模型由圖可知，當時，曲線達到拐點，于是達到最大值這個時刻為此時病人增加得最快，即傳染病的高潮期，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關注的時刻.與λ成反比，表明降低日接觸率可以推遲傳染病高潮的到來.12實驗9.3

傳染病模型模型二中時，有.仍然不符合實際情況，需要修改模型.模型三（SIS模型）病人可以治愈！傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染.增加假設：設病人每天被治愈的人數(shù)占病人總數(shù)的比例為

，（

~日治愈率，1/

是這種傳染病的平均傳染期）方程兩邊同時除以△t得13實驗9.3

傳染病模型mls/=

~

日接觸率1/

~傳染期

~

一個感染期內每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù).解得14實驗9.3

傳染病模型可見時，有利用MATLAB可以作出和和的圖形分別如下：15實驗9.3

傳染病模型接觸數(shù)

=1~

閾值傳染期內日接觸率不超過日治愈率的緣故模型二(SI模型)如何看作模型三(SIS模型)的特例,

=0.

>1di/dt先增后減,說明傳染速度先增后減i(t)單調下降,最終趨于0

>1,i0<1-1/

di/dt>0,說明i(t)單調增加

>1,i0>1-1/

di/dt<0,說明i(t)單調減少16實驗9.3

傳染病模型模型四（SIR模型）傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱為移出者（removed）.1.模型構成增加假設：時刻t移出者（removed）人數(shù)比例為r(t)，則又17則得方程兩邊同時都除以△t，并設t=0時，病人、健康者、移出者的比例分別是

無法求出的解析解先做數(shù)值計算,再在相平面上研究解析解性質實驗9.3

傳染病模型182.模型求解實驗9.3

傳染病模型(1)數(shù)值計算法在上述方程組中令設λ=1，μ=0.3，i0=0.02，s0=0.98，用MATLAB軟件編程：①編寫函數(shù)文件ill.mfunctiony=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];19②計算i(t)，s(t)的數(shù)值>>ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0)↙i(t)和s(t)的部分數(shù)值計算結果t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398實驗9.3

傳染病模型20實驗9.3

傳染病模型③繪制i(t)~t和s(t)~t的圖形>>plot(t,x(:,1),t,x(:,2),’--’)gridon↙輸出圖中實線、虛線分別為i(t)~t和s(t)~t的曲線.i(t)從初值增長到最大；

t,i

0.s(t)單調減；

t,s

0.0398.96.02%的人變成了移出者.21實驗9.3

傳染病模型④繪制i~s曲線>>plot(x(:,2),x(:,1))gridon↙相軌線i(s)

隨著t的增加，(s,i)沿軌線自右向左運動

P0點:i(0)=0.02，s(0)=0.98隨著時間推延，健康者比例遞減，病人比例先增后減，最后，二者之和越來越少，大部分變?yōu)橐瞥稣?22實驗9.3

傳染病模型(2)相軌線分析法利用相軌線討論i(t)和s(t)的解析解的性質：消去dt相軌線相軌線i(s)的定義域實驗9.3

傳染病模型11siOD用MATLAB在D內做相軌線i(s)的圖形，進行分析functioni=xiangguixian(s,s0,w)i0=1-s0;i=(s0+i0)-s+(1/w)*log(s/s0);編寫函數(shù)文件xiangguixian.m2324取分別取s0=0.1,0.3,0.5,0.8,0.9來繪制相軌線:>>w=2;s0=0.1;s=0:0.001:0.1;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)axis([0,1,0,1])gridonholdons0=0.3;s=0:0.001:0.3;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)s0=0.5;s=0:0.001:0.5;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)實驗9.3

傳染病模型25實驗9.3

傳染病模型s0=0.8;s=0:0.001:0.8;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)s0=0.9;s=0:0.001:0.9;i=xiangguixian(s,s0,w);plot(s,i)添加箭頭為表示隨著時間t的增加i(t)和s(t)的變化趨向s(t)單減

相軌線的方向26實驗9.3

傳染病模型t→∞時s(t)的極限值滿足P4、P5:s0>1/

i(t)先升后降至0

傳染病蔓延傳染病不蔓延P1、P2:s0<1/

i(t)單調降至01/

~閾值s(t)都單調減小至27

的估計：忽略i0可以看到在SIR模型中接觸數(shù)σ是一個重要參量，它可以由實際數(shù)據(jù)估計.實驗9.3

傳染病模型28實驗9.3

傳染病模型3.模型應用——群體免疫和預防

(日接觸率)衛(wèi)生水平

(日治愈率)

醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低

(=

/

)

,

群體免疫29實驗9.3

傳染病模型

降低日接觸率

提高日治愈率

提高移出比例r0以最終未感染比例s

和病人比例最大值im為度量指標.

1/

s0i0s

im10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020030

1/

s0i0s

im10.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200

,

s0

(r0

)s

,im

s

,im

實驗9.3

傳染病模型31小結：傳染病模型模型一模型二(SI)模型三(SIS)模型四(SIR)區(qū)分病人和健康人考慮治愈模型三、

四:描述傳播過程,分析變化規(guī)律,

預報高潮時刻,預防蔓延手段.模型四:數(shù)值計算與理論分析相結合.實驗9.3

傳染病模型32無論是面對2003年的ＳＡＲＳ，還是應對近幾年的新冠疫情，我們的黨和國家都凸顯了以人民為中心的理念，在科學模型指導下，制定英明的抗疫政策：一方面，政府采取強有力的隔離措施，阻斷了傳染源，降低感染率；同時積極研制疫苗，控制了疫情，最大程度減少了民眾傷亡。通過對數(shù)學模型精益求精的不斷修正和完善，我們得