江西省景德鎮(zhèn)市樂(lè)平市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考 數(shù)學(xué)試題含答案

江西省景德鎮(zhèn)市樂(lè)平市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，則下列命題正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，則2．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角.已知是斜邊的中點(diǎn)，且，則的邊上的高為（

）

A．1 B．2 C． D．3．如圖，是平面內(nèi)一定點(diǎn)，是平面外一定點(diǎn)，且，直線AB與平面所成角為30°，設(shè)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則線段的長(zhǎng)度的最小值為（

）A．4 B． C．2 D．4．?dāng)€尖式屋頂是中國(guó)古代傳統(tǒng)建筑的一種屋頂樣式，如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個(gè)圓錐，已知該圓錐的底面直徑為6m，高為4m，則該屋頂?shù)拿娣e約為（

）A． B．C． D．5．如圖，在長(zhǎng)方體中，已知，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．6．已知球O的半徑，平面經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)，且與OA所成的線面角為，則平面截球O的面積為（

）A．16π B．14π C．12π D．10π7．已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為，若半徑為1的球與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐外接球的半徑為（

）A． B．2 C． D．8．圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長(zhǎng)為6.已知為該圓臺(tái)某條母線的中點(diǎn)，若一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的最短路徑長(zhǎng)為（

）A．9 B．6 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，一個(gè)漏斗形狀的幾何體上面部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，下面部分是一個(gè)四棱錐，四棱錐的四條側(cè)棱都相等，兩部分的高都是，公共面是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則（

）A．該幾何體的體積B．直線PD與平面ABCD所成角的正切值為C．異面直線AP與CC1的夾角正弦值為D．存在一個(gè)球，使得該幾何體所有頂點(diǎn)都在球面上10．正方體中，是棱的中點(diǎn)，在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面．以下命題中正確的有（

）A．點(diǎn)的軌跡是一線段B．直線與直線所成角可能為C．側(cè)面上存在點(diǎn)，使得D．平面與平面所成銳二面角的正切值為11．如圖為清代官員夏日所用官帽?涼帽的形制，無(wú)檐，形如圓錐，俗稱喇叭式．材料多為藤?竹制成．外裹綾羅，多用白色，也有用湖色?黃色等．不同型號(hào)的官帽大小經(jīng)常用帽坡長(zhǎng)（母線長(zhǎng)）和帽底寬（底面圓的直徑長(zhǎng)）兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行衡量．現(xiàn)有一個(gè)官帽，帽坡長(zhǎng)，帽底寬，關(guān)于此官帽，下面說(shuō)法正確的是（

）A．官帽軸截面（過(guò)頂點(diǎn)和底面中心的截面圖形）的頂角為B．過(guò)官帽頂點(diǎn)和官帽側(cè)面上任意兩條母線的截面三角形的最大面積為C．若此官帽頂點(diǎn)和底面圓上所有點(diǎn)都在同一個(gè)球上，則該球的表面積為D．此官帽放在平面上，可以蓋住的球（保持官帽不變形）的最大半徑為三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為是棱的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)且與直線平行，則平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)是.13．如圖，在長(zhǎng)方體中，是線段上異于的一點(diǎn)，則的最小值為.14．勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間像球一樣來(lái)回自由滾動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸（如圖）．勒洛四面體是以一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分圍成的幾何體．若構(gòu)成勒洛四面體ABCD的正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，在該“空心”勒洛四面體ABCD內(nèi)放入一個(gè)球，則該球的球半徑最大值是．四、解答題（本大題共5小題）15．在四棱錐中，底面是矩形，平面的中點(diǎn)為，以為直徑的球面交于點(diǎn)；(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.16．如圖，長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)P為的中點(diǎn)．(1)求證：直線平面PAC；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.17．如圖，在四棱錐中，底面是菱形．，分別為的中點(diǎn)，且．(1)證明：．(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．18．如圖，在四棱錐中平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，，，．

(1)求證：平面平面(2)求直線EC與平面PAC所成角的正弦值．19．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)證明：；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，求，若不存在，說(shuō)明理由；(3)求二面角的正切值.

參考答案1．【答案】B【分析】對(duì)于A項(xiàng)，若，，，不一定；對(duì)于B項(xiàng)，先由和得，再由結(jié)合面面垂直的判定定理即可得解；對(duì)于C項(xiàng)，若，，，則與相交或或；對(duì)于D項(xiàng)，若，，由面面垂直的性質(zhì)得或.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，，，則與相交或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若，，則，又，則，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，若，，，則與相交或或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若，，則或，故D錯(cuò)誤.故選B.2．【答案】C【詳解】因?yàn)橹庇^圖是等腰直角，，所以，根據(jù)直觀圖中平行于軸的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，所以的邊上的高.故選：C.3．【答案】C【詳解】如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段的中垂面與平面的交線，又因?yàn)?，直線與平面所成角為，取的中點(diǎn)，可得，則線段的最小值為.故選：C.4．【答案】A【詳解】由題知，圓錐底面圓半徑，高，則母線，因此圓錐的側(cè)面積為.即屋頂?shù)拿娣e為.故選：A.5．【答案】D【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)，

因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以，所以，假設(shè)異面直線與所成的角為，則.故選：D.6．【答案】B【詳解】由平面經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)，且與OA所成的線面角為，得球心O到平面的距離，因此平面截球O所得截面圓半徑，所以平面截球O所得截面圓面積.故選：B7．【答案】D【詳解】因?yàn)榍蚺c該正三棱錐的各棱均相切，所以平面截球得到的截面圓與的三邊均相切，所以該球的球心在過(guò)截面圓圓心且與平面垂直的直線上，又因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為，所以底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為，又因?yàn)榍虻陌霃綖?，所以棱切球的球心即為底面正三角形的中心點(diǎn)，連接PO，即為三棱錐的高，如圖，過(guò)球心作的垂線交于，則，又因?yàn)椋?又與相似，所以，則，即.因?yàn)橥饨訄A的半徑為，正三棱錐外接球的球心在上，設(shè)半徑為，則，即,解得.故選：D.8．【答案】A【詳解】為圓臺(tái)母線的中點(diǎn)，分別為上下底面的圓心，把圓臺(tái)擴(kuò)成圓錐，如圖①所示，則,由,有,圓錐底面半徑，底面圓的周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)，所以側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為，即，如圖②所示，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，繞著該圓臺(tái)的側(cè)面運(yùn)動(dòng)一圈后又回到點(diǎn)，則運(yùn)動(dòng)的最短路徑為展開圖弦，所以.故選：A.9．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，該幾何體的體積為，故A正確；對(duì)于B，連接交于，連接，由題意可知四棱錐為正四棱錐，所以平面，所以為直線與平面所成角，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為1，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，因?yàn)椋曰蚱溲a(bǔ)角為異面直線與的夾角,且，所以，所以異面直線與的夾角余弦值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的球心為，半徑為，則為的中點(diǎn)，且，得，因?yàn)?，所以點(diǎn)長(zhǎng)方體的外接球上，所以存在一個(gè)球，使得該幾何體所有頂點(diǎn)都在球面上，故D正確.故選：ABD.10．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，分別取的中點(diǎn)，連接，則，又，則平面平面，則當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，平面，則平面，即滿足題意的點(diǎn)在側(cè)面上的軌跡為線段，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)變化到端點(diǎn)或時(shí)，直線與直線所成角取得最大值，此時(shí)直線與直線所成角為（或），又，則．則直線與直線所成角不可能為．故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取中點(diǎn)，連接，中，，則，又，則，即當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，有，故C正確；對(duì)于D，取為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫瑒t，所以即為平面與平面所成銳二面角，所以，故D正確；故選：ACD．11．【答案】ACD【詳解】如圖所示，，，，，，所以正確；，所以最大面積應(yīng)為，所以錯(cuò)誤；設(shè)外接球的球心為，則，，，可見球心在延長(zhǎng)線上，，所以C正確；設(shè)是內(nèi)切球的球心，則，，，得到最大半徑為，所以正確．故選：.12．【答案】【詳解】取棱靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，棱靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，棱靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連接，，由正方體性質(zhì)得，，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理，所以，則四點(diǎn)共面.由正方體性質(zhì)得，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.所以平面即為平面截該正方體所得截面，由題可知四邊形是菱形，且，所以平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)是.故答案為：13．【答案】【詳解】將側(cè)面沿著旋轉(zhuǎn)至與平面在同一平面上，連接，如圖所示：由長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)特征，易得，由，，所以，由，故答案為：.14．【答案】【詳解】勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的4個(gè)弧面都相切，即為勒洛四面體內(nèi)切球，由對(duì)稱性知，勒洛四面體內(nèi)切球球心是正四面體的內(nèi)切球、外接球球心，正外接圓半徑，正四面體的高，設(shè)正四面體的外接球半徑為，在中，，解得，因此，勒洛四面體內(nèi)切球半徑為.故答案為：．15．【答案】(1)證明見解析(2)1【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)橐詾橹睆降那蛎娼挥冢?，又平面，所以平?（2）因?yàn)?，平面，平面，所以，所以為等腰直角三角形，則，又平面，平面，所以，所以為的中點(diǎn)，又，所以三棱錐的體積.16．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）設(shè)和交于點(diǎn)，連接，由于分別是，的中點(diǎn)，故，平面，平面，所以直線平面．（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，，，平面，所以平面，所以就是直線與平面所成角．在中，，，所以．于是直線與平面所成角的正弦值為．17．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，從而得證；（2）先求得，進(jìn)而求得，利用等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）連接．因?yàn)榈酌媸橇庑危謩e為的中點(diǎn)，所以，，所以．又，，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．?）因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以．又，，所以平面．由題意得是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以，又，所以．在中，可得，，所以．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則．因?yàn)?，所以，解得．所以點(diǎn)到平面的距離為.18．【答案】(1)證明見詳解；(2).【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，由題知，，，所以，又由余弦定理得，所以，，即，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由（1）知，在平面內(nèi)的射影為，所以在平面內(nèi)的射影也為，故直線EC與平面PAC所成角即為.因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以，所以，所以.19．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，；(3).【詳解】（1）在