專題12函數(shù)與方程（原卷版）

專題12函數(shù)與方程【考點預(yù)測】一、函數(shù)的零點對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.二、方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點函數(shù)有零點.三、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.五、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點.（3）計算.若則就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)的零點相關(guān)技巧:①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點.②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點時，函數(shù)值不一定變號.④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點，不一定能推出.【題型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題題型四：嵌套函數(shù)的零點問題題型五：函數(shù)的對稱問題題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型題型七：唯一零點求值問題題型八：分段函數(shù)的零點問題題型九：零點嵌套問題題型十：等高線問題題型十一：二分法【典例例題】題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間例1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，且是的一個零點，則一定是下列函數(shù)的零點的是（

）A． B．C． D．例2．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（文））已知函數(shù)，則的所有零點之和為（

）A． B． C． D．例3．（2022·江西·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，，的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是（

）A． B． C． D．例4．（2022·天津紅橋·一模）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．例5．（2022·安徽·安慶一中高三期末（理））函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個零點是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點為（

）A．0或 B．0 C． D．0或例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是函數(shù)的零點，則_______．例8．（2022·廣東廣州·二模）函數(shù)的所有零點之和為__________．例9．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（文））若，，，則x、y、z由小到大的順序是___________.【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)零點的方法：（1）代數(shù)法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍例10．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)是常數(shù)，若函數(shù)不可能有兩個零點，則b的取值情況不可能為（

）A．或 B．C．1 D．例11．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，若在存在零點，則實數(shù)值可以是（

）A． B． C． D．例12．（2022·浙江省浦江中學(xué)高三期末）已知二次函數(shù)，設(shè)，若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題例14．（2022·新疆·三模（理））函數(shù)的零點個數(shù)為___________.例15．（2022·上海市市西中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則方程在區(qū)間上的解的個數(shù)是________例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，給出下列四個結(jié)論：（1）若，則有兩個零點；（2），使得有一個零點；（3），使得有三個零點；（4），使得有三個零點．以上正確結(jié)論的序號是__．例17．（2022·黑龍江·哈師大附中三模（文））已知有且只有一個實數(shù)x滿足，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例18．（2022·全國·高二）若存在兩個正實數(shù)、，使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．例19．（2022·山東棗莊·高二期末）對于任意的實數(shù)，總存在三個不同的實數(shù)，使得成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例20．（2022·江西省撫州市第一中學(xué)高二月考（理））若存在兩個正實數(shù)，，使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負(fù)來確定，但是要確定函數(shù)零點的個數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個零點；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.題型四：嵌套函數(shù)的零點問題例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為（）A． B．或 C．或 D．或或例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個不同的解，則實數(shù)m的取值集合為（）A． B． C． D．例23．（2022·河南·高三月考（文））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．例24．（2022·安徽·馬鞍山二中高二期末（文））已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例25．（2022·云南保山·高二期末（文））定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解，，，，，則所有實數(shù)，，，，之和為（）A．12 B．16 C．20 D．24【方法技巧與總結(jié)】2.二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實．題型五：函數(shù)的對稱問題例26．（2022·安徽省滁州中學(xué)高三月考（文））已知函數(shù)的圖象上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖象上,則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例27．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中三模（理））若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、B兩點滿足①點A、B都在函數(shù)的圖像上；②點A、B關(guān)于原點對稱，則點是函數(shù)的一個“姊妹點對”.點對與可看作是同一個“姊妹點對”，已知函數(shù)，則的“姊妹點對”有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個例28．（2022·湖南·高三月考）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)，兩點滿足：①點，都在函數(shù)的圖象上；②點，關(guān)于原點對稱，則稱點是函數(shù)的一個“姊妹點對”點對與可看作是同一個“姊妹點對”．已知函數(shù)恰有兩個“姊妹點對”，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例29．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若直角坐標(biāo)系內(nèi)A，B兩點滿足：（1）點A，B都在圖象上；（2）點A，B關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一個“和諧點對”，與可看作一個“和諧點對”.已知函數(shù)則的“和諧點對”有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【方法技巧與總結(jié)】題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型例30．（2022·浙江奉化·高二期末）若函數(shù)至少存在一個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．例31．（2022·天津·耀華中學(xué)高二期中）設(shè)函數(shù)，記，若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．例32．（2022·湖南·長沙一中高三月考（文））設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例33．（2022·天津·南開中學(xué)高三）設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．題型七：唯一零點求值問題例34．（2022·安徽蚌埠·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)有唯一零點，則（）A． B． C． D．例35．（2022·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則正實數(shù)的值為（）A． B． C． D．例36．（2022·新疆·莎車縣第一中學(xué)高三期中）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為（）A．或 B．1或 C．或2 D．或1例37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點，則（）A． B． C． D．1例38．（2022·云南師大附中高三月考（理））已知函數(shù)有唯一零點，則（）A．1 B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.題型八：分段函數(shù)的零點問題例39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例40．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)，若有兩個零點，則m的取值范圍是（）．A． B． C． D．例41．（2022·全國全國·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例42．（2022·北京·北師大實驗中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.題型九：零點嵌套問題例43．（2022·湖北武漢·高二月考）已知函數(shù)有三個不同的零點.其中，則的值為（）A．1 B． C． D．例44．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)有三個不同的零點（其中），則的值為（）A． B． C． D．例45．（2022·吉林·白城一中高三期末（理））已知函數(shù)有三個不同的零點（其中），則的值為（）A． B． C． D．1例46．（2022·浙江省杭州第二中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，有三個不同的零點，（其中），則的值為（）A． B． C．1 D．1【方法技巧與總結(jié)】解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.題型十：等高線問題例47．（2021·陜西·千陽縣中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，若方程的個不同實根從小到大依次為，，，，有以下三個結(jié)論：①且；②當(dāng)時，且；③．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）A． B． C． D．例48．（2021·江蘇省天一中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，若方程有3個不同的實根，則的取值范圍為（）A． B． C． D．例49．（2021·浙江·高一單元測試）已知函數(shù)，其中，若方程有四個不同的實根、、、，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例50．（2021·四川省新津中學(xué)高一開學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程有四個不同的實根，，，，滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例51．（2021·重慶市第七中學(xué)校模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若方程有四個不等實根，時，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．題型十一：二分法例52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個零點，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的一個零點的近似解（精確到0.1）為（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）A． B． C． D．例53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點，要求精確度為0.01時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（

）A．6 B．7 C．8 D．9例54．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)()的一個零點附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表:x00.50.531250.56250.6250.751f(x)1.3070.0840.0090.0660.2150.5121.099由二分法,方程的近似解(精確度0.05)可能是（）A．0.625 B．0.009 C．0.5625 D．0.066例55．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知方程的根在區(qū)間上，第一次用二分法求其近似解時，其根所在區(qū)間應(yīng)為__________．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·海南省直轄縣級單位·三模）設(shè)函數(shù)定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)有（

）個零點A．4 B．5 C．6 D．72．（2022·安徽·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，若有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·河南河南·三模（理））函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．64．（2022·陜西·長安一中模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，，的零點分別為、、，則、、的大小順序為（

）A． B．C． D．5．（2022·天津·靜海一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且當(dāng)時時，，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（2022·天津·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)有5個不同的零點，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2022·海南·嘉積中學(xué)模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足如下條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；②對于任意；③當(dāng)時，；若過點的直線與函數(shù)的圖象在上恰有4個交點，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022·全國·高三階段練習(xí)）函數(shù)的零點個數(shù)為（

）．A． B． C． D．9．（2022·四川·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，恰有2個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且．若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．11．（2022·湖南·模擬預(yù)測）已知，則的解集是（

）A． B．或C．或 D．或二、多選題12．（2022·遼寧·三模）已知函數(shù)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且.若函數(shù)有3個零點，則a的取值可能為（

）A．2 B． C．3 D．13．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若方程有四個不同的實根，，，，則的