培優(yōu)專題10圓錐曲線壓軸小題歸類

培優(yōu)專題10圓錐曲線壓軸小題歸類目錄TOC\o"11"\h\u重難點(diǎn)題型歸納 1【題型一】曲線與軌跡 1【題型二】三曲線定義法 3【題型三】雙曲線漸近線 6【題型四】三大曲線焦半徑 9【題型五】三大曲線焦點(diǎn)弦 12【題型六】焦點(diǎn)三角形 14【題型七】中點(diǎn)弦 15【題型八】焦點(diǎn)圓 17【題型九】雙余弦定理 19【題型十】雙角度 22【題型十一】四心與曲線 24【題型十二】切線 27【題型十三】小題大做：坐標(biāo)運(yùn)算 30好題演練 33重難點(diǎn)題型歸納【題型一】曲線與軌跡【典例分析】若，則的最小值和最大值分別是（）A．和 B．和1 C．和 D．和1【答案】A【分析】由題意可得原方程表示的曲線為個(gè)圓，作出圖象，數(shù)形結(jié)合借助幾何法可得答案．【詳解】解：∵，∴或，即或，即方程表示的曲線為個(gè)圓，如圖：當(dāng)直線平移到與圓在左上方相切時(shí)，取得最大值，即原點(diǎn)到直線的距離為1，即，解得，又直線在軸上的截距為正，即，∴，即，當(dāng)直線平移到經(jīng)過圓上的點(diǎn)和時(shí)，取得最小值，即點(diǎn)和在直線上，即，即，故選：A．【技法指引】（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.【變式演練】1.阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓現(xiàn)有，，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，它的內(nèi)切圓的半徑為______.【答案】【分析】，，,即．根據(jù)阿波羅尼斯圓可得：點(diǎn)B的軌跡為圓,以線段AC中點(diǎn)為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,求出B的軌跡方程，當(dāng)面積最大時(shí)，邊上的高為圓的半徑4,進(jìn)而求得的面積，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)，計(jì)算可得半徑，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】∵，∴為非零常數(shù)，故點(diǎn)B的軌跡是圓.以線段中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，∵，，，整理得，因此，當(dāng)面積最大時(shí)，邊上的高為圓的半徑4.此時(shí)，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，解得.故答案為：2.方程|x1|+|y1|=1表示的曲線所圍成的圖形的面積是____.【答案】2【分析】利用絕對(duì)值的定義，可得出曲線形狀，然后可求面積．【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)時(shí)，方程為，當(dāng)時(shí)，方程為，曲線是以為頂點(diǎn)的正方形，面積為．【題型二】三曲線定義法【典例分析】已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與圓相切于點(diǎn)，且直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為______.【答案】如圖，由題可知，，則，又，，，又，作，可得，，則在，，即，又，化簡可得，同除以，得解得雙曲線的離心率為【技法指引】(1)橢圓定義：動(dòng)點(diǎn)P滿足：|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a>c(其中a>0，c0，且a，c為常數(shù))(2)雙曲線定義：動(dòng)點(diǎn)P滿足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c(其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0).(3)拋物線定義：|PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M.【變式演練】1.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓C在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，在中，由余弦定理結(jié)合橢圓定義可得，根據(jù)面積相等，即可得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)即可得直線方程，與橢圓聯(lián)立可得點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形面積.【詳解】解：因?yàn)椋?，設(shè)，，在中，由余弦定理得，即，所以，根據(jù)橢圓定義有：，所以，所以，因?yàn)椋驗(yàn)镻在第一象限，所以，代入橢圓中，得，因?yàn)?，所以，所以直線，聯(lián)立，可得，顯然，則，因?yàn)椋?，所以．故選：C2.已知實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，記直線與曲線的相交弦中點(diǎn)為P，若點(diǎn)A，B分別是曲線與x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由已知得，可得出直線過定點(diǎn)，設(shè)直線與曲線相交的一個(gè)交點(diǎn)為Q，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)可得出點(diǎn)，代入曲線上，得出P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，由拋物線的定義及圓的性質(zhì)可得出選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，所以，則直線化為，即，由解得,所以直線過定點(diǎn)，又點(diǎn)Q在曲線上，所以直線與曲線相交的一個(gè)交點(diǎn)為Q，設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)，則，又在曲線上，化簡得，即P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)，，曲線，得，記圓心。所以。.故選B.【題型三】雙曲線漸近線【典例分析】已知、分別為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，且，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)為雙曲線的下焦點(diǎn)，為雙曲線的上焦點(diǎn)，繪出雙曲線的圖像，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn),因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，即，且，所以，，故，，因?yàn)椋?，，將代入雙曲線中，即，化簡得，，，，，解得或（舍去），，，則該雙曲線的漸近線方程為，故選：A.【技法指引】與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．【變式演練】1.已知、分別為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，且，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題首先可以結(jié)合題意繪出雙曲線的圖像，然后根據(jù)得出，根據(jù)雙曲線的定義得出，再然后根據(jù)得出以及，根據(jù)得出，最后將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線中，通過化簡即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為雙曲線的下焦點(diǎn)，為雙曲線的上焦點(diǎn)，繪出雙曲線的圖像，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn),因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，即，且，所以，，故，，因?yàn)椋?，，將代入雙曲線中，即，化簡得，，，，，解得或（舍去），，，則該雙曲線的漸近線方程為，故選：A.2.．如圖，已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，線段與雙曲線C交于點(diǎn)Q，若，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由同起點(diǎn)的向量做加法想到平行四邊形法則，從而取的中點(diǎn)E，由已知可知，由三線合一知三角形為等腰三角形，再由余弦的定義表示的余弦值，又由雙曲線的定義表示，最后在中，由余弦定理構(gòu)建方程，求得，將其代入漸近線方程，得答案.【詳解】取線段的中點(diǎn)E，連接，因?yàn)?，所以，故三角形為等腰三角形，且．在中，，連接，又，點(diǎn)Q在雙曲線C上，所以由雙曲線的定義可得，，故．在中，由余弦定理得，．整理可得，所以，故雙曲線C的漸近線方程為．故選：B【題型四】三大曲線焦半徑【典例分析】已知過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則____________．【答案】【詳解】方法一：方法二：拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為斜率為且過焦點(diǎn)的直線方程為聯(lián)立拋物線方程，得，化簡得設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為所以則所以【技法指引】圓錐曲線焦半徑統(tǒng)一結(jié)論，其中p為交點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，對(duì)橢圓和雙曲線而言對(duì)于拋物線，則常見拋物線的（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.【變式演練】1.已知雙曲線的一條漸近線方程為，左焦點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線右支上，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則的最小值為__________．【答案】7解：由雙曲線方程，得，所以漸近線方程為比較方程，得所以雙曲線方程為，點(diǎn)記雙曲線的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在雙曲線右支上，所以所以由兩點(diǎn)之間線段最短，得最小為因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)所以最小為點(diǎn)F到圓心的距離減去半徑2所以所以的最小值為7故答案為：7.2.已知點(diǎn)是橢圓上非頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為的平分線上一點(diǎn)，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)P在軸右邊，因?yàn)闉榈钠椒志€上一點(diǎn)，且，所以為的垂直平分線，故，由中位線定理可得。設(shè)點(diǎn)，由焦半徑公式得，，，，故，因?yàn)?，所以，，，故選D?！绢}型五】三大曲線焦點(diǎn)弦【典例分析】設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線l過交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，若滿足且，則橢圓的離心率為A. B. C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)镕1是橢圓的左焦點(diǎn)，直線過F1交y軸于C點(diǎn)所以，即因?yàn)椋杂忠驗(yàn)樗栽谌切蜛F1F2中，，，，根據(jù)余弦定理可得，代入得，化簡得所以離心率為所以選A【變式演練】1.雙曲線，，方向向量為的直線過點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)，,，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，由題意知D為BC的中點(diǎn)，且，所以．過點(diǎn)D作軸于，則．在中，，根據(jù)三角形的相似可得，∴．又，∴，∴，∴．故點(diǎn)D的坐標(biāo)為．設(shè)，由點(diǎn)差法可得，即，∴．∴．選A．2.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且，則當(dāng)時(shí)，橢圓的離心率的取值范圍為______．【答案】因?yàn)?，所以可設(shè)，由，得，即，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，即，即，即在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，即橢圓的離心率的取值范圍為.【題型六】焦點(diǎn)三角形【典例分析】已知，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件用表示出，再結(jié)合橢圓定義并借助均值不等式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，而，則有，由橢圓定義知：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，于是有，則，又，即有，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選：A【變式演練】1.已知橢圓C的方程為離心率，，分別為左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】利用離心率先求出，然后把點(diǎn)參數(shù)化，得到，進(jìn)而利用為銳角，得到，最后得到實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】∵橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴，又∵橢圓C的離心率，∴，則，若點(diǎn)在橢圓上，則，（為參數(shù)），則，，若為銳角，則，即，，又由時(shí)，與同向，，故，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：2.已知，分別是橢圓：的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若在上存在點(diǎn)使，且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意可得、，再根據(jù)橢圓的定義得到，即可求出橢圓的離心率；【詳解】解：在中，且滿足，所以，，所以、，所以，所以；故選：B【題型七】中點(diǎn)弦【典例分析】已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】這是中點(diǎn)弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關(guān)系.【詳解】如圖：依題意，假設(shè)斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.【變式演練】1.已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且的斜率之積為，則橢圓的離心率為________．【答案】##0.5【分析】根據(jù)對(duì)稱性設(shè)，，，根據(jù)得到，再求離心率即可.【詳解】由對(duì)稱性，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，，，，故.故答案為：2.拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，過弦的中點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D如圖所示，設(shè)|連接由拋物線定義，得|在梯形中，由余弦定理得，配方得又得到|所以，即的最大值為【題型八】焦點(diǎn)圓【典例分析】已知橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別是，，在線段上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可求得的方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，代入的方程，由，得，結(jié)合橢圓的離心率的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】解：依題意，作圖如下，，，，直線的方程為：，整理得：，設(shè)直線上的點(diǎn)，則，，，，令，則，由得：，于是，，整理得：，又，，，，又橢圓的離心率，，橢圓的離心率為.故選：A.【變式演練】1.設(shè)，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓的下頂點(diǎn)，為過點(diǎn)，，的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且，則的值為__________.【答案】【詳解】設(shè)過三點(diǎn)的圓的圓心為是通徑的一半，是圓中的一條弦，根據(jù)圓的對(duì)稱性可知的坐標(biāo)，，整理得整理得解得，舍去負(fù)根2.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，線段為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點(diǎn)A．若，則橢圓C的離心率的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，且，再根據(jù)焦點(diǎn)三角形中的關(guān)系表達(dá)出離心率，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可【詳解】由題意，因?yàn)榫€段為直徑的圓與橢圓C在第一象限相交于點(diǎn)A．故半徑,即，且.又離心率，因?yàn)?，結(jié)合題意有，設(shè)，則，易得對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故，即故答案為：【題型九】雙余弦定理【典例分析】如圖所示，為橢圓的左右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于B．D兩點(diǎn)且，E為線段上靠近的四等分點(diǎn)．若對(duì)于線段上的任意點(diǎn)P，都有成立，則橢圓的離心率為________．【答案】【分析】取的中點(diǎn)Q，連EQ．PQ．根據(jù)向量的加法和減法轉(zhuǎn)化，同理，等價(jià)于，由點(diǎn)的任意性判斷，得到，根據(jù)幾何關(guān)系和橢圓定義得到邊長，根據(jù)余弦定理建立方程求橢圓的離心率.【詳解】解：取的中點(diǎn)Q，連EQ．PQ．，同理，恒成立等價(jià)于，因?yàn)辄c(diǎn)是線段上的任意一點(diǎn)，故，得到，設(shè)，則，，由，得，，，在中，，在中，又所以，解得．故答案為：【變式演練】1.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】設(shè)橢圓，設(shè)，運(yùn)用橢圓的定義，可得，，即有，取的中點(diǎn)，連接，則，由勾股定理可得a,c的另一關(guān)系式，聯(lián)立解得，，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到答案．【詳解】設(shè)橢圓，，，，如圖示：設(shè)，則，由橢圓的定義可得，，即有，即，①取的中點(diǎn)，連接，則，由,則，由勾股定理可得，即為，②由①②解得，，則離心率，故答案為：2.設(shè),分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，若，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】求橢圓的離心率，要列出關(guān)于的等量關(guān)系式，設(shè)，根據(jù)橢圓的定義以及，可以表示出三角形各邊的長度，通過余弦定理得到各邊關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)幾何關(guān)系可以列出關(guān)于的等量關(guān)系式，從而求出離心率【詳解】設(shè)，則，，，.，在中，由余弦定理得，，，化簡可得，而，故，，，，，是等腰直角三角形，，橢圓的離心率，故答案為：.【題型十】雙角度【典例分析】如圖，點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn)，直線分別與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則橢圓C的離心率________．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用圖中幾何關(guān)系，再幾何橢圓的定義，即可得解.【詳解】由題知：令連接，所以，且，從而．故答案為：．【變式演練】1.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為__．【答案】【分析】由題意得到，即，進(jìn)而求得，結(jié)合，得到，即可求得橢圓的離心率.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以,且，所以，又由，即，即，所以.故答案為：2..已知，為橢圓：的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，在中，，，則橢圓的離心率為________．【答案】【分析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)，求出m,n，然后將m,n代入橢圓方程進(jìn)而得到a,b的關(guān)系，然后求出離心率.【詳解】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)在x軸上方，設(shè)，由，，聯(lián)立解得：，代入到橢圓方程得：，所以.故答案為：.【題型十一】四心與曲線【典例分析】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上不與左右頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，，分別為的內(nèi)心和重心，當(dāng)軸時(shí)，橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合圖像，利用點(diǎn)坐標(biāo)以及重心性質(zhì)，得到G點(diǎn)坐標(biāo)，再由題目條件軸，得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后兩次運(yùn)用角平分線的相關(guān)性質(zhì)得到的比值，再結(jié)合與相似，即可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，也就是內(nèi)切圓半徑，再利用等面積法建立關(guān)于的關(guān)系式，從而求得橢圓離心率.【詳解】如圖，令點(diǎn)在第一象限（由橢圓對(duì)稱性，其他位置同理），連接，顯然點(diǎn)在上，連接并延長交軸于點(diǎn)，連接并延長交軸于點(diǎn)，軸，過點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，則，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，因?yàn)檩S，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)也為，，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，則有，又因?yàn)椋钥傻?，又由角平分線的性質(zhì)可得，，而所以得，所以，，所以，即，因?yàn)榧矗獾?，所以答案為A.【變式演練】1.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】連接PO，則三點(diǎn)共線，延長交軸于點(diǎn)，則由平行于軸得，從而可得，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得，從而可得離心率．【詳解】∵是的中點(diǎn)，G是的重心，∴三點(diǎn)共線，延長交軸于點(diǎn)，則由平行于軸知，，則,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則，∴橢圓的離心率為．故選：A﹒2.已知橢圓）的左?右焦點(diǎn)分別為和為C上一點(diǎn)，且的內(nèi)心為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用角平分線定理可得，進(jìn)而可得，結(jié)合條件即得.【詳解】連接，延長交軸于，則，又，，所以，故，即，又，所以，即.故選：D.【題型十二】切線【典例分析】已知圓在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn).過作圓的一條切線，交于另一點(diǎn)，切點(diǎn)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，由點(diǎn)差法可得，再由與圓相切可得，可解出；設(shè)為的左頂點(diǎn)，連接，則，根據(jù)正切的二倍角公式可解得，即得出，將和代入得，然后解出離心率.【詳解】設(shè)，，，則，.將，的坐標(biāo)分別代入的方程，得，兩式相減，得，所以，即.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，則，故.如圖，設(shè)為的左頂點(diǎn)，連接，則，所以，整理得，解得或（舍去），則，所以，所以，故的離心率.故選：C.【變式演練】1.兩個(gè)長軸在x軸上、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且離心率相同的橢圓.若A，B分別為外層橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，分別向內(nèi)層橢圓作切線AC，BD，切點(diǎn)分別為C，D，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一，用判別式等于零求兩條切線得斜率，因?yàn)樗鼈兿喑说扔?，可得，所以橢圓的離心率為；法二，用極點(diǎn)極線得方法得到兩條切線得斜率，再根據(jù)條件即得.【詳解】法一：設(shè)內(nèi)橢圓方程為，外橢圓為，切線的方程為，聯(lián)立消去可得：，因?yàn)橹本€為橢圓的切線，所以，化簡可得：，設(shè)直線的方程為：，同理可得，因?yàn)閮汕芯€斜率之積等于，所以，所以橢圓的離心率為.故選：B.法二；設(shè)內(nèi)層橢圓：，外層橢圓：.設(shè)切點(diǎn)，，，，切線：，切線：，∴①，②，又∵，即，即，即，∴，同理，∴，∴，將，代入橢圓中得：，經(jīng)分析得：，由①②可知，∴，∴，∴.故選：B.2.已知橢圓，焦距為，以點(diǎn)O為圓心，b為半徑作圓O，若過點(diǎn)作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在直角中，根據(jù)，列出方程得到，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，得出，即可求解.【詳解】由題意，可得，，，故，在直角中，由，可得，故，整理得，所以，即，所以，可得，解得.即橢圓的離心率為.故選：B.【題型十三】小題大做：坐標(biāo)運(yùn)算【典例分析】已知點(diǎn)為橢圓：的上頂點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，滿足且，若滿足條件的△有且只有一個(gè)，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)：取，聯(lián)立橢圓結(jié)合求出A、B的點(diǎn)坐標(biāo)，由及兩點(diǎn)距離公式得到，根據(jù)題設(shè)且無其它k值，得到，進(jìn)而求的范圍，即可求離心率范圍.【詳解】設(shè)直線：，則：，而，不妨取，直線與橢圓聯(lián)立，消去得，解得，所以，則，因?yàn)?，所以，整理得，，易知符合，因?yàn)闈M足條件的△有且只有一個(gè)，所以無之外的解，整理得，所以，即，所以離心率．故選：B【變式演練】1.已知橢圓內(nèi)有一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的兩條直線，分別與橢圓交于A、C和B、D兩點(diǎn)，且滿足，，若變化時(shí)，直線CD的斜率總為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出四點(diǎn)的坐標(biāo)，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程并化簡，同理將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程并化簡，根據(jù)化簡上述兩個(gè)式子，由此求得的值，進(jìn)而求得橢圓離心率.【詳解】設(shè)因?yàn)?，且，所以，同?將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程并化簡得，即，同理，由于，，所以，即，即，兩式相加得，即，所以，所以，故選A.2.過原點(diǎn)的一條直線與橢圓=1（a＞b＞0）交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓過該橢圓的右焦點(diǎn)F2，若∠ABF2∈[]，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】以AB為直徑的圓的圓周角∠ABF2∈[]，故圓心角，所以當(dāng)斜率存在時(shí)，斜率，然后將斜率轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，求解離心率的取值范圍；當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得，易解離心率的值，綜上便可得出答案．【詳解】解：當(dāng)過原點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過右焦點(diǎn)，所以有，此時(shí)；當(dāng)過原點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)過原點(diǎn)的直線為，，因?yàn)椤螦BF2∈[]所以圓心角，所以，即，直線與橢圓聯(lián)立方程組，解得，因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過右焦點(diǎn)，所以，以AB為直徑的圓方程為，所以有，即，故，即，所以，解得故得到綜上：，故選B好題演練一、單選題1．（2023春·湖北·高三宜昌市三峽高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考）橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，分別為橢圓的左、右、上、下頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)為鈍角轉(zhuǎn)化為，求出四點(diǎn)坐標(biāo)，用數(shù)量積的坐標(biāo)公式得到關(guān)于，的不等式，不等式兩邊同時(shí)除以得到關(guān)于離心率的不等式，解不等式即可得到離心率的取值范圍.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，．由題意，得，，，則，．因?yàn)闉橄蛄颗c的夾角，且為鈍角，所以，所以．又，所以，兩邊同時(shí)除以得，解得或，因?yàn)?，所?故選：A．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)若，，，則雙曲線的離心率為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】利用雙曲線的定義及線段的關(guān)系建立方程，解出再利用雙曲線離心率公式計(jì)算即可【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以．由雙曲線的定義得：，所以，所以在中，所以．故雙曲線的離心率為.故選：D.3．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中校考）過拋物線的焦點(diǎn)作斜率分別為，的兩條不同的直線，，且，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．分別以、為直徑的圓、圓（為圓心）的公共弦記為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)以及已知條件求出圓、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后聯(lián)立求出公共弦所在的直線，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式寫出表達(dá)式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值即可.【詳解】由題意知焦點(diǎn)，設(shè)直線，聯(lián)立得：，設(shè)，則，由拋物線定義可得：，由題知為的中點(diǎn)，所以，所以，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，即，同理可得圓的方程為：，聯(lián)立，所以圓與圓的公共弦所在的直線的方程為：，由題知，所以直線的方程為：，所以點(diǎn)到直線的距離為：，當(dāng)時(shí)，取到最小值，故點(diǎn)到直線的距離的最小值為，故選：A.4．（2023·河南鄭州·三模）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因?yàn)椋浴?，設(shè)，則，設(shè)，則，．由角平分線的性質(zhì)可得，由雙曲線的定義可得，，再結(jié)合余弦定理可得，從而可求解.【詳解】因?yàn)?，則，所以∽，設(shè)，則，設(shè)，則，．因?yàn)槠椒?，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，在中，由余弦定理知，在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，解得．故選：A．5．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）設(shè)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)B在橢圓上且滿足，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)及橢圓對(duì)稱性，若下頂點(diǎn)為，則直線必過下頂點(diǎn)，且，進(jìn)而有，設(shè)，根據(jù)向量數(shù)量關(guān)系的坐標(biāo)表示求坐標(biāo)，再由點(diǎn)在橢圓上得到參數(shù)關(guān)系，即可求離心率.【詳解】由且A為橢圓的上頂點(diǎn)，則，，若下頂點(diǎn)為，根據(jù)橢圓對(duì)稱性知：直線必過下頂點(diǎn)，且，故不可能為下頂點(diǎn)，所以，如上圖有，而，若，則，故，即在橢圓上，所以，可得，而，則.故答案為：D6．（2023·天津河西·統(tǒng)考一模）已知拋物線，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線方程確定準(zhǔn)線，即知，再由雙曲線的漸近線為，令，結(jié)合已知有，進(jìn)而求出雙曲線參數(shù)，即可得方程.【詳解】由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線為，則，，雙曲線的漸近線為，不妨令，又，易知：△為等腰直角三角形，即，所以，即，又，可得，故雙曲線為.故選：A7．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）點(diǎn)均在拋物線上，若直線分別經(jīng)過兩定點(diǎn)，則經(jīng)過定點(diǎn)，直線分別交軸于，為原點(diǎn)，記，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用條件，用表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線的方程，進(jìn)而求出定定點(diǎn)，再根據(jù)條件得到，再利用柯西不等式即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，由題易知直線斜率均存在，設(shè)直線方程為，，由，消得，即，由韋達(dá)定理得，所以，代入，得到，所以，設(shè)直線方程為，，由，消得，即，由韋達(dá)定理得，所以，又因?yàn)椋?，代入，得到，所以，所以直線的斜率為，所以的方程為，即所以，即，故直線過定點(diǎn)，令，得到，所以，所以，，又因?yàn)椋?，所以，，又，所以，又由柯西不等式知，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以，即，故選：D.【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵在于，利用條件求出，兩點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式表示出直線，進(jìn)而求出定點(diǎn).8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于點(diǎn)D.若，則雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意利用韋達(dá)定理求以及線段AB的中垂線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)D和，結(jié)合運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則直線，聯(lián)立方程，消去y得：，則可得，則，設(shè)線段的中點(diǎn)，則，即，且，線段的中垂線的斜率為，則線段的中垂線所在直線方程為，令，則，解得，即，則，由題意可得：，即，整理得，則，注意到雙曲線的離心率，∴雙曲線的離心率取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】方法定睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值（或范圍）．二、多選題(9．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線，點(diǎn)均在拋物線上，點(diǎn)，則（

）A．直線的斜率可能為B．線段長度的最小值為C．若三點(diǎn)共線，則存在唯一的點(diǎn)，使得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)D．若三點(diǎn)共線，則存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)【答案】BD【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合一元二次方程的根可判斷A，由兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性確定最值可判斷B，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，由一元二次方程根的個(gè)數(shù)可判斷CD.【詳解】設(shè)在拋物線上，且滿足，對(duì)于A，假如直線的斜率可以為，則由于，則該方程無解，所以直線的斜率不可能為，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,，記，記單調(diào)遞增，由于，因此單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最小值5，因此的最小值為，故B正確，對(duì)于C,若三點(diǎn)共線，為線段的中點(diǎn)，則，將代入拋物線方程中得，故有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以滿足條件的點(diǎn)不唯一，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：BD10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線C可能是圓，也可能是直線B．曲線C可能是焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．當(dāng)曲線C表示橢圓時(shí)，則越大，橢圓越圓D．當(dāng)曲線C表示雙曲線時(shí)，它的離心率有最小值，且最小值為【答案】ABD【分析】設(shè)，由的符號(hào)和取值結(jié)合對(duì)應(yīng)方程的特點(diǎn)，結(jié)合條件逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】設(shè)，故曲線C的方程可表示為，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，可得，此時(shí)曲線C為兩條直線；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，此時(shí)曲線C是一個(gè)圓；故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，曲線C的方程為，此時(shí)曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故B正確；對(duì)C，當(dāng)曲線C表示橢圓時(shí)，離心率為，則越大，橢圓越扁，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，曲線C的方程為，此時(shí)曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，此時(shí)離心率為，由，可得，即它的離心率有最小值，且最小值為，故D正確.故選：ABD.11．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)也在橢圓上，若，則（

）A．的周長為 B．C．平分線的斜率為 D．橢圓的離心率為【答案】ABD【分析】由分析知點(diǎn)為直線與橢圓的交點(diǎn)，故的周長為，可判斷A；設(shè)，由橢圓的定義和角平分線定理求出，，可判斷B；由余弦定理可判斷D；點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線的傾斜角為，由兩角差的正切公式求出可判斷C.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，又點(diǎn)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)也在橢圓上，所以點(diǎn)為直線與橢圓的交點(diǎn)，故的周長為，故A正確；設(shè)的平分線交于點(diǎn)，設(shè)，則，所以，而，設(shè)則，于是，所以，，，，，所以，故B正確；在，由余弦定理可得：，則，則，所以，故D正確；不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，由題意可知，點(diǎn)在橢圓的下頂點(diǎn)處，則，，，設(shè)直線的傾斜角為，則，由對(duì)稱性知平分線的斜率為或，故C不正確.故選：ABD.12．（2023·湖北·校聯(lián)考三模）已知拋物線與圓相交于，線段恰為圓的直徑，且直線過拋物線的焦點(diǎn)，則正確的結(jié)論是（

）A．或B．圓與拋物線的準(zhǔn)線相切C．在拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)D．線段的垂直平分線與拋物線交于，則有【答案】BD【分析】選項(xiàng)B分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為畫出圖形，結(jié)合已知條件分析即可；選項(xiàng)A利用選項(xiàng)B分析的結(jié)論即可得選項(xiàng)；選項(xiàng)CD利用直線與拋物線的位置關(guān)系聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理及弦長公式及其他選擇即可解決.【詳解】分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為由于直線過焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離:，故以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，故B正確．由于以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，有，，故A不正確．過焦點(diǎn)，，直線的方程是，假設(shè)拋物線上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，且設(shè)直線的方程是：，代入中，得，所以，，所以的中點(diǎn)為，又在直線上，，因?yàn)橹校本€不存在．C不正確．對(duì)于D，直線的方程為：，代入，得由韋達(dá)定理得，．，，故D正確．故選：BD.三．填空題13．（廣西2023屆高三畢業(yè)班高考模擬測試數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，雙曲線上有兩點(diǎn)滿足，且，若四邊形的周長與面積滿足，則雙曲線的離心率為________.【答案】【分析】由雙曲線的對(duì)稱性，得出題目中的圖形關(guān)系，