第30練空間幾何體的結(jié)構(gòu)表面積與體積-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練（新高考地區(qū)）

第30練空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積一、課本變式練1.（人A選擇性必修二P105習(xí)題8.1T6變式）以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．經(jīng)過不共面的四點(diǎn)的球有且僅有一個(gè) B．平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形C．正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直 D．棱臺(tái)的每條側(cè)棱均與上下底面不垂直【答案】D【解析】對于A，經(jīng)過不共面的四點(diǎn)的球，即為該四面體的外接球，有且僅有一個(gè)，故A正確，對于B，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，故B正確，對于C，正棱柱的每條側(cè)棱均與上下底面垂直，故C正確，對于D，棱臺(tái)的每條側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，側(cè)棱中有可能與底面垂直，故D錯(cuò)誤，故選D2.（人A選擇性必修二P111習(xí)題8.2T5變式）如圖，梯形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得,所以.故選B．3.（人A選擇性必修二P119習(xí)題8.3T4變式）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為．若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，所以四棱錐的高為，若圓柱的一個(gè)底面的周圓經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，圓柱的底面半徑為，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為1，故圓柱的體積為．故選A．4.（人A選擇性必修二P119習(xí)題8.3T5變式）長?寬?高分別為1，2，3的長方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為___________.【答案】【解析】設(shè)球的半徑為，由于長方體的體對角線為其外接球的直徑，則，故該球的表面積為.二、考點(diǎn)分類練(一)空間幾何體的結(jié)構(gòu)5.如圖，△ABC是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（

）A．△ABC是鈍角三角形 B．△ABC是等邊三角形C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形【答案】C【解析】將其還原成原圖，如圖，設(shè)，則可得，，從而，所以，即，故是等腰直角三角形.故選C.6.（2022屆河北省邯鄲市高考二模）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，將其復(fù)原為正方體后，互相重合的點(diǎn)是（

）A．A與B B．D與E C．B與D D．C與F【答案】ABD【詳解】將平面展開圖，還原正方體如下圖所示：所以互相重合的點(diǎn)是A與B，D與E,C與F，故選ABD7.下列說法正確的是（

）A．如果四棱錐的底面是正方形，那么這個(gè)四棱錐的四條側(cè)棱都相等B．五棱錐只有五條棱C．一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)【答案】CD【解析】根據(jù)棱錐、棱柱、棱臺(tái)的定義和結(jié)構(gòu)特征即可判斷.【詳解】四棱錐的底面是正方形，它的側(cè)棱可以相等，也可以不相等，A錯(cuò)誤；五棱錐除了五條側(cè)棱外，底面上還有五條棱，故共條棱，B錯(cuò)誤；一個(gè)棱柱最少有三個(gè)側(cè)面，兩個(gè)底面，故至少有五個(gè)面，C正確；棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的截面截得，故棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，D正確.故選CD.(二)空間幾何體的表面積8．（2023屆江西省贛撫吉十一校高三第一次聯(lián)考）已知圓錐的底面半徑為，當(dāng)圓錐的側(cè)面積為時(shí)，該圓錐的母線與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐的母線長為，由題意可得圓錐的側(cè)面積，解得，所以母線與底面所成角的余弦值，由同角三角函數(shù)關(guān)系可得，，因此母線與底面所成角的正切值.故選A9.（2022屆上海市松江一中高三下學(xué)期3月階段測試）體積相等的正方體、球、等邊圓柱（軸截面為正方形的圓柱）全面積分別為、、，那么它們的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)球的半徑為,正方體的棱長為,圓柱的底面半徑是,所以球的體積為:,正方體的體積為:,圓柱的體積為:;故,所以，，,;因?yàn)?，因?yàn)樗裕C上，，故選D10.（2023屆江西省名校聯(lián)考高三7月第一次摸底）已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，若該圓臺(tái)的表面積為，母線長為2，且，則________．【答案】3【解析】圓臺(tái)的表面積為，從而，，因此，解得（負(fù)值舍）．(三)空間幾何體的體積11.（2023屆陜西省寶雞市千陽縣中學(xué)高三上學(xué)期一模）已知底面邊長為1，側(cè)棱長為則正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，正四棱柱的體對角線即為外接球的直徑，故，解得，故球的體積為：.故選D.12.（2023屆湖北省九校教研協(xié)作體高三上學(xué)期起點(diǎn)考試）如圖，何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造型渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國”為“中國”一詞最早的文字記載，何尊還是第一個(gè)出現(xiàn)“德”字的器物，證明了周王朝以德治國的理念，何尊的形狀可近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，組合體的高約為40cm，上口直徑約為28cm，經(jīng)測量可知圓臺(tái)的高約為16cm，圓柱的底面直徑約為18cm，則該組合體的體積約為（

）（其中的值取3）A．11280cm3 B．12380cm3 C．12680cm3 D．12280cm3【答案】D【解析】由題意得圓柱的高約為（cm），則何尊的體積（cm3）故選D．13.（多選）（2022屆重慶市南開中學(xué)校高三第九次質(zhì)量檢測）“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．某天小明在廣場上發(fā)現(xiàn)了如圖1所示的一個(gè)石凳，其形狀是將一個(gè)正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”（如圖2所示）．小明用卷尺測量出這個(gè)石凳的高度為50cm，他給出了如下判斷，請你指出小明的哪些判斷是正確的（

）A．這個(gè)石凳共有24條棱，12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面B．一個(gè)體積為1立方米的正方體石料可以切割出8個(gè)這樣的石凳（不計(jì)損耗）C．這個(gè)石凳也可以由一個(gè)直徑為70cm的球形石料切割而成（不計(jì)損耗）D．如果將這個(gè)石凳三角形的那個(gè)面水平放置，石凳的高度會(huì)增加【答案】ABD【解析】觀察所得的幾何體可知，幾何體有24條棱、12個(gè)頂點(diǎn)、14個(gè)面，選項(xiàng)A正確；由題意可知，“阿基米德多面體”體積為原正方體體積減去8個(gè)三棱錐體積，設(shè)原正方體的棱長為，則8個(gè)三棱錐體積為，所以“阿基米德多面體”體積為，又石凳的高度為50cm，所以原正方體的棱長，所以“阿基米德多面體”體積為，又1立方米等于，所以，所以一個(gè)體積為1立方米的正方體石料可以切割出8個(gè)這樣的石凳（不計(jì)損耗），故B正確；原正方體的棱長，則其外接球的直徑為，又，所以一個(gè)直徑為70cm的球形石料切割不成該幾何體（不計(jì)損耗），故C錯(cuò)誤；設(shè)原正方體的棱長為，則每個(gè)三棱錐是底面邊長為的正三角形，側(cè)棱長，且兩兩互相垂直的三棱錐，設(shè)頂點(diǎn)到正三角形的距離為，由三棱錐的體積可知，解得，所以兩個(gè)對角上的正三角形所在面的距離為，由題意可知，如果“阿基米德多面體”按照圖2放置，則高度為，所以如果將這個(gè)石凳三角形的那個(gè)面水平放置，石凳的高度為，所以高度會(huì)增加，故D正確；故選ABD.14.（2023屆河南省新未來高三上學(xué)期8月聯(lián)考）六氟化硫是一種無機(jī)化合物，化學(xué)式為，常溫常壓下為無色無臭無毒不燃的穩(wěn)定氣體，密度約為空氣密度的5倍，是強(qiáng)電負(fù)性氣體，廣泛用于超高壓和特高壓電力系統(tǒng)．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)呈正八面體排布（8個(gè)面都是正三角形）．若此正八面體的表面積為，則該正八面體的內(nèi)切球的體積為______．【答案】【解析】設(shè)該正八面體的棱長為a，則，解得a＝4．故內(nèi)切球圓心O到各頂點(diǎn)的距離為．故在正三棱錐O－ABC中，，故．由正八面體的結(jié)構(gòu)特征可得的長為內(nèi)切球半徑.所以該正八面體的內(nèi)切球體積為．三、最新模擬練15.（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期7月學(xué)情調(diào)）在△ABC中，.則以BC為軸，將△ABC旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過A作交于點(diǎn)，則題中旋轉(zhuǎn)體是以繞直角邊所在直線BC旋轉(zhuǎn)所成的兩個(gè)圓錐的組合體.因?yàn)椋?，所以△ABC的面積為：，解得：.所以將△ABC旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為：故選C.16.（2022屆四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三下學(xué)期考前第一次強(qiáng)化訓(xùn)）如圖，正方形的邊長為為的中點(diǎn)，將沿向上翻折到，連接，在翻折過程中，下列說法中正確的是（

）①四棱錐的體積最大值為②．中點(diǎn)的軌跡長度為③與平面所成角的正弦值之比為④三棱錐的外接球半徑有最小值，沒有最大值A(chǔ)．①③ B．②③ C．①③④ D．①②③【答案】C【解析】由已知梯形面積為，直角斜邊上的高為.當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積取最大值.①正確；取中點(diǎn)為，則平行且相等，四邊形是平行四邊形，所以，點(diǎn)的軌跡與點(diǎn)的軌跡完全相同，過作的垂線，垂足為的軌跡是以為圓心，為半徑的半圓弧，從而中點(diǎn)的軌跡長度為.②錯(cuò)誤；由四邊形是平行四邊形知，則平面，則到平面距離相等，故，與平面所成角的正弦值之比為等于.③正確；外接圓半徑為是中點(diǎn)，根據(jù)正弦定理外接圓半徑為是圓與圓公共弦，.設(shè)三棱錐外接球球心為，半徑為，則因?yàn)椋裕宰钚≈禐?，沒有最大值.④正確；故選C17.（多選）（2022屆河北省保定市高三上學(xué)期期末）如圖，為正方體中所在棱的中點(diǎn)，過兩點(diǎn)作正方體的截面，則截面的形狀可能為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】BD【解析】由正方體的對稱性可知，截面的形狀不可能為三角形和五邊形，如圖，截面的形狀只可能為四邊形和六邊形.故選BD18.（多選）（2022屆湖北省武漢市第二中學(xué)高三下學(xué)期5月全仿真模擬）勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長為a，則（

）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積【答案】AD【解析】由題意知：勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離為a，故A正確；勒洛四面體能容納的最大球，與勒洛四面體的弧面相切，如圖1，其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個(gè)切點(diǎn)，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，易知BOE三點(diǎn)共線，設(shè)正四面體ABCD的外接球半徑為，則由題意得：，解得：，所以，易知，故B錯(cuò)誤；勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體ABCD表面的截面，如圖2，則勒洛四面體截面面積最大值為三個(gè)半徑為a，圓心角為60°的扇形的面積減去兩個(gè)邊長為a的正三角形的面積，即，故C錯(cuò)誤；勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABCD的外接球體積之間，正四面體底面面積為，底面所在圓的半徑為，故正四面體的高為，所以正四面體ABCD的體積，設(shè)正四面體ABCD的外接球半徑為，則由題意得：，解得：，所以外接球體積所以勒洛四面體的體積，D正確.故選AD19.（2022屆江蘇省鹽城中學(xué)高三下學(xué)期5月仿真）把邊長為1的實(shí)心正六面體磁性幾何魔方按圖方式分成12塊：（1）取6條面上的對角線；（2）考慮以立方體中心為頂點(diǎn)，上述6條對角線及12條棱之一為對邊的三角形；（3）這18個(gè)三角形把立方體切成了12塊，每塊是一個(gè)四面體，每個(gè)四面體有兩條棱是立方體的棱；（4）每個(gè)四面體僅通過其上立方體的棱和其它四面體連接．則在此玩具所有可能的形狀中，其上兩點(diǎn)之間空間距離的最大值為__________．【答案】【解析】由題意，以標(biāo)記的八個(gè)頂點(diǎn)，并設(shè)開始時(shí)選定的頂點(diǎn)為和，則這個(gè)頂點(diǎn)分別屬于6個(gè)小四面體，而，這六個(gè)頂點(diǎn)（無論怎么變形）構(gòu)成一個(gè)邊長為1的正六邊形，注意到這個(gè)由12個(gè)四面體構(gòu)成，因此取到最大值的必定是兩個(gè)小四面體的頂點(diǎn)，在四面體中，四個(gè)頂點(diǎn)可分為3類：（1）一個(gè)頂點(diǎn)在立方體中對于應(yīng)于和，稱之為第一類頂點(diǎn)；（2）兩個(gè)頂點(diǎn)（它們之間的棱）屬于六邊形，稱之為第二類頂點(diǎn)；（3）一個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)于立方體的中心，它到一個(gè)小四面體的另三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是，稱之為第三類頂點(diǎn)，這些頂點(diǎn)之間沿棱的距離的最大值，可得下表：距離第一類頂點(diǎn)第二類頂點(diǎn)第三類頂點(diǎn)第一類頂點(diǎn)第二類頂點(diǎn)第三類頂點(diǎn)從而任意兩點(diǎn)之間的距離不會(huì)超過.20.（2022屆星云聯(lián)盟高三統(tǒng)一模擬）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的表面上，，，，．若三棱錐的體積為，則球的表面積為__________．【答案】或【解析】由，，則△為等腰直角三角形，若為中點(diǎn)，連接，則，且為面的外接圓圓心，所以外接球的球心在過垂直于面的直線上，由三棱錐的體積為，且，故到面的距離，又，，則面，又面，所以面面，且面面，則在面上的射影落在直線上，又，則或，若外接球的半徑為，，當(dāng)，如下圖示：，，易知，則，所以，可得，即，所以，此時(shí)外接球表面積為；當(dāng)，如下圖示：，，易知，所以，可得，即，所以，此時(shí)外接球表面積為；綜上，外接球表面積為或.21.（2022屆四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三下學(xué)期第三次強(qiáng)化訓(xùn)練）如圖，底面是邊長為2的菱形，平面，，與平面所成的角為.(1)求證：平面平面；(2)求幾何體的體積【解析】（1）證明：因?yàn)槭沁呴L為2的菱形，，所以和都是邊長為2的正三角形，因?yàn)槠矫?，所以、，又因?yàn)榕c平面所成的角為，所以，所以，取中點(diǎn)，連接、，又因?yàn)?，，所以四邊形為矩形，于是平面，，，又因?yàn)?，取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以為平面與平面構(gòu)成二面角的平面角，又因?yàn)?，，，所以，所以，所以平面平面．?）解：因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫嫫矫嬖O(shè)的中點(diǎn)，連接，有因?yàn)槠矫嫫矫嫠悦?，即是四棱錐BCDEF的高易求

所以22.（2023屆湖北省九校教研協(xié)作體高三上學(xué)期起點(diǎn)考試）查找并閱讀關(guān)于蜂房結(jié)構(gòu)的資料，建立數(shù)學(xué)模型說明蜂房正面采用正六邊形面，底端是封閉的六角棱錐體的底，由三個(gè)相同的菱形組成（菱形的銳角為，鈍角為）的原因．【解析】數(shù)學(xué)模型I：能鋪滿平面的正多邊形有哪些？在周長一定的情況下，哪種面積最大？數(shù)學(xué)模型I的求解：由于正邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于，要將平面鋪滿，則有：，解得，故時(shí)，符合要求.當(dāng)周長一定時(shí)，正三角形的面積為；正四邊形的面積為；正六邊形的面積為.此時(shí)有：，所以正六邊形是最佳的設(shè)計(jì).數(shù)學(xué)模型Ⅱ：蜂房口的正六邊形及蜂房的容積一定的情況下，問題是底面菱形的各角分別多大時(shí)，蜂房的表面積最??？數(shù)學(xué)模型Ⅱ求解：假定六棱柱的邊長是，先求的長度，是腰長為1，夾角為的等腰三角形.以為對稱軸作一個(gè)三角形(圖3).三角形是等邊三角形.因此，，即得.把圖4的表面分成六份，把其中之一攤平下來，得出圖7的形狀.從一個(gè)寬為的長方形切去一角，切割處成邊.以為腰，為高作等腰三角形.問題:怎樣切才能使所作出的圖形的面積最小?假定被切去的三角形的高是.從矩形中所切去的面積等于.現(xiàn)在看所添上的三角形的面積。AP的長度是，因此的長度等于因而三角形的面積等于.問題再變而為求的最小值的問題.令，故，兩邊平方，整理得因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，故二次方程判別式，而必大于，因此的最小值為，即.當(dāng)時(shí)取最小值，即在一棱上過處（圖5中點(diǎn)）以及與該棱相鄰的二棱的端點(diǎn)（圖5中，點(diǎn)）切下來洴上去的圖形的表面積最小.設(shè)，由余弦定理得，并將代入可得.因此得出.四、高考真題練23.(2022高考全國卷甲)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等,側(cè)面展開圖的圓心角之和為,側(cè)面積分別為和,體積分別為和．若,則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)母線長為,甲圓錐底面圓半徑為,乙圓錐底面圓半徑為,則,所以,又,則,所以,所以甲圓錐的高,乙圓錐的高,所以.故選C.24.（2022高考全國卷乙）已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí),其高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解法一：設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD,四邊形ABCD所外接圓半徑為r,設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為,則,（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí),底面ABCD面積最大值為又,則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立,故選C.解法二：由于該四棱錐的底面是圓內(nèi)接四邊形,當(dāng)圓內(nèi)接四邊形面積最大時(shí)該四邊形為正方形,設(shè)該正方形的邊長為a,正方形外接圓半徑為r,則,該四棱錐的高的最大值為,此時(shí)該四棱錐的體積,設(shè),則,令得,所以當(dāng)時(shí)最大,最大,此時(shí),故選C.25.（2022新高考全國卷=1\*ROMANI）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時(shí),相應(yīng)水面面積為；水位為海拔時(shí),相應(yīng)水面的面積為,將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái),則該水庫水位從海拔上升到時(shí),增加的水量約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】把增加的水量轉(zhuǎn)化為棱臺(tái)的體積,依題意可知棱臺(tái)的高為(m),棱臺(tái)上底面積,下底面積,∴．故選C．26.（2022新高考全國卷=1\*ROMANI）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為,且,則該正四棱錐體積的取值范圍是A B. C. D.【答案】C【解析】∵球的體積為,所以球的半徑,設(shè)正四棱錐的底面邊長為,高為,則,,所以,,所以正四棱錐的體積,所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),正四棱錐的體積取最大值,最大值為,又時(shí),,時(shí),,所以正四棱錐的體積的最小值為,所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選C.27.（2022新高考全國卷=2\*ROMANII）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長分別為和,其頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)該正三棱臺(tái)上下底面圓的半徑分別為,所以,解得,設(shè)該球的球心到上下底面的距離分別為,球的半徑為,所以,,故或,即或,解得,符合題意,所以球的表面積為．故選A．五、綜合提升練28.（2022屆江西省南昌市高三第三次模擬）已知長方體中，，，，為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值是（