圓錐曲線10大題（各種求軌跡方法）1-2022年全國一卷新高考數(shù)學題型細分匯編

2022年全國一卷新高考題型細分S13——圓錐曲線10大題（各種軌跡求法）試卷主要是2022年全國一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計174套。題目設置有尾注答案，復制題干的時候，答案也會被復制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號可以查看。方便老師備課選題。比較單一的題型按知識點、方法分類排版；綜合題按難度分類排版，后面標注有該題目類型。

大題第一問——各種軌跡方程求法1：（2022年廣州一模J02）在平面直角坐標系中，已知點，點滿足直線與直線的斜率之積為，點的軌跡為曲線.

（1）求的方程；（）

（2）已知點，直線與軸交于點，直線與交于點，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

（直接法求軌跡方程，易；第二問，未；）（2022年廣東仿真J04）（12分）已知動點到直線的距離比到點的距離大1．

（1）求動點的軌跡的方程；（【答案】見解析【詳解】（1）設動點的坐標為，由已知條件可知，到的距離與其到直線的距離相等，由拋物線的定義可知，的軌跡為以為焦點，以為準線的拋物線，所以點軌跡的方程為；（2）曲線的方程為，即，則，設【答案】見解析【詳解】（1）設動點的坐標為，由已知條件可知，到的距離與其到直線的距離相等，由拋物線的定義可知，的軌跡為以為焦點，以為準線的拋物線，所以點軌跡的方程為；（2）曲線的方程為，即，則，設，則切線的斜率為，切線的方程為，即，令得，即，，所以，，，所以，所以是鈍角．（2022年廣東潮汕名校聯(lián)考J05）已知，，點P滿足，點P軌跡為曲線．

（1）求的離心率；（【答案】（1）（2）證明見解析）

（2）點K為x軸上除原點外的一點，過點K作直線，，交于點C，D，交于點E，F(xiàn)，M，N分別為CD，EF的中點，過點K作x軸的垂線交MN于點Q，設CD，EF，OQ的斜率分別為，，，求證：為定值．

（直接法求軌跡方程，中下；第二問，未；）【答案】（1）（2）證明見解析（2022年廣東汕頭一模J22）已知，兩點分別在x軸和y軸上運動，且，若動點G滿足，動點G的軌跡為E.

（1）求E的方程；（【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)平面向量的坐標運算可得，結(jié)合和兩點坐標求距離公式可得，將代入計算即可；(2)設直線l的方程為：、，聯(lián)立橢圓方程并消去y，根據(jù)韋達定理表示出，利用兩點求斜率公式求出，結(jié)合題意可得，列出關于k和m的方程，化簡計算即可【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)平面向量的坐標運算可得，結(jié)合和兩點坐標求距離公式可得，將代入計算即可；(2)設直線l的方程為：、，聯(lián)立橢圓方程并消去y，根據(jù)韋達定理表示出，利用兩點求斜率公式求出，結(jié)合題意可得，列出關于k和m的方程，化簡計算即可.【小問1詳解】因為，即，所以，則，又，得，即，所以動點G的軌跡方程E為：；【小問2詳解】由題意知，設直線l的方程為：，，則，，消去y，得，由，得，，直線的斜率為，直線的斜率為，又，所以，即，整理，得，，，由，化簡得，所以，故直線過定點.（2022年廣東華附三模J16）已知在△ABC中，，，動點A滿足，，AC的垂直平分線交直線AB于點P．

（1）求點P軌跡E的方程；

（2）直線交x軸于D，與曲線E在第一象限的交點為Q，過點D的直線l與曲線E交于M，N兩點，與直線交于點K，記QM，QN，QK的斜率分別為，，，

①求證：是定值．（【答案】（1）（2）①證明見解析；②存在；【解析】【分析】（1）利用幾何知識可得，結(jié)合雙曲線定義理解處理；（2）根據(jù)題意設直線及點的坐標，①分別求，，，利用韋達定理證明；②根據(jù)①結(jié)合題意求的坐標，代入雙曲線方程運算求解．【小問1詳解】【答案】（1）（2）①證明見解析；②存在；【解析】【分析】（1）利用幾何知識可得，結(jié)合雙曲線定義理解處理；（2）根據(jù)題意設直線及點的坐標，①分別求，，，利用韋達定理證明；②根據(jù)①結(jié)合題意求的坐標，代入雙曲線方程運算求解．【小問1詳解】∵，∴AC的垂直平分線交BA的延長線于點P．連接PC，則，∴，由雙曲線的定義知，點P的軌跡E是以，為焦點，實軸長為的雙曲線的右支（右頂點除外），，，則，∴E的方程是．【小問2詳解】①證明：由已知得，，滿足，設直線l方程為，，，聯(lián)立，得，，，，同理，∴對，令，得，∴，，∴，∴是定值．②假設存在m的值，使由①知，，則，∴，直線QK的方程為，令，得；直線l的斜率為1，直線l的方程為，令，得；∴，∴，代入，得，整理得，，解得，或（∵，舍去）∴，存在m的值為，使．（2022年廣東天河J15）在圓上任取一點，過點作軸的垂線段為垂足，線段上一點滿足.記動點的軌跡為曲線

（1）求曲線的方程；（【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）設，由求得，結(jié)合圓的方程即可求解；（2）設，由得，設出直線，聯(lián)立曲線，結(jié)合韋達定理表示出，解得，即可得到過定點.【小問1詳解】由題意，設，又，則，又因為點在圓上，所以，故曲線的方程為；【小問2詳解】由題意，，設，則，易得斜率必然存在，所以，設，由圖象易知，直線斜率不存在時不符合題意，設直線的方程為，聯(lián)立曲線的方程【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）設，由求得，結(jié)合圓的方程即可求解；（2）設，由得，設出直線，聯(lián)立曲線，結(jié)合韋達定理表示出，解得，即可得到過定點.【小問1詳解】由題意，設，又，則，又因為點在圓上，所以，故曲線的方程為；【小問2詳解】由題意，，設，則，易得斜率必然存在，所以，設，由圖象易知，直線斜率不存在時不符合題意，設直線的方程為，聯(lián)立曲線的方程，得，得，所以，由題意知，直線均不過原點，所以，從而，所以，解得，滿足，所以直線的方程為，恒過定點.（2022年廣東開平J33）(12分)己知定圓與定直線，動圓與圓外切，且與直線相切，圓心的軌跡為曲線。

(1)求曲線的方程；（解：(1)由題意知：點到圓心的距離和到定直線的距離相等，…2分所以點的軌跡為拋物線，且焦點為，準線為，………………3分故點的軌跡方程為………………4分(2)設，與圓相切，解：(1)由題意知：點到圓心的距離和到定直線的距離相等，…2分所以點的軌跡為拋物線，且焦點為，準線為，………………3分故點的軌跡方程為………………4分(2)設，與圓相切，，……………5分，…………6分聯(lián)立消得………………7分設方程的兩根為，則，……………8分……9分……10分設，則時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增。，，的最小值為32，則的最小值為。………12分（2022年廣東六校聯(lián)考J34）如圖，已知圓，點，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓O，點的集合記為曲線.

(1)求曲線的方程；（【答案】(1)(2)是定值，證明見解析，【解析】【分析】(1)按照所給的條件，分析圖中的幾何關系即可；(2)作圖，聯(lián)立方程，按步驟寫出相應點的坐標，求對應的斜率即可.【小問1詳解】設的中點為，切點為，連接，取關于軸的對稱點，則，連接，由于P是AB的中點，O是BD的中點，∴，故【答案】(1)(2)是定值，證明見解析，【解析】【分析】(1)按照所給的條件，分析圖中的幾何關系即可；(2)作圖，聯(lián)立方程，按步驟寫出相應點的坐標，求對應的斜率即可.【小問1詳解】設的中點為，切點為，連接，取關于軸的對稱點，則，連接，由于P是AB的中點，O是BD的中點，∴，故.所以點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.其中，則曲線C的方程為；【小問2詳解】由第一問，作圖如下：設依題意，直線的斜率必定存在，設，將其與橢圓方程聯(lián)立：得，由韋達定理，得：易得點，而……①由得：，代入①得：，得故答案為：，是定值，理由見解析，2.（2022年山東東營J58）在平面直角坐標系中，已知，，，，點M滿足，記M的軌跡為C．

（1）求C的方程；（【答案】（1）（2）的面積不存在最小值，理由見解析【解析】【分析】（1）把已知條件用坐標表示后化簡即可得；（2）設，，，，，且．求出點坐標，利用在雙曲線上可求得點軌跡方程，設直線的斜率為，直線的斜率為，求出，，求出三角形面積關于的表達式，利用基本不等式得最小值，及相應的，檢驗直線是否與雙曲線相交即可得．【小問1詳解】由，，，，，【答案】（1）（2）的面積不存在最小值，理由見解析【解析】【分析】（1）把已知條件用坐標表示后化簡即可得；（2）設，，，，，且．求出點坐標，利用在雙曲線上可求得點軌跡方程，設直線的斜率為，直線的斜率為，求出，，求出三角形面積關于的表達式，利用基本不等式得最小值，及相應的，檢驗直線是否與雙曲線相交即可得．【小問1詳解】由，，，，，，，得，即．【小問2詳解】設，，，，，，且．，，，，則，得，，得．即．將A，B兩點的坐標代入雙曲線中，得，即，，（且），則，得動點Q的軌跡方程為．設直線的斜率為，直線的斜率為，，，（當且僅當時取“=”，此時直線與雙曲線不存在相交于兩個不同點A，B，因此，的面積不存在最小值．（2022年江蘇南京江寧中學J10）過拋物線的焦點的直線交拋物線于A和B兩點，過A和B兩點分別作拋物線的切線，兩切線交于點E．

（1）求證：．（【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設出直線方程，與拋物線聯(lián)立，表示出和方程，求得點，則可證明；【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設出直線方程，與拋物線聯(lián)立，表示出和方程，求得點，則可證明；（2）由題得出，則可得，再表示出面積即可求出.小問1詳解】由題意知當直線斜率不存在時不符合題意，設，聯(lián)立，可得，則，，，則直線方程為，直線方程為，聯(lián)立兩直線可得，即，當時，軸，軸，成立，當時，，也成立，綜上，；【小問2詳解】由可得，則，由得，則，所以.（2022年江蘇連云港J57）已知點，，為圓上的動點，延長至，使得，的垂直平分線與交于點，記的軌跡為.

（1）求的方程；（【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由線段垂直平分線和三角形中位線性質(zhì)可證得，可知點軌跡為橢圓，由此可得軌跡方程；（2）由已知可知；當斜率不存在時顯然不成立；當斜率存在時，設方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理可得中點橫坐標；設，與直線和橢圓方程聯(lián)立可求得，由此可整理得到，與中點橫坐標相同，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】連接，是的垂直平分線，，；分別為中點，，，點軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，即，，，【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由線段垂直平分線和三角形中位線性質(zhì)可證得，可知點軌跡為橢圓，由此可得軌跡方程；（2）由已知可知；當斜率不存在時顯然不成立；當斜率存在時，設方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理可得中點橫坐標；設，與直線和橢圓方程聯(lián)立可求得，由此可整理得到，與中點橫坐標相同，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】連接，是的垂直平分線，，；分別為中點，，，點軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，即，，，點軌跡的方程為：；【小問2詳解】，即，，由題意知：，，，①當直線斜率不存在時，即，此時，，此時不成立；②當直線斜率存在時，設，，，由得：，，中點的橫坐標為；設直線的方程為：，由得：，即；由得：，即；由得：，整理可得：，，為線段的中點，.【點睛】關鍵點點睛：本題考查定義法求解軌跡方程、直線與橢圓綜合應用問題；本題證明為中點的關鍵是能夠通過已知等式得到兩點橫坐標之間滿足的等量關系，進而表示出中點橫坐標和點橫坐標，證明二者相等即可.（2022年江蘇常州J60）已知M，N分別是x軸，y軸上的動點，且，動點P滿足，設點P的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的軌跡方程；（【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）設，，，依題意可得，再根據(jù)，即可得到方程組，消去、，即可得到動點的軌跡方程；（2）首先求出、的坐標，設，其中，即可表示出、，可判斷直線的斜率存在，設為、、，聯(lián)立直線與曲線方程，消元、列出韋達定理，利用弦長公式表示出，即可得到，由式子與無關，即可求出，從而得解；【小問1詳解】解：設，，則．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）設，，，依題意可得，再根據(jù)，即可得到方程組，消去、，即可得到動點的軌跡方程；（2）首先求出、的坐標，設，其中，即可表示出、，可判斷直線的斜率存在，設為、、，聯(lián)立直線與曲線方程，消元、列出韋達定理，利用弦長公式表示出，即可得到，由式子與無關，即可求出，從而得解；【小問1詳解】解：設，，則．設，則，．由題意得，解得，所以，化簡得，即曲線C的方程為．【小問2詳解】證明：由，解得或，（不妨設點A在第一象限），所以，．設點，其中，則，，所以．若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時，，故不為定值．若直線斜率存在，設直線的斜率為，則直線的方程為．將直線的方程代入曲線C的方程化簡、整理，得．設，，則，，所以，故．因為的值與m的值無關，所以，解得，所以，所以G是EF的中點，即．所以．（2022年福建福州J05）在平面直角坐標系中，動點到直線的距離和點到點的距離的比為，記點的軌跡為.

（1）求的方程；（【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，由點線距離及兩點距離公式列方程，化簡即可得的方程；（2）設直線：，，，，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)交點情況有，法一：結(jié)合韋達定理、求得；法二：作關于軸的對稱點，得到，由向量平行的坐標表示求得，進而確定直線所過的定點坐標，利用弦長公式、三角形面積公式得到△面積關于【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，由點線距離及兩點距離公式列方程，化簡即可得的方程；（2）設直線：，，，，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)交點情況有，法一：結(jié)合韋達定理、求得；法二：作關于軸的對稱點，得到，由向量平行的坐標表示求得，進而確定直線所過的定點坐標，利用弦長公式、三角形面積公式得到△面積關于m的表達式，即可求最值；【小問1詳解】設，到直線的距離記為，則，依題意，，化簡得，即.【小問2詳解】設直線：，，，，由得：，則，可得，所以，.法一：由，則，所以，即，所以，可得，所以直線經(jīng)過定點.因為△面積，所以，當，即時，有最大值為.法二：作點關于軸的對稱點，因為，則，故，所以，，三點共線，所以，因為，，所以，即，所以，則，可得，所以直線經(jīng)過定點，因為△面積，所以，設，則，則，當，即時，有最大值為.（2022年福建漳州一中J21）已知動圓M與直線相切，且與圓N：外切

（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；（【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）直接利用直線與圓的位置關系式，圓和圓的位置關系式的應用求出結(jié)果．（2）利用直線與曲線的相切和一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用求出結(jié)果．【詳解】（1）設動圓圓心M（x，y），由于圓M與直線y=1相切，且與圓N：外切．利用圓心到直線的距離和圓的半徑和圓心距之間的關系式，可知C的軌跡方程為：（2）設直線：【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）直接利用直線與圓的位置關系式，圓和圓的位置關系式的應用求出結(jié)果．（2）利用直線與曲線的相切和一元二次方程根和系數(shù)關系式的應用求出結(jié)果．【詳解】（1）設動圓圓心M（x，y），由于圓M與直線y=1相切，且與圓N：外切．利用圓心到直線的距離和圓的半徑和圓心距之間的關系式，可知C的軌跡方程為：（2）設直線：，，，因為，，所以兩條切線的斜率分別為，，則直線的方程是，直線的方程是.兩個方程聯(lián)立得P點坐標為，，，由聯(lián)立得：，故直線過定點.【點睛】本題考查軌跡方程、直線過定點問題，求軌跡方程，可根據(jù)題目關系及圓錐曲線的幾何性質(zhì)直接求解即可，而對于直線過定點問題，一般根據(jù)題目給定條件，利用直線與曲線的關系和一元二次方程根和系數(shù)關系式，找出定點即可，屬于中等題.（2022年福建廈門J27）中，，線段上的點M滿足．

（1）記M軌跡為，求的方程；（【答案】（1）（2）點C在以為直徑的圓外【解析】【分析】（1）由，得到，得出，結(jié)合橢圓的定義，即可求得點的軌跡方程.（2）設過點的直線為，聯(lián)立方程組求得，結(jié)合，得到，代入得出方程，求得，不妨取，求得則，即的中點為【答案】（1）（2）點C在以為直徑的圓外【解析】【分析】（1）由，得到，得出，結(jié)合橢圓的定義，即可求得點的軌跡方程.（2）設過點的直線為，聯(lián)立方程組求得，結(jié)合，得到，代入得出方程，求