微積分 第3版 課件 2.3 極限的運(yùn)算法則_第1頁
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文檔簡介

2.3極限的運(yùn)算法則證設(shè)且于是

定理2.6兩個(gè)無窮小之和為無窮小.即有

定理2.7

無窮小與有界函數(shù)的乘積為無窮小.定理2.7其實(shí)是比較法的直接推論.都是無窮小.例如,當(dāng)解練習(xí)求由有界,有由有界,有例2.10求解幾個(gè)極限不存在的例子:因因定理2.8(極限四則運(yùn)算法則)

則有

證(2)設(shè)

故由

再由定理2.6

是無窮小.

所以是無窮小.

特別地

即:常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.有,都是無窮小,且在附近有界.有利用極限的運(yùn)算法則及我們可以求解一些簡單的極限問題:

例如,對任意的多項(xiàng)式函數(shù)注意:(1)和(2)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù).

例2.11

求

解由函數(shù)商的極限法則,有解消去零因子法時(shí),分子、分母的極限都是零.例2.12

求

一般地,設(shè)

則商的法則不能使用.則當(dāng)時(shí),有解時(shí),分子、分母的極限都是無窮大,例2.13

求

分子、分母同時(shí)除以

x的最高次冪.解由無窮小與無窮大的關(guān)系,得練習(xí)求

一般地,當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí),有解根式有理化

原式例2.14

求

解原式練習(xí)求

定理2.9(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的極限法則,為了求

如果

設(shè)復(fù)合函數(shù)在的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義.

再求令(稱為變量代換),先求得

例2.15

求解由有如果定理2.10(函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的關(guān)系)則

且

例2.16證明不存在.

證令則

令由定理2.10,有則

如果

存在,設(shè)

矛盾。

答案原式練習(xí)(

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