2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)二學(xué)案含解析新人教A版必修4

PAGE1．2.1隨意角的三角函數(shù)(二)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.駕馭正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域．2.了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切．3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡潔的三角函數(shù)問題.應(yīng)用直觀想象提升數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)展邏輯推理授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第10頁[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問點(diǎn)三角函數(shù)線閱讀教材P15～17，思索并完成以下問題在平面直角坐標(biāo)系中，隨意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，過點(diǎn)A(1，0)作單位圓的切線，交α的終邊或其反向延長線于點(diǎn)T，如圖所示，結(jié)合三角函數(shù)的定義，你能得到sinα，cosα，tanα與MP，OM，AT的關(guān)系嗎？當(dāng)α的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)(1)以M為起點(diǎn)，P為終點(diǎn)，規(guī)定當(dāng)線段MP與y軸同向時(shí)，MP的方向?yàn)檎较蚯冶硎菊?，?dāng)MP與y軸反向時(shí)，MP的方向?yàn)樨?fù)方向且表示負(fù)值，那么，sinα可否用線段MP表示？提示：MP＝y(tǒng)＝sinα.(2)假如以O(shè)為起點(diǎn)，M為終點(diǎn)，規(guī)定OM方向與x軸同向時(shí)，表示正值，OM方向與x軸方向反向時(shí)，表示負(fù)值，那么，cosα與OM有什么關(guān)系？提示：OM＝x＝cosα.(3)假如以A為起點(diǎn)，T為終點(diǎn)，AT方向與y軸方向相同時(shí)表示正值，AT方向與y軸方向相反時(shí)表示負(fù)值，那么tanα與AT有什么關(guān)系？提示：tanα＝AT＝eq\f(y,x).學(xué)問梳理如圖為角α的三種三角函數(shù)，則sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.有向線段MP、OM、AT為正弦線、余弦線、正切線．思索有向線段MP與線段MP有什么不同？提示：有向線段MP就是由M指向P，規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)，有方向．線段MP只是兩點(diǎn)M、P間的線段，無方向．[自我檢測(cè)]1．如圖，在單位圓中，角α的正弦線、正切線完全正確的是()A．正弦線為PM，正切線為A′T′B．正弦線為MP，正切線為A′T′C．正弦線為MP，正切線為ATD．正弦線為PM，正切線為AT答案：C2．當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，不等式sinx≥eq\f(1,2)的解集為______．答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤x≤\f(5,6)π))))授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第11頁探究一三角函數(shù)線及其作法[例1]分別作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線．(1)－eq\f(3π,4)；(2)eq\f(11π,6).[解析]正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT.方法技巧三角函數(shù)線的畫法(1)作正弦線、余弦線時(shí)，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線，得到垂足，從而得正弦線和余弦線．(2)作正切線時(shí)，應(yīng)從A(1，0)點(diǎn)引x軸的垂線，交α的終邊(α為第一或第四象限角)或α終邊的反向延長線(α為其次或第三象限角)于點(diǎn)T，即可得到正切線AT.跟蹤探究(1)作出－eq\f(π,3)的正弦線；(2)作出eq\f(4π,3)的正切線．解析：(1)作出－eq\f(π,3)的正弦線MP，如圖所示．(2)作出eq\f(4,3)π的正切線AT如圖所示．探究二利用函數(shù)線比較大小[教材P69第11題]比較大小：sin378°21′，tan1111°.解析：sin378°21′＝sin18°21′tan1111°＝tan31°，tan31°>sin31°>sin18°21′，故tan1111°>sin378°21′.[例2]利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?1)sineq\f(2π,3)與sineq\f(4π,5)；(2)taneq\f(2π,3)與taneq\f(4π,5).[解析]如圖所示，角eq\f(2π,3)的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，其反向延長線與單位圓的過點(diǎn)A的切線的交點(diǎn)為T，作PM⊥x軸，垂足為M，sineq\f(2π,3)＝MP，taneq\f(2π,3)＝AT；eq\f(4π,5)的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P′，其反向延長線與單位圓的過點(diǎn)A的切線的交點(diǎn)為T′，作P′M′⊥x軸，垂足為M′，則sineq\f(4π,5)＝M′P′，taneq\f(4π,5)＝AT′，由圖可見，MP>M′P′>0，AT<AT′<0，所以(1)sineq\f(2π,3)>sineq\f(4π,5)，(2)taneq\f(2π,3)<taneq\f(4π,5).方法技巧利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時(shí)，一般分三步：(1)角的位置要“對(duì)號(hào)入座”；(2)比較三角函數(shù)線的長度；(3)確定有向線段的正負(fù)．延長探究1.本例改為比較coseq\f(2,3)π和coseq\f(4,5)π的大小．解析：由例題解析圖可知，coseq\f(2,3)π＝OM，coseq\f(4,5)π＝OM′.且|OM|<|OM′|，又OM<0，OM′<0，∴OM′<OM，∴coseq\f(2,3)π>coseq\f(4,5)π.探究三利用三角函數(shù)線解不等式(組)角度1利用三角函數(shù)線解不等式[例3]在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)tanα≥－1.[解析](1)作直線y＝eq\f(\r(3),2)交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角α的終邊的范圍，如圖所示，故滿意條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2,3)π，k∈Z)))).(2)在單位圓過點(diǎn)A(1，0)的切線上取AT＝－1，連接OT，OT所在直線與單位圓交于P1，P2兩點(diǎn)，則圖中陰影部分即為角α終邊的范圍，如圖所示，所以α的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ≤α<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).角度2利用三角函數(shù)線求三角函數(shù)定義域[例4]求函數(shù)y＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2)))＋eq\r(1－2cosx)的定義域．[解析]由題意知，自變量x應(yīng)滿意不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2cosx≥0，,sinx－\f(\r(2),2)>0，,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosx≤\f(1,2)，,sinx>\f(\r(2),2).))則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤x<2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))).角度3利用三角函數(shù)線證明三角不等式[例5]若0<α<eq\f(π,2)，證明：sinα<α<tanα.[證明]如圖所示，在單位圓中畫出三角函數(shù)線，連接AP，∵S△OAP<S扇形OAP<S△OAT，∴eq\f(1,2)OA·MP<eq\f(1,2)leq\o(AP,\s\up8(︵))·OA<eq\f(1,2)OA·AT，即MP<leq\o(AP,\s\up8(︵))<AT，∴sinα<α<tanα.方法技巧1.利用三角函數(shù)線解不等式的方法(1)首先作出單位圓，然后依據(jù)各問題的約束條件，利用三角函數(shù)線畫出角α滿意條件的終邊范圍．(2)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是該角的余弦值，與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是該角的正弦值．(3)寫角的范圍時(shí)，抓住邊界值，然后再留意角的范圍的寫法要求．2．求三角函數(shù)定義域的方法(1)求函數(shù)的定義域，就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍，一般通過解不等式或不等式組求得，對(duì)于三角函數(shù)的定義域問題，還要考慮三角函數(shù)自身定義域的限制．(2)要特殊留意求一個(gè)固定集合與一個(gè)含有無限多段的集合的交集時(shí)，可以取特殊值把不固定的集合寫成若干個(gè)固定集合再求交集．延長探究2.將本例3變?yōu)椋航獠坏仁絚osα≤－eq\f(1,2).解析：作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，如圖所示，故滿意條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z)))).3．將本例4變?yōu)椋呵蠛瘮?shù)y＝lg(3－4sin2x)的定義域．解析：∵3－4sin2x>0，∴sin2x<eq\f(3,4)，∴－eq\f(\r(3),2)<sinx<eq\f(\r(3),2).如圖，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))(k∈Z)，即x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)，∴函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第12頁[課后小結(jié)]1．三角函數(shù)線的意義三角函數(shù)線是用單位圓中某些特定的有向線段的長度和方向表示三角函數(shù)的值，三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的肯定值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)．詳細(xì)地說，正弦線、正切線的方向同y軸一樣，向上為正，向下為負(fù)；余弦線的方向同x軸一樣，向右為正，向左為負(fù)．三角函數(shù)線將抽象的數(shù)用幾何圖形表示出來，使得問題更形象直觀，為從幾何途徑解決問題供應(yīng)了便利．2．三角函數(shù)線的畫法定義中不僅定義了什么是正弦線、余弦線、正切線，同時(shí)也給出了角α的三角函數(shù)線的畫法，即先找到P，M，T點(diǎn)，再畫出MP，OM，AT.留意三角函數(shù)線是有向線段，要分清始點(diǎn)和終點(diǎn)，字母的書寫依次不能顛倒．3．三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，它直觀地刻畫了三角函數(shù)的概念．與三角函數(shù)的定義結(jié)合起來，可以從數(shù)與形兩方面相識(shí)三角函數(shù)的定義，并使得對(duì)三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值符號(hào)的改變規(guī)律、誘導(dǎo)公式一的理解更簡潔了．4．當(dāng)α的終邊與x軸重合時(shí)，正弦線、正切線分別變成一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)α的正弦值、正切值為0，余弦值為±1.當(dāng)α的終邊與y軸重合時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在，α的余弦值為0，正切值不存在，正弦值為±1.[素養(yǎng)培優(yōu)]1．比較三角函數(shù)大小，忽視三角函數(shù)線的方向[典例]用三角函數(shù)線比較cos1255°與cos1600°的大?。族e(cuò)分析此題易錯(cuò)有兩點(diǎn)，一是不將角度化為0°～360°，使角的象限找錯(cuò)；二是不考慮余弦線的方向，而只看線段長度．自我訂正[解析]cos1255°＝cos(3×360°＋175°)＝cos175°，cos1600°＝cos(4×360°＋160°)＝cos160°.如圖，作175°、160°的余弦線OM1、OM2，∴OM1<OM2，∴cos175°<cos160°，即cos1255°<cos1600°.2．利用函數(shù)線求角的區(qū)域、角的方向轉(zhuǎn)錯(cuò)[典例]已知－eq\f(1,2)≤cosθ<eq\f(\r(3),2)，利用單位圓中的三角函數(shù)線，確定角θ的取值范圍．易錯(cuò)分析此題易錯(cuò)有三點(diǎn)，一是把角的終邊方向轉(zhuǎn)錯(cuò)，使角區(qū)域求錯(cuò)，錯(cuò)寫為－eq\f(π,6)<θ<eq\f(π,6)或eq\f(2,3)π<θ<－eq\f(2,3)π；二是角的終邊不分虛實(shí)；三是丟掉2kπ.自我訂正[解析]如圖，在坐標(biāo)中作出eq\f(π,6)，