廣東省茂名市化州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)科素養(yǎng)測評高中二年級數(shù)學(xué)試卷說明：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共6頁.滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必填寫答題卷上的有關(guān)項目.2.選擇題每小題選出答案后，把答案填在答題卷相應(yīng)的位置上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卷的整潔.考試結(jié)束后，將答題卷交回.第一部分選擇題（共58分）一、單項選擇題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.53.已知向量，，則與的夾角是（）A.30° B.60° C.120° D.135°4.圓的圓心到直線的距離是（）A. B. C.1 D.5.如圖，空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.6.已知為銳角，，角的終邊上有一點(diǎn)，則（）A.2 B. C. D.7.過定點(diǎn)的直線與過定點(diǎn)的直線交于點(diǎn)（與、不重合），則面積的最大值為（）A. B.2 C. D.48.已知是定義在上的偶函數(shù)，，，當(dāng)時，，則（）A B.0 C. D.二、多項選擇題：本大題共3個小題，每個小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，選齊全對的得6分，漏選得對應(yīng)分，錯選和不選得0分.9.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，則下列選項中的兩個事件為不是互斥事件的是（）A.至多有1個白球；都是紅球 B.至少有1個白球；至少有1個紅球C.恰好有1個白球；都是紅球 D.至多有1個白球；全是白球10.已知直線的方程（），則（）A.恒過定點(diǎn) B.存在實數(shù)使直線在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)C.直線的斜率一定存在 D.點(diǎn)到直線的距離最大值為11.如圖，已知在長方體中，，，點(diǎn)為棱上的一個動點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.當(dāng)點(diǎn)在棱上的移動時，恒有B.在棱上總存在點(diǎn)，使得平面C.四棱錐的體積為定值D.四邊形的周長的最小值是第二部分非選擇題（共92分）三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卷的橫線上.12.已知向量，，且，則______.13.若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離為______.14.設(shè)動點(diǎn)在棱長為1的正方體的對角線上，且異于點(diǎn)，，記.當(dāng)為銳角時，的取值范圍是______.四、解答題：本大題共5個小題，滿分共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（13分）在中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，.（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求的外接圓方程.16.（15分）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求角；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，若，且，求的面積.17.（15分）如圖，在多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是直角梯形，其中，，且.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.18.（17分）航天員安全返回，中國航天再創(chuàng)輝煌！去年6月4日，當(dāng)?shù)貢r間6時20分許，神舟十五號載人飛船成功著陸，費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸等航天員安全順利地出艙，身體狀況良好.這標(biāo)志著神舟十五號載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功.某學(xué)校高二年級利用高考放假期間開展組織1200名學(xué)生參加線上航天知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：（1）若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人成績，求10人中成績不高于50分的人數(shù)；（2）求的值，并以樣本估計總體，估計該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；（3）由首輪競賽成績確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率.19.（17分）已知函數(shù)與函數(shù)，函數(shù)的定義域為.（1）求的定義域和值域；（2）若存在，使得成立，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).利用上述結(jié)論，求函數(shù)的對稱中心.

2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)測評高中二年級數(shù)學(xué)試卷參考答案一、單項選擇題：本大題共8個小題，每個小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的.單項選擇題12345678答案DACDBABC二、多項選擇題：本大題共3個小題，每個小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，選齊全對的得6分，漏選得相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，錯選和不選得0分.多項選擇題91011答案ABABDACD三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卷的橫線上.12.13.14.四、解答題：本大題共6個小題，滿分共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.解：（1）因為，，所以直線的斜率，所以邊上的高所在直線的斜率，又邊上的高所在直線過原點(diǎn)，所以邊上的高所在直線的方程為：；（2）設(shè)的外接圓的方程為，則，解得，的外接圓方程為：.16.解：（1）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，則，由正弦定理得，即，在中，因為，，∴，∵，∴；（2）由（1）知，設(shè)的中點(diǎn)為，若，且，在中，由余弦定理得，所以①，在中，由余弦定理得②，由①②兩式消去，得，所以，又，解得，，所以的面積17.（1）證明：連接，因為，，，所以，又因為，，所以，所以，又因為，，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）解：因為，所以，又因為，所以，所以、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，，令，，，令，，設(shè)二面角的大小為，由圖可知為鈍角，所以故二面角的余弦值為18.解：（1）∵成績不高于60分的同學(xué)為頻率分布直方圖中的前2組，又前兩組的比例為，∴從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人成績，10人中成績不高于50分的人數(shù)為；（2）根據(jù)題意可得，∴；∴估計該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)為：；估計該校學(xué)生首輪競賽成績的中位數(shù)為：（3）設(shè)“甲，乙，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級”分別為事件，，，則，，，設(shè)“三人中至少有兩