《3.7 可化為一元一次方程的分式方程》作業(yè)設(shè)計(jì)方案

《3.7可化為一元一次方程的分式方程》作業(yè)設(shè)計(jì)方案【設(shè)計(jì)理念與目的】咱這個(gè)作業(yè)設(shè)計(jì)呢，是按照青島版（2012）八年級上冊第3章分式里3.7可化為一元一次方程的分式方程的教學(xué)要求來的。就像咱們生活里好多事兒都有一定的規(guī)則和步驟一樣，數(shù)學(xué)也有它的規(guī)則，分式方程這部分就是要讓同學(xué)們學(xué)會(huì)把復(fù)雜的分式方程轉(zhuǎn)化成簡單的一元一次方程來求解。咱得讓同學(xué)們通過做這些作業(yè)，既掌握基礎(chǔ)知識，又能在生活里碰到類似問題的時(shí)候知道咋解決。這就好比是學(xué)騎自行車，得先知道咋上車、咋蹬踏板、咋拐彎兒，熟練了就能滿大街跑了?！咀鳂I(yè)重點(diǎn)】1、掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法，這個(gè)就像掌握騎自行車的基本動(dòng)作一樣重要。要知道咋把分式方程變成一元一次方程，然后順利地解出來。2、理解分式方程產(chǎn)生增根的原因。這就好比騎車的時(shí)候知道為啥有時(shí)候會(huì)摔跟頭，得弄清楚背后的原因才能避免。3、能夠應(yīng)用分式方程解決實(shí)際生活中的問題，就像騎車是為了出門辦事兒一樣，數(shù)學(xué)知識得在生活里有用處?！咀鳂I(yè)難點(diǎn)】1、準(zhǔn)確找出分式方程中的最簡公分母，這就像在一堆東西里找到關(guān)鍵的那個(gè)物件兒一樣不容易。最簡公分母找錯(cuò)了，后面的計(jì)算就全亂套了。2、正確檢驗(yàn)分式方程的解，特別是對增根的判斷。這就像檢查自行車有沒有毛病，得仔仔細(xì)細(xì)的，不然騎到半道兒出問題就麻煩了。3、把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為分式方程的數(shù)學(xué)模型，這就像把生活里的事兒用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)出來，好多同學(xué)在這兒就犯迷糊?！咀鳂I(yè)設(shè)計(jì)原則】1、漸進(jìn)性原則：作業(yè)就像上樓梯，得一步一步來。先從簡單的開始，讓同學(xué)們慢慢熟悉分式方程的解法，然后再增加難度，就像從一樓慢慢爬到更高的樓層。2、實(shí)用性原則：作業(yè)里的題目得和生活相關(guān)，不能光是干巴巴的數(shù)字。就像咱講的騎自行車的例子，得讓同學(xué)們感覺到數(shù)學(xué)在生活里無處不在。3、趣味性原則：不能讓作業(yè)太枯燥，得像玩游戲一樣有點(diǎn)樂趣。這樣同學(xué)們才愿意做，就像玩游戲的時(shí)候都很投入一樣。4、創(chuàng)新性原則：鼓勵(lì)同學(xué)們多想辦法，不能總是按照老一套來解題。就像騎自行車，有時(shí)候換個(gè)路線可能更有趣或者更快到達(dá)目的地?！咀鳂I(yè)內(nèi)容】作業(yè)一：復(fù)習(xí)鞏固1、填空(1)分式方程\(\frac{2}{x+1}=1\)的最簡公分母是\(x+1\)。(2)若分式方程\(\frac{1}{x-2}+\frac{k}{x+2}=\frac{4}{x^{2}-4}\)有增根，則增根可能是\(x=2\)或者\(yùn)(x=-2\)。2、把下列分式方程化為整式方程（不用求解）(1)分式方程\(\frac{3}{x}=\frac{2}{x-1}\)，兩邊同乘\(x(x-1)\)可化為整式方程：\(3(x-1)=2x\)。(2)分式方程\(\frac{x}{x-3}+1=\frac{1}{x-3}\)，兩邊同乘\(x-3\)可化為整式方程：\(x+(x-3)=1\)。3、我來講個(gè)事兒啊。有一次我去買水果，蘋果的價(jià)格是每斤\(x\)元，我花了\(10\)元錢買了\(\frac{10}{x}\)斤蘋果。后來發(fā)現(xiàn)另一家店蘋果每斤便宜\(1\)元，那在另一家店\(10\)元能買\(\frac{10}{x-1}\)斤蘋果。如果我在第一家店買的蘋果比在第二家店少\(2\)斤，那這個(gè)事兒就可以用分式方程來表示：\(\frac{10}{x-1}-\frac{10}{x}=2\)。同學(xué)們試著把這個(gè)分式方程化為整式方程吧。4、對于分式方程\(\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}\)，回答以下問題：(1)它的最簡公分母是\(x(x-3)\)。(2)化為整式方程是\(2x=3(x-3)\)。作業(yè)二：基礎(chǔ)練習(xí)1、解下列分式方程：(1)分式方程\(\frac{1}{x}=\frac{2}{x+3}\)解：方程兩邊同乘\(x(x+3)\)得：\(x+3=2x\)移項(xiàng)得：\(2x-x=3\)解得：\(x=3\)檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=3\)時(shí)，\(x(x+3)=3\times(3+3)=18\neq0\)所以\(x=3\)是原分式方程的解。(2)分式方程\(\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}\)解：方程兩邊同乘\((x-1)(x+2)\)得：\(x(x+2)-(x-1)(x+2)=3\)展開括號得：\(x^{2}+2x-(x^{2}+2x-x-2)=3\)即：\(x^{2}+2x-x^{2}-2x+x+2=3\)合并同類項(xiàng)得：\(x+2=3\)解得：\(x=1\)檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\((x-1)(x+2)=(1-1)(1+2)=0\)所以\(x=1\)是增根，原分式方程無解。2、口頭作業(yè)給同桌講講分式方程增根是怎么產(chǎn)生的。就像你給小伙伴講你玩游戲?yàn)樯遁斄艘粯?，要講得清楚明白。3、我再給大家說個(gè)事兒。我家附近有個(gè)小工廠，原來生產(chǎn)一種零件，每個(gè)零件的成本是\(x\)元，每天能生產(chǎn)\(100\)個(gè)，那每天的成本就是\(100x\)元。后來改進(jìn)了技術(shù)，成本降低了\(5\)元，每天能生產(chǎn)的零件數(shù)量增加了\(10\)個(gè)，變成了\(110\)個(gè)。現(xiàn)在每天的成本是\((x-5)\times110\)元。如果改進(jìn)技術(shù)前后成本不變，那這個(gè)事兒可以列出分式方程：\(\frac{100x}{110(x-5)}=1\)。同學(xué)們回家后試著解這個(gè)方程。作業(yè)三：鞏固練習(xí)1、解下列分式方程：(1)分式方程\(\frac{3}{x-2}+\frac{1}{x+2}=\frac{8}{x^{2}-4}\)解：方程兩邊同乘\((x-2)(x+2)\)得：\(3(x+2)+(x-2)=8\)展開括號得：\(3x+6+x-2=8\)合并同類項(xiàng)得：\(4x+4=8\)移項(xiàng)得：\(4x=4\)解得：\(x=1\)檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\((x-2)(x+2)=(1-2)(1+2)=-3\neq0\)所以\(x=1\)是原分式方程的解。(2)分式方程\(\frac{2x}{x+1}-\frac{x-1}{x}=1\)解：方程兩邊同乘\(x(x+1)\)得：\(2x^{2}-(x-1)(x+1)=x(x+1)\)展開括號得：\(2x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}+x\)即：\(2x^{2}-x^{2}+1=x^{2}+x\)移項(xiàng)得：\(2x^{2}-x^{2}-x^{2}-x=-1\)合并同類項(xiàng)得：\(-x=-1\)解得：\(x=1\)檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(x(x+1)=1\times(1+1)=2\neq0\)所以\(x=1\)是原分式方程的解。2、實(shí)踐作業(yè)找一個(gè)生活中的場景，比如購物、運(yùn)動(dòng)等，然后根據(jù)這個(gè)場景列出一個(gè)分式方程，并把它解出來。就像我們之前講的買水果和小工廠的例子一樣。然后把這個(gè)過程寫下來，包括場景描述、方程列出、求解過程和檢驗(yàn)過程。3、有一個(gè)分式方程\(\frac{k}{x-1}+\frac{3}{1-x}=1\)，當(dāng)\(x=2\)時(shí)是這個(gè)方程的解，求\(k\)的值。解：把\(x=2\)代入原方程得：\(\frac{k}{2-1}+\frac{3}{1-2}=1\)即：\(k-3=1\)解得：\(k=4\)作業(yè)四：思維訓(xùn)練1、解下列分式方程（含有參數(shù)）(1)分式方程\(\frac{m}{x+2}+\frac{1}{x-2}=\frac{4}{x^{2}-4}\)（\(m\)為常數(shù)）解：方程兩邊同乘\((x+2)(x-2)\)得：\(m(x-2)+(x+2)=4\)展開括號得：\(mx-2m+x+2=4\)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：\((m+1)x=2m+2\)當(dāng)\(m+1\neq0\)，即\(m\neq-1\)時(shí)，解得：\(x=2\)檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=2\)時(shí)，\((x+2)(x-2)=(2+2)(2-2)=0\)所以當(dāng)\(m\neq-1\)時(shí)，原分式方程無解。當(dāng)\(m=-1\)時(shí)，方程變?yōu)閈(0x=0\)，方程的解為任意實(shí)數(shù)，但要排除增根，所以原分式方程無解。(2)分式方程\(\frac{2a}{x-a}+\frac{1}{x+a}=\frac{3}{x^{2}-a^{2}}\)（\(a\neq0\)為常數(shù)）解：方程兩邊同乘\((x-a)(x+a)\)得：\(2a(x+a)+(x-a)=3\)展開括號得：\(2ax+2a^{2}+x-a=3\)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：\((2a+1)x=3+a-2a^{2}\)解得：\(x=\frac{3+a-2a^{2}}{2a+1}\)檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=\frac{3+a-2a^{2}}{2a+1}\)時(shí)，只要\((x-a)(x+a)\neq0\)，即\((\frac{3+a-2a^{2}}{2a+1}-a)(\frac{3+a-2a^{2}}{2a+1}+a)\neq0\)原分式方程的解就是\(x=\frac{3+a-2a^{2}}{2a+1}\)。2、論述題說說分式方程在工程問題中的應(yīng)用。比如一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做\(x\)天完成，乙單獨(dú)做\(y\)天完成，兩人合作\(z\)天完成的工作量可以用分式方程表示。先講講這個(gè)方程怎么列出來的，然后再說說在這種情況下分式方程的特點(diǎn)以及求解時(shí)要注意的問題。就像你在給小伙伴解釋游戲里的一個(gè)復(fù)雜任務(wù)一樣，要詳細(xì)清楚。3、有一個(gè)分式方程\(\frac{3}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{k}{x^{2}-1}\)，若方程有增根，求\(k\)的值。解：方程兩邊同乘\((x-1)(x+1)\)得：\(3(x+1)+2(x-1)=k\)展開括號得：\(3x+3+2x-2=k\)合并同類項(xiàng)得：\(5x+1=k\)因?yàn)榉匠逃性龈?，所以增根為\(x=1\)或者\(yùn)(x=-1\)。當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(k=5\times1+1=6\)；當(dāng)\(x=-1\)時(shí)，\(k=5\times(-1)+1=-4\)?！就卣寡由臁?、拓展題目設(shè)計(jì)(1)解分式方程：\(\frac{1}{x^{2}-3x+2}+\frac{1}{x^{2}-x-2}=\frac{1}{x^{2}-1}\)這個(gè)方程的分母需要先進(jìn)行因式分解，然后再找最簡公分母求解，這就比之前的方程更有挑戰(zhàn)性了。(2)已知分式方程\(\frac{x+a}{x-b}+\frac{x+b}{x-a}=2\)（\(a\neqb\)），求\(x\)的值。這個(gè)方程含有兩個(gè)參數(shù)，并且方程的結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜，需要同學(xué)們靈活運(yùn)用分式方程的解法。2、跨學(xué)科融合(1)在物理中，根據(jù)歐姆定律\(I=\frac{V}{R}\)（\(I\)是電流，\(V\)是電壓，\(R\)是電阻），如果有兩個(gè)電阻\(R_1\)和\(R_2\)串聯(lián)，總電阻\(R=R_1+R_2\)，電壓\(V\)不變。已知通過電阻\(R_1\)的電流為\(I_1=\frac{V}{R_1}\)，通過電阻\(R_2\)的電流為\(I_2=\frac{V}{R_2}\)，如果總電流為\(I\)，可以列出分式方