2024-2025學(xué)年河南省部分名校高二（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（一）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河南省部分名校高二（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（一）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.圖中4條直線(xiàn)中斜率最小的是(

)

A.l1 B.l2 C.l32.已知向量a=(1,3,?2)與b=(3,x,y)平行，則x?y=(

)A.?15 B.?3 C.3 D.153.已知直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為m=(1,2,?4)，平面α的一個(gè)法向量為n=(2,3,t)，若l//α，則t=(

)A.1 B.2 C.3 D.44.將直線(xiàn)y=2x+1繞點(diǎn)(1,3)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2rad后所得直線(xiàn)的方程為(

)A.x?2y+5=0 B.x?2y+1=0 C.x+2y?7=0 D.x+2y+1=05.已知平面α，β均以n=(?2,1,2)為法向量，平面α經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，平面β經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2,?1)，則平面α與β的距離為(

)A.2 B.22 C.3 6.已知直線(xiàn)l與m：3x?y+c=0(c<0)平行，且l、m之間的距離與點(diǎn)A(0,2)到l的距離均為1，則l在y軸上的截距為A.?1 B.0 C.1 D.47.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，M為棱A.A1P?A1B B.A8.如圖，在正四面體O?ABC中，M為棱OC的中點(diǎn)，N為棱AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AM與CN所成角的余弦值為(

)A.216

B.219

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若直線(xiàn)l：(2a?1)x+(a?3)y+1=0不經(jīng)過(guò)第四象限，則實(shí)數(shù)a的可能取值為(

)A.13 B.43 C.3 10.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)A(3,2,?1)，B(m,1,n)，C(2,p,q)，其中m，n，p，q∈R，若四邊形OABC為菱形，則(

)A.m=5 B.p=?1 C.n=±2 D.q=±311.已知點(diǎn)A(3,3)和B(4,?2)，P是直線(xiàn)l：x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，則(

)A.存在P(1,?3)，使|PA|+|PB|最小

B.存在P(?1,?1)，使||PA|?|PB||最小

C.存在P(5,?7)，使||PA|?|PB||最大

D.存在P(12,?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量AB=(2,3,23)，BC=(x,0,23)13.已知a>0，平面內(nèi)三點(diǎn)A(0,?a)，B(1,a2)，C(3,2a3)14.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的體積為4，側(cè)面積為8，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線(xiàn)段四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知空間中三點(diǎn)A(?2,?3,3)，B(1,0,2)，C(2,?1,5)，設(shè)向量a=AB，b=BC．

(1)若(a+kb)⊥a，求實(shí)數(shù)k的值；

(2)若向量c16.(本小題15分)

已知直線(xiàn)l1的方程為(a+3)x?ay+2=0，直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)和B(0,1a)．

(1)若l1⊥l2，求a的值；

(2)若當(dāng)17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，△PAD為等邊三角形，且PB=AC，E為棱PD的中點(diǎn)．

(1)證明：平面PAD⊥平面ABCD；

(2)求直線(xiàn)CE與平面PAB所成角的正弦值．18.(本小題17分)

如圖，將一塊三角形的玉石ABO置于平面直角坐標(biāo)系中，已知|AO|=|AB|=5，|OB|=2，點(diǎn)P(1,1)，圖中陰影三角形部分為玉石上的瑕疵，為了將這塊玉石雕刻成工藝品，要先將瑕疵部分切割掉，可沿經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)MN進(jìn)行切割．

(1)求直線(xiàn)MN的傾斜角α的取值范圍．

(2)是否存在直線(xiàn)MN，使得點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在線(xiàn)段AB上？

(3)設(shè)玉石經(jīng)切割后剩余部分的面積為S，求S19.(本小題17分)

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)且以u(píng)=(a,b,c)為方向向量的直線(xiàn)方程可表示為x?x0a=y?y0b=z?z0c(abc≠0)，過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)且以u(píng)=(a,b,c)為法向量的平面方程可表示為ax+by+cz=ax0+by0+cz0．

(1)若直線(xiàn)參考答案1.C

2.D

3.B

4.C

5.A

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.2

13.2

14.615.解：(1)∵空間中三點(diǎn)A(?2,?3,3)，B(1,0,2)，C(2,?1,5)，向量a=AB，b=BC，

∴a=AB=(3,3,?1)，b=BC=(1,?1,3)，

則a+kb=(3+k,3?k,?1+3k)，

由(a+kb)⊥a，

故(a+kb)?a=3(3+k)+3(3?k)?(?1+3k)=0，

16.解：直線(xiàn)l1的方程為(a+3)x?ay+2=0，直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)和B(0,1a)．

(1)由題意得，a≠0，l1的斜率為a+3a，l2的斜率為?12a．

∵l1⊥l2，

∴a+3a?(?12a)=?1，即2a2?a?3=0，

解得17.解：(1)證明：如圖，取AD中點(diǎn)O，連接PO，BO，設(shè)AB=a，

因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，

則PO⊥AD，

則AC=PB=2a，PO=32a，BO=52a，

所以PB2=PO2+BO2，

即PO⊥BO，又AD∩BO=O，AD，BO?平面ABCD，

所以PO⊥平面ABCD，又PO?平面PAD，

所以平面PAD⊥平面ABCD；

(2)取BC中點(diǎn)F，連接OF，由(1)可知OP，OA，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=a，則A(a2,0,0)，B(a2,a,0)，C(?a2,a,0)，D(?a2,0,0)，E(?a4,0,3a4)，P(0,0,3a2)，

所以AB=(0,a,0)，PA=(a2,0,?18.解：(1)由圖可知，點(diǎn)A在第一象限，設(shè)點(diǎn)A(m,n)，

因?yàn)閨AO|=|AB|=5，|OB|=2，則B(2,0)，

所以，|AO|=m2+n2=5|AB|=(m?2)2+n2=5m>0,n>0，解得m=1n=2，即點(diǎn)A(1,2)，

由題圖可知，當(dāng)點(diǎn)M從原點(diǎn)O沿著x軸的正方向移動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)MN的傾斜角在逐漸增大，

當(dāng)直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PA重合時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN交x軸的交點(diǎn)為E，如下圖所示：

當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段OE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)MN與線(xiàn)段OA(不包括端點(diǎn))沒(méi)有公共點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段EB(不包括點(diǎn)E)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)MN與線(xiàn)段OA(不包括端點(diǎn))有公共點(diǎn)，

且直線(xiàn)OP的斜率為kOP=1，直線(xiàn)OP的傾斜角為π4，

綜上所述，直線(xiàn)MN傾斜角α的取值范圍是[π4,π2]．

(2)由(1)可知，A(1,2)、B(2,0)，則直線(xiàn)AB的斜率為kAB=2?01?2=?2，

假設(shè)存在直線(xiàn)MN，使得點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在線(xiàn)段AB上，

此時(shí)，MN⊥AB，則kMN=?1kAB=12，

此時(shí)，直線(xiàn)MN的傾斜角α滿(mǎn)足α<π4，不合乎題意，

因此，不存在直線(xiàn)MN，使得點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在線(xiàn)段AB上．

(3)當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，此時(shí)，MN為線(xiàn)段OB的垂直平分線(xiàn)，

此時(shí)，S=12S△AOB=14×2×2=1；

當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y?1=k(x?1)，即y=kx+1?k，其中k≥1，19.解：(1)由題意可知，直線(xiàn)l1的一個(gè)方向向量為u1=(2,1,?1)，

直線(xiàn)l2的一個(gè)方向向量為u2=(?1,4,2)，

設(shè)平面α的法向量為n=(x1,y1,z1)，

則n⊥u1n⊥u2，則n?u1=0n?u2=0，即2x1+y1?z1=0?x1+4y1+2z1=0，

解得x1=?2y1z1=?3y1，

取y1=?1，則m=(2,?1,3)，

易知直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)P(1,0,1)，

所以平面α的方程為2x?y+3z=2?0+3=5，

即2x?y+3z=5．

(2)根據(jù)題