92用樣本估計總體（原卷版）

9.2用樣本估計總體【知識點】1.頻率分布直方圖繪制步驟①求極差，即一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差．②決定組距與組數(shù)．組距與組數(shù)的確定沒有固定的標準，一般數(shù)據(jù)的個數(shù)越多，所分組數(shù)越多．當(dāng)樣本容量不超過100時，常分成5～12組．為方便起見，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力求“取整”．③將數(shù)據(jù)分組．④列頻率分布表．計算各小組的頻率，第i組的頻率是eq\f(第i組頻數(shù),樣本容量).⑤畫頻率分布直方圖．其中橫軸表示分組，縱軸表示eq\f(頻率,組距).eq\f(頻率,組距)實際上就是頻率分布直方圖中各小長方形的高度，它反映了各組樣本觀測數(shù)據(jù)的疏密程度．2.頻率分布直方圖意義：各個小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各個小組的頻率的大小，各小長方形的面積的總和等于1.3.總體取值規(guī)律的估計：我們可以用樣本觀測數(shù)據(jù)的頻率分布估計總體的取值規(guī)律．4.頻率分布直方圖的特征：當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)少、組距大時，容易從中看出數(shù)據(jù)整體的分布特點，但由于無法看出每組內(nèi)的數(shù)據(jù)分布情況，損失了較多的原式數(shù)據(jù)信息；當(dāng)頻率分布直方圖的組數(shù)多、組距小時，保留了較多的原始數(shù)據(jù)信息，但由于小長方形較多，有時圖形會變得非常不規(guī)則，不容易從中看出總體數(shù)據(jù)的分布特點．5.常見的其他統(tǒng)計圖：條形圖、扇形圖、折線圖．扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率；折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢．6.各個統(tǒng)計圖特點(1)不同的統(tǒng)計圖在表示數(shù)據(jù)上有不同的特點．如扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例，條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率，折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢．(2)不同的統(tǒng)計圖適用的數(shù)據(jù)類型也不同．如條形圖適用于描述離散型的數(shù)據(jù)，直方圖適用于描述連續(xù)性數(shù)據(jù)．7.第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．8.計算第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．9.四分位數(shù)常用的分位數(shù)有第25百分位數(shù)、第50百分位數(shù)、第75百分位數(shù)，這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．其中第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等．10．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置(或中間兩個數(shù)的平均數(shù))的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．(3)平均數(shù)：如果n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做這n個數(shù)的平均數(shù)．11.頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)①在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高矩形中點的橫坐標；②中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；③平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．12.方差、標準差的定義一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，用eq\x\to(x)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2，標準差為eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2).13.總體方差、總體標準差的定義如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為eq\x\to(Y)，則稱S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,)(Yi－eq\x\to(Y))2為總體方差，S＝eq\r(S2)為總體標準差．如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq\x\to(Y))2.14.樣本方差、樣本標準差的定義如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為eq\x\to(y)，則稱s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2為樣本方差，s＝eq\r(s2)為樣本標準差．15.方差、標準差特征標準差、方差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。诳坍嫈?shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的．但在解決實際問題中，一般多采用標準差．【典型例題】題型一頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用例1．（2021·全國·高一課時練習(xí)）通過抽樣，我們獲得了100位居民某年的月平均用水量（單位：t），如下表：3.12.52.02.01.51.01.61.81.91.63.42.62.22.21.51.20.20.40.30.43.22.72.32.11.61.23.71.50.53.83.32.82.32.21.71.33.61.70.64.13.22.92.42.31.81.43.51.90.84.33.02.92.42.41.91.31.41.80.72.02.52.82.32.31.81.31.31.60.92.32.62.72.42.11.71.41.21.50.52.42.52.62.32.11.61.01.01.70.82.42.82.52.22.01.51.01.21.80.62.2試用頻率直方圖分析該地居民月平均用水量的分布情況.解題技巧（繪制頻率分布直方圖的注意事項）1．在列頻率分布表時，極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系：(1)若eq\f(極差,組距)為整數(shù)，則eq\f(極差,組距)＝組數(shù)；(2)若eq\f(極差,組距)不為整數(shù)，則eq\f(極差,組距)的整數(shù)部分＋1＝組數(shù)．2．組距和組數(shù)的確定沒有固定的標準，將數(shù)據(jù)分組時，組數(shù)力求合適，縱使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來，組數(shù)太多或太少，都會影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況，若樣本容量不超過100，按照數(shù)據(jù)的多少常分為5～12組，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多.例2．（2021·全國·高一課時練習(xí)）下面是某市9月26日和9月29日市區(qū)出現(xiàn)堵車的時刻，試列出這兩天的堵車時刻的頻率分布表和頻率直方圖，并分析該市每天大約在什么時間段是行車高峰期.9月26日8:018:029:309:319:5110:2410:5111:2115:5216:3017:2917:3018:0418:229月29日8:298:328:339:299:5810:1410:3311:4314:0016:0816:2916:5416:5517:0518:0818:09例3．（2021·全國·高一單元測試）某制造商生產(chǎn)一批直徑為40的乒乓球，現(xiàn)隨機抽樣檢查20個，測得每個球的直徑（單位：，保留兩位小數(shù)）如下：40.03

40.00

39.98

40.00

39.99

40.00

39.9840.01

39.98

39.99

40.00

39.99

39.95

40.0140.02

39.98

40.00

39.99

40.00

39.96（1）完成下面的頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；分組頻數(shù)頻率合計（2）假定乒乓球的直徑誤差不超過0.02為合格品.若這批乒乓球的總數(shù)為10000，試根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果估計這批產(chǎn)品的合格個數(shù).題型二頻率分布直方圖中的相關(guān)計算問題例4．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（文））為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品隨機抽取了一個容量為20的樣本，測量它們的尺寸（單位：），數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求上圖中的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求200件樣本尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)；(3)記產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為等品，每件可獲利5元；產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為不合格品，每件虧損2元；其余的為合格品，每件可獲利3元.若該機器一個月共生產(chǎn)3000件產(chǎn)品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤未能達到11000元，則需要對該工廠設(shè)備實施升級改造.試判斷是否需要對該工廠設(shè)備實施升級改造.解題技巧(計算規(guī)律)1.因為小長方形的面積=組距×頻率組距=頻率,所以各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小2.在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積之和等于1.3.頻數(shù)相應(yīng)的頻率=樣本量4.在頻率分布直方圖中,各長方形的面積之比等于頻率之比,各長方形的高度之比也等于頻率之比.例5．（2021·四川·成都市溫江區(qū)第二中學(xué)校高二期末（理））某商品公司隨機選取了1000名購物者在某年度的消費情況進行統(tǒng)計，并根據(jù)消費金額（單位：萬元）分成6組，制成如下圖所示的頻率分布直方圖：(1)求的值；(2)在這些購物者中，求消費金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)．例6．（2021·四川省南充市李渡中學(xué)高二階段練習(xí)）對某校高一年級學(xué)生參加“社區(qū)志愿者”活動次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加“社區(qū)志愿者”活動的次數(shù)．據(jù)此作出頻數(shù)和頻率統(tǒng)計表及頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率50.251210.05合計1（1）求出表中，及圖中的值；（2）若該校高一學(xué)生有720人，試估計他們參加“社區(qū)志愿者”活動的次數(shù)在內(nèi)的人數(shù).題型三對折線圖、扇形圖、條形圖的識讀例7．（2020·北京·高二學(xué)業(yè)考試）年以前，北京市先后組織實施了多個階段的大氣污染防治行動，針對燃煤?工業(yè)?揚塵排放和機動車排放等采取了數(shù)百項治理措施.2008年北京市首次探索區(qū)域聯(lián)防聯(lián)控，取得了良好效果.2013年北京市制定實施以防治細顆粒物為重點的《20132017年清潔空氣行動計劃》，治理成效顯著.上圖是2000年至2018年可吸入顆粒物?細顆粒物?二氧化氮?二氧化硫等主要污染物年日均值的折線圖.根據(jù)圖中信息，下列結(jié)論中正確的是（

）A．2013年到2018年，空氣中可吸入顆粒物的年日均值逐年下降B．2013年到2018年，空氣中細顆粒物的年日均值逐年下降C．2000年到2018年，空氣中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米D．2000年到2018年，空氣中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年解題技巧（各類統(tǒng)計圖的特點）條形統(tǒng)計圖反映各組數(shù)據(jù)的頻數(shù)或頻率；扇形統(tǒng)計圖反映各組數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；折線統(tǒng)計圖反映數(shù)據(jù)隨時間的變化趨勢．例8．（2021·全國·高一課時練習(xí)）為考查某校高二男生的體重，隨機抽取44名高二男生，實測體重數(shù)據(jù)(單位：kg)如下：57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48將數(shù)據(jù)進行適當(dāng)?shù)姆纸M，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖．例9．（2021·全國·高一單元測試）共享單車入住泉州一周年以來，因其“綠色出行，低碳環(huán)保”的理念而備受人們的喜愛，值此周年之際，某機構(gòu)為了了解共享單車使用者的年齡段，使用頻率、滿意度等三個方面的信息，在全市范圍內(nèi)發(fā)放份調(diào)查問卷，回收到有效問卷份，現(xiàn)從中隨機抽取份，分別對使用者的年齡段、歲使用者的使用頻率、歲使用者的滿意度進行匯總，得到如下三個表格：表(一)使用者年齡段歲以下歲～歲歲～歲歲以上人數(shù)表(二)使用頻率次/月次/月次/月次/月人數(shù)表(三)滿意度非常滿意()滿意()一般()不滿意()人數(shù)(1)依據(jù)上述表格完成下列三個統(tǒng)計圖形：(2)某城區(qū)現(xiàn)有常住人口萬，請用樣本估計總體的思想，試估計年齡在歲～歲之間，每月使用共享單車在次的人數(shù).題型四百分位數(shù)在具體數(shù)據(jù)中的應(yīng)用例10．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高三期末）某射擊運動員7次的訓(xùn)練成績分別為:86，88，90，89，88，87，85，則這7次成績的第80百分位數(shù)為（

）A．88.5 B．89 C．91 D．89.5解題技巧（計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟）第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步,計算i=n×p%.第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).例11．（2022·安徽省蚌埠第三中學(xué)高一開學(xué)考試）從某城市隨機抽取14臺自動售貨機，對其銷售額進行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：8，8，10，12，22，23，20，23，32，34，31，34，42，43．則這14臺自動售貨機的銷售額的50%，80%分位數(shù)分別是_______，__________．例12．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）下表為某市青少年（12~13歲）立定跳遠體能達標表（單位：cm）：百分位數(shù)5102030405060707580859095男12歲12713614715516216917518218619019520121113歲139149161169177184191198202207212219229女12歲10911712813514114715315916316717117718613歲110119129137143149155161165169173179188(1)小蘭今年12歲就讀六年級，她立定跳遠的距離是153cm，求她立定跳遠的百分等級.(2)小蘭明年就讀初中時，她想要立定跳遠的成績位于表中的位置，問她立定跳遠至少要跳多少cm以上.(3)若立定跳遠的成績達到算是優(yōu)良，小軍今年13歲，他立定跳遠的距離是200cm，請問他的立定跳遠成績是不是優(yōu)良？題型五百分位數(shù)在統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖中的應(yīng)用例13．（2022·遼寧丹東·高一期末）某地區(qū)想實行階梯電價，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)居民用電量信息如下：分位數(shù)50%分位數(shù)70%分位數(shù)80%分位數(shù)90%分位數(shù)用電量160176215230如果要求約70%的居民用電在第一階梯內(nèi)，約20%的居民用電在第二階梯內(nèi)，可確定第二階梯電價的用電量范圍為（

）A． B． C． D．解題技巧(頻率直方圖計算百分位數(shù)的規(guī)律)求總體百分位數(shù)的估計，首先要從小到大排列數(shù)據(jù)，頻率直方圖看作數(shù)據(jù)均勻分布在直方圖上，然后計算出i＝n×p%，當(dāng)i不是整數(shù)要取整，頻率直方圖要計算出比例值．例14．（2022·河南焦作·高一期末）某小學(xué)制訂了一份調(diào)查問卷，讓學(xué)生家長對該校實行“雙減”的效果進行評分，評分都在內(nèi)，將所有數(shù)據(jù)按，，，，，進行分組，整理得到頻率分布直方圖如下，則這次調(diào)查數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為___________.例15．（2022·北京平谷·高二期末）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)已知樣本中分數(shù)在[40，50）的學(xué)生有5人，試估計總體中分數(shù)小于40的人數(shù)；(2)試估計測評成績的75%分位數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．題型六平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在具體數(shù)據(jù)中的應(yīng)用例16．（2021·山西·高一期末）一組數(shù)據(jù)共有7個整數(shù)，，2，2，2，10，5，4，且，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)中最大與最小數(shù)之和是該三數(shù)中間數(shù)字的兩倍，則第三四分位數(shù)是______.解題技巧（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義）(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大．(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，其眾數(shù)往往更能反映問題，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢．例17．（2021·河南·溫縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））為了增加學(xué)生的鍛煉機會，某中學(xué)決定每年舉辦一次足球和乒乓球比賽，據(jù)統(tǒng)計，近年來，參加足球比賽的學(xué)生人數(shù)分別為、、、、，它們的平均數(shù)為，已知這年，參加乒乓球比賽的學(xué)生人數(shù)分別為、、、、，它們的平均數(shù)為（

）A． B． C． D．例18．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）某大學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分（十分制）情況如圖所示，試結(jié)合圖象分析得分的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)之間的大小關(guān)系．例19．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）某百貨公司連續(xù)40天的銷售額數(shù)據(jù)（單位：萬元）如下：41

25

29

47

38

34

30

38

43

4046

36

45

37

37

36

45

43

33

4435

28

46

34

30

37

44

26

38

4442

36

37

37

49

39

42

32

36

35(1)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)進行適當(dāng)?shù)姆纸M，編制頻數(shù)分布表，并繪制頻率分布直方圖；(2)在繪制的頻率分布直方圖上指出數(shù)據(jù)組的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)所在區(qū)域，并比較它們之間的大??；(3)試估計該百貨公司一年（按365天計算）的銷售額.題型七在頻率分布直方圖中求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)例20．（河南省新鄉(xiāng)市20212022學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文科）試題）《關(guān)于落實主體責(zé)任強化校園食品安全管理的指導(dǎo)意見》指出：非寄宿制中小學(xué)、幼兒園原則上不得在校內(nèi)設(shè)置食品小賣部、超市，已經(jīng)設(shè)置的要逐步退出．為了了解學(xué)生對校內(nèi)開設(shè)食品小賣部的意見，某校對名在校生天內(nèi)在該校食品小賣部消費過的天數(shù)進行統(tǒng)計，將所得數(shù)據(jù)按照、、、、、分成組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論不正確的是（

）A．該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)不低于的學(xué)生比率估計為B．該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)低于的學(xué)生比率估計為C．估計該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)的平均值不低于D．估計該校學(xué)生每月在食品小賣部消費過的天數(shù)的中位數(shù)介于至之間解題技巧(知頻率分布直方圖中求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))(1)眾數(shù)：頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點的橫坐標．(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數(shù)．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和．例21．（2021·江西省信豐中學(xué)高二開學(xué)考試（理））某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖示．(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為[220，240），[240，260），[260，280）的三組用戶中，用分層抽樣的方法抽取10戶居民，則月平均用電量在[220，240）的用戶中應(yīng)抽取多少戶？例22．（2021·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末）為了讓學(xué)生了解環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學(xué)舉行了一次環(huán)保知識競賽，共有名學(xué)生參加了這次競賽，為了了解本次競賽的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分取正整數(shù)，滿分為分)進行統(tǒng)計，請你根據(jù)下面尚未完成的頻率分布表和頻率分布直方圖，解答下列問題：組號分組頻數(shù)頻率1[50，60)40.082[60，70)80.163[70，80)100.204[80，90)160.325[90，100]合計(1)填充頻率分布表中的空格；(2)如圖，不具體計算，補全頻率分布直方圖；(3)估計這名學(xué)生競賽的平均成績(結(jié)果保留整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).題型八標準差與方差的應(yīng)用例23．（2022·廣西·模擬預(yù)測（理））設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為100，方差為10，則的平均數(shù)和方差分別為（

）A． B． C． D．解題技巧（實際應(yīng)用中標準差、方差的意義）在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度，在平均數(shù)相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動性越大，穩(wěn)定性越差；方差越小，數(shù)據(jù)越集中，穩(wěn)定性越高．例24．（2022·北京八中高三開學(xué)考試）已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為，極差為.由這組數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則下列命題中錯誤的是（

）A．新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 B．新數(shù)據(jù)的方差是C．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 D．新數(shù)據(jù)的極差是例25．（2021·福建南平·高一期末）設(shè)樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，標準差為，若數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)比標準差大，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型九用樣本平均數(shù)和樣本標準差估計總體例26．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））《中國制造2025》是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領(lǐng)，制造業(yè)是國民經(jīng)濟的主體，是立國之本、興國之器、強國之基．發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強國的生命線某電子產(chǎn)品制造企業(yè)為了提升生產(chǎn)效率，對現(xiàn)有的一條電子產(chǎn)品生產(chǎn)線進行技術(shù)升級改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中隨機抽取了1000件，檢測產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標值，根據(jù)檢測數(shù)據(jù)得到下表(單位：件)．質(zhì)量指標值產(chǎn)品6010016030020010080(1)估計這組樣本的質(zhì)量指標值的平均數(shù)和方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表)；(2)設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)，表示不小于x的最小整數(shù)，s精確到個位，，，，根據(jù)檢驗標準，技術(shù)升級改造后，若質(zhì)量指標值有落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量初級穩(wěn)定；若有落在內(nèi)，則可以判斷技術(shù)改造后的產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定，可認為生產(chǎn)線技術(shù)改造成功．請問：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計，是否可以判定生產(chǎn)線的技術(shù)改造是成功的？解題技巧(用樣本平均數(shù)和樣本標準差估計總體注意事項)（1）標準差代表數(shù)據(jù)的離散程度，考慮數(shù)據(jù)范圍時需要加減標準差.（2）計算樣本平均數(shù)、樣本方差直接利用公式，注意公式的變形和整體代換．例27．（2022·廣西玉林·高二期末（理））有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶7次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲

6

9

7

8

8

5

6乙

a

3

9

8

9

6

4經(jīng)計算可得甲、乙兩名射擊運動員的平均成績是一樣的．(1)求實數(shù)a的值；(2)請通過計算，判斷甲、乙兩名射擊運動員哪一位的成績更穩(wěn)定？例28．（2022·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（文））甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：甲8281797895889384乙9295807583809085(1)求兩位學(xué)生預(yù)賽成績的平均數(shù)和方差；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，你認為選派哪位學(xué)生參加合適？請說明理由．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））已知一個容量為的樣本數(shù)據(jù)的平均值為90，方差為10，若去掉其中5個為90的樣本數(shù)據(jù)，剩余樣本數(shù)據(jù)的平均值為，方差為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2022·云南·高三階段練習(xí)（理））為比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進行指標測驗，指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)，根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大數(shù)學(xué)素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述錯誤的是（

）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B．乙的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．甲的六大數(shù)學(xué)素養(yǎng)指標值波動性比乙小D．甲、乙在數(shù)學(xué)建模上的差距比在直觀想象上的差距大3．（2022·江蘇南京·高三開學(xué)考試）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)、方差分別為（

）A．， B．， C．， D．，4．（2022·天津·高三期末）某大品牌家電公司從其全部200名銷售員工中隨機抽出50名調(diào)查銷售情況，銷售額都在區(qū)間（單位：百萬元）內(nèi)，將其分成5組：，，，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖，據(jù)此估計其全部銷售員工中銷售額在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為（

）A．16 B．22 C．64 D．885．（2022·上海交大附中高三開學(xué)考試）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該事件在一段時間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)天，每天新增疑似病例不超過人”，根據(jù)過去天甲、乙、丙、丁四地新增病例數(shù)據(jù)，一定符合該標志的是（

）A．甲地：總體均值為，總體方差為B．乙地：總體均值為，中位數(shù)為C．丙地：總體均值為，總體方差大于D．丁地：中位數(shù)為，總體方差為6．（2022·河南洛陽·二模（文））2021年秋季河南省在高一推行新教材，為此河南省某市教育部門組織高中教師在暑假期間進行培訓(xùn)，培訓(xùn)后統(tǒng)一舉行測試．隨機抽取100名教師的測試成績（滿分100分）進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布折線圖，則下列說法正確（

）A．這100名教師的測試成績的極差是20分B．這100名教師的測試成績的眾數(shù)是90分C．這100名教師的測試成績的中位數(shù)是87.5分D．這100名教師中測試成績不低于90分的人數(shù)占比超過50%7．（2022·北京豐臺·高三期末）為普及冬奧知識，某校在各班選拔部分學(xué)生進行冬奧知識競賽．根據(jù)參賽學(xué)生的成績，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若要對40%成績較高的學(xué)生進行獎勵，則獲獎學(xué)生的最低成績可能為（

）A．B．C．D．958．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））根據(jù)氣象學(xué)上的標準，連續(xù)5天的日平均氣溫低于即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)；②平均數(shù)且極差小于或等于3；③平均數(shù)且標準差；④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4．則4組樣本中一定符合入冬指標的共有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組二、多選題9．（2022·湖南·長沙市南雅中學(xué)高三階段練習(xí)）某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)元的學(xué)生有60人，則下列說法正確的是（

）A．樣本中支出在[50，60)元的頻率為0.03B．n的值為200C．樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132D．若該校有2000名學(xué)生，則一定有800人支出在[50，60)元10．（2022·福建泉州·高三期末）某校高三1班48名物理方向的學(xué)生在一次質(zhì)量檢測中，語文成績、數(shù)學(xué)成績與六科總成績在全年級中的排名情況如下圖所示，“”表示的是該班甲、乙、丙三位同學(xué)對應(yīng)的點.從這次考試的成績看，下列結(jié)論正確的是（

）A．該班六科總成績排名前6的同學(xué)語文成績比數(shù)學(xué)成績排名更好B．在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是語文C．?dāng)?shù)學(xué)成績與六科總成績的相關(guān)性比語文成績與六科總成績的相關(guān)性更強D．在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其六科總成績名次靠前的學(xué)生是甲11．（2022·湖南常德·高三期末）甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰子每次出現(xiàn)的點數(shù)可能為1，2，3，4，5，6），并分別記錄每次出現(xiàn)的點數(shù)，四人根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果對各自的試驗數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以判斷一定沒有出現(xiàn)6點的描述是（

）A．中位數(shù)為3，眾數(shù)為5 B．中位數(shù)為3，極差為3C．中位數(shù)為1，平均數(shù)為2 D．平均數(shù)為3，方差為212．（2022·浙江嘉興·高二期末）為喚起學(xué)生愛護地球?保護家園的意識，加強對節(jié)能減排的宣傳，進一步營造綠色和諧的校園環(huán)境，樹人中學(xué)決定舉辦環(huán)保知識競賽.現(xiàn)有甲?乙?丙?丁四個班級參加，每個班級各派10位同學(xué)參賽，每位同學(xué)需要回答10道題，每題回答正確得1分，回答錯誤得0分.若規(guī)定總得分達到70分且沒有同學(xué)得分低于5分的班級為“優(yōu)勝班級”，則根據(jù)以下甲?乙?丙?丁各班參賽同學(xué)的得分數(shù)據(jù)信息，能判斷該班一定為“優(yōu)勝班級”的是（

）A．甲班同學(xué)平均數(shù)為8，眾數(shù)為8 B．乙班同學(xué)平均數(shù)為8，方差為4C．丙班同學(xué)平均數(shù)為7，極差為3 D．丁班同學(xué)平均數(shù)為7，標準差為0三、填空題13．（2021·河北·石家莊市第十七中學(xué)高三期中）已知某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了進一步跟蹤調(diào)查對戶型結(jié)構(gòu)滿意的戶主的滿意程度，用分層抽樣的方法抽取位戶主，則在對三居室滿意的戶主中抽取的人數(shù)為__________．14．（2022·上海市控江中學(xué)高三開學(xué)考試）已知6個正整數(shù)，它們的平均數(shù)是5，中位數(shù)是4，唯一的眾數(shù)是3，則這6個數(shù)的方差的最大值為___________．15．（2021·全國·高一課時練習(xí)）海水養(yǎng)殖場對某水產(chǎn)品的網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量進行調(diào)查，收獲時隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各網(wǎng)箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）后制成頻率分布直方圖如圖所示．估計網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量數(shù)據(jù)的第61百分位數(shù)為______．16．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標.常用區(qū)間，內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.甲?乙兩位同學(xué)分別隨機抽取10位本地市民調(diào)查他們的幸福感指數(shù)，甲得到十位市民的幸福感指數(shù)為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為8.方差為2.2，則這20位市民幸福感指數(shù)的方差為___________四、解答題17．（2021·全國·高一課時練習(xí)）從某校500名12歲男孩中用簡單隨機抽樣的方法抽取一個容量為120的身高(單位：cm)樣本，具體數(shù)據(jù)如下表所示：分組[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)人數(shù)58102233分組[142,146)[146,150)[150,154)人數(shù)201165(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率直方圖；(3)畫出頻率折線圖；(4)估計身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.18．（2022·四川·瀘縣五中高二開學(xué)考試（理））某高校調(diào)查了本校n名大學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），由調(diào)查結(jié)果得到如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的是，樣本數(shù)據(jù)分組為：自習(xí)時間（小時學(xué)生人數(shù)105080a20(1)分別求出的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校大學(xué)生自習(xí)時間的平均數(shù)與中位數(shù).19．（2021·廣東·湛江市第四中學(xué)高二期中）某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結(jié)果認知程度高的有20人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這20人的平均年齡和第80百分位數(shù)；(2)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這20人中35~45歲所有人的年齡的方差.20．（2021·廣東中山·高三期末）隨著社會的進步、科