第三節(jié)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)(要點(diǎn)歸納夯實(shí)基礎(chǔ)練)

第三節(jié)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【要點(diǎn)歸納】一、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R函數(shù)的最值最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z；最小值－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z；最小值－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ－π，k∈Z無最大值和最小值單調(diào)性增區(qū)間[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)；減區(qū)間[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z)增區(qū)間[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；減區(qū)間[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)增區(qū)間(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期性周期為2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期為2π周期為2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期為2π周期為kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期為π對稱性對稱中心(kπ，0)，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z對稱軸x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Zx＝kπ，k∈Z無對稱軸零點(diǎn)kπ，k∈Zkπ＋eq\f(π,2)，k∈Zkπ，k∈Z二、周期函數(shù)的定義對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期；函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均為T＝eq\f(2π,|ω|)；函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的周期為T＝eq\f(π,|ω|).三、對稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個(gè)周期．(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個(gè)周期．四、函數(shù)具有奇偶性的充要條件函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)；函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數(shù)?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函數(shù)?φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)．【夯實(shí)基礎(chǔ)練】1．(2022?高考浙江卷)為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)()A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【解析】因?yàn)?，所以把函?shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.【答案】D2．(2022?全國高考甲卷數(shù)學(xué)(文))將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是()A． B． C． D．【解析】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.【答案】C3．(2022?重慶市第八中學(xué)高三(下)第一次調(diào)研檢測)為了得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象()A．向右平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位【解析】，所以可以由向右平移個(gè)單位，故選：C【答案】C4．(2022?重慶市巴蜀中學(xué)高三第八次月考)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則()A． B．C． D．【解析】由題意可知，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，可得到函數(shù)的圖象，則.故選：B.【答案】B5．(2022?四川省成都市石室中學(xué)高三一模)函數(shù)是()A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)【解析】∵，∴是最小正周期為的偶函數(shù).【答案】A6．(2022?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三(上)二診)函數(shù)在內(nèi)的值域?yàn)?，則的取值范圍是()A． B． C． D．【解析】函數(shù)f(x)＝cos(ωx)(ω＞0)，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f(x)∈[﹣1，]，∴﹣1≤cos(ωx)，畫出圖形如圖所示；則π≤ωπ，解得ω，∴ω的取值范圍是[，]．故選B．【答案】B7．(2022?遼寧省沈陽市第二中學(xué)高三二模)(多選)為得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象()A．先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移個(gè)單位長度B．先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移個(gè)單位長度C．先向右平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)D．先向右平移個(gè)單位長度，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)【解析】如果是先伸縮再平移，那么需先將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到，再向右平移個(gè)單位長度，即得，如果是先平移再伸縮，需先將向右的單位長度，得到，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，即得.故選：BC【答案】BC8．(2022?黑龍江省鶴崗市第一中學(xué)高三(上)期末)下列四個(gè)函數(shù)，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A． B． C．D．【解析】最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減；最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減；最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增；最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增；故選：A.【答案】A9．(2022?河南省鶴壁高中高三七模)已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象只需將y=f(x)的圖象()A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位【解析】函數(shù)，，所以為了得到函數(shù)的圖象只需將y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位.故選：C【答案】C10．(2022?河北省名校聯(lián)盟高三(下)聯(lián)考)(多選)已知函數(shù)(，)，則()A．存在的值，使得是奇函數(shù)B．存在的值，使得是偶函數(shù)C．不存在的值，使得是奇函數(shù)D．不存在的值，使得是偶函數(shù)【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以不可能是奇函?shù)，則A錯(cuò)誤，C正確.當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，則B正確，D錯(cuò)誤.故選：BC【答案】BC11．(2022?河北省衡水中學(xué)高三六調(diào))要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象()A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向上平移個(gè)單位 D．向下平移個(gè)單位【解析】因?yàn)?，所以由函?shù)的圖象得到函數(shù)的圖象，根據(jù)左加右減，只需向左平移個(gè)單位.故選：A?！敬鸢浮緼12．(2022?甘肅省蘭州大學(xué)附屬中學(xué)高三第三次月考)為了得到函數(shù)的圖象，需要把函數(shù)的圖象()A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【解析】函數(shù)，根據(jù)圖像左加右減的變換原則，只需把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，即可得到函數(shù)的圖象，故選：．【答案】C13．(2022?天津市和平區(qū)三模)函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則的最小值是(

)A． B． C． D．【解析】因?yàn)椋?，而為偶函?shù)，所以，即，而，所以的最小值是．故選：B．【答案】B14．已知函數(shù)的最小值周期為，將的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的一個(gè)值是(

)A． B．C． D．【解析】由題可得，即，則函數(shù)的解析式為，將的圖象向右平移個(gè)單位長度所得的函數(shù)解析式為：，又函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)時(shí)，，則①，令，可得：，其余選項(xiàng)不適合①式.故選：B．【答案】B15．(2022?湖北省荊州中學(xué)模擬)已知函數(shù)在單調(diào)遞減，則的最大值為(

)A． B． C． D．【解析】，令，解得，，因?yàn)?，所以，則，故，解得，所以最大值為．故選：B．【答案】B16．(2022?安徽省淮南二模)對任意的，函數(shù)滿足．若函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則函數(shù)的最大值與最小值之和為(

)A．0 B．2 C．4 D．8【解析】依題意對任意的，函數(shù)滿足，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，，令()，，所以為奇函數(shù)，所以區(qū)間上的最大值與最小值之和為，所以，所以函數(shù)的最大值與最小值之和.故選：C【答案】C17．(2022?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)函數(shù)的最小正周期和最小值分別為(

)A．，1 B．， C．，1 D．，1【解析】由題設(shè)，，，所以的部分圖象如下：所以最小正周期和最小值分別為，1.故選：C【答案】C18．(2022?黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知函數(shù)的最小正周期為，將其圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)m的最小值為(

)A． B． C． D．【解析】，即，由其最小正周期為，即，解得，所以，將其圖象沿軸向左平移()個(gè)單位，所得圖象對應(yīng)函數(shù)為，其圖象關(guān)于對稱，所以，所以，由，實(shí)數(shù)的最小值為.故選：A.【答案】A19．(2022?四川省內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模)若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則(

)A． B．0 C． D．【解析】由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，兩邊平方整理得，解得，則.故選：B.【答案】B20．(2022?安徽省合肥一六八中學(xué)模擬)已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是(

)A．該圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【解析】由圖象可知，即，又，所以，又，可得，又因?yàn)樗?，所以，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，.故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)不單調(diào)遞減.故D錯(cuò)誤．故選：C【答案】C21．(2022?北京市八十中模擬)已知函數(shù)與直線的交點(diǎn)中，距離最近的兩點(diǎn)間距離為，那么此函數(shù)的周期是___________.【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性，當(dāng)，則：若，最近的另一個(gè)值為，所以，而，可得.故此函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)的周期為且.故答案為：且【答案】且22．(2022?高考北京卷)若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________；________．【解析】∵，∴，∴，，故答案為：1，【答案】①1②23．(2022?四川省南充高級(jí)中學(xué)高三第一次月考)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到一個(gè)偶函數(shù)圖象，則________．【解析】向左平移個(gè)單位長度后得到偶函數(shù)圖象，即關(guān)于軸對稱，關(guān)于對稱，，即：，，本題正確結(jié)果：【答案】24．(2022?北京市一零一中學(xué)高三(上)統(tǒng)考(二))函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為___________.【解析】，令，，得，可得單調(diào)增區(qū)間為().故答案為：()..【答案】().25．(2022?貴州省貴陽高三期末)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，則正數(shù)的最小值為__________．【解析】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位變?yōu)?，要使其為偶函?shù)，則Z，則，∵，∴當(dāng)時(shí)，為其最小值.故答案為：.【答案】##26．(2022?北京市一零一中學(xué)高三(上)統(tǒng)考(二))已知函數(shù)同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①最小正周期為π；②最大值為2；③；④.(1)給出函數(shù)的解析式，并說明理由；(2)函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.【解析】(