312橢圓性質(zhì)（精講）

3.1.2橢圓性質(zhì)（精講）考點一點與橢圓的位置關(guān)系【例1】（2022·四川省資中縣第二中學(xué)）點在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為點在橢圓的外部，所以,解得,故選：B.【一隅三反】1．（2021·江西）連續(xù)擲兩次股子，以先后得到的點數(shù)為點的坐標(biāo)，那么點在橢圓內(nèi)部的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連續(xù)擲兩次骰子，構(gòu)成的點的坐標(biāo)有個，滿足的有，共2個，∴概率為：.故選：B.2．（2021·全國·高二課時練習(xí)）點P(4cosα，2sinα)(α∈R)與橢圓C：＋＝1的位置關(guān)系是（

）A．點P在橢圓C上 B．點P與橢圓C的位置關(guān)系不能確定，與α的取值有關(guān)C．點P在橢圓C內(nèi) D．點P在橢圓C外【答案】D【解析】將P的坐標(biāo)代入到橢圓方程的左邊，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可判斷點和橢圓的位置關(guān)系.把點P(2cosα，sinα)(α∈R)代入橢圓方程的左邊為＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此點P在橢圓外．故選:D.3．（2022·云南）若點在橢圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)點與橢圓的位置關(guān)系即可求解.，所以故選：B.考點二直線與橢圓的位置關(guān)系【例21】（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)直線，橢圓．（1）直線與橢圓有一個公共點，則m滿足的條件是______．（2）直線與橢圓有兩個公共點，則m滿足的條件是______．（3）直線與橢圓沒有公共點，則m滿足的條件是______．【答案】（1）

（2）

（3）或【解析】由消去并化簡得，.（1）當(dāng)，即時，直線與橢圓有一個公共點.（2）當(dāng)，即時，直線與橢圓有兩個公共點.（3）當(dāng)，即或時，直線與橢圓沒有公共點.故答案為：；；或【例22】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線和圓沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)為（

）A．0個 B．至多有一個 C．1個 D．2個【答案】D【解析】因為直線和圓沒有交點，可得，即，所以點是以原點為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點，又因為橢圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，即點是橢圓內(nèi)的點，所以點的一條直線與橢圓的公共點的個數(shù)為.故選：D.【例23】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知是橢圓：，直線l：，點P是橢圓上一點，則使得點P到直線l的距離為的點P的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】設(shè)直線：與橢圓相切，聯(lián)立，得，整理得，則該方程有且只有一個解，由，得或，所以的方程為或，易知直線與直線l的距離為，直線與直線l的距離為，所以在直線l的右側(cè)有兩個符合條件的P點，在直線l的左側(cè)不存在符合條件的P點，故符合條件的點P有2個．故選：C．【一隅三反】1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種情況均有可能【答案】A【解析】因為，所以直線可化為，所以，直線過定點，因為點在橢圓內(nèi)部，所以，直線與橢圓的位置關(guān)系是相交.故選：A2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如果過的任意直線與橢圓恒有公共點，那么實數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】要使過的任意直線與橢圓恒有公共點，則必在橢圓內(nèi)或橢圓上，即①，又為橢圓方程，則且②，有①②可得，.故答案為：3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）曲線上點到直線距離的最小值為______．【答案】【解析】令與相切，聯(lián)立整理可得，所以，可得，當(dāng)，此時與的距離，當(dāng)，此時與的距離，所以曲線到直線距離的最小值為.故答案為：4．（2022·全國·高二專題練習(xí)）直線和曲線的位置關(guān)系為_____.【答案】相交【解析】曲線為：可得直線恒過，由知定點在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓的位置關(guān)系為相交.故答案為：相交.考點三直線與橢圓的弦長【例31】（2022·海南·瓊海市嘉積第二中學(xué)高二期中）已知橢圓的左、右焦點分別為、，過且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立橢圓方程整理可得：，設(shè)，則，，根據(jù)弦長公式有：=．故B，C，D錯誤.故選：A.【例32】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若過原點的直線與橢圓交于A、B兩點，則的最大值為______．【答案】【解析】若過原點的直線斜率不存在時，則直線為，將代入橢圓得，此時；若過原點的直線斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，方程可設(shè)為，聯(lián)立直線與橢圓方程：化簡得：，設(shè)，則，因為，所以，所以，所以，綜上所述，的最大值為，故答案為：【一隅三反】1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓：的離心率為是橢圓的焦點，點，直線的斜率為為坐標(biāo)原點．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點的直線與相交于兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)，由題意又離心率，，橢圓的方程為；（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，方程可設(shè)為，聯(lián)立直線與橢圓方程：化簡得：，由設(shè)，則坐標(biāo)原點到直線的距離為令，則當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，，故當(dāng)，即時，的面積最大，此時直線的方程為：．2．（2022·貴州遵義·高二期末（理））橢圓C：左右焦點為，，離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由題意得，解得，又因為點在橢圓C上，帶入得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：易得直線l的解析式為，設(shè)，聯(lián)立橢圓的方程得，所以．3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（理））設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，點P，Q為橢圓C上任意兩點，且，若的周長為8，面積的最大值為2．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C內(nèi)切于矩形ABCD（橢圓與矩形四條邊均相切），求矩形ABCD面積的最大值．【答案】(1)(2)12【解析】(1)解：由得P、、Q三點共線，因為三角形的周長為8，即，所以，則．當(dāng)P點為橢圓上或下頂點時的面積最大，即，由，解得，所以橢圓C的方程為．(2)解：當(dāng)矩形ABCD中有一條邊與坐標(biāo)軸平行時，則另外三條邊也與坐標(biāo)軸平行，矩形ABCD的兩條邊長分別為，，此時．當(dāng)矩形ABCD的邊都不與坐標(biāo)軸平行時，由對稱性，不妨設(shè)直線AB的方程為：，則CD的方程為：，AD的方程為：，BC的方程為：．由，得，令得，同理得，矩形ABCD的邊長分別為，，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以矩形ABCD面積的最大值是12．綜上所述，矩形ABCD面積的最大值是12．考點四中點弦【例41】（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓，則以點為中點的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)弦的兩個端點分別為，，則，①﹣②得：，即，所以．故以點為中點的弦所在的直線方程為y，整理得：.故選：C.【例42】．（2022·四川南充·高二期末（文））過橢圓：右焦點的直線：交于，兩點，為的中點，且的斜率為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，焦點，即橢圓C的半焦距，設(shè)，，則有，兩式相減得：，而，且，即有，又直線的斜率，因此有，而，解得，經(jīng)驗證符合題意，所以橢圓的方程為.故選：A【例43】．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，若為線段的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點，依題意，，相減得，因直線AB的傾斜角為，即直線AB的斜率為，又為線段的中點，則，，因此有，即，所以橢圓的離心率.故選：A【一隅三反】1．（2022·四川·棠湖中學(xué)高二階段練習(xí)（文））橢圓內(nèi)有一點，過點的弦恰好以為中點，那么這條弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，即，設(shè)弦為，，則，兩式相減并化簡得，，所以弦所在直線方程為.故選：B2．（2021·安徽·淮北師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)高二期中）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，過點的直線交于、兩點，若的中點坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)、，若軸，則、關(guān)于軸對稱，不合乎題意，將、的坐標(biāo)代入橢圓方程得，兩式相減得，可得，因為線段的中點坐標(biāo)為，所以，，，因為拋物線的焦點為，所以，又直線過點，因此，所以，，整理得，又，解得，，因此，橢圓的方程為，故選：D.3．（2022·陜西西安·高二期末（文））直線過橢圓內(nèi)一點，若點為弦的中點，設(shè)為直線的斜率，為直線的斜率，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點與，則，，所以，，又點與在橢圓上，所以，，作差可得，即，所以，故選：A.4．（2022·吉林·長春市實驗中學(xué)高二期末）已知直線與橢圓：（）相交于，兩點，且線段的中點在直線：上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將直線代入橢圓方程得，，即，設(shè)，，，，則，即中點的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，由于線段的中點在直線上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A考點五橢圓的綜合運用【例51】（2022·全國·高二課時練習(xí)）（多選）已知橢圓的方程為，斜率為的直線不經(jīng)過原點（為坐標(biāo)原點），且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AB與OM垂直B．若點M的坐標(biāo)為，則直線AB的方程為C．若直線AB的方程為，則點M的坐標(biāo)為D．若直線AB的方程為，則【答案】BD【解析】對于A，根據(jù)橢圓的中點弦的性質(zhì)知，，所以A不正確；對于B，，根據(jù)，知，所以直線AB的方程為，即，所以B正確；對于C，，由，得，所以C不正確；對于D，若直線AB的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，整理得，解得或，所以，所以D正確．故選：BD．橢圓的中點弦的性質(zhì)總結(jié)：設(shè)為橢圓弦AB（AB不平行于y軸）的中點，O為坐標(biāo)原點，則．證明：設(shè)，，則，且，，兩式相減得，，整理得，因為是弦AB的中點，所以，所以．【例52】（2021·江西·金溪一中高二階段練習(xí)（文））已知橢圓經(jīng)過點，離心率為，過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為和，求證：為定值【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）由題意橢圓經(jīng)過點，離心率為，可得，解得，故橢圓C的方程為（2）由題意可知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為，由，可得，由于直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，則，解得，設(shè),則，，故，即為定值.【一隅三反】1．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）（多選）已知為坐標(biāo)原點，橢圓的中心為原點，焦點在坐標(biāo)軸上，點，均在橢圓上，則（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓的短軸長為C．直線與橢圓相交D．若點在橢圓上，中點坐標(biāo)為，則直線的方程為【答案】BCD【解析】設(shè)橢圓的方程為：，將點，代入橢圓的方程，得，解得，所以橢圓的方程為：，所以橢圓的離心率為，故A錯誤；橢圓的短軸長為，故B正確；由于直線，過定點，點在橢圓的內(nèi)部，所以直線與橢圓相交，故C正確；設(shè)，所以，所以，即，又中點坐標(biāo)為，所以，即，所以直線的方程為，即，故D正確.故選：BCD.2．（2022·貴州·黔西南州金成實驗學(xué)校高二期末（理））已知橢圓的離心率為，、分別是橢圓的右頂點和上頂點，的面積為1．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)的橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點．求證：為定值．【答案】(1)(2)見解析【解析】（1）依題意，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)點，而，且，，當(dāng)時，直線AP：，點，，直線BP：，點，，，當(dāng)時，，，，所以所以是定值.3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點是橢圓