2023-2024學(xué)年上海大學(xué)附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年上海大學(xué)附中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線C的方程為y2=tx，(t>0)，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(3,m)為C上一點(diǎn)，且|AF|=4，則t的值為(

)A.1 B.2 C.4 D.82.某校組隊(duì)參加辯論賽，從6名學(xué)生中選出4人分別擔(dān)任一、二、三、四辯，若其中學(xué)生甲必須參加且不擔(dān)任四辯，則不同的安排方法種數(shù)為(

)A.180 B.120 C.90 D.2403.下列命題正確的有(????)個(gè)．

(1)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù).且f(x)在R上為嚴(yán)格增函數(shù).則f′(x)>0對所有的x∈R恒成立

(2)周期函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)也為周期函數(shù)

(3)定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(0)=0且f′(x)>2對所有的x∈R恒成立，則f(x)>2x對所有x>0恒成立A.3 B.2 C.1 D.04.已知圓(x+2)2+y2=9的圓心為C，過點(diǎn)M(2,0)且與x軸不重合的直線l交圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)M與點(diǎn)B之間，過點(diǎn)M作直線AC的平行線交直線BC于點(diǎn)PA.圓的一部分 B.橢圓的一部分 C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分二、填空題：本題共12小題，共54分。5.已知等差數(shù)列{an}，a1+a6.已知直線l的方程為2x+y+1=0，則直線l的傾斜角為______．7.函數(shù)f(x)=xex的極值點(diǎn)為______．8.若排列數(shù)P6m=6×5×4，則m=9.已知空間向量a=(x,1,?2)與b=(1,?1,2)夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為______．10.若無論實(shí)數(shù)a取何值，直線ax?y+1=0與圓x2+y2=11.已知全集U={1,2}，集合A，B為U的子集，則有序集合(A,B)一共有______組.12.關(guān)于x的方程lnx=kx2(k∈R)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則k13.若函數(shù)f(x)=cosxsinx+acosx在[0,π]上為嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．14.給定數(shù)列{an},an=?n15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，橢圓C的弦ST與UV分別平行于x軸與y軸，且相交于點(diǎn)P.已知線段PU，PS，PV，PT的面積為______．16.已知空間向量a,b,c,e均為單位向量，且a與b夾角為π2,a三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=ex?2x．

(1)求函數(shù)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程；

(2)求18.(本小題14分)

已知數(shù)列{an}，它的通項(xiàng)公式為an=3?2n+a2n．

(1)若a=0，求數(shù)列19.(本小題14分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．

(1)求異面直線BD與PC所成角的大??；

(2)求二面角A?PC?D的余弦值．20.(本小題18分)

已知橢圓Γ：x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2的直線l與橢圓Γ相交于P、Q．

(1)求△F1PQ的周長；

(2)設(shè)點(diǎn)A為橢圓Γ的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)M在線段AF2上，若F1M=23F1P，求點(diǎn)21.(本小題18分)

已知函數(shù)f(x)=x3?3ax．

(1)若a=2，求函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間；

(2)若方程x3?3ax=13x4?8x2在實(shí)數(shù)集上有四個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若a=1，數(shù)列{an參考答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.4

6.π?arctan2

7.x=?1

8.3

9.(?∞,?1)∪(?1,5)

10.[1,+∞)

11.16

12.(0,113.(?∞,?1]

14.4

15.1516.17+617.解：(1)f(x)=ex?2x，故可得f′(x)=ex?2，

所以f(0)=1，f′(0)=?1，

故f(x)在(0,1)點(diǎn)處的切線方程為y?1=?(x?0)，即x+y?1=0；

(2)f(x)=ex?2x，

則f′(x)=ex?2，

令f′(x)=0，解得x=ln2，

故當(dāng)x∈(?∞,ln2)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(ln2,+∞)，f′(x)>0，f(x)18.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，an=3×2n，

則1an=13×12n，

所以數(shù)列{1an}的各項(xiàng)和為13×12(1?12n)1?12=1?1219.解：(1)∵在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠BAD=90°，

AD//BC，AB=2，AD=1，PA=BC=4，PA⊥平面ABCD．

∴以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

B(2,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,4)，C(2,4,0)，

BD=(?2,1,0)，PC=(2,4,?4)，

∵BD?PC=?4+4+0=0，∴BD⊥PC，

∴異面直線BD與PC所成角的大小為π2．

(2)AP=(0,0,4)，AC=(2,4,0)，

DP=(0,?1,4)，DC=(2,3,0)，

設(shè)平面APC的法向量n=(x1,y1,z1)，

則n?AP=4z1=0n?AC=2x1+4y1=0,

取20.解：(1)由題意可得a=2，

則△F1PQ的周長=|PF1|+|QF1|+|PQ|=|PF1|+|QF1|+|PF2|+|QF2|=4a=4×2=8，

(2)設(shè)P(x0,y0)，0<x0<2，

∴x024+y023=1，

∵A(0,3)，F(xiàn)2(1,0)，

∴直線AF的方程為y=?3x+3，

設(shè)M的坐標(biāo)為(xM,yM)，

∴yM=?3xM+3，

∵F1M=23F1P，

∴(xM+1,yM)=23(x0+1,y0)，

∴x21.解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=x3?6x，函數(shù)的定義域?yàn)镽，

可得f′(x)=3x2?6=3(x2?2)，

令f′(x)<0，

解得?2<x<2，

則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(?2,2)；

(2)易知x=0是方程x3?3ax=13x4?8x2的一個(gè)解，

此時(shí)方程x2?3a=13x3?8x有三個(gè)解，

不妨設(shè)g(x)=13x3?x2?8x,y=?3a，函數(shù)定義域?yàn)镽，

可得g′(x)=x2?2x?8=(x+2)(x?4)，

當(dāng)x<?2時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)?2<x<4時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>4時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，

又g(?2)=13×(?2)3?(?2)2?8×(?2)=283，g(4)=13×43?42?8×4=?803，

當(dāng)x→?∞時(shí)，g(x)→?∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，g(x)→+∞，

此時(shí)函數(shù)g(x)=13x3?x2?8x與y=?3a有3個(gè)