量子力學(xué)教案

§5.1非簡并定態(tài)微擾理論

如何分？假設(shè)本征值及本征函數(shù)較容易解出或已有現(xiàn)成解，是小量能看成微擾，在已知解的基礎(chǔ)上，把微擾的影響逐級(jí)考慮進(jìn)去。

代入方程

同次冪相等

（

（1）

(2)

(3)

①求能量的一級(jí)修正

(2)式左乘并對(duì)整個(gè)空間積分

能量的一級(jí)修正等于在態(tài)中的平均值。②求對(duì)波函數(shù)一級(jí)修正將

仍是方程(2)的解，選取a使展開式不含

將上時(shí)代入式(2)以

左乘上式，對(duì)整個(gè)空間積分令上式化簡為：③求能量二級(jí)修正把

代入(3)式，左乘方程（3）式，對(duì)整個(gè)空間積分左邊為零

討論：（1）微擾論成立的條件：(a)

可分成，是問題主要部分，精確解已知或易求(b)<<1（2）可以證明例：一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場作用，電場沿x正方向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)?！窘狻?/p>

是的偶函數(shù)利用遞推公式

波函數(shù)的一級(jí)修正

利用能級(jí)移動(dòng)可以直接準(zhǔn)確求出

令：

§5.2簡并情況下的微擾理論假設(shè)是簡并的

k度簡并已正交歸一化

代入上式

以左乘上式兩邊，對(duì)整個(gè)空間積分

左邊

右邊

不全為零解的條件是

由久期方程可得到能量一級(jí)修正的k個(gè)根

由于具有某種對(duì)稱性，因此不考慮時(shí)，能級(jí)是k度簡并的,考慮后,哈密頓量的對(duì)稱性破壞，使能級(jí)的簡并度降低或完全消除。要確定，需求出，將代入上式，可求出?！?.3氫原子的一級(jí)斯塔克效應(yīng)斯塔克（stark）效應(yīng)：氫原子在外電場作用下所產(chǎn)生的譜線分裂現(xiàn)象。

(是均勻的，沿z軸)下面研究n=2時(shí)的能級(jí)分裂現(xiàn)象：n=2,有4個(gè)簡并度

求只有兩個(gè)態(tài)角量子數(shù)差,時(shí),矩陣元才不為零

和不為零

為實(shí)的厄密算符

帶入久期方程

沒有外電場時(shí)，原來簡并的能及在一級(jí)修正中分裂為三個(gè)，兼并部分消除

①當(dāng)時(shí)

②

當(dāng)時(shí)

③

當(dāng)時(shí)，

和為不同時(shí)為零的常數(shù)。

§5.4變分法應(yīng)用微擾論應(yīng)很小，否則微擾論不能應(yīng)用，本節(jié)所介紹的變分法不受上述條件限制。

對(duì)任意一個(gè)歸一波函數(shù)能量平均值

即

用任意波函數(shù)算出的平均值總是大于體系基態(tài)能量，而只有當(dāng)恰好是體系的基態(tài)波函數(shù)時(shí)，的平均值才等于。變分法求基態(tài)能量的步驟：（1）.選取含有參量的嘗試波函數(shù)。根據(jù)具體問題的特點(diǎn)，選數(shù)學(xué)形式上較簡單，物理上也較合理的試探波函數(shù)。（2）.算出平均能量，然后由，求出的最小值，所得結(jié)果就是近似值。例：設(shè)氫原子的基態(tài)試探解取為，N為歸一化常數(shù)，為變分參數(shù)，求基態(tài)能量并與精確解比較?！窘狻?/p>

由歸一化條件

由

得：

嚴(yán)格解為§5.5氦原子基態(tài)氦原子：原子核帶正電2e，核外兩個(gè)電子核固定

將z看作參量

實(shí)驗(yàn)

微擾論

變分法

§5.6與時(shí)間有關(guān)的微擾論一般形式的薛定諤方程

與時(shí)間有關(guān)如有分離的能量本征值

通過分離變量

對(duì)任意一態(tài)

設(shè)在t=0時(shí)刻，體系處于能量的某個(gè)本征態(tài)即

即

如果t>0時(shí)，（不含時(shí)間）則體系一直保持

如t>0時(shí)，哈密頓量加上一微擾，（通常是含時(shí)間的）狀態(tài)將發(fā)生變化，這時(shí)

將不再是能量本征態(tài)。

能量本征態(tài)為出現(xiàn)的幾率，也就是原來狀態(tài)躍遷到的躍遷幾率?？紤]后，如何求？

將

代入方程

利用

上式簡化為

以左乘上式，對(duì)整個(gè)空間積分

上式是薛定諤方程在能量表象中的形式

零階:

一階:

考慮到一級(jí)修正

幾率：

討論：（1）利用的厄密性,

在一級(jí)近似下,

（2）對(duì)簡并情況下，不能由此得出從能級(jí)的躍遷幾率等于從能級(jí)的幾率。計(jì)算的躍遷幾率。如有簡并

如初態(tài)有簡并

即對(duì)末態(tài)求和，初態(tài)求平均?！?.7躍遷幾率一．常微擾t=0,

狀態(tài)為，，

與時(shí)間無關(guān)。

利用

性質(zhì):

x=0

令：

再利用

躍遷速率

討論：（1）對(duì)常微擾，當(dāng)作用時(shí)間相當(dāng)長情況下，躍遷幾率與時(shí)間無關(guān)。

（2）只在末態(tài)能量的范圍中才有顯著躍遷幾率，可看出只有當(dāng)連續(xù)變化時(shí)才有意義。用表示體系末態(tài)的態(tài)密度，則表示范圍的末態(tài)數(shù)目。

因此從初態(tài)到末態(tài)躍遷幾率是各種可能躍遷幾率之和

（黃金規(guī)則）

末態(tài)是自由粒子動(dòng)量的本征函數(shù)時(shí)的態(tài)密度：箱歸一化

每一組的值確定一個(gè)態(tài)

動(dòng)量在

范圍內(nèi)態(tài)的數(shù)目

不變，不變

為能量為（或動(dòng)量為）單位立體角的態(tài)密度。二．周期性微擾

在光的照射下，原子可能吸收光子而從低能級(jí)躍遷到較高能級(jí)或從較高能級(jí)躍遷到較低能級(jí)而放出光子。這種現(xiàn)象分別稱為光的吸收與受激輻射。

光為電磁場，場強(qiáng)是周期變化的，原子在光的照射下，實(shí)際上是受到一周期性微擾。體系在t=0時(shí),受

與時(shí)間無關(guān)本征函數(shù):

討論：當(dāng),

即第二項(xiàng)正比于時(shí)間t，第一項(xiàng)不隨時(shí)間增加，因此第二項(xiàng)起主要作用。同樣時(shí)，第一項(xiàng)，第一項(xiàng)起主要作用。

時(shí)，躍遷幾率很小，因此只有或時(shí)，才能出現(xiàn)明顯躍遷。也就是說，只有當(dāng)外界微擾含有頻率時(shí)，體系才能從態(tài)躍遷到態(tài)，體系吸收或發(fā)射的能量是，這是共振現(xiàn)象。

時(shí)，利用

令

討論：函數(shù)是能量守恒條件的體現(xiàn)。當(dāng)，只有時(shí)，躍遷幾率才不為零，即體系由態(tài)躍遷到態(tài)，發(fā)射出能量的光子。當(dāng)時(shí)

躍遷幾率不為零，體系吸收能量，由態(tài)躍遷到態(tài)。能量時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系

確定，不確定

t測(cè)量時(shí)間間隔一般情況:

。

§5.8光的發(fā)射與吸收光的吸收

自發(fā)躍遷

不受外界影響，

受激輻射

在外界作用下當(dāng)無外界作用時(shí)，原子中的電子處于定態(tài)按量子力學(xué)的觀點(diǎn)它應(yīng)永遠(yuǎn)處在這個(gè)定態(tài)，不可能自發(fā)躍遷至較低能級(jí)并輻射出光子。而要想達(dá)到輻射平衡必須有自發(fā)躍遷，只因?yàn)槲覀儼压庾涌闯闪私?jīng)典的電磁場，只有用量子電動(dòng)力學(xué)才能徹底解釋這一現(xiàn)象。一．自發(fā)輻射和愛因斯坦理論

愛因斯坦建立了一套理論，他先假設(shè)同時(shí)存在自發(fā)輻射和受激輻射，當(dāng)體系和輻射場達(dá)到熱平衡后，用平衡條件來建立自發(fā)輻射與受激輻射之間的關(guān)系，利用量子力學(xué)含時(shí)微擾論求出受激輻射系數(shù)，再利用平衡條件給出原子體系的自發(fā)輻射系數(shù)。三個(gè)系數(shù)：,

的自發(fā)發(fā)射系數(shù)，單位時(shí)間內(nèi)由的幾率。,

受激發(fā)射系數(shù)，為單位時(shí)間由的躍遷幾率，為外加電磁場的能量密度。

吸收系數(shù)，為單位時(shí)間原子由的躍遷幾率。單位時(shí)間的幾率，

單位時(shí)間的幾率，

對(duì)多個(gè)原子的體系，

當(dāng)這些原子與電磁輻射在絕對(duì)溫度T下處于平衡時(shí),

由麥克斯韋－玻爾茲曼分布律,

K:

玻爾茲曼常數(shù)

由熱平衡時(shí)，黑體輻射時(shí)的普朗克公式

其中

比較上式兩邊：

由麥克斯韋－玻爾茲曼分布律可知

而,

如果沒有自發(fā)輻射，不可能達(dá)到熱平衡。二．用微擾論計(jì)算發(fā)射和吸收系數(shù)這里我們把光波看成經(jīng)典理論中的電磁波

因此只考慮電場對(duì)電子的作用，1.沿軸傳播的平面單色偏振光

(米，米)單位時(shí)間內(nèi)原子由態(tài)躍遷到態(tài)的幾率

光波的能量密度

2實(shí)際光源

連續(xù)分布，各向同性

，對(duì)光的頻率分布范圍積分

原子在單位時(shí)間內(nèi)由

的幾率

再考慮各向同性，對(duì)所有偏振方向求平均

§5.9選擇定則禁戒躍遷

（1）

利用

不為零的條件：，(2)

不同時(shí)為零的條件:,最后的出不為零的條件

(選擇定則)

第五章

小結(jié)內(nèi)容總結(jié)】微擾論1．微擾論的基本思想:

將復(fù)雜的體系的哈密頓量分成與兩部分。是可求出精確解的，而可看成的微擾。只需將精確