量子力學教案

§5.1非簡并定態(tài)微擾理論

如何分？假設本征值及本征函數(shù)較容易解出或已有現(xiàn)成解，是小量能看成微擾，在已知解的基礎上，把微擾的影響逐級考慮進去。

代入方程

同次冪相等

（

（1）

(2)

(3)

①求能量的一級修正

(2)式左乘并對整個空間積分

能量的一級修正等于在態(tài)中的平均值。②求對波函數(shù)一級修正將

仍是方程(2)的解，選取a使展開式不含

將上時代入式(2)以

左乘上式，對整個空間積分令上式化簡為：③求能量二級修正把

代入(3)式，左乘方程（3）式，對整個空間積分左邊為零

討論：（1）微擾論成立的條件：(a)

可分成，是問題主要部分，精確解已知或易求(b)<<1（2）可以證明例：一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場作用，電場沿x正方向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)?！窘狻?/p>

是的偶函數(shù)利用遞推公式

波函數(shù)的一級修正

利用能級移動可以直接準確求出

令：

§5.2簡并情況下的微擾理論假設是簡并的

k度簡并已正交歸一化

代入上式

以左乘上式兩邊，對整個空間積分

左邊

右邊

不全為零解的條件是

由久期方程可得到能量一級修正的k個根

由于具有某種對稱性，因此不考慮時，能級是k度簡并的,考慮后,哈密頓量的對稱性破壞，使能級的簡并度降低或完全消除。要確定，需求出，將代入上式，可求出?！?.3氫原子的一級斯塔克效應斯塔克（stark）效應：氫原子在外電場作用下所產(chǎn)生的譜線分裂現(xiàn)象。

(是均勻的，沿z軸)下面研究n=2時的能級分裂現(xiàn)象：n=2,有4個簡并度

求只有兩個態(tài)角量子數(shù)差,時,矩陣元才不為零

和不為零

為實的厄密算符

帶入久期方程

沒有外電場時，原來簡并的能及在一級修正中分裂為三個，兼并部分消除

①當時

②

當時

③

當時，

和為不同時為零的常數(shù)。

§5.4變分法應用微擾論應很小，否則微擾論不能應用，本節(jié)所介紹的變分法不受上述條件限制。

對任意一個歸一波函數(shù)能量平均值

即

用任意波函數(shù)算出的平均值總是大于體系基態(tài)能量，而只有當恰好是體系的基態(tài)波函數(shù)時，的平均值才等于。變分法求基態(tài)能量的步驟：（1）.選取含有參量的嘗試波函數(shù)。根據(jù)具體問題的特點，選數(shù)學形式上較簡單，物理上也較合理的試探波函數(shù)。（2）.算出平均能量，然后由，求出的最小值，所得結(jié)果就是近似值。例：設氫原子的基態(tài)試探解取為，N為歸一化常數(shù)，為變分參數(shù)，求基態(tài)能量并與精確解比較。【解】

由歸一化條件

由

得：

嚴格解為§5.5氦原子基態(tài)氦原子：原子核帶正電2e，核外兩個電子核固定

將z看作參量

實驗

微擾論

變分法

§5.6與時間有關(guān)的微擾論一般形式的薛定諤方程

與時間有關(guān)如有分離的能量本征值

通過分離變量

對任意一態(tài)

設在t=0時刻，體系處于能量的某個本征態(tài)即

即

如果t>0時，（不含時間）則體系一直保持

如t>0時，哈密頓量加上一微擾，（通常是含時間的）狀態(tài)將發(fā)生變化，這時

將不再是能量本征態(tài)。

能量本征態(tài)為出現(xiàn)的幾率，也就是原來狀態(tài)躍遷到的躍遷幾率?？紤]后，如何求？

將

代入方程

利用

上式簡化為

以左乘上式，對整個空間積分

上式是薛定諤方程在能量表象中的形式

零階:

一階:

考慮到一級修正

幾率：

討論：（1）利用的厄密性,

在一級近似下,

（2）對簡并情況下，不能由此得出從能級的躍遷幾率等于從能級的幾率。計算的躍遷幾率。如有簡并

如初態(tài)有簡并

即對末態(tài)求和，初態(tài)求平均?！?.7躍遷幾率一．常微擾t=0,

狀態(tài)為，，

與時間無關(guān)。

利用

性質(zhì):

x=0

令：

再利用

躍遷速率

討論：（1）對常微擾，當作用時間相當長情況下，躍遷幾率與時間無關(guān)。

（2）只在末態(tài)能量的范圍中才有顯著躍遷幾率，可看出只有當連續(xù)變化時才有意義。用表示體系末態(tài)的態(tài)密度，則表示范圍的末態(tài)數(shù)目。

因此從初態(tài)到末態(tài)躍遷幾率是各種可能躍遷幾率之和

（黃金規(guī)則）

末態(tài)是自由粒子動量的本征函數(shù)時的態(tài)密度：箱歸一化

每一組的值確定一個態(tài)

動量在

范圍內(nèi)態(tài)的數(shù)目

不變，不變

為能量為（或動量為）單位立體角的態(tài)密度。二．周期性微擾

在光的照射下，原子可能吸收光子而從低能級躍遷到較高能級或從較高能級躍遷到較低能級而放出光子。這種現(xiàn)象分別稱為光的吸收與受激輻射。

光為電磁場，場強是周期變化的，原子在光的照射下，實際上是受到一周期性微擾。體系在t=0時,受

與時間無關(guān)本征函數(shù):

討論：當,

即第二項正比于時間t，第一項不隨時間增加，因此第二項起主要作用。同樣時，第一項，第一項起主要作用。

時，躍遷幾率很小，因此只有或時，才能出現(xiàn)明顯躍遷。也就是說，只有當外界微擾含有頻率時，體系才能從態(tài)躍遷到態(tài)，體系吸收或發(fā)射的能量是，這是共振現(xiàn)象。

時，利用

令

討論：函數(shù)是能量守恒條件的體現(xiàn)。當，只有時，躍遷幾率才不為零，即體系由態(tài)躍遷到態(tài)，發(fā)射出能量的光子。當時

躍遷幾率不為零，體系吸收能量，由態(tài)躍遷到態(tài)。能量時間測不準關(guān)系

確定，不確定

t測量時間間隔一般情況:

。

§5.8光的發(fā)射與吸收光的吸收

自發(fā)躍遷

不受外界影響，

受激輻射

在外界作用下當無外界作用時，原子中的電子處于定態(tài)按量子力學的觀點它應永遠處在這個定態(tài)，不可能自發(fā)躍遷至較低能級并輻射出光子。而要想達到輻射平衡必須有自發(fā)躍遷，只因為我們把光子看成了經(jīng)典的電磁場，只有用量子電動力學才能徹底解釋這一現(xiàn)象。一．自發(fā)輻射和愛因斯坦理論

愛因斯坦建立了一套理論，他先假設同時存在自發(fā)輻射和受激輻射，當體系和輻射場達到熱平衡后，用平衡條件來建立自發(fā)輻射與受激輻射之間的關(guān)系，利用量子力學含時微擾論求出受激輻射系數(shù)，再利用平衡條件給出原子體系的自發(fā)輻射系數(shù)。三個系數(shù)：,

的自發(fā)發(fā)射系數(shù)，單位時間內(nèi)由的幾率。,

受激發(fā)射系數(shù)，為單位時間由的躍遷幾率，為外加電磁場的能量密度。

吸收系數(shù)，為單位時間原子由的躍遷幾率。單位時間的幾率，

單位時間的幾率，

對多個原子的體系，

當這些原子與電磁輻射在絕對溫度T下處于平衡時,

由麥克斯韋－玻爾茲曼分布律,

K:

玻爾茲曼常數(shù)

由熱平衡時，黑體輻射時的普朗克公式

其中

比較上式兩邊：

由麥克斯韋－玻爾茲曼分布律可知

而,

如果沒有自發(fā)輻射，不可能達到熱平衡。二．用微擾論計算發(fā)射和吸收系數(shù)這里我們把光波看成經(jīng)典理論中的電磁波

因此只考慮電場對電子的作用，1.沿軸傳播的平面單色偏振光

(米，米)單位時間內(nèi)原子由態(tài)躍遷到態(tài)的幾率

光波的能量密度

2實際光源

連續(xù)分布，各向同性

，對光的頻率分布范圍積分

原子在單位時間內(nèi)由

的幾率

再考慮各向同性，對所有偏振方向求平均

§5.9選擇定則禁戒躍遷

（1）

利用

不為零的條件：，(2)

不同時為零的條件:,最后的出不為零的條件

(選擇定則)

第五章

小結(jié)內(nèi)容總結(jié)】微擾論1．微擾論的基本思想:

將復雜的體系的哈密頓量分成與兩部分。是可求出精確解的，而可看成的微擾。只需將精確