五年級奧數(shù)完整版本.數(shù)論.因數(shù)個數(shù)(A級).教師版

MSDC模塊化分級講義體系 五年級奧數(shù).數(shù)論.因數(shù)個數(shù)（A級）.教師版 Page因數(shù)個數(shù)因數(shù)個數(shù)課前預習課前預習富翁打賭有兩個富翁，一個頭腦精明，一個吝嗇刁鉆。貪財好利是他們的共同特點。一天，兩個富翁遇到了一起，雙方爭強好勝，話不投機，竟然打起賭來。精明的富翁說：“我可以每天給你1萬元，只收回你1分錢。”吝嗇的富翁以為對方吹牛皮，便說：“你若真的每天給我1萬元，別說我給你1分錢，就是再給你1千我也干！”“不！”精明的富翁說，“條件只是第一天，你給我1分?！薄半y道你第二天還要給我1萬？”“是的”，精明的富翁說：“只是你第二天收了我的1萬，要給我2分。第3天……”沒等精明的富翁說完，吝嗇的富翁急切地問：“第三天你再給我1萬，我給你“4分！就是說，我每天得到的錢都是前一天的兩倍?！绷邌莸母晃绦南耄哼@家伙可能神經(jīng)出了毛病，便問：“每天送我1萬，這樣下去，你的錢夠送多少天呢？”“我是人人都知道的百萬富翁?！本鞯母晃陶f：“我不打算都送給你，只拿出30萬，先送你一個月足夠了。但是你給我的錢也1分不能少！”吝嗇的富翁怕精明的富翁反悔，提出要簽協(xié)議。吝嗇的富翁說：“你敢簽訂協(xié)議嗎？”于是他們找來了幾個公證人，簽了協(xié)議。吝嗇的富翁回到家，高興得一夜沒合眼。天剛亮，對方提著1萬元送上門來，按約定他給了對方1分錢。第二天，對方仍然如約送來了1萬元。他簡直像做夢一般，這樣下去一個月，便可以有30萬元的收入了！想著，想著，數(shù)錢的手都顫抖了！于是自己也如約給了對方2分錢。對方高高興興地拿走了2分錢，還叮囑：“別忘了，明天給我4分錢！”可是，20多天以后，吝嗇的富翁突然要求終止打賭。對方以及一些證人當然不會同意，30天的時間已經(jīng)過去大半了，任何一方都無權(quán)不執(zhí)行協(xié)議。到最后，吝嗇的富翁竟把全部家當都輸光了。聰明的小朋友，你們說這是為什么？原來呀，吝嗇的富翁在1個月內(nèi)共得到300000元。他需要付給對方的錢，總數(shù)是：1＋2＋4＋8＋16＋32……＋536870912＝1073741823（分）＝10737418.23（元）。即：一千零七十三萬七千四百一十八元二角三分。這是一個何等大的數(shù)目呀，吝嗇的富翁當然會把全部家當都輸光了。知識框架知識框架約數(shù)的概念與最大公約數(shù)0被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外1．求最大公約數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來．例如：，，所以；②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘．例如：，所以；③輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)．用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止．那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)．(如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì)的)．例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；；；；；所以1515和600的最大公約數(shù)是15．2．最大公約數(shù)的性質(zhì)①幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；②幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；③幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以．3．求一組分數(shù)的最大公約數(shù)先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，其他分數(shù)不變；求出各個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個分數(shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求．二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)1.求最小公倍數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：，，所以；②短除法求最小公倍數(shù)；例如：，所以；③．2.最小公倍數(shù)的性質(zhì)①兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)．②兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積．③兩個數(shù)具有倍數(shù)關系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)．3.求一組分數(shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；求出各個分數(shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個分數(shù)分母的最大公約數(shù)；即為所求．例如：注意：兩個最簡分數(shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如：三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1．兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。如果為、的最大公約數(shù)，且，，那么互質(zhì)，所以、的最小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關系：①，即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；②最大公約數(shù)是、、、及最小公倍數(shù)的約數(shù)．2．兩個數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。即，此性質(zhì)比較簡單，學生比較容易掌握。3．對于任意3個連續(xù)的自然數(shù)，如果三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為a)奇偶奇，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)例如：，210就是567的最小公倍數(shù)b)偶奇偶，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍數(shù)為性質(zhì)（3）不是一個常見考點，但是也比較有助于學生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關系，即“幾個數(shù)最小公倍數(shù)一定不會比他們的乘積大”。四、求約數(shù)個數(shù)與所有約數(shù)的和1．求任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù)一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。如:1400嚴格分解質(zhì)因數(shù)之后為，所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個。(包括1和1400本身)約數(shù)個數(shù)的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應重點講解，公式的推導過程是建立在開篇講過的數(shù)字“唯一分解定理”形式基礎之上，結(jié)合乘法原理推導出來的，不是很復雜，建議給學生推導并要求其掌握。難點在于公式的逆推，有相當一部分?？嫉钠y題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴一個數(shù)有多少個約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個條件將原數(shù)“還原構(gòu)造”出來，或者是“構(gòu)造出可能的最值”。2．求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：，所以21000所有約數(shù)的和為此公式?jīng)]有第一個公式常用，推導過程相對復雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學生找規(guī)律性的記憶即可。重難點重難點重點：本講中的知識點并不難理解，對于約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、最小公倍數(shù)的定義我們在學校的課本上都已經(jīng)學習過，所以重點在于一些性質(zhì)的應用，完全平方數(shù)在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，所以對于平方差公式還有一些主要性質(zhì)一定要記住.難點：核心目標是讓孩子對數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個深入的認識，即所謂的整數(shù)唯一分解定理，教師可以在課前讓學生練習幾個兩位或三位整數(shù)的分解，然后幫學生做一個找規(guī)律式的不完全歸納，讓學生自己初步領悟“原來任何一個數(shù)字都可以表示為的結(jié)構(gòu)”例題精講例題精講【例1】數(shù)360的約數(shù)有多少個?這些約數(shù)的和是多少?【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】360分解質(zhì)因數(shù):360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的約數(shù)可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整數(shù),且a為0～3,6為0～2,c為0～1)．因為a、b、c的取值是相互獨立的,由計數(shù)問題的乘法原理知,約數(shù)的個數(shù)為(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我們先只改動關于質(zhì)因數(shù)3的約數(shù),可以是l,3,32,它們的和為(1+3+32),所以所有360約數(shù)的和為(1+3+32)×2y×5w；我們再來確定關于質(zhì)因數(shù)2的約數(shù),可以是l,2,22,23,它們的和為(1+2+22+23)，所以所有360約數(shù)的和為(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后確定關于質(zhì)因數(shù)5的約數(shù),可以是1,5,它們的和為(1+5),所以所有360的約數(shù)的和為(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我們計算出值:13×15×6=1170．所以,360所有約數(shù)的和為1170．【答案】（1）1170【鞏固】數(shù)的約數(shù)個數(shù)是多少？它們的和是多少？它們的積呢?【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答【解析】對任意一個自然數(shù)，我們首先可以將它作因式分解，化成質(zhì)數(shù)及其次數(shù)的乘積，以為例，我們有.要算它的約數(shù)的個數(shù)，我們可以這樣來理解：約數(shù)的因數(shù)只可能是,.并且它們的次數(shù)不會超過原數(shù)的次數(shù)，從而約數(shù)的因數(shù)的的次數(shù)可以為，,,,,；而的次數(shù)也只可能是或.把它展開你就可以發(fā)現(xiàn)它就是我們要求的：情況：不包含的約數(shù)：,,,,,,情況：包含的約數(shù):，，，，，.從而我們可以任意地從中選若干個，的次數(shù)，即：()().(個)所以它的約數(shù)的和：()()至于要算它們的約數(shù)的積，我們可以將它的約數(shù)配對：一個約數(shù)和它被原數(shù)除的數(shù)組成一對(如和是的一對).這樣，對于非平方數(shù)而言，我們得到整數(shù)對，并且它們的積就是原數(shù)本身；而對于平方數(shù)而言，僅僅是多了一個數(shù)(它的開方)，從而通過對它的約數(shù)的個數(shù)，可以求出它們的積.對本題而言，我們有(;)，(;)，(;)，(;)，(;)，(;)共對.從而它們的積為.【答案】（1）12（2）()()（3）.【例2】求在到中，恰好有個約數(shù)的所有自然數(shù).【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】逆用約數(shù)個數(shù)定理：或，所以自然數(shù)只有兩種分解可能，一種是一種是,但第一種情況以內(nèi)這樣的數(shù)不存在，第二種情況只有等于的可能，所以或因此滿足條件的自然數(shù)只有和.【鞏固】在到中，恰好有個約數(shù)的數(shù)有多少個？【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】只能表示為()或()()，所以恰好有個約數(shù)的數(shù)要么能表示成某個質(zhì)數(shù)的次方，要么表示為某個質(zhì)數(shù)的平方再乘以另一個質(zhì)數(shù)，以內(nèi)符合前者的只有，符合后者的數(shù)枚舉如下：所以符合條件的自然數(shù)一共有種．【答案】（1）16【例3】甲、乙兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是7，并且甲數(shù)除以乙數(shù)所得的商是.乙數(shù)是_____.【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】由(甲，乙)，且甲：乙，由于8與9互質(zhì)，所以乙數(shù).【答案】（1）56【鞏固】甲數(shù)是36，甲、乙兩數(shù)最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是288，那么乙數(shù)是多少？（★★）【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】法1：根據(jù)兩個自然數(shù)的積兩數(shù)的最大公約數(shù)兩數(shù)的最小公倍數(shù)，有：甲數(shù)乙數(shù)，所以，乙數(shù)；法2：因為甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)為4，則甲數(shù)，設乙數(shù)，則．因為甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288，則，得．所以，乙數(shù)．【答案】（1）32【例4】如圖，鼴鼠和老鼠分別從長157米的小路兩端A、B開始向另一端挖洞。老鼠對鼴鼠說：“你挖完后，我再挖?！边@樣一來，由于老鼠原來要挖的一些洞恰好也是鼴鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少個洞？【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】因為157除以5的余數(shù)是2，可得下圖，由圖中很明顯可知，鼴鼠和老鼠重合的第一個洞在距離A點12米處．因為[3，5]，，所以，老鼠和鼴鼠要挖的洞里重合的有(個)．【答案】（1）10【鞏固】有一些小朋友排成一行，從左面第一人開始每隔2人發(fā)一個蘋果；從右面第一人開始每隔4人發(fā)一個桔子，結(jié)果有10個小朋友蘋果和桔子都拿到.那么這些小朋友最多有多少人？（★★）【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答【解析】蘋果每3人發(fā)1個，桔子每5人發(fā)1個.因為，所以蘋果和桔子都拿到的10個小朋友之間共有(人).在他們的左邊最多有4個小朋友拿到蘋果，所以左邊最多還有(人)；右邊最多有2個小朋友拿到桔子，所以右邊最多還有(人).所以最多有：(人).【答案】（1）158【例5】已知正整數(shù)a、b之差為120，它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍，那么a、b中較大的數(shù)是多少？【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】設，有，又設，，，，且，則，有，所以．因為，所以是120的約數(shù)．①若，，則，不符合；②若，，則，不符合；③若，，則，不符合；④若，，則，符合條件．由，得，從而a、b中較大的數(shù)．【答案】（1）225【鞏固】已知兩個自然數(shù)的和為54，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為114，求這兩個自然數(shù)．設這【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】兩個自然數(shù)分別是、，其中為它們的最大公約數(shù)，與互質(zhì)(不妨設)，根據(jù)題意有：所以可以得到是54和114的公約數(shù)，所以是的約數(shù)．，2，3或6．如果，由，有；又由，有．，但是，，所以.如果，由，有；又由，有．，但是，，所以．如果，由，有；又由，有．，但是，，所以．如果，由，有；又由，有．20表示成兩個互質(zhì)的數(shù)的乘積有兩種形式：，雖然，但是有，所以取是合適的，此時，，這兩個數(shù)分別為24和30．【例6】（2008第四屆“IMC國際數(shù)學邀請賽”（新加坡）六年級復賽）如圖，A、B、C是三個順次咬和的齒輪，當A轉(zhuǎn)4圈時，B恰好轉(zhuǎn)3圈：當B轉(zhuǎn)4圈時，C恰好轉(zhuǎn)5圈，則A、B、C的齒數(shù)的最小數(shù)分別是多少？【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】當A轉(zhuǎn)4圈時，B恰好轉(zhuǎn)3圈，則A、B齒數(shù)的比值為，同理，B、C的齒數(shù)比值為。所以A、B、C齒數(shù)比值為，所以此時A齒數(shù)至少為15，B的齒數(shù)至少是20，C齒數(shù)至少是16?！敬鸢浮浚?）所以此時A齒數(shù)至少為15，B的齒數(shù)至少是20，C齒數(shù)至少是16?！眷柟獭恳粋€兩位數(shù)有6個約數(shù)，且這個數(shù)最小的3個約數(shù)之和為10，那么此數(shù)為幾？【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】最小的三個約數(shù)中必然包括約數(shù)1，除去1以外另外兩個約數(shù)之和為9，由于9是奇數(shù)，所以這兩個約數(shù)的奇偶性一定是相反的，其中一定有一個是偶數(shù)，如果一個數(shù)包含偶約數(shù)，那么它一定是2的倍數(shù)，即2是它的約數(shù)。于是2是這個數(shù)第二小的約數(shù)，而第三小的約數(shù)是7，所以這個兩位數(shù)是14的倍數(shù)，由于這個兩位數(shù)的約數(shù)中不含3、4、5、6，所以這個數(shù)只能是14或98，其中有6個約數(shù)的是98．【答案】（1）98【例7】恰有8個約數(shù)的兩位數(shù)有________個．【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式，先將8進行分解：，所以恰有8個約數(shù)的數(shù)至多有3個不同的質(zhì)因數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)后的形式可能為，，．其中由于，所以形式的沒有符合條件的兩位數(shù)；形式中，B不能超過3，即可能為2或3，有、、、、，共5個；形式的有、、、、，共5個．所以共有個符合條件的數(shù)．【答案】（1）10【鞏固】能被2145整除且恰有2145個約數(shù)的數(shù)有個．【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】先將2145分解質(zhì)因數(shù)：，所以能被2145整除的數(shù)必定含有3，5，11，13這4個質(zhì)因數(shù)；由于這樣的數(shù)恰有2145個約數(shù)，所以它至多只有4個質(zhì)因數(shù)，否則至少有5個質(zhì)因數(shù)，根據(jù)約數(shù)個數(shù)的計算公式，則有5個大于1的整數(shù)的乘積等于2145，而2145只能分解成3，5，11，13的乘積，矛盾．所以所求的數(shù)恰好只有3，5，11，13這4個質(zhì)因數(shù)．對于這樣的每一個數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)后3，5，11，13這4個因子的冪次都恰好是，，，的一個排列，所以共有種【答案】（1）24【例8】已知偶數(shù)A不是4的整數(shù)倍，它的約數(shù)的個數(shù)為12，求4A的約數(shù)的個數(shù).【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答【解析】由于A是偶數(shù)但不是4的倍數(shù)，所以A只含有1個因子2，可將A分解成，其中B是奇數(shù)，根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式，它的約數(shù)的個數(shù)為(其中N為B的約數(shù)個數(shù))，則，它的約數(shù)個數(shù)為個．【答案】（1）24【鞏固】自然數(shù)N有45個正約數(shù)。N的最小值為?！究键c】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答【解析】由于，根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式，自然數(shù)N可能分解成、、、等形式，在以上各種形式下，N的最小值分別為、、、，比較這些數(shù)的大小，可知，所以最小值是．【答案】（1）3600【例9】已知A數(shù)有7個約數(shù)，B數(shù)有12個約數(shù)，且A、B的最小公倍數(shù)，則．【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】，由于A數(shù)有7個約數(shù)，而7為質(zhì)數(shù)，所以A為某個質(zhì)數(shù)的6次方，由于1728只有2和3這兩個質(zhì)因數(shù)，如果A為，那么1728不是A的倍數(shù)，不符題意，所以，那么為B的約數(shù)，設，則，得，所以．【答案】（1）108【鞏固】如果你寫出12的所有約數(shù)，1和12除外，你會發(fā)現(xiàn)最大的約數(shù)是最小約數(shù)的3倍．現(xiàn)有一個整數(shù)n，除掉它的約數(shù)1和n外，剩下的約數(shù)中，最大約數(shù)是最小約數(shù)的15倍，那么滿足條件的整數(shù)n有哪些？【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】設整數(shù)n除掉約數(shù)1和n外，最小約數(shù)為a，可得最大約數(shù)為，那么．則3、5、a都為n的約數(shù)．因為a是n的除掉約數(shù)1外的最小約數(shù)，那么．當時，；當時，．所以滿足條件的整數(shù)n有60和135．【答案】（1）n有60和135課堂檢測課堂檢測1、有多少個約數(shù)？這些約數(shù)的和是多少？【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】.的約數(shù)：，，，共個.的約數(shù)：，共個.根據(jù)乘法原理，的約數(shù)個數(shù)為：()().這些約數(shù)的和()().【答案】（1）8（2）602、筐里有個桃子，如果不是一次全部拿出，也不一個一個地拿，要求每次的個數(shù)同樣多，拿到最后正好不多不少，問共有多少種不同的拿法？【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】，共有個約數(shù)，去掉和還有個約數(shù).所以共有種不同拿法【答案】（1）163、在一根長木棍上，有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種刻度線把木棍分成12等份，第三種刻度線把木棍分成15等份，如果沿每條刻度線把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆☆【題型】解答【解析】從題目中可以知道，木棍鋸成的段數(shù)，比鋸的次數(shù)大1；而鋸的次數(shù)并不一定是三種刻度線的總和，因為當兩種刻度線重合在一起的時候，就會少鋸一次．所以本題的關鍵在于計算出有多少兩種刻度線或者三種刻度線重疊在一起的位置．把木棍看成是10、12、15的最小公倍數(shù)個單位，那么每個等分線將表示的數(shù)都是整數(shù)，而且重合位置表示的數(shù)都是等分線段長度的公倍數(shù)，利用求公倍數(shù)的個數(shù)的方法計算出重合的刻度線的條數(shù)．，先把木棍60等分，每一等分作為一個單位，則第一種刻度線相鄰兩刻度間占6個單位，第二種占5個單位，第三種占4個單位，分點共有(個)．，故在30單位處二種刻度重合1次；，故在20、40單位處二種刻度重合2次；，故在12、24、36、48單位處二種刻度重合4次；，所以沒有三種刻度線重疊在一起的位置．所以共有不重合刻度個．從而分成28段．【答案】（1）284、在三位數(shù)中，恰好有9個約數(shù)的數(shù)有多少個？【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】由于，根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式，可知9個約數(shù)的數(shù)可以表示為一個質(zhì)數(shù)的8次方，或者兩個不同質(zhì)數(shù)的平方的乘積，前者在三位數(shù)中只有符合條件，后者中符合條件有、、、、、，所以符合條件的有7個．【答案】（1）75、1001的倍數(shù)中，共有個數(shù)恰有1001個約數(shù)．【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】1001的倍數(shù)可以表示為，由于，如果k有不同于7，11，13的質(zhì)因數(shù)，那么至少有4個質(zhì)因數(shù)，將其分解質(zhì)因數(shù)后，根據(jù)數(shù)的約數(shù)個數(shù)的計算公式，其約數(shù)的個數(shù)為，其中．如果這個數(shù)恰有1001個約數(shù)，則，但是1001不能分解成4個大于1的數(shù)的乘積，所以時不合題意，即k不能有不同于7，11，13的質(zhì)因數(shù)．那么只有7，11，13這3個質(zhì)因數(shù)．設，則，、、分別為7，11，13，共有種選擇，每種選擇對應一個，所以1001的倍數(shù)中共有6個數(shù)恰有1001個約數(shù)．【答案】（1）10016、A,B兩數(shù)都僅含有質(zhì)因數(shù)3和5,它們的最大公約數(shù)是75.已知數(shù)A有12個約數(shù)，數(shù)B有10個約數(shù)，那么A,B兩數(shù)的和等于多少?【考點】因數(shù)個數(shù)【難度】☆☆【題型】解答【解析】由題中條件知A、B中有一個數(shù)質(zhì)因數(shù)中出現(xiàn)了兩次5,多于一次3,那么,先假設它出現(xiàn)了N次3,則約數(shù)有:(2+1)×(N+1)=3×(N+1)個12與10其中只有12是3的倍數(shù),所以3(N+1)=12,易知N=3,這個數(shù)是A，即A=33×52=675．那么B的質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)了一次3,多于兩次5,則出現(xiàn)了M次5,則有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．那么A,B兩數(shù)的和為675+1875=2550．【答案】（1）2550.復習總結(jié)復習總結(jié)1、最大公約數(shù)