2024屆高考數(shù)學(xué)解題策略選擇題解題策略

2024屆高考數(shù)學(xué)解題策略選擇題解題策略

考情解讀

1.高考數(shù)學(xué)試題中，選擇題注重多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的小型綜合，滲透

各種數(shù)學(xué)思想和方法，體現(xiàn)以考食“三基”為重點(diǎn)的導(dǎo)向，能否

在選擇題上獲取高分，對(duì)高考數(shù)學(xué)成績(jī)影響重大.解答選擇題的

基本要求是四個(gè)字——準(zhǔn)確、迅速.

2.選擇題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)的理解、基本技能的熟練、基本計(jì)

算的準(zhǔn)確、基本方法的運(yùn)用、考慮問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)、解題速度的快捷

等方面.

解答選擇題的基本策略是：

要充分利用題設(shè)和選擇支兩方面提供的信息作出判斷。一

般說(shuō)來(lái)，能定性判斷的，就不再使用復(fù)雜的定量計(jì)算；能使用特

殊值判斷的，就不必采用常規(guī)解法；能使用間接法解的，就不必

采用直接解；對(duì)于明顯可以否定的選擇應(yīng)及早排除，以縮小選擇

的范圍；對(duì)于具有多種解題思路的，宜選最簡(jiǎn)解法等。解題時(shí)應(yīng)

仔細(xì)審題、深入分析、正確推演、謹(jǐn)防疏漏；初選后認(rèn)真檢驗(yàn)，

確保準(zhǔn)確。

3.解數(shù)學(xué)選擇題的常用方法，主要分直接法和間接法兩大類.

直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法；但高考的題量較大

,如果所有選擇題都用直接法解答，不但時(shí)間不允許，甚至有些

題目根本無(wú)法解答.因此，我們還要掌握一些特殊的解答選擇題

的方法.

1.直接法

有些選擇題是由計(jì)算題、應(yīng)用題、證明題、判斷題改編而成

的。這類題型可直接從題設(shè)的條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)

公式、公理、定理、法則，通過(guò)準(zhǔn)確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、?/p>

理的驗(yàn)證得出正確的結(jié)論，然后對(duì)照題目所給出的選擇支“對(duì)

號(hào)入座”作出相應(yīng)的選擇.從而確定選擇支的方法。

涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡(jiǎn)單的題目常用直接法。

例1.若sin，>cos2H則x的取值范圍是()

\.{x\2k7v--<x<2k7r+-,ksZ\

44

B.{x\2k7i+—<x<2k7i+—AfcZ|

44t

C.{x|k7r-—<x<k7r+—jkEZ}

44.

D.{x\k7r^—<x<k7v+—,keZ\

44

解：由sir?xAcos?x,得cos'x-sin?x<0,即cos2x<0,

所以:二+女乃<2^<四+左左，kwZ.故選D.

22

另解：數(shù)形結(jié)合法：由已知得卜inM>|cosx|,

畫(huà)出y=|sinx|和)，=|cos入|的圖象，由圖象可知選D.

例2.設(shè)mb,c為實(shí)數(shù)，/(-=&+◎(?+'+”

g(x)=(ax+l)(ax2+bx+1).

記集合S=k|f(%)=0,xeR),T={x|g(x)=0,%eR).

若{S},{7}分別為集合S,7的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論不可能

是()

A.后}=1且{7}=0B.后}=1且{7}=1

C.{S}=1且{7}=0口.{S}=1且{7}=0

解:選D

2.特例法

有些選擇題，用常規(guī)方法直接求解比較困難，若根據(jù)答中所

提供的信息，選擇某些特殊情況進(jìn)行分析，或選擇某些特殊值進(jìn)

行計(jì)算，或?qū)⒆帜竻?shù)換成具體數(shù)值代入，把一般形式變?yōu)樘厥?/p>

形式，再進(jìn)行判斷往往十分簡(jiǎn)單。

用特殊值（特殊圖形、特殊位置）代替題設(shè)普遍條件，得出特

殊結(jié)論，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而作出正確的判斷.常用的特例

有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位

置等.

02〃-2n

例3.如果n是正偶數(shù)，則C+C+…+C+C=（）

nnnn

nn-1〃-2w-1

A.2B.2C.2D.5—1）2

02

W：當(dāng)〃=2時(shí)，代入得C+C=2,排除答案A、C；

22

024

當(dāng)〃=4時(shí)，代入得C+C+C=8,排除答案力.

444

故選B.

另解：（直接法）由二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的性質(zhì)有

02n〃?1

C+C+…+C+C—2

nnnn

故選B.VQ，bcs

而ES例4.設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果，有，

vx,y,zev\/afb,CET則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非

Qbc6T空子集，M昨Z,且，有；，有

xyzev，則下列結(jié)論恒成立的是（）

A.T,V中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

B.T,V中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

C.T,V中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的

D.T,丫中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的

思路分析：本題是一道新定義題，主要考查創(chuàng)新意識(shí)，本題較為

抽象，題意難于理解，但若“以退為進(jìn)”，取一些特殊數(shù)集代入檢

驗(yàn)，即可解決.

小結(jié)：當(dāng)正確的選擇對(duì)象，在題設(shè)普遍條件下都成立的情況下，

用特殊值（取得越簡(jiǎn)單越好）進(jìn)行探求，從而清晰、快捷地得到

正確的答案，即通過(guò)對(duì)特殊情況的研究來(lái)判斷一般規(guī)律，是解答

本類選擇題的最佳策略.近幾年高考選擇題中可用或結(jié)合特例法

解答的約占30%左右.

3.篩選法

數(shù)學(xué)選擇題的解題本質(zhì)就是去偽存真，舍棄不符合題目要

求的錯(cuò)誤答案，找到符合題意的正確結(jié)論。

可通過(guò)篩除一些較易判定的、不合題意的結(jié)論，以縮小選

擇的范圍，再?gòu)钠溆嗟慕Y(jié)論中求得正確的答案。

從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定理、性質(zhì)、公式推演，根據(jù)“四選

一''的指令，逐步剔除干擾項(xiàng)，從而得出正確的判斷.如篩去不

合題意的以后，結(jié)論只有一個(gè)，則為應(yīng)選項(xiàng)。

2

例5.過(guò)拋物線y=4x的焦點(diǎn)，作直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)。

和Q,那么線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是（）

22

A.y=2x-\B.y=2x-2

22

C.y=-2x+1D.=-2x+2

解:由已知可知軌跡曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0）,開(kāi)口向右，

由此排除答案A、C、D,

所以選B;

2

例6.設(shè)函數(shù)八公=取+歷:+c(Q,b,CGR),若x=-l為

函數(shù)人幻小的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為y=/(%)的圖

象的是()

思路分析：本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，并利用函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值等，旨在考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、

解決問(wèn)題的能力.

解：％=-1為函數(shù)/G)。'的一個(gè)極值點(diǎn)，則易得a=c.

2

選項(xiàng)48的函數(shù)為函數(shù)為八幻=。(工+1),則

II

=f(%)ex+/=u(x+1)(%+3)ez

x=-1為函數(shù)/("J的一個(gè)極值點(diǎn)，滿足條件;

b

選項(xiàng)0中，對(duì)稱軸"=一/且開(kāi)口向下，

V<0,b>0.也滿足條件;

b

X———V-]

選項(xiàng)。中，對(duì)稱軸2a,且開(kāi)口向上，

,Q>0,b>2a,不滿足條件.

故選項(xiàng)為。

小結(jié)：篩選法適應(yīng)于定性型或不易直接求解的選擇題.當(dāng)題目中

的條件多于一個(gè)時(shí)，先根據(jù)某些條件在選擇支中找出明顯與之

矛盾的，予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小的選擇支的范圍

那找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇.它與特例法、

圖解法等結(jié)合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題

中約占40%.

4.驗(yàn)證法(代入法)

通過(guò)對(duì)試題的觀察、分析確定，將各選擇支逐個(gè)代入題干

中，進(jìn)行驗(yàn)證、或適當(dāng)選取特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)、或采取其他驗(yàn)證

手段，以判斷選擇支正誤的方法。

例7.函數(shù)產(chǎn)sin(n/3—2x)+sin2x的最小正周期是()

A.n/2B.7i

C.2兀D.4兀

解:fix+n12)

=sin[7r/3—2(x+?r/2)]+sin(2(x+it/2)]

=一段)，

而/(x+7i)=sin[—2(x+7i)]+sin[2(x+7r)]=?v).

所以應(yīng)選B.

2

例8.不等式0Wx-QX+QW1的解集是單元素集合，則Q的

值等于()

A.0B.2C.4D.6

思路分析：直接做，運(yùn)算量大，易出錯(cuò)，故采用帶入法.

解：略.

小結(jié)：代入法適應(yīng)于題設(shè)復(fù)雜，結(jié)論簡(jiǎn)單的選擇題。若能據(jù)題

意確定代入順序，則能較大提高解題速度。

5.圖象法(數(shù)形結(jié)合法)

在解答選擇題的過(guò)程中，可先根據(jù)題意，作出草圖，然后參照

圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征，得出結(jié)論。

例9,(2知函教

J-x的力科

(x-l)*.x<2

仃兩個(gè)不同的實(shí)般，則交數(shù)人的以俏：jJl，X()

A(0.1]B[-1.1)

C(0.1)D(0,1)

思路分析：本題主要考查函數(shù)與方程，考查對(duì)分段函數(shù)的理解以

及數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，將方程有兩個(gè)不同實(shí)根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖

象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的問(wèn)題.

解：作出函數(shù)/lx)的圖象，如圖，由圖可知，

當(dāng)0<k<1時(shí)，函數(shù)/(X)與y=%的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以所求實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(°，1).

例1().足數(shù)y=1［的18'TJW數(shù)尸=2Mmr(-2?x44)

的圖4所4交上的他坐標(biāo)之和笛廣《)

A.2B.4C.6D.8

解：如圖，兩個(gè)函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱，兩個(gè)圖象

在［-2,4］上共有8個(gè)公共點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)對(duì)應(yīng)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為2,

故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8.

嚴(yán)格地說(shuō)，圖解法并非屬于選擇題解題思路范疇，而是一種數(shù)形

結(jié)合的解題策略.但它在解有關(guān)選擇題時(shí)非常簡(jiǎn)便有效.不過(guò)運(yùn)用

圖解法解題一定要對(duì)有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉,

否則錯(cuò)誤的圖象反而會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的選擇.

如：

例11.函數(shù))=|x—1|+1的圖象與函數(shù))=2的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

為()

A.lB.2C.3D.4

分析：本題如果圖象畫(huà)得不準(zhǔn)確，很容易誤B,答案為C

小結(jié)：數(shù)形結(jié)合，借助幾何圖形的直觀性，迅速作正確的判斷

是高考考查的重點(diǎn)之一；歷年高考選擇題直接與圖形有關(guān)或可

以用數(shù)形結(jié)合思想求解的題目約占50%左右.

6、極限法

從有限到無(wú)限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變.應(yīng)用極限

思想解決某些問(wèn)題，可以避開(kāi)抽象、復(fù)雜的運(yùn)算，降低解題難

度，優(yōu)化解題過(guò)程.

例12/對(duì)任意8G(0,K/2)都有()

A.sin(sinO)VcosOVcos(cos0)B.sin(sin〃)>cosO>cos(cos0)

C.sin(cos<9)<cos(sin0<cosi9D.sin(cos0<cos^<cos(sin^)

解：當(dāng)0—>0時(shí)，sin(sin0—>0,cos。一>1,cos(cos^)—>cos1,

故排除A,B.

當(dāng)〃一*71/2時(shí)，cos(sin0—*cosl,cos。-0,故排除C,

因此選D.

小結(jié)：用極限法是解選擇題的一種有效方法.它根據(jù)題干及選擇

支的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，迅速找到答案。

7.估值法

由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無(wú)需過(guò)程.因此可

以猜測(cè)、合情推理、估算而獲得.這樣往往可以減少運(yùn)算量，當(dāng)

然自然加強(qiáng)了思維的層次.

例13.已知過(guò)球面上4、8、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于

球半徑的一半，且則球面面積是（）

<16-8―卜64

A.—兀B.—兀C.47rD.—兀

939

解???球的半徑R不小于aABc的外接圓半徑一=手，

22

則S=4兀RN471r=16而3>5兀，故選D.

球

小結(jié)：估算，省去了很多推導(dǎo)過(guò)程和比較復(fù)雜的計(jì)算，節(jié)省了

時(shí)間，從而顯得快捷.其應(yīng)用廣泛，它是人們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)

題、解決問(wèn)題的一種重要的運(yùn)算方法.

七、總結(jié)提煉

從考試的角度來(lái)看，解選擇題只要選對(duì)就行，至于用什

么“策略”，"手段”都是無(wú)關(guān)緊要的.所以人稱可以“不擇手段”.

但平時(shí)做題時(shí)要盡量弄清每一個(gè)選擇支正確的理由與錯(cuò)誤的原

因，另外，在解答一道選擇題時(shí)，往往需要同時(shí)采用幾種方法

進(jìn)行分析、推理，只有這樣，才會(huì)在高考時(shí)充分利用題目自身提

供的信息，化常規(guī)為特殊，避免小題大作，真正做到準(zhǔn)確和快速.

總之，解答選擇題既要看到各類常規(guī)題的解題思想原則上都

可以指導(dǎo)選擇題的解答，但更應(yīng)該充分挖掘題目的“個(gè)性”，尋求

簡(jiǎn)便解法，充分利用選擇支的暗示作用，迅速地作出正確的選擇.

這樣不但可以迅速、準(zhǔn)確地獲取正確答案，還可以提高解題速度,

為后續(xù)解題節(jié)省時(shí)間.

總結(jié)

數(shù)學(xué)選擇題的解題思路

（1）仔細(xì)審題，吃透題意

（2）反復(fù)析題，去偽存真

（3）抓住關(guān)鍵，全面分析

（4）反復(fù)檢查，認(rèn)真核對(duì)

面對(duì)選擇題，我們的口號(hào)是：“不擇手段，多快好省

友情提醒：小題小做，小題巧做，切忌小題大做。

填空題的解題策略

考情解讀

填空題是高考題中客觀性題型之一，同選擇題一樣，填空題

也屬小題，具有跨度大，覆蓋面廣，概念性強(qiáng)，運(yùn)算量不大，

不需要寫(xiě)出求解過(guò)程而只需直接寫(xiě)出結(jié)論等特點(diǎn).可以有目的、

和諧地綜合一些問(wèn)題，同時(shí)也可以考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、

數(shù)量問(wèn)題的計(jì)算解決能力和推理論證能力.

解填空題注意以下幾點(diǎn)：

⑴填空題雖然題量少，但每年考生的失分率較高.

⑵填空題缺少選擇肢的信息，故解答題的求解思路可以原封不

動(dòng)地移植到填空題上.

⑶填空題既不用說(shuō)明理由，又無(wú)須書(shū)寫(xiě)過(guò)程，因而解選擇題的

有關(guān)策略、方法有時(shí)也適合于填空題.

（4）近幾年來(lái)，高考試卷把填空題當(dāng)做創(chuàng)新改革的“試驗(yàn)田”，相繼

推出了閱讀理解型、發(fā)散開(kāi)放型、多項(xiàng)選擇型等開(kāi)放性填空題，

使填空題難度加大，對(duì)學(xué)生思維能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的

能力提出了更高要求.

題型一直接法

涉及數(shù)學(xué)定理、定義、法則、公式的問(wèn)題，常從題設(shè)條件

出發(fā)，通過(guò)運(yùn)算或推理，直接求得結(jié)論.

例1.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足

f(x)=/l0g2(4"X)U"0),財(cái)'(3)的值為

“L1/U-D-/U-2)(x>0)八)

解：/(3)=/(2)-/(1)

=/(I)-/(0)-/(0)4-/(-l)

=/(0)-/(-l)-2f(0)+/(-l)

=-/(0)=-log24=-2,

因此應(yīng)填-2.

例2.數(shù)列｛4｝滿足：log2aM=1+log2?z,,若q=10,貝收=

解：因?yàn)閘og2a“+i=1+log2afl,

所以｛10g24｝為等差數(shù)列,

所以log2%=噢24+(〃T)xl=k)g2(aiX2"T),

故％=4X2"T,

因?yàn)椤?=1。，所以10=qx22,得4=2，

因此4=CLx27=UIx27=320,

X122

因此應(yīng)填320.

題型二特殊法

當(dāng)填空題結(jié)論唯一或其值為定值時(shí)，我們只需把題中的參

變量用特殊值（或特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、圖形特殊位置、

特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊模型等）代替，即可得到結(jié)論.

例3.在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c.若〃、b、c

成等差數(shù)列，則cos八卜cosC=__________.

1+cosAcosC

解：令。=3,b=4,c=5,則AA8C為直角三角形，

44

cosA=—,cosC=0,從而麻求值為一.

55

例4.已知SA,SB,SC兩兩所成角均為60。，則平面SAB與平面SAC

所成的二面角的余弦值為.

解：取SA=SB=SC,將問(wèn)題置于正四面』￡一1一一

體中研究，不難得平面SAB與平面SAC

所成二面角的余弦值為L(zhǎng)B

3

題型三圖象法

根據(jù)題設(shè)條件的幾何意義，畫(huà)出輔助圖形，借助圖形的直

觀性，迅速作出判斷的方法.

例5.已知雙曲線與-==1（〃>0,〃>0）的右焦點(diǎn)為尸，若過(guò)點(diǎn)尸

且傾斜角為60。的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此

雙曲線離心率的取值范圍是.

22

解：雙曲線5-二〃>0）的右焦點(diǎn)為F,

a~b~

若過(guò)點(diǎn)戶且傾斜角為60。的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),

則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率2,

a

所以226，

a

離心率e?=二="24,所以e22.

a-a-

答案為2,+8）

例6.若函數(shù)/'（工）=々卜-4在［0,+oo）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。、加勺

取值范圍分別是________.

解：由已知可畫(huà)出下圖,

符合題設(shè)，

故。〉OS.b<0

答案為(0,+8)，(-oo,01.

題型四等價(jià)轉(zhuǎn)化

從題目出發(fā)，把復(fù)雜的、生疏的、抽象的、困難的和

未知的問(wèn)題通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的、具體的、容易的

和已知的問(wèn)題來(lái)解決.

例7.不等式五的解集為(4,/?),則〃=_____,b=_____

2

解：設(shè)6=3則原不等式可轉(zhuǎn)化為〃2T+3<0,

2

所以。>0?且2與>4)是方程力1=0的兩根，

由此可得：tz=—?b=36.

8

例8.一個(gè)布袋中裝有3個(gè)黃色、3個(gè)白色的乒乓球(其體積、

質(zhì)地完全相同)，現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，則摸出的3個(gè)球?yàn)?/p>

2個(gè)黃色球和1個(gè)白色球的概率.

解：把3個(gè)黃色球標(biāo)記為4、B、C,

3個(gè)白色球記為1,2,3,

從6個(gè)球中隨機(jī)摸出3個(gè)球的基本事件為：

ABC,A81,AB2,AB3,AC1,AC2,AC3,A12,A13,A23,

BCI,BC2,BC3,812,813,823,C12,C13,C23,123,

共20個(gè).

設(shè)事件A=｛摸出3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃色球和1個(gè)白色球｝,

則事件4包含的基本事件有9個(gè),

所以P(A)高

題型五開(kāi)放型填空題

(一)多選型填空題

給出若干個(gè)命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿足題意的命

題或結(jié)論.

例9.設(shè)函數(shù)了(x)=s\x\(cox+(p)((o>0f-—<(p<—),

給出以下四個(gè)論斷：22

①/'("的圖象關(guān)于直線上唾對(duì)稱；

②打工)的圖象關(guān)于點(diǎn)((,0)對(duì)稱；

③f(x)的的周期為4

④在［-5,0］上是增函數(shù).

以其中的兩個(gè)論斷為條件，余下的論斷為結(jié)論，寫(xiě)

出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題.

解:由③,〃力的周期為",則。=2,

所以/(x)=sin(2r+(p).

由①f(x)的圖象關(guān)于直線x噌對(duì)稱，

貝Ij2x—+G?=2k冗±—(kGZ).

122

>L-—<(p<—,所以p=

223

所以/(x)=sin(2x+/).故②④成立?

答案：①③n②?

(二)探索型填空題

從給定的題設(shè)中探究其相應(yīng)的結(jié)論，或從題目的要求中探

究其必須具備的相應(yīng)條件.

例10.如右圖，在正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的一個(gè)平面，它與正方

體的12條棱所成的角都相等，這個(gè)平面可以是(寫(xiě)出你

認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可，不必考慮所有可能的情況).

W：正方體的12條棱共分為3組，每組有4條平行線，所以只

需考慮與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即可.

正方體是我們較為熟悉的基本圖形，連接A%、BC.AC,

則8-AqC是正三棱錐，所以84、BC、8%與平面ACq所成的

角相等.

(三)組合型填空題

給出若干個(gè)論斷要求考生將其重新組合，使其構(gòu)成符合題

意的命題.

例11.。、〃是兩個(gè)不同的平面，/爪〃是平面a及2之外的

兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：

(l)m!??；(2)aJ_￡；

(3)/7±p；(4)m±p,

以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷為結(jié)論，寫(xiě)出你

認(rèn)為正確的一個(gè)命題.

解：通過(guò)線面關(guān)系，不難得出正確的命題有：

(1)/7?_La,n±a_L/=m±m(xù)

(2)w_La,n±0,m_L〃na_L/?.

答案為(2)(3)(4)n⑴或⑴(3)(4)n(2)

(四)新定義型填空題

即定義新情景，給出一定容量的新信息(考生未見(jiàn)過(guò))，要求

考生依據(jù)新信息進(jìn)行解題.

例12.設(shè)函數(shù)“力的定義域?yàn)镈若存在非零實(shí)數(shù)/使得

對(duì)于任意xe"(M￡。)，有5/(X+/)>/(^),

則稱/(x)為M上的/高調(diào)函數(shù).現(xiàn)給出下列命題：

①函數(shù)f(x)=(g)'為R上的1高調(diào)函數(shù)；

②函數(shù)f(x)=sin2A為R上的〃高調(diào)函數(shù)；

③如果定義域?yàn)?-1，+⑹的函數(shù)/'(X)=f為［_1,+8)上

的〃7高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)〃7的取值范圍是［2,+8).

其中正確的命題是.(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))

解：①中，/("為減函數(shù)，

故不可能是/高調(diào)函數(shù)；

②中，/(x+p)=/(x),

故②正確；

③中，/(M=Y(xN_i)的圖象如圖所示,

要使削㈠+⑼”(-1)=1,

有〃222；時(shí)，_

X

恒葡(E+2)N/(K),故〃222即可，

③正確.

答案：②③

解答題的解題策略

在高考數(shù)學(xué)試題中，解答題的題量雖然比不上選擇題，但是

其占分的比重最大，足見(jiàn)它在試卷中地位之重要.解答題也就是

通常所說(shuō)的主觀性試題，這種題型內(nèi)涵豐富，包含的試題模式靈

活多變，其基本構(gòu)架是：先給出一定的題設(shè)(即已知條件)，然后

提出一定的要求（即要達(dá)到的目標(biāo)），再讓考生解答，而且“題設(shè)”

和“要求”的模式多種多樣.考生解答時(shí)，應(yīng)把已知條件作為出發(fā)

點(diǎn)，運(yùn)用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，進(jìn)行推理、演繹或計(jì)算，最后

達(dá)到所要求的目標(biāo)，同時(shí)要將整個(gè)解答過(guò)程的主要步驟和過(guò)程，

有條理、合邏輯、完整地陳述清楚.

1.新課程高考解答題又有以下新的特點(diǎn)：

⑴從近幾年看，解答題的出處較穩(wěn)定，一般為數(shù)列、三角函數(shù)

（包括解三角形）、概率、立體幾何（與向量整合）、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及

不等式、解析幾何等.

⑵解法靈活多樣，入口寬，得部分分易，得滿分難，幾乎每題

都有坡度，層層設(shè)關(guān)卡，能較好地區(qū)分考生的能力層次.

⑶側(cè)重新增內(nèi)容與傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容及數(shù)學(xué)應(yīng)用的融合，如

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列結(jié)合，向量與解析幾何內(nèi)容的結(jié)合等.

（4）運(yùn)算與推理互相滲透，推理證明與計(jì)算緊密結(jié)合，運(yùn)算能力

強(qiáng)弱對(duì)解題的成敗有很大影響.在考查邏輯推理能力時(shí)，常常

與運(yùn)算能力結(jié)合考查，推導(dǎo)與證明問(wèn)題的結(jié)論，往往要通過(guò)具

體的運(yùn)算；在計(jì)算題中，也較多地?fù)竭M(jìn)了邏輯推理的成分，邊

推理邊計(jì)算.

⑸注重探究能力和創(chuàng)新能力的考查.探索性試題是考查這種能

力的好素材，因此在試卷中占有重要的作用；同時(shí)加強(qiáng)了對(duì)應(yīng)

用性問(wèn)題的考查.

2.高考數(shù)學(xué)解答題的基本題型

我們認(rèn)真分析近幾年各省市高考數(shù)學(xué)試題，雖略有差別，但

總體上高考五至六個(gè)解答題的模式基本不變，分別為三角函數(shù)、

平面向量型解答題、立體幾何型解答題、排列組合、二項(xiàng)式定理

及概率型解答題、函數(shù)與不等式型解答題、解析幾何型解答題、

數(shù)列型解答題.這是高考數(shù)學(xué)的重頭戲，這部分內(nèi)容包含的知

識(shí)容量大、解題方法多、綜合能力要求高，它們突出了中學(xué)數(shù)學(xué)

的主要思想和方法，考查了考生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí).

3.高考數(shù)學(xué)解答題的答題策略

⑴審題要慢，解答要快.審題是整個(gè)解題過(guò)程的“基礎(chǔ)工程”題目

本身是“怎樣解題”的信息源，必須充分搞清題意，綜合所有條件,

提煉全部線索，形成整體認(rèn)識(shí).

⑵確保運(yùn)算準(zhǔn)確，立足一次成功.

⑶講究書(shū)寫(xiě)規(guī)范，力爭(zhēng)既而又全.這就要求考生在面對(duì)試題時(shí)

不但會(huì)而且要對(duì)，對(duì)而且全，全而規(guī)范.

(4)面對(duì)難題，講究策略，爭(zhēng)取得分.會(huì)做的題目當(dāng)然要力求做

對(duì)、做全、得滿分，而對(duì)于不能全部完成的題目應(yīng)：

①缺步解答：②跳步解答.

解題過(guò)程卡在其一中間環(huán)節(jié)上時(shí)，可以承接中間結(jié)論，往下推，

或直接利用前面的結(jié)論做下面的(2)、(3)問(wèn).

總之，對(duì)高三學(xué)子來(lái)說(shuō)：準(zhǔn)確、規(guī)范、速度，高考必勝；

刻苦、堅(jiān)韌、自信，勢(shì)必成功！

題型一規(guī)范解題問(wèn)題

立體幾何的考查，主要有兩類新題型，一是在考查對(duì)空間

幾何體結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的前提下，綜合性地考查對(duì)空間幾何體的體積、

表面積的計(jì)算，考查空間線而位置關(guān)系，角與距離的計(jì)算，這類

試題以“圖”引入，背景新穎，對(duì)考生的空間想象能力有較高要求;

二是在考查立體幾何基本問(wèn)題的前提下，將試題設(shè)計(jì)為“探索性”

的類型，改變了給出明確結(jié)論讓考生證明的局面，這類試題由于

結(jié)論不明確，對(duì)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高要求.要想解決好如上所

述的立體幾何新型試題，除了牢固掌握好立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和

基本方法外，還要在空間想象能力、數(shù)學(xué)思想方法等方面下一番

工夫，只有這樣考生才能面對(duì)新題型得心應(yīng)手，將新題型轉(zhuǎn)化為

所熟悉的常規(guī)題，以便順利解決問(wèn)題.在解答方面，除推理證明,

運(yùn)用空間向量也是一種重要方法.這類題一定要注意解題規(guī)范，

條件充分.

例1.如圖，四棱錐S—的底面是正方形，5。，平面488,

SD=AD=cb點(diǎn)七是SO上的點(diǎn)，且OE=〃(Ov及1).

(1)求證：對(duì)任意的,都有4C_LBE：

⑵若二面角C—AE—D的大小為60°,求2的值.A'VX

A-----------B

解：方法一：(1)證明：連結(jié)80,由底面A8CQ是正方形可得AC_L8D

?/SZ)_L平面ABCD,：.BD是3E在平面ABCD上的射影，

由三垂線定理得ACJ_8E.

(2)解???SQ_L平面ABC。，COu平面A3CO,

：.SD±CD.

又底面ABC。是正方形，???CD_L4D

又SDAAD=D,

，COJ_平面SAD.

過(guò)點(diǎn)。在平面SAD內(nèi)作DFA.AE于F,連結(jié)CF,

則CF±AEf

故NCFQ是二面角C—AE—D的平面角，即NCFD=60。，

在RlZXADE中，9：AD=chDE=ka,AE=a^T\,

…—ADDEXa

于是,〃=k=而

在RlZSCO/中，由36℃=先=/+]'得，+1普'

即43萬(wàn)+3=32.

由2￡（0』］,解得2=乎.

方法二：（1）證明：以。為原點(diǎn)，DA,Dt,次的方向分別作為

A,戶z軸的正方向建立如圖（2）所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0（0。0）,A30。），B（a,。,0）,C（0,。,0）,E（0,0,一〃）,

At?=(-a,?0),Si=(一一小一筋),

成=（。,0,一〃），或=（0,a,一筋）.

—ch0)-(—a,—a,/xt)=a2—<724-0/^=0,

即對(duì)任意的2￡(0,1],都有AC_LB￡

（2）解：9=（0,?0）為平面ADE的一個(gè)法向量.

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為〃=（x,），，z）,

則n_LEA.n

In?EA—0?x-AL01

.一即

In*EC=0>v—As=0.

取S-1>Wn-(A,A3).

I75T-nl

.*?cos60°3V2T*+1-2-I?

IQCl?I"IJ2N+1

III長(zhǎng)(0.1].解和2手.

拓展提升——開(kāi)闊思路提煉方法

⑴利用向量證明線面關(guān)系，要注意建立坐標(biāo)系，構(gòu)造向量.

⑵利用向量研究角.如果兩個(gè)平面的法向量分別是〃2、〃，則這

兩個(gè)平面所成的銳二面用或直二面兒的余弦值等于|cos〈〃?，〃〉|,

在立體幾何中建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角的大小時(shí)，使用

向量的方法可以避免作二面角的平面角的麻煩.

題型二探究性問(wèn)題

⑴未給出結(jié)論的通常稱為歸納型問(wèn)題.解答這類問(wèn)題思路：

歸納一猜想一證明；

⑵結(jié)論不確定的，通常稱之為存在型問(wèn)題.解答思路：

假設(shè)一推理一定論；

⑶條件不全，需探求補(bǔ)足條件的，通常稱為：條件探索型.

解答思路：結(jié)論仁條件.答案往往不唯一；

(4)給定一些對(duì)象的某種關(guān)系，通過(guò)類比得到另一叱對(duì)象的關(guān)系.

解答思路：透徹理解條件，轉(zhuǎn)換思維；

(5)給出幾個(gè)論斷，選擇其中若干個(gè)論斷為條件，某一個(gè)(或幾個(gè))

為結(jié)論，通常稱為重組型.解答思路：組合條件，逐一驗(yàn)證.

/v26

例2.如圖，已知橢圓5+3=1色＞/?0)的離心率為岑，以該橢

圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)乃、色為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為

4(^/2+1).一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙

曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PFx和尸6與橢圓的交點(diǎn)分別

為A、8和C、D.

⑴求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線尸尸］、P尸2的斜率分別為心、fe,證明：正攵2=1；

⑶是否存在常數(shù)九使得|AB|+|CO|=44卦ICR恒成立？若存在,

求2的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑴解：設(shè)橢圓的半焦距為C,由題意知：

2?2。+2c=4(6+1),

所以a=2>\/^,c=2.

又片=店+修，因此6=2,

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+3=1.

o4

由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)一方=1(〃>0),因?yàn)榈?/p>

軸雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以"2=2,

因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?一?=1.

(2)證明：設(shè)A(?,yi),Bg券)，尸(xo,yo),

_yo

則“之?&2=

xo~2

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x2-)2=4上，所以火?一)?=4,

_yo_yo_____臚

因此kik==1,

2xo+2xo_2x(r-4

即k\ki=\.

(3)解：由于PF\的方程為)，=%(x+2),

將其代入橢圓方程得(2h2+i)f+8俗2工+8玄2-8=(),

j士、1』EZH.-8短8^2—8

由韋達(dá)定理得笛+X2=2%2+|，X1X2=*2+]，

所以+%2?ri+x22—4X1X2

8小一8好+]

-4X2Z:i2+l=4^r2Ai2+r

k?+]

同理可得I。|=電2M+].

rilll_L,_!_____i_/2%2+i2H+1)

川|43|十|?！?61爐+1+kT^\y

又kik?=l,所以

i1_____1_2ZF+I產(chǎn)+1%+1"+2)3也

麗十面[二礪2十玄2+J—8?

A:I+1_1_+1

故|4用+1CD|=唔4B\-\CD\.

o

因此，存在2=華，使|A8+|C0|=2|A用恒成立.

O

題型三應(yīng)用性問(wèn)題

解答應(yīng)用性問(wèn)題的思路與方法：

⑴審題：首先要認(rèn)真仔細(xì)地分析題意，分成讀懂和深刻理解兩個(gè)

層次，認(rèn)清問(wèn)題的各項(xiàng)已知條件及所要解決的問(wèn)題，分清題目中

所涉及的量中哪些是變量，哪些是常量及它們間的相互聯(lián)系，

把“問(wèn)題情景''譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系.

⑵建模：把問(wèn)題的主要關(guān)系近似化、形式化，然后建立恰當(dāng)?shù)?/p>

數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

(3)解模：把數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法，

再用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題，得到正確合理的答案.

(4)檢驗(yàn)：對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估，對(duì)錯(cuò)誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果

應(yīng)用于實(shí)際，做出解釋或預(yù)測(cè).

例3.如圖，A,8是海面上位于東西方向相距5(3+4)海里的

兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西6()。的D點(diǎn)、有

一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B