4.3.1 對數(shù)函數(shù)的概念 課件-2024-2025學年高一上學期數(shù)學北師大版（2019）必修第一冊

第四章4.3.1對數(shù)函數(shù)的概念1.理解對數(shù)函數(shù)的概念以及對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)間的關系.2.了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),并會求指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)的反函數(shù).情境：前面我們講過細胞分裂時得到的細胞的個數(shù)y是分裂次數(shù)x的函數(shù)，這個函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)y=2x表示．現(xiàn)在我們研究相反的問題．例如一個這樣的細胞經過多少次分裂，大約可以得到1萬個，10萬個，……細胞，那么分裂次數(shù)x就是得到的細胞個數(shù)y的函數(shù)．這個函數(shù)寫成對數(shù)的形式就是x=log2y．按照習慣，用x表示自變量，y表示函數(shù)，這個函數(shù)就是y=log2x．因為y=ax是單調函數(shù),每一個y都有唯一確定的x與之對應,所以x是y的函數(shù).兩個特殊的對數(shù)函數(shù):①常用對數(shù)函數(shù):以10為底的對數(shù)函數(shù),記作

y=lgx;

②自然對數(shù)函數(shù):以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù),記作

y=lnx.一、對數(shù)函數(shù)的定義

形如y=logax（a＞0且a≠1）的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是（0，+∞)，值域是R.中真數(shù)不是自變量x，不是對數(shù)函數(shù)．中對數(shù)式后加2，所以不是對數(shù)函數(shù)中真數(shù)為x＋1，不是x，系數(shù)不為1，故不是對數(shù)函數(shù)．中底數(shù)是自變量x，而非常數(shù)，所以不是對數(shù)函數(shù)．經驗一判斷一個函數(shù)是不是對數(shù)函數(shù)的方法(1)看形式:判斷一個函數(shù)是不是對數(shù)函數(shù),關鍵看解析式是否符合y=logax(a>0,且a≠1)這一結構形式.(2)明特征:對數(shù)函數(shù)的解析式具有三個特征①系數(shù)為1;②底數(shù)為大于0,且不等于1的常數(shù);③對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.只要有一個特征不具備,則不是對數(shù)函數(shù).R(0,+∞);R[0,+∞);(0,+∞);R{x∈R|x≠0}1．函數(shù)f(x)＝log2(x－1)的定義域是(

)A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]練一練由x－1＞0，得x＞12.函數(shù)

的定義域為

.解析：要使函數(shù)有意義，需有解得-2＜x＜1，所以函數(shù)

的定義域為（-2，1）.經驗二1求含有對數(shù)式的函數(shù)的定義域,需保證每個對數(shù)式有意義,即真數(shù)大于零,底數(shù)大于零且不等于1.2.附加有偶次根號，分母等，需要額外添加限制經驗三3.求含有對數(shù)式的函數(shù)的定義域,要求原函數(shù)的定義域，不要求化簡變形后的函數(shù)的定義域。

指數(shù)函數(shù)y=ax是對數(shù)函數(shù)y=logax的反函數(shù),對數(shù)函數(shù)y=logax也是指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù).即它們互為反函數(shù).二、反函數(shù)的概念

指數(shù)函數(shù)y=ax是對數(shù)函數(shù)y=logax的反函數(shù),對數(shù)函數(shù)y=logax也是指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù).即它們互為反函數(shù).

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)和對數(shù)函數(shù)x=logay(a>0,且a≠1)刻畫的是同一對變量x,y之間的關系,所不同的是:在指數(shù)函數(shù)中,x是自變量,y是x的函數(shù),其定義域是R;在對數(shù)函數(shù)x=logay(a>0,且a≠1)中,y是自變量,x是y的函數(shù),其定義域是(0,+∞).像這樣的兩個函數(shù)叫作互為反函數(shù).

指數(shù)函數(shù)y=ax是對數(shù)函數(shù)y=logax的反函數(shù),對數(shù)函數(shù)y=logax也是指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù).即它們互為反函數(shù).函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象與y=ax(a>0,且a≠1)的圖象關于直線y=x對稱.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的定義域、值域相反,并且反函數(shù)是相對而言的.（1)指數(shù)函數(shù)y=10x,它的底數(shù)是10,它的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)y=lgx(x>0).(4)對數(shù)函數(shù)y=log7x,它的底數(shù)是7,它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)y=7x(x∈R).1.若函數(shù)f(x)=ax-1的反函數(shù)的圖象過點(4,2),則a=

.解析:因為f(x)的反函數(shù)的圖象過點(4,2),

所以f(x)的圖象過點(2,4),

所以a2-1=4,

所以a=4.答案:4練一練1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)y=logx3是對數(shù)函數(shù). (

)(2)y=loga5x(a>0,且a≠1)是對數(shù)函數(shù). (

)(3)函數(shù)y=loga(x2+x+1)的定義域為R. (

)解：(1)×.y=logx3不是對數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)的底數(shù)是常數(shù).(2)×.對數(shù)函數(shù)自變量x的系數(shù)為1.(3)√.因為Δ=1-4=-3<0,所以x2+x+1>0恒成立.2.設f(x)=logax(a>0,且a≠1),對于任意的正實數(shù)x,y都有(

)A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(x+y)=f(x)f(y)C.f(x+y)=f(x)+f(y)D.f(xy)=f(x)+f(y)解析:因為f(x)=logax(a>0,且a≠1),所以f(xy)=loga(xy).又f(x)+f(y)=logax+logay=loga(xy),所以f(xy)=f(x)+f(y).3.函數(shù)

的定義域是

.解析：要使函數(shù)有意義，需有解得-3＜x＜0，所以函數(shù)

的定義域為（-3，0）.4.若函數(shù)y=f（x）是函數(shù)y=ax（a＞0，且a≠1）的反函數(shù)，其圖象經過點（

，a），則f（x）=（

）A.B.C.2-x