專題06相似三角形中的基本模型之半角模型（原卷版）

專題06相似三角形中的基本模型之半角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.半角模型（相似模型）【常見模型及結(jié)論】1）半角模型（正方形中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠EAF＝45°結(jié)論：如圖1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）；圖1圖2結(jié)論：如圖2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；結(jié)論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4結(jié)論：如圖4，△BME∽△AMN∽△DFN.2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型）（1）含45°半角模型圖1圖2條件：如圖1，已知∠BAC＝90°，；結(jié)論：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③（）（2）含60°半角模型條件：如圖1，已知∠BAC＝120°，；結(jié)論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，點E、F分別在邊、上，、分別交于點M、N，連接、，且．下列結(jié)論：①，；②；③；④；⑤圖中只有4對相似三角形，其中正確結(jié)論的序號是．

例2．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊上的點．若，，則的長為．

例3．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，，，點、在邊上，．(1)求證：；(2)當(dāng)，時，求的長．例4．（2023·江蘇無錫·九年級期中）如圖，在中，，，點D、E都在邊上，．若，則的長為．例5．（2023秋·江蘇泰州·九年級?？计谀?）如圖1，、為等邊中邊所在直線上兩點，，求證：；（2）中，，請用不含刻度的直尺和圓規(guī)在上求作兩點、，點在點的左側(cè)，使得為等邊三角形；（3）在（1）的條件下，為邊上一點，過作交延長線于點，交延長線于點，若，，，求的值．（用含有的代數(shù)式表示）例6．（2023江蘇九年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為10，點E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于點H，AH=10，連接BD，分別交AE、AH、AF于點P、G、Q．（1）求△CEF的周長；（2）若E是BC的中點，求證：CF=2DF；（3）連接QE，求證：AQ=EQ．例7．（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）在矩形中，，（），點E、F分別是邊、上的點，過點F作，交直線于點G．

(1)如圖1：若，，，，則________，________；(2)如圖2：若，，過點F作，交于點G，過E作，交于點H，求證：；(3)如圖3：若，，過點F作，交于點G，，直接寫出的值________．課后專項訓(xùn)練1．（2023·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、DC上，AE、AF分別交BD于點M、N，連接CN、EN，且CN＝EN．下列結(jié)論：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④圖中只有4對相似三角形，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2022秋·湖南懷化·九年級?？计谥校┤鐖D，等腰直角三角形，，、是上的兩點，且，過、作、分別垂直、，垂足為、，交于點，連接、．其中①四邊形是正方形；②；③當(dāng)時，；④當(dāng)時，．正確結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023春·貴州遵義·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點順時針旋轉(zhuǎn)90后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：①△ADE≌△AFE．②△ABE∽△ACD．③BE＋DC＝DE．④BE2＋DC2＝DE2．其中一定正確的是（

）A．②④ B．①③ C．②③ D．①④4．（2023·廣東汕頭·校考三模）如圖，在正方形中，，為中點，為上的一點，且，，連接，延長交于點，交于點，則以下結(jié)論；①②③④；中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2023·重慶·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形的邊取一點E，將沿折疊，使得點A落在邊上點F處，延長，與的角平分線交于點G，交于點H，已知，當(dāng)時，點G到直線的距離為．6．（2023·上海·模擬預(yù)測）如圖，點D、E分別在△ABC的邊BC及其延長線上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．(1)求證：；(2)若∠ACB＝60°，且BD＝DC＝1，求AC的值．7．（2022秋·河北邢臺·九年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=AC，D是邊BC上一點，E是射線BC上一點，且∠DAE=∠B．(1)如圖1，當(dāng)點E在邊BC上時，求證：．(2)如圖2，已知AB=AC=5，BC=8，點E在BC的延長線上，若，求CE的長．8．（2022秋·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知：在中，，點E、D是底邊所在直線上的兩點，連接、．若．求證：(1)；(2)．9．（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）【發(fā)現(xiàn)】如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，連接EF．因為AB=AD，所以把ΔABE繞A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至ΔADG，可使AB與AD重合．因為∠CDA=∠B=90°，所以∠FDG=180°，所以F、D、G共線．如果__________（填一個條件），可得ΔAEF≌ΔAGF．經(jīng)過進一步研究我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)BE，EF，F(xiàn)D滿足__________時，∠EAF=45°．【應(yīng)用】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=m，點E在邊BC上，且BE=2．（1）若m=8，點F在邊DC上，且∠EAF=45°（如圖），求DF的長；（2）若點F在邊DC上，且∠EAF=45°，求m的取值范圍．10．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AD＝DC，∠ADC＝90°，點E、F分別在邊AB、BC上，∠EDF＝45°．（1）觀察猜想：如圖1，若∠A、∠DCB都是直角，把△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△DCG，使AD與DC重合，易得EF、AE、CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出它們之間的關(guān)系式_____；（2）類比探究：如圖2，若∠A、∠C都不是直角，則當(dāng)∠A與∠C滿足數(shù)量關(guān)系_____時，EF、AE、CF三條線段仍有（1）中的關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，點D、E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求AE的長．11．（2023春·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）在中，，．(1)如圖1，若點D關(guān)于直線的對稱點為點F，求證：；(2)如圖2，在（1）的條件下，若，求證：；(3)如圖3，若，點E在的延長線上，則等式仍成立，請說明理由．12．（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)與證明】如圖①，正方形中，分別在邊、上，且，連接，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的分析思路．例如圖中與可以看作繞點A旋轉(zhuǎn)的關(guān)系．這可以證明結(jié)論“”，請補充輔助線的作法，并寫出證明過程．

（1）延長到點，使___________，連接；（2）求證：．【問題拓展與應(yīng)用】（3）某公園管理人員發(fā)現(xiàn)該公園有一塊綠地，如圖②所示，四邊形是平行四邊形，已知米，米，．為提升游客游覽的體驗感，準(zhǔn)備修建三條賞花通道、、，要求點在邊上，點為邊的中點，且，現(xiàn)計劃在所在區(qū)域種植郁金香，種植郁金香的費用為每平方米12元，求該公園種植郁金香需要投入多少資金．13．（2023·江西吉安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）【模型建立】(1)如圖1，在正方形中，，分別是邊，上的點，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明的探究思路如下：延長到點，使，連接，先證明，再證明．①，，之間的數(shù)量關(guān)系為________；②小亮發(fā)現(xiàn)這里可以由經(jīng)過一種圖形變換得到，請你寫出這種圖形變換的過程________．像上面這樣有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．【類比探究】(2)如圖2，在四邊形中，，與互補，，分別是邊，上的點，且，試問線段，，之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？判斷并說明理由．【模型應(yīng)用】(3)如圖3，在矩形中，點在邊上，，，，求的長．14．（2023·陜西榆林·九年級統(tǒng)考期末）【問題探究】（1）如圖①，在正方形中，為對角線，點E、F分別為邊、上的動點（不與端點重合），且，的延長線交的延長線于點M，的延長線交的延長線于點N，求證：．【拓展延伸】（2）如圖②，在菱形中，AC為對角線，點E、F分別為邊、上的動點（不與端點重合），且，AF的延長線交的延長線于點M，的延長線交的延長線于點N．①求證：；②若，，連接M