四川省雅安市2024-2025學年高三上學期11月零診考試數(shù)學試卷（含答案解析）

雅安市高2022級高三“零診”考試數(shù)學試題本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，請務必將自己的姓名、座位號和準考證號填寫在試題卷和答題卡上.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)集合求出解集，再根據(jù)交集的概念及運算即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)可得，又，則，故選：B.2.若i是虛數(shù)單位，復數(shù)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將的分子分母都乘以分母的共軛復數(shù)，即可化簡出．【詳解】，故選B．【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，關鍵是將其分子分母都乘以分母的共軛復數(shù)．3.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用全稱量詞命題的否定判斷即得.【詳解】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定是，.故選：C4.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，可排除AC，再結(jié)合時，即可排除D，進而得到答案.【詳解】由題意，，，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故AC不滿足；當時，，，則，故D不滿足，B符合題意.故選：B.5.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】應用充分條件必要條件的定義去判斷，對不充分條件或不必要條件可舉例說明.【詳解】因為，所以，所以“”可推出“”，即“”是“”的必要條件；取，可知，而，即，所以“”不能推出“”.所以“”是“”的不充分條件.所以“”是“”必要不充分條件.故選：B.6.已知單位向量，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，與，再應用夾角余弦公式求解即可.【詳解】解：因為，，所以，因為，，所以，，所以，故選：A.7.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦的差角公式結(jié)合弦切關系分別計算，再根據(jù)和角公式計算即可.【詳解】因為，又，即，則，所以，故.故選：D8.下列不等式成立是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出結(jié)果.【詳解】對于A，因為底數(shù)，所以隨著指數(shù)的增大而減小，又，所以，故選項A錯誤；對于B，，因為底數(shù)，所以隨著真數(shù)位置的增大而增大，又，所以，故選項B錯誤；對于C，因，，所以，故選項C正確；對于D，因為，，函數(shù)有兩個交點，分別是當，增長速度比增長速度快，在0,2上，在上，在上，所以，即，故選項D錯誤.故選：C.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關于點對稱C.將的圖象向左平移個單位，所得圖象的解析式為D.【答案】BD【解析】【分析】利用正切函數(shù)的圖象的性質(zhì)逐項計算可判斷每個選項的正誤.【詳解】由，可得函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；由，可得，所以的圖象關于點對稱，當時，可得對稱中心為，故B正確；將的圖象向左平移個單位得到的圖象，故C錯誤；，又在上單調(diào)遞增，，所以，即f4π5>f7故選：BD.10.已知函數(shù)的定義域為R，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，則（）A.為周期函數(shù)B.的圖象關于點對稱C.，，成等差數(shù)列D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇偶函數(shù)的定義推理確定函數(shù)的性質(zhì)，再逐項分析判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為R，由為偶函數(shù)，得，則，由為奇函數(shù)，得，則，于是，即，對于A，，是周期為4的周期函數(shù)，A正確；對于B，由，得的圖象關于點對稱，B錯誤；對于C，，由，得，因此，，成等差數(shù)列，C正確；對于D，，因此，D正確.故選：ACD11.已知各項都是正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是單調(diào)遞增數(shù)列 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】應用與的關系，將中的消掉，求出判斷符號即可判斷A項的正誤；判斷數(shù)列是等差數(shù)列，進而求出，再利用作差法判斷B項的正誤；應用放縮法與裂項相消求出，再與比較即可；構造函數(shù)，并利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值，再取即可判斷D項的正誤.【詳解】因為，所以當時，，兩式相減，可得，所以，所以，所以an是單調(diào)遞減數(shù)列，故A當時，，所以；當時，，化簡整理得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其首項為4，公差為4，所以，所以，所以，故B正確；因為，所以所以，故C正確；設函數(shù)，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，取，,所以，即又因為，所以.故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，．若，則______．【答案】【解析】【分析】先求出的坐標，再由根據(jù)向量平行的坐標性質(zhì)后可求出的值.【詳解】∵，，∴，由得，解得，解得.故答案為：.13.記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)等式得到公差，再根據(jù)前n項和公式得到最小值.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，可得，解得，則，因為，所以當或時，有最小值為，故答案為：.14.定義：已知函數(shù)的導函數(shù)為，若是可導函數(shù)且其導函數(shù)記為，則曲線在點處的曲率．據(jù)此，曲線（其中）的曲率K的最大值為________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)曲率定義得到曲率K，再應用導數(shù)求解曲率K的最大值即可.【詳解】解：因為，所以，，所以曲線（其中）的曲率，所以，由，可得，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.所以當時，故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A的大小；（2）若的外接圓半徑為4，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)正弦定理將等式化簡約分，可求得，即可求得結(jié)果；（2）結(jié)合第（1）問及余弦的和角公式，得到，利用正弦定理化簡得，求出三角形面積即可.【小問1詳解】根據(jù)正弦定理的變形公式可得，因為，所以，即，因為，所以，則，即；【小問2詳解】因為，所以，則，即，又，所以，因為的外接圓半徑為，所以由正弦定理可得，所以，所以.16.已知數(shù)列的前n項和為，且，其中．（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，證明：．【答案】（1），（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）由已知條件可得，然后根據(jù)和的關系，可得，注意的情況即可.（2）利用裂項相消可求，然后利用，即可證明.【小問1詳解】當時，，當時，，又，兩式相減得：，所以，此時，將代入得，因此對也成立，故的通項公式為，【小問2詳解】由（1）可知，所以，又，所以，所以，因為，所以，即.17.已知函數(shù)，其中，（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，過點可以作3條直線與曲線相切，求m的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)直接求解單調(diào)區(qū)間即可；（2）設切點為，利用導數(shù)的幾何意義可得，設，結(jié)合題意可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與y=gx的圖象有三個交點，進而結(jié)合導數(shù)分析y=gx的單調(diào)性，再結(jié)合圖象求解即可.【小問1詳解】由，，則，令f′x>0，得；令f′所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】當時，，則，設切點為，則，化簡得，因為過點可以作3條直線與曲線y=fx相切，所以方程有三個不同的實根，設，即函數(shù)與y=gx的圖象有三個交點，而，令，得；令，得或，所以函數(shù)在和1,+∞上單調(diào)遞減，在?1,1上單調(diào)遞增，又，，且時，gx>0，畫出函數(shù)與y=gx大致圖象，要使函數(shù)與y=gx的圖象有三個交點，則，即m的取值范圍為．18.已知數(shù)列滿足，（，且）．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）令，數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出，再利用構造法，結(jié)合等比數(shù)列定義推理即得.（2）由（1）求出，再利用分組求和法及錯位相減法求即得.（3）利用（2）的信息求出，再利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列求和公式推理得證.【小問1詳解】數(shù)列中，當時，，則，而，又，解得，，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，即，，則，令，則，兩式相減得，則，所以.【小問3詳解】由（2）知，，，顯然，則；又，于是，所以.【點睛】方法點睛：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解．19.已知函數(shù)．（1）若有2個相異極值點，求a的取值范圍；（2）若，求a的值；（3）設m為正整數(shù)，若，，求m的最小值．【答案】（1）或；（2）；（3）3.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，由有兩個不等的正實根，結(jié)合一元二次方程根的分布求出范圍.（2）構造函數(shù)，按分類討論恒成立情況即可得解.（3）由（2）的結(jié)論可得，再賦值并結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式及對數(shù)運算求出范圍即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，由有2個相異極值點，得方程有兩個相異正實根，于是，解得或，所以a的取值范圍是或.【小問2詳解】令，求導得，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，則，使得，