期末金牌測(cè)試卷（三）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末金牌模擬試卷（2019選擇性）

20212022高二上學(xué)期期末金牌測(cè)試卷（三）注意事項(xiàng)：1.本試卷共6頁(yè)，包含單項(xiàng)選擇題（第1題～第8題，共40分）、多項(xiàng)選擇題（第9題～第12題，共20分）、填空題（第13題～第16題，共20分）和解答題（第17題～第22題，共70分）四部分.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡、試卷和草稿紙的指定位置上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米黑色墨水的簽字筆將答案寫在答題卡上.寫在本試卷或草稿紙上均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的.）1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，即可得到答案；【詳解】，令，則，從而.故選：D.2．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將直線一般式方程化為點(diǎn)斜式方程得直線斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】解：將直線化為點(diǎn)斜式方程得，所以直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：B3．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】由題得圓心的坐標(biāo)為，解方程即得解.【詳解】解：由題得圓心的坐標(biāo)為，因?yàn)橐阎獔A關(guān)于直線對(duì)稱，所以.故選：C4．點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，則的最大值為（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】先求得，由此求得的最大值.【詳解】，，，即.所以的最大值為.故選：C5．設(shè)數(shù)列中，，（且），則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式求解數(shù)列的周期，再利用數(shù)列的周期性求解數(shù)列的項(xiàng).【詳解】由已知得：，可求，∴數(shù)列的周期為3，，選項(xiàng)B正確.故選：B．6．定義在上的函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)恒成立，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)g（x）＝f（x）?3x，求出其導(dǎo)數(shù)，分析可得g′（x）<0，則g（x）在R上為減函數(shù)，又由f（1）＝3，則g（1）＝0，??，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【詳解】解：設(shè)g（x）＝f（x）?3x，則g′（x）＝f′（x）?3，

又由f′（x）<3，則g′（x）<0，則g（x）在R上為減函數(shù)，

又由f（1）＝3，則g（1）＝f（1）?3＝0，則g（x）過(guò)點(diǎn)，且在R上為減函數(shù)，

由得即，由于過(guò)點(diǎn)，且在R上為增函數(shù)，則必有故選：C7．如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線：的右支與直線，，圍成的曲邊四邊形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外半徑為，下底外半徑為，則雙曲線的離心率為()A．3 B． C． D．2【答案】D【分析】由已知得出點(diǎn)，的坐標(biāo)，然后代入雙曲線方程求出，的值，由此求出的值，即可求解．【詳解】由題意可知，，又雙曲線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則，解得，設(shè)雙曲線的半焦距為，所以，則雙曲線的離心率為，故選：D．8．已知直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．[﹣1，1]C．[﹣1，0）∪（0，1] D．[0，+∞）【答案】A【分析】根據(jù)題意可得曲線表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的上半部分，根據(jù)圖形分析可求出.【詳解】由可得，即曲線表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的上半部分，直線過(guò)定點(diǎn)，如圖，要使直線與曲線有公共點(diǎn)，則應(yīng)滿足或，因?yàn)?，所以或，即的取值范圍?故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．圓（）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】AC【分析】先把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找到圓心，對(duì)于A：圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，即可判斷；對(duì)于B、C、D：根據(jù)直徑所在直線為圓的對(duì)稱軸，只需判斷直線是否經(jīng)過(guò)圓心即可.【詳解】，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為．A項(xiàng)，圓是關(guān)于圓心對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，而點(diǎn)是圓心，所以A正確；B項(xiàng)，圓是關(guān)于直徑所在直線對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，直線不過(guò)圓心，所以B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，圓是關(guān)于直徑所在直線對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，直線過(guò)圓心，所以C正確；D項(xiàng)，圓是關(guān)于直徑所在直線對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，直線不過(guò)圓心，所以D錯(cuò)誤．故選：AC．10．已知方程，則（）A．時(shí)，方程表示橢圓 B．時(shí)，所表示的曲線離心率為C．時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 D．時(shí)，所表示曲線的漸近線方程為【答案】BC【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，?duì)于A：若方程表示橢圓，所以，解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則，所以、，所以，所以離心率，故B正確；對(duì)于C：若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則，解得，故時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，即C正確；對(duì)于D：若，則曲線方程為，則漸近線方程為，故D錯(cuò)誤；故選：BC11．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值【答案】BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故C正確；因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，開(kāi)口向下，所以當(dāng)或4時(shí)，取得最大值，故D正確．故選：BCD．12．已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．對(duì)任意的，的周期都不可能是B．存在，使得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．對(duì)任意的，D．對(duì)任意的，在上單調(diào)遞減【答案】ACD【分析】利用函數(shù)的周期性的定義以及誘導(dǎo)公式可判斷A；利用誘導(dǎo)公式計(jì)算是否成立可判斷B；先利用二倍角公式化簡(jiǎn)，再換元構(gòu)造新函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性及最值可判斷C，對(duì)化簡(jiǎn)后的函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷在上的單調(diào)性可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，所以的周期都不可能是，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，而，所以不存在，使得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，注意到，令，則，令，則，，易知的最大值為，因此，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，，所以，故，在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD.三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．圓心在上，過(guò)，的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程______.【答案】【分析】求解垂直平分線方程，然后求解圓的圓心，求解圓的半徑，得到圓的方程．【詳解】由已知，中點(diǎn)坐標(biāo)為，垂直平分線方程為．則由，解得，所以圓心，因此半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．故答案為：14．直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，與交于倆點(diǎn)，則________．【答案】10【分析】先求出，再利用公式可求.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，故即，故拋物線，設(shè)，由可得，故，故答案為：10.15．用表示自然數(shù)的所有因數(shù)中最大的那個(gè)奇數(shù)，例如：“9的因數(shù)有1、3、9，”，“10的因數(shù)有1、2、5、10，”，那么____________．【答案】【分析】根據(jù)題中對(duì)的定義，判斷出，且若為奇數(shù)則，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及逐差累加的方法及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可得出答案.【詳解】由的定義易知，且若為奇數(shù)則令則即由此可得以上各式相加得即故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、累加法的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想.16．已知函數(shù)若存在，，使得，則的取值范圍是_________．【答案】【分析】由，得到，再研究函數(shù)的單調(diào)性，得到，將表示出來(lái)，然后利用換元法化為二次函數(shù)的最值即可；【詳解】，，，，，當(dāng)時(shí)，，，由得，由得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在處取得最小值，，，令，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的取值范圍是；故答案為：四、解答題：（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．已知直線經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，且________，若直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方程．試從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中，完成解答，若選擇多個(gè)條件分別解答，按照第一個(gè)解答計(jì)分．①與直線垂直；②在軸上的截距為．【答案】選①，；選②，.【分析】選①可設(shè)直線的方程，求出交點(diǎn)并代入即可求出直線l的方程，在直線上取兩點(diǎn)，再利用點(diǎn)的對(duì)稱即可求解；選②，由點(diǎn)斜式即可求出直線l的方程，在直線上取兩點(diǎn)，再利用點(diǎn)的對(duì)稱即可求解.【詳解】因?yàn)榉匠探M的解為，所以兩條直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為．若選①，可設(shè)直線l的方程為，點(diǎn)代入方程可得，即l：．在直線l上取兩點(diǎn)和，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），所以直線m的方程為．若選②，可得直線l的斜率，所以直線l的方程為．在直線l上取兩點(diǎn)和，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線m的方程為，即．18．若圓C過(guò)兩點(diǎn)A（0，4），B（4，6），且圓心在直線上．（1）求圓C的方程（2）過(guò)點(diǎn)P（－1，0）向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)可求的值，從而可得圓的方程.（2）先求出以PC為直徑的圓的方程，從而可求切點(diǎn)弦的方程，進(jìn)而可求弦的長(zhǎng)，也可以等積法求其長(zhǎng)度.（1）設(shè)，因?yàn)椋?，解得，即，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）解法一：以PC為直徑的圓的方程為：，由得，即直線EF的方程為．圓心C到直線EF的距離，所以．解法二：因?yàn)?，所以四邊形PECF的面積．又因?yàn)?，，所以?9．若圓P與圓C1∶外切，與圓C2∶內(nèi)切.（1）求圓心P的軌跡E的方程；（2）己知△ABC的頂點(diǎn)B，C在軌跡E上，頂點(diǎn)A是軌跡E的一個(gè)焦點(diǎn)，且軌跡E的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，求△ABC的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)，根據(jù)已知及圓之間的關(guān)系可得，有，即可求圓心P的軌跡E的方程；（2）由（1）知軌跡E為橢圓且，而△ABC的周長(zhǎng)，即可得周長(zhǎng).（1）設(shè)且對(duì)應(yīng)的半徑為，而且，且，∴，可得，∴.（2）由（1）知：軌跡E為橢圓且，由題意，△ABC的周長(zhǎng)為，∴△ABC的周長(zhǎng).20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，________.請(qǐng)?jiān)冖?；②成等比?shù)列；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，易知數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，再結(jié)合所選條件求出，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合錯(cuò)位相減法，即可求解.（1）因?yàn)椋?，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.選①.由，得，即，所以，解得.所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.選②.由，，成等比數(shù)列，得，則，所以.所以.選③.因?yàn)?，所以，所?所以.（2）由題可知，所以，所以，兩式相減，得，所以.21．環(huán)保生活，低碳出行，新能源電動(dòng)汽車正成為人們購(gòu)車的熱門選擇．某型號(hào)電動(dòng)汽車，在一段平坦的國(guó)道進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速（不含）經(jīng)多次測(cè)試得到，該汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的下列數(shù)據(jù)：02040600300056009000為了描述國(guó)道上該汽車每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：，，.（1）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)有一輛同型號(hào)汽車從A地駛到B地，前一段是的國(guó)道，后一段是的高速路．若已知高速路上該汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度的關(guān)系是：，則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？（假設(shè)在兩段路上分別勻速行駛）【答案】（1）選擇；當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)這輛車在國(guó)道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，該車從地到地的總耗電量最少，最少為．【分析】（1）根據(jù)，當(dāng)時(shí)，它無(wú)意義，，是減函數(shù)，不滿足，即可得到，從而得到，再解方程組即可.（2）首先得到國(guó)道路段所耗電量為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)時(shí)，；高速路段所耗電量為，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)得到，即可得到答案.【詳解】（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，它無(wú)意義，所以不合題意；對(duì)于，它顯然是個(gè)減函數(shù)，這與矛盾；故選擇．根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，有，解得，當(dāng)時(shí)，．（2）國(guó)道路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，所耗電量為，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；高速路段長(zhǎng)為，所用時(shí)間為，所耗電量為，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以；故當(dāng)這輛車在國(guó)道上的行駛速度為，在高速路上的行駛速度為時(shí)，該車從地到地的總耗電量最少，最少為．22．已知，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，討論參數(shù)的取值范圍即可求解單調(diào)區(qū)間；（2）解法一：先證：，即證：，令函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性可證明，從而得；解法二：由，令利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再構(gòu)造，求導(dǎo)分析單調(diào)性即可證明，從而有，即.（1）解：∵，∴時(shí)，，∴時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時(shí)，，∴時(shí)，增區(qū)間為：；時(shí)，，，∴時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；綜上，時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：；時(shí)，增區(qū)間為：，減區(qū)間為：（2）解：由（