2024年九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：與圓相關(guān)的綜合題 刷題練習(xí)題匯編（含答案）

2024年九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：與圓相關(guān)的綜合題刷題練習(xí)題匯編

1.已知。01和。02的半徑都等于1,OQ2=5,在線段0102的延長線上取一點(diǎn)03,使0203=3,

以03為圓心，R=5為半徑作圓.

（1）如圖1,003與線段0|02相交于點(diǎn)P1,過點(diǎn)Pi分別作。Oi和。02的切線PIAI、PIBI

（AHBI為切點(diǎn)）,連接OiAi、O2B1,求P1A1：P1B1的值;

（2）如圖2,若過02作02P2JLO1O2交03于點(diǎn)P2，又過點(diǎn)P2分別作OOl和002的切線

P2A2、P2B2（A2、B2為切點(diǎn)），求P2A2：P2B2的值；

（3）設(shè)在。03上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作。Oi和。02的切線PA、PB（A、B為切點(diǎn)）,

由（1）（2）的探究，請?zhí)岢鲆粋€(gè)正確命題.（不要求證明）

2.如圖①，已知拋物線y=ax，bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,且頂點(diǎn)M

坐標(biāo)為（1,2）,

（1）求該拋物線的解析式：

（2）現(xiàn)將它向右平移m（m>0）個(gè)單位，所得拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn)，與原拋物線

交于點(diǎn)P,ZkCDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式；

（3）如圖②，以點(diǎn)A為圓心，以線段OA為半徑畫圓，交拋物線y=ax?+bx+c的對稱軸于

點(diǎn)B,連接AB,若將拋物線向右平移m（m>0）個(gè)單位后，B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為B:A點(diǎn)的對

應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)，且滿足四邊形BAAB，為菱形，平移后的拋物線的對稱軸與菱形的對角線BA，

交于點(diǎn)E,在x軸上是否存在一點(diǎn)F,使得以E、F、A，為頂點(diǎn)的三角形與4BAE相似？若存

在，求出F點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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3.如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（3,0）為圓心，以6為半徑的圓分別交x軸的正半軸

于點(diǎn)A,交x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,交y軸的正半軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C的直線交x軸的負(fù)半軸

于點(diǎn)D（-9,0）

（1）求A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求證：直線CD是0M的切線；

（3）若拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過M,A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；

（4）連接AC,若（3）中拋物線的對稱軸分別與直線CD交于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)F.如

果點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P,使得SAPAM：SACE『石：3?若存在，請

求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由注意：木題中的結(jié)果均保留根號）

4.如圖1,正方形ABCD中，有一直徑為BC=2cm的半圓O.兩點(diǎn)E、「分別從點(diǎn)B、點(diǎn)

A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以lcm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A?D?C以2cm/s

的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)的B時(shí)間為I（s）,其中1qV2.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段EF和BC平行？

（2）EF能否與半圓O相切？如果能，求出【的值；如果不能，請說明原因.

（3）如圖2,設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化？若

發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，也請說明理由，并求AP：PC的值.

變式：如圖3,若將上題改為，正方形ABCD中，有一直徑為BC=2cm的半圓O.點(diǎn)E為

AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)E與圓O相切的直線交CD所在直線為點(diǎn)F,

設(shè)EB=x,FD=y.

（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（2）是否存在切線EF,把正方形ABCD的周長分成相等的兩部分？若存在，求出x的值.若

不存在，請說明理由.

5.已知：直角梯形OABC中，BC/7OA,ZAOC=90°,以AB為直徑的圓M交OC于D、

E,連接AD、BD、BE.

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（1）在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖I中的兩對相似三角形.

（2）直角梯形OABC中，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系（如圖2）,

若拋物線丫=2*2-22*-3a（aVO）經(jīng)過點(diǎn)A、B、D,且B為拋物線的頂點(diǎn).

①寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）：

②求拋物線的解析式；

③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P：過點(diǎn)P做PN±x軸于N,使得APAN與aOAD

相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

6.如圖，拋物線產(chǎn)ax?+bx+c的頂點(diǎn)為A（4,4）,且拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，和x軸相交于另一

點(diǎn)B,以AB為一邊在直線AB的右側(cè)畫正方形ABCD.

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；

（2）能否將此拋物線沿著直線x=4平移，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過正方形ABCD的另兩

個(gè)頂點(diǎn)C、D若能，寫出平移后拋物線的解析式；若不能，請說明理由；

（3）若以點(diǎn)A（4,4）為圓心，r為半徑畫圓，請你探究：

①當(dāng)尸時(shí)，OA上有且只有一個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離等于2：

②當(dāng)r=時(shí)，0A上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離等于2；

③隨著r的變化，0A上到直線BD的距高等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也隨著變化，請根據(jù)（DA上到

直線BD的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論相應(yīng)的r的值或取值范圍.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（英，0）為圓心，以2加為半徑的圓與x斛相交

于點(diǎn)B、C,與y軸相交于點(diǎn)D、E.

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(I)若拋物線y=2x?+bx+c經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，求出此拋物線的解析式;

3

(2)在(1)中的拋物線的對稱軸上求一點(diǎn)F,使得AFBD的周長最?。?/p>

(3)設(shè)Q為(1)中拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M,使得四

邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

(4)連接BD、CD,設(shè)P為(1)中拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣

的點(diǎn)P，使得4ABP與ADBC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

8.已知：如圖，直線尸-ax+3交x軸于。1，交y軸于。2,。02與x軸相切于0點(diǎn)，交

直線0102于P點(diǎn)，以O(shè)1為圓心，O1P為半徑的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)，PB交。02于點(diǎn)F,

。0|的弦BE=BO,EF的延長線交AB于D,連接PA、P0.

(1)求證：ZAP0=ZBP0；

(2)求證：EF是。02的切線；

(3)EOi的延長線交。0i于C點(diǎn)，若G為BC上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)iG為直徑作。03交01c于

點(diǎn)M,交OiB于N.下列結(jié)論：①0iM?0iN為定值；②線段MN的長度不變.只有一個(gè)

是正確的，請你判斷出正確的結(jié)論，井證明正確的結(jié)論，以及求出它的值.

9.如圖：在平面直.角坐標(biāo)系中，直線y=2x+3與X軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直.線y=kx+8

2

與直線AB相交于點(diǎn)D,與x軸相交于點(diǎn)C,過D作DEJ_x軸，E為垂足，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)

為2.

(1)求直線CD的解析式；

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（2）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）,過P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)Q,

邊Q點(diǎn)作x軸的平行線交直線CD于點(diǎn)M,設(shè)線段QM的長為y,當(dāng)-6VtV2時(shí)，求y與

t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)I為何值時(shí)，過P、Q、M三點(diǎn)的圓與直線AB和直線CD這兩

條直線只有三個(gè)公共點(diǎn).

10.已知，如圖，點(diǎn)M在x軸上，以點(diǎn)M為圓心，2.5長為半徑的圓交y軸于A、B兩點(diǎn),

交X軸于C（XI,0）、D1x2，0）兩點(diǎn)，（X|〈X2），XI、X2是方程X（2x4-1）=（X+2）2的

兩根.

（1）求點(diǎn)C、D及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）若直線y=kx+b切。M于點(diǎn)A,交x軸于P,求PA的長；

（3）（DM上是否存在這樣的點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q、A、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOC相似？若存

在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出過A、C、Q三點(diǎn)的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由.

11.如圖，AB是。O的直徑，BD是00的弦，延長BD到點(diǎn)C,使DC=BD,連接AC交

0O于點(diǎn)F.

（1）AB與AC的大小有什么關(guān)系？為什么？

（2）按角的大小分類，請你判斷AABC屬于哪一類三角形，并說明理由.

個(gè)明按下面的方法作出了NMON的平分線：

①反向延長射線OM；

②以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作圓，分別交/MON的兩邊于點(diǎn)A、B,交射線OM的反

向延長線于點(diǎn)C；

③連接CB；

④以O(shè)為頂點(diǎn)，OA為一邊作NAOP=NOCB.

（1）根據(jù)上述作圖，射線OP是NMON的平分線嗎？并說明理由.

（2）若過點(diǎn)A作。O的切線交射線OP于點(diǎn)F,連接AB交OP于點(diǎn)E,當(dāng)NMON=60。、

OF=10時(shí)，求AE的長.

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12.已知如圖，過O且半徑為5的0P交x的正半軸于點(diǎn)M(2m,0)、交y軸的負(fù)半軸于

點(diǎn)D,弧OBM與弧OAM關(guān)于x軸對稱，其中A、B、C是過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與

兩弧及圓的交點(diǎn).

(1)當(dāng)m=4時(shí),

①填空:B的坐標(biāo)為,C的坐標(biāo)為,D的坐標(biāo)為：

②若以B為頂點(diǎn)且過D的拋物線交。P于點(diǎn)E,求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和寫出點(diǎn)E的坐

林；

③除D點(diǎn)外，直線AD與②中的拋物線有無其它公共點(diǎn)并說明理由.

(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形組成菱形？若存在，求m的值;

若不存在，請說明理由.

13.已知：如圖，RSABC中，ZB=90°,ZA=30°,BC=6cm.點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB

以每秒丘m的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了t秒(1>0)時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓

與邊AC相切于點(diǎn)D,與邊AB相交于E、F兩點(diǎn).過E作EGJ_DE交射線BC于G.

(1)若E與B不重合，問t為何值時(shí)，aBEG與ADEG相似？

(2)問：當(dāng)I在什么范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)G在線段BC上當(dāng)I在什么范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)G在線段BC

的延長線上？

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（3）當(dāng)點(diǎn)G在線段BC上（不包括端點(diǎn)B、C）時(shí)，求四邊形CDEG的面積S（cm2）關(guān)于

時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并問點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)了幾秒鐘時(shí)，S取得最大值最大值為多少？

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（8,0）、B（6,2丘）、C（0,2次），有兩點(diǎn)P、Q

同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿AB、BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單

位，點(diǎn)Q沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)這兩個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)自己的

終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)這兩點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了I秒.

（1）動(dòng)點(diǎn)P與Q哪一點(diǎn)先到達(dá)自己的終點(diǎn)？此時(shí)t為何值？

（2）若OB的半徑為1,t為何值時(shí)以PQ為半徑的OP既與OB相切又與AD相切？

（3）以PQ為直徑的圓能否與CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范圍，若不可能請

說明理由.

2

15.如圖，已知拋物線m的解析式為y=x2?4,與x軸交于A、C兩點(diǎn)，B是拋物線門上

的動(dòng)點(diǎn)（B不與A、C重合），且B在x軸的下方，拋物線n與拋物線m關(guān)于x軸對稱，以

AC為對角線的平行四邊形ABCD的第四個(gè)頂點(diǎn)為D.

（1）求證：點(diǎn)D一定在拋物線n上.

（2）平行四邊形ABCD能否為矩形？若能為矩形，求出這些矩形公共部分的面積（若只有

一個(gè)矩形符合條件，則求此矩形的面積）；若不能為矩形，請說明理由.

（3）若（2）中過A、B、C、D的圓交y軸于E、F,而P是弧CF上一動(dòng)點(diǎn)（不包括C、F

兩點(diǎn)），連接AP交y軸于N,連接EP交x軸于M.當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形AEMN的面積

是否改變？若不變，則求其面積；若變化，請說明理由.

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16.如圖I,在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,10),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1(),0),0P和。

Q的半徑分別為4和1.P從A開始在線段AO上以3單位/秒的速度移動(dòng)，Q從OB的中點(diǎn)

C開始在線段CO上以1單位/秒的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，另一點(diǎn)也隨即

停止運(yùn)動(dòng).圓心移動(dòng)時(shí)，圓也跟著移動(dòng).設(shè)點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).如圖2,當(dāng)

里時(shí)，設(shè)四邊形APQB的面積為s.

3

(1)求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如圖3,當(dāng)。P和。Q外切時(shí)，求s的值；

(3)在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻，0P和。Q內(nèi)切，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐

17.已知：拋物線y=ax，bx+c(awO),頂點(diǎn)C(l,-3),與x軸交于A,B兩點(diǎn)，A(-1,

0).

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D,與拋物線對稱軸交于點(diǎn)E,依次連接

A,D,B,E,點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P與A,B兩點(diǎn)不重合)，過點(diǎn)P作PM1AE

于M,PN_LDB于N,請判斷更3是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明

BEAE

理由；

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（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)S是線段EP上一點(diǎn)，過點(diǎn)S作FG_LEP,FG分別與邊AE,

BE相交于點(diǎn)F,G（F與A,E不重合，G與E,B不重合），請判斷圖月是否成立？若

PBEG

成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

18.請閱讀下列材料：

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.即如圖1，若弦AB、CD交于點(diǎn)P,

貝ijPA?PB=PC?PD.請你根據(jù)以上材料，解決下列問題.

己知。O的半徑為2,P是OO內(nèi)一點(diǎn)，且OP=1,過點(diǎn)P任作-弦AC,過A、C兩點(diǎn)分別

作。O的切線m和n,作PQJ_m于點(diǎn)Q,PR_Ln于點(diǎn)R.（如圖2）

（1）若AC恰經(jīng)過圓心0,請你在圖3中畫出符合題意的圖形，并計(jì)算：工二?的值；

PQT

（2）若OP_LAC,請你在圖4中畫出符合題意的圖形，并計(jì)算：工二的值；

PQT

（3）若AC是過點(diǎn)P的任一弦（圖2）,請你結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，猜想：工」的值，

PQT

并給出證明.

19.已知AB是。0的直徑，C是。O上一點(diǎn)，連接AC,過點(diǎn)C作CD_LAB于點(diǎn)D.

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（1）當(dāng)點(diǎn)E為DB上任意一點(diǎn)（點(diǎn)D、B除外）時(shí)，連接CE并延長交。O于點(diǎn)F,AF與

CD的延長線交于點(diǎn)G（如圖①）.

求證：AC2=AG*AF.

（2）李明證明（I）的結(jié)論后，又作了以下探究：當(dāng)點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)A、D除外）

時(shí)，連接CE并延長交。0于點(diǎn)F,連接AF并延長與CD的延長線在圓外交于點(diǎn)G,CG與

。。相交于點(diǎn)H（如圖②）.連接FH后，他驚奇地發(fā)現(xiàn)NGFH=NAFC.根據(jù)這一條件，

可證GF?GA=GH?GC.請你幫李明給出證明.

（3）當(dāng)點(diǎn)E為AB的延長線上或反向延長線上任意一點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外）時(shí)，如圖③、④

所示，還有許多結(jié)論成立.請你根據(jù)圖③或圖④再寫出兩個(gè)類似問題（1）、（2）的結(jié)論（兩

角、兩弧、兩線段相等或不相等的關(guān)系除外）（不要求證明）.

20.如圖（1）,已知圓O是等邊z^ABC的外接圓，過O點(diǎn)作MN〃BC分別交AB、AC于

M、N,且MN=a.另一個(gè)與AABC全等的等邊ADEF的頂點(diǎn)D在MN上移動(dòng)（不與點(diǎn)M、

N重合），并始終保持EF〃BC,DF交AB于點(diǎn)P,DE交AC于點(diǎn)Q.

（1）試判斷四邊形APDQ的形狀，并進(jìn)行證明；

（2）設(shè)DM為x,四邊形APDQ的面積為y,試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式；四邊形APDQ

的面積能取到最大值嗎？如果能，請求出它的最大值，并確定此時(shí)D點(diǎn)的位置.

（3）如圖（2）,當(dāng)D點(diǎn)和圓心O重合時(shí)，請判斷四邊形APDQ的形狀，并說明理由；你

能發(fā)現(xiàn)四邊形APDQ的面枳與AABC的面積有何關(guān)系嗎？為什么？

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21.如圖，已知一次函數(shù)y=x+2的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，圓Oi過以0B為

邊長的正方形OBCD的四個(gè)頂點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)在四邊形ABCD上運(yùn)動(dòng)，

其中動(dòng)點(diǎn)P以每秒燈個(gè)單位長度的速度沿A^B^C運(yùn)動(dòng)后停止，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位

長度的速度沿A3O玲D1C3B運(yùn)動(dòng)，AO1交于y軸于E點(diǎn)，P、Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tl秒）

（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)是：

（2）三角形ABE的面積是;

（3）當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段AD上時(shí)，是否存在某一時(shí)刻I（秒），使得SMPQ：SAABE=3：4?

若存在，請確定I的值和直線PQ所對應(yīng)的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由？

22.如圖，OA和。B是外離兩圓，0A的半徑長為2,0B的半徑長為1,AB=4,P為連

接兩圓圓心的線段AB上的一點(diǎn)，PC切（DA于點(diǎn)C,PD切（DB于點(diǎn)D.

（1）若PC=PD,求PB的長.

（2）試問線段AB上是否存在一點(diǎn)P,使PC?+PD2=4?如果存在，問這樣的P點(diǎn)有兒個(gè)并

求出PB的值；如果不存在，說明理由.

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到某處，使PC_LPD時(shí)，就有ZiAPCsZ\PBD.請問：除上

述情況外，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到何處（說明PB的長為多少；或PC、PD具有何種關(guān)

23.已知拋物線y=』x2+bx+c與x軸交于A（xi,0）,D（X2,0）（xi>x2）兩點(diǎn)，并且AD=1,

2

又經(jīng)過點(diǎn)B（4,I）,與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線y=-^x2+bx+c的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求點(diǎn)A及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）如圖1,連接AB,在題1中的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使APAB是以AB為直角邊的

直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（4）如圖2,連接AC,E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)

的圓交直線AB于點(diǎn)F,當(dāng)aOEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

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24.關(guān)于圖形變化的探討：

(1)①例題1.如圖1,AB是。。的直徑，直線I與OO有一個(gè)公共點(diǎn)C,過A、B分別

作1的垂線，垂足為E、F,則EC=CF.

②上題中，當(dāng)直線1向上平行移動(dòng)時(shí)，與。O有了兩個(gè)交點(diǎn)Ci、C2,其它條件不變，如圖

2,經(jīng)過推證，我們會得到與原題相應(yīng)的結(jié)論：ECI=C2F.

③把直線1繼續(xù)向上平行移動(dòng)，使弦C|C2與AB交于點(diǎn)P(P不與A,B重合).在其它條

件不變的情況下，請你在圖3的圓中將變化后的圖形畫出來，標(biāo)好對應(yīng)的字母，并寫出與

①②相應(yīng)的結(jié)論等式.判斷你寫的結(jié)論是否成立，若不成立，說明理由，若成立，給以證

明.結(jié)論.證明結(jié)論成立或說明不成立的理由

(2)①例題2.如圖4,BC是。O的直徑.直線I是過C點(diǎn)的切線.N是。O上一點(diǎn)，直

線BN交I于點(diǎn)M.過N點(diǎn)的切線交I于點(diǎn)P,則PM2=PC2.

②把例題2中的直線1向上平行移動(dòng)，使之與。。相交，且與直線BN交于B、N兩點(diǎn)之

間.其它條件仍然不變，請你利用圖5的圓把變化后的圖形畫出來，標(biāo)好相應(yīng)的字母，并寫

出與①相應(yīng)的結(jié)論等積式，判斷你寫的結(jié)論是否成立，若不成立，說明理由，若成立，給

以證明.結(jié)論.證明結(jié)論成立或說明不成立的理由：

(3)總結(jié)：請你通過(I)、(2)的事實(shí)，用簡練的語言，總結(jié)出某些幾何圖形的一個(gè)變化

規(guī)律_____________.

第12頁共69頁

25.如I圖I,已知拋物線y悖2+bx+c經(jīng)過A(3,())、B(0,4)兩

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,求點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)D是第二象限內(nèi)點(diǎn)，以D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點(diǎn)E、F、

H(如圖2),問在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)一點(diǎn)P,使得IPH-PAI的值最大？若存在,

求出該最大值；若不存在，請說明理由.

26.如圖1,在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),以O(shè)A為邊在第四象限內(nèi)作等邊AAOB,

點(diǎn)C為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)(OC>1),連接BC,以BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊aCBD,

直線DA交y軸于點(diǎn)E.

(1)試問AOBC與AABD全等嗎？并證明你的結(jié)論；

(2)隨著點(diǎn)C位置的變化，點(diǎn)E的位置是否會發(fā)生變化？若沒有變化，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

若有變化，請說明理由；

(3)如圖2,以0C為直徑作圓，與直線DE分別交于點(diǎn)F、G,設(shè)AOm,AF=n,用含n

27.如圖，半圓O的直徑AB=l2cm,射線BM從與線段AB重合的位置起，以每秒6。的旋

轉(zhuǎn)速度繞B點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至BP的位置，BP交半同于E,設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為ts(0<t<15),

(1)求E點(diǎn)在圓弧上的運(yùn)動(dòng)速度(即每秒走過的弧長)，結(jié)果保留兒

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(2)設(shè)點(diǎn)C始終為標(biāo)的中點(diǎn)，過C作CD_LAB于D,AE交CD、CB分別于G、F,過F

作FN〃CD,過C作圓的切線交FN于N.

求證：①CN〃AE；

②四邊形CGFN為菱形：

③是否存在這樣的t值，使BE2=CF?CB?若存在，求t值：若不存在，說明理由.

28.如圖，經(jīng)過。0的圓心，E、F是兩圓的交點(diǎn)，直線00,交。0,于點(diǎn)P,交EF于點(diǎn)

C,交。O于點(diǎn)Q,且EF=2，I^,sin/P」.

4

(1)求證：PE是。0的切線；

(2)求。O和。O”的半徑的長；

(3)若點(diǎn)A在劣弧而上運(yùn)動(dòng)(與點(diǎn)Q、F不重合)，連接PA交劣弧而于點(diǎn)B,連接BC并

延長交。0于點(diǎn)G,設(shè)CG=x,PA=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范

29.已知RSABC,/BAO90。，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，AD=AC,BO4加，過A,D兩點(diǎn)作

。0,交AB于點(diǎn)E,

(1)求弦AD的長；

(2)如圖1,當(dāng)圓心0在AB上且點(diǎn)M是。O上一動(dòng)點(diǎn)，連接DM交AB于點(diǎn)N,求當(dāng)

ON等于多少時(shí)，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形？

(3)如圖2,當(dāng)圓心0不在AB上且動(dòng)圓(DO與DB相交于點(diǎn)Q時(shí)，過D作DH_LAB(垂

足為H)并交。0于點(diǎn)P,問：當(dāng)。0變動(dòng)時(shí)DP-DQ的值變不變？若不變，請求出其值；

若變化，請說明理由.

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c

（圖1）（圖2）

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參考答案

1.已知。Ol和。02的半徑都等于1,0102=5,在線段0102的延長線上取一點(diǎn)03,使0203=3,

以03為圓心，R=5為半徑作圓.

（1）如圖1,003與線段0102相交于點(diǎn)Pi,過點(diǎn)P1分別作。0|和。02的切線P1A|、PIBI

（Al、Bl為切點(diǎn)），連接OlAi、O2B1,求P1A1：P1B1的值；

（2）如圖2,若過02作02P2_LO1O2交03于點(diǎn)P2,乂過點(diǎn)P2分別作。O1和。02的切線

P2A2、P2B2（A2、B2為切點(diǎn)）,求P2A2：P2B2的值；

（3）設(shè)在。03上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作。Oi和。02的切線PA、PB（A、B為切點(diǎn)）,

由（1）（2）的探究，請?zhí)岢鲆粋€(gè)正確命題.（不要求證明）

解：（1）在圖1中，由已知A為切點(diǎn)，得OIAI_LPIAI.

/.△OIAIPI是直角三角形.

同理可得△OzBB是直角二角形.

APiAi=V8，PiBi=V3-

AP1A1：PiBi=V8：73=272：近.

（2）在圖2中，連接O1A2,O2B2,P2O1,P2O3.

在RtZkO2O3P2中，P2O2=4,P2B2=VT5-

同理可解，得P2O1=J^LP2A

??.p2A2：P2B2=V4C：V15=V8：73=272：V3-

（3）提出的命題是開放性的，只要正確都可以.

如：1.設(shè)在。03上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作001、002的切線PA、PB（A、B

為切點(diǎn)）.

則有PA：PB=2沈：加或PA：PB是一個(gè)常數(shù)；

2.在平面上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作。Ol、。02的切線PA、PB（A、B為切點(diǎn)）,

若PA：PB=V8：J5，則點(diǎn)P在。03上.

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2.如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,且頂點(diǎn)M

坐標(biāo)為（1,2）,

（1）求該拋物線的解析式；

（2）現(xiàn)將它向右平移m（m>0）個(gè)單位，所得拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn)，與原拋物線

交于點(diǎn)P,ACDP的面積為S,求S關(guān)于m的關(guān)系式；

（3）如圖②，以點(diǎn)A為圓心，以線段OA為半徑畫圓，交拋物線y=ax?+bx+c的對稱軸于

點(diǎn)B,連接AB,若將拋物線向右平移m（m>0）個(gè)單位后，B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為B\A點(diǎn)的對

應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)，且滿足四邊形BAAB，為菱形，平移后的拋物線的對稱軸與菱形的對角線B"

交于點(diǎn)E,在x軸上是否存在一點(diǎn)F,使得以E、F、X為頂點(diǎn)的三角形與4BAE相似？若存

在，求出F點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

解：（1）由拋物線丫=2*2+6乂+<:經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)可得，

c=0,

由頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1,2）,可得A點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,

將他們的坐標(biāo)值分別代入解析式可得，

‘2二a+b

0=4a+2b

解得，（a=-2,

b=4

故該拋物線的解析式為：y=-2X2+4X；

第17頁共69頁

(2)現(xiàn)將它向右平移m(m>0)個(gè)單位，所得拋物線解析式為:

y=-2(x-m)2+4(x-m),

原拋物線與平移后的解析式交于P點(diǎn)，

_2

y=2X+4X

則有4

y=_2(x_ID)2+4(x-ID)

ID,1

x=2+1

解得，2

y=--y+2

即p點(diǎn)坐標(biāo)為:2)，

那么ACDP的高為:9而CD=29

貝ljS=-ix2x(-

2

化簡得，S=-資+介

2

(3)如圖，

四邊形BAAB，為菱形，則有菱形的邊長就是圓的半徑為2,

B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：杼二立，

那么tan/BA'A=1,

3

故NBA'A=NA'BA=30°,

A，口AC12^3

AE=AE=---1?-二—▲,

cos303

則氈二亞正好是tan30。的值，

AB3

故NBAE=90。而△BAES^A'EF,

則NA，EF=90。，

A，F(xiàn)='N…

cos303

則AF=2-S=ZF橫坐標(biāo)為：2+2屬

3333

故在x軸上存在一點(diǎn)F,F的坐標(biāo)為：(且0).

3

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圖②

3.如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M(3,0)為圓心，以6為半徑的圓分別交x軸的正半軸

于點(diǎn)A,交x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,交y軸的正半軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C的直線交x軸的負(fù)半軸

丁點(diǎn)D(-9,0)

(1)求A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求證：直線CD是0M的切線；

(3)若拋物線y=x?+bx+c經(jīng)過M,A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；

(4)連接AC,若(3)中拋物線的對稱軸分別與直線CD交于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)F.如

果點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得S"AM：SACEF=V3：3?若存在，請

求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(注意：本題中的結(jié)果均保留根號)

解：(1)連接CM,由題意得：OM=3,OB=3,OE=9,MC=6

OA=OM+MA=3+6=9

A(9,0)

V0C=VMC2-OM2=3^

AC(0,373)

(2)證法一:

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在RSDCO中，VDC=^DQ2+CO2=6VS

在ADCM中，VCM2+DC2=144

DM2=(DO+OM)2=(9+3)2=122=144

.*.CM2+DC2=DM2

???△DCM直角三角形.

AMC1DC,而MC是。M的半徑

???CD是。M的切線.

證法二：

在RtACOM中，YsinNMCO二里」，

CM2

AZMCO=30o

在RtADOC中，???ian/DCO=DC--"二加,

CO373

，ZDCO=60°

???ZDCM=ZMCO-ZDCO=90°

/.MCIDC,而MC中的。M半徑.

(3)由拋物線產(chǎn)x?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)M(3,0)和點(diǎn)A(9,0),可得：J9+3b+c=0

81+9b+c=0

初-fb=-12

解得：＜

lc=27

，拋物線的解析式為：y=x2-12x+27.

(4)存在

設(shè)拋物線的對稱釉交x軸于點(diǎn)H

在(2)中已證：

AZDCO=60%ZCDO=30°

???拋物線的對稱軸平行于y,

???ZCEF=ZDCO=6()°

VOD=OA=9,

ACO垂直平分AD

.?.ZCAO=ZCDO=30°

在RtZkAFH中，ZAFH=60°

；?NEFC=60°

???△CEF是等邊三角形

過點(diǎn)C作CG_LEF于點(diǎn)G,則CG=6

可得：EF=4加，SaCE尸2EF?CG』4心6二12?；

22

若點(diǎn)P在軸的上方，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),SAPAM=—AM*y=3y,SAPAM：SACEF=V3-

2

3

???3y：12行無：3,

解得：y=4.

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當(dāng)y=4時(shí)，即x2-l2x+27=4,解得X=6±A/13

，P<6-V13?4）或（6+V13?4）.

②若點(diǎn)P在x軸上，則點(diǎn)P與點(diǎn)M或與點(diǎn)A重合，此時(shí)構(gòu)不成三角形.

③若點(diǎn)P在x軸下方，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）

SAPAM=—AM*（-y）=-3y,S^PAM：SACEF=V3:3

2

:.-3y：1273=73：3

解得：y=-4

當(dāng)y=-4時(shí)，HPx2-12x+27=-4,解得x=6±^/5-

AP（6-V5??4；或（6+加,-4）.

???這樣的點(diǎn)共有4個(gè)，

AP<6-V13,4）或（6+任，4）或（6-遮-4）或（6+V^，-4）.

4.如圖1,正方形ABCD中，有一直徑為BC=2cm的半圓0.兩點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、點(diǎn)

A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以lcm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A-D-C以2cm/s

的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)的B時(shí)間為t（s）,其中14V2.

（1）當(dāng)I為何值時(shí)，線段EF和BC平行？

（2）EF能否與半圓O相切？如果能，求出t的值；如果不能，請說明原因.

（3）如圖2,設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化？若

發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，也請說明理由，并求AP：PC的值.

變式：如圖3,若將上題改為，正方形ABCD中，有一直徑為BC=2cm的半圓O.點(diǎn)E為

AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)E與圓0相切的直線交CD所在直線為點(diǎn)F,

設(shè)EB=x,FD=y.

（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

（2）是否存在切線EF,把正方形ABCD的周長分成相等的兩部分？若存在，求出x的值.若

不存在，請說明理由.

第21頁共69頁

解：（1）如圖1,設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了ts時(shí)，有EF和BC平行.

貝ijBE=t,DF=2（-2.

t=4-2t.

解得l=&

3

???當(dāng)t's時(shí),線段EF和BC平行.

（2）設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，EF與半圓相切.

作OM_LEF于點(diǎn)M,ON〃CF交EF于點(diǎn)N,KFVBC交AB于點(diǎn)K,如圖2.則

OM=1,BE=t,CF=4-2t,EK=t-（4-2t）=3t-4,ON=」［t+（4-2t）1=2-工.

22

在RQOMN中,MN2=ON2-OM2=4t2-8t+3.

22

VAOMN^AFKE,工義］二塢；，

MN2EK2

將有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式并整理，得2t2-41+1=0

解得口空Z1

2

Vl<t<2,，匚生后.

2

工當(dāng)匚咨時(shí)，線段EF與半圓相切.

2

（3）當(dāng)1SIV2時(shí)，點(diǎn)P的位置不會發(fā)生變化.

證明：設(shè)14V2時(shí)，E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，EF位置如圖

貝ljBE=t,AE=2-t,CF=4-2l

?AE二2-t二1

.而二4-2tG

又??,AB//DC/.AAEP^ACFP

.??期1」，即點(diǎn)P的位置與t的取值無關(guān).

PCFC2

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???當(dāng)13V2時(shí)，點(diǎn)P的位置不會發(fā)生變化，且AP：PC的值為工

2

圖⑵圖⑶

(1)如圖(1),當(dāng)F點(diǎn)在CD的延長線上，過E作EH_LDC,交DC于F點(diǎn)，易證

EB=EM=x,MF=FC=FD+DC=y+2,

在RtAEHF中，由勾股定理得EH2+FH2=EF2,

即22+(y+2-x)2=(x+2+y)2,

整理得xy+2x-1=0,

,1_2x

??尸-----

x

VI-2x>0

：?

2

???點(diǎn)F在DC上的函數(shù)關(guān)系式為尸匕空(Q<x<l)

x2

如圖(2),當(dāng)E點(diǎn)重合于D點(diǎn)時(shí)，即FD二產(chǎn)0,易求出EM=EB二HC=x,DM=DC=2,

ADH=DC-HC=2-x,

即在RSEHD中,ED2=EH2+HD2,

???(x+2)2=22+(2-x)2,

解得x」，

2

如圖(3),當(dāng)F點(diǎn)在DC上，在RlAEHF中，

由勾股定理得EH2+FH2=EF2,

即22+(y-2+x)2=(x+2-y)2,

整理得xy=2x-1,

.2x-l

??y二.

X

V2x-l>0,

2

???點(diǎn)F在DC上的函數(shù)關(guān)系式為尸(1<X<2)；

(2)如圖(3),假設(shè)EF把正方形周長分成相等兩部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF,

.*.2-x+2+y=x+2+2-y整理得x=y

第23頁共69頁

2x-l

由上面可知,X,解得x=l,

???存在切線EF,把正方形的周長分成相等的兩部分，此時(shí)x=l.

圖1

5.已知：直角梯形OABC中，BC〃OA,ZAOC=90%以AB為直徑的圓M交0C于D、

E,連接AD、BD、BE.

(1)在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖1中的兩對相似三角形.

△OADs^CDB,AADBs△ECB；

(2)直角梯形OABC中，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系(如圖2),

若拋物線y=ax2-2ax-3a(a<0)經(jīng)過點(diǎn)A、B、D,且B為拋物線的頂點(diǎn).

①寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)(用a的代數(shù)式表示)(1,-4a)；

②求拋物線的解析式：

③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P：過點(diǎn)P做PN_Lx軸于N,使得^PAN與AOAD

相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

第24頁共69頁

解：（1）AOAD^ACDB,AADB^AECB；（4分）

（2）①（1,-4a）（5分）

?VAOAD^ACDB

...匹g/分）

OA0D

Vax2-2ax-3a=0?可得A（3,0）（8分）

X*/OC=-4a,OD=-3a,CD=-a,CB=I,

.1-a

-一3a二3

a2=1,

Va<0,

/.a=-I；

故拋物線的解析式為：y=-X2+2X+3（10分）

③存在，（II分）

設(shè)P（x,-X2+2X+3）

???△PAN與^OAD相似，且aOAD為等腰三角形

APN=AN

當(dāng)xVO（xV-l）時(shí)，-x+3=-（-X2+2X+3）?XI=-2,X2=3（舍去），

：.P（-2,-5）（13分）

當(dāng)x>0（x>3）時(shí)，x-3=-（-X2+2X+3）,XI=0,X2=3；（都不合題意舍去）

符合條件的點(diǎn)P為（-2,-5）.（14分）

6.如圖，拋物線y=ax?+bx+c的頂點(diǎn)為A(4,4),且拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，和x軸相交于另一

點(diǎn)B,以AB為一邊在宜線AB的右側(cè)畫正方形ABCD.

(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；

(2)能否將此拋物線沿著直線x=4平移，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過正方形ABCD的另兩

個(gè)頂點(diǎn)C、D若能，寫出平移后拋物線的解析式；若不能，請說明理由；

(3)若以點(diǎn)A(4,4)為圓心，r為半徑畫圓，請你探究：

①當(dāng)r=2時(shí),0A上有且只有一個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離等于2；

②當(dāng)斤6時(shí),0A上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離等于2；

③隨著r的變化，OA上到直線BD的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也隨著變化，請根據(jù)。A上到

直線BD的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論相應(yīng)的I?的值或取值范圍.

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解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-4)2+4,

則有：a(0-4)之的加，

解得a=-l

4

Ay=-1(x-4)2+4.

4

根據(jù)A(4,4)可知，NAOB=45。

VAO=AB,

AAAOB為等腰直角三角形.

AZOAB=90%即0、A、D三點(diǎn)共線,

因此直線BD〃y軸，直