不等式及其性質(zhì)第2課時(shí)練習(xí) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版2019必修第一冊(cè)

第2課時(shí)不等式的證明方法一、選擇題1.下圖是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程的流程圖,在此流程圖中,與①②兩條流程線的思維方法匹配正確的是 ()A.①綜合法,②反證法B.①分析法,②反證法C.①綜合法,②分析法D.①分析法,②綜合法2.已知a>b>c,且a+b+c=0,則下列不等式恒成立的是 ()A.ac>bc B.ab>acC.a|b|>c|b| D.a2>b2>c23.分析法又叫執(zhí)果索因法,若使用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:b2-ac<3a”,索的因應(yīng)是下列式子中的 A.(a-b)(a-c)>0B.(a-b)(a-c)<0C.(b-a)(b-c)>0D.(b-a)(b-c)<04.利用反證法證明:若a+b2=0,則a=0且b=0,應(yīng)假設(shè) ()A.a,b不都為0B.a,b都不為0C.a,b不都為0,且a≠bD.a,b至少有一個(gè)為05.實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0,則下列關(guān)系式成立的是 ()A.b>a>c B.c>a>bC.b>c>a D.c>b>a6.已知a1,a2∈(1,+∞),若P=1a1+1a2,Q=1a1a2+1,則A.P>Q B.P=QC.P<Q D.不確定7.已知a>b>c,則1a-b+1b-c+A.為正數(shù) B.為非正數(shù)C.為非負(fù)數(shù) D.不確定8.(多選題)要證明x<y,只需證明不等式M,不等式M可能是 ()A.x2<y B.|x|<yC.-x<y D.x<0★9.(多選題)下列命題為真命題的是 ()A.?a,b∈R,|a-2|+(b+1)2≤0B.?a∈R,?x∈R,使得ax>2C.ab≠0是a2+b2≠0的充要條件D.若a≥b>0,則a1+a二、填空題10.設(shè)a=3+5,b=2+6,則a,b的大小關(guān)系為.(用“>”連接)

11.已知x<1,則x2+2與3x的大小關(guān)系為.(用“>”連接)

12.若aa+bb>ab+ba,則實(shí)數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件是.

三、解答題13.已知x,y∈R,求證:x2+2y2≥2xy+2y-1.14.(1)若a,b∈(1,+∞),證明:a+b<(2)已知x∈R,a=x2+12,b=2-x,c=x2-x+1,試證明a,b,c至少有一個(gè)不小于1第2課時(shí)不等式的證明方法1.C[解析]由已知到可知,進(jìn)而得到結(jié)論的應(yīng)為綜合法;由未知到需知,進(jìn)而找到與已知的關(guān)系為分析法,故選C.2.B[解析]因?yàn)閍+b+c=0且a>b>c,所以a-b>0,c<0,所以ac-bc=(a-b)c<0,即ac<bc,故A不正確;因?yàn)閎-c>0,a>0,所以ab-ac=a(b-c)>0,即ab>ac,故B正確;|b|有可能為0,故C不正確;取a=2,b=1,c=-3,顯然a>b>c且a+b+c=0,但a2>b2且b2<c2,故D不正確.故選B.3.A[解析]因?yàn)閍>b>c,且a+b+c=0,所以3c<a+b+c<3a,即a>0,c<0.要證b2-ac<3a,只需證b2-ac<3a2,只需證(a+c)2-ac<3a2,只需證2a2-ac-c2>0,只需證(a-c)(2a+c)>0,只需證(a-c)[a+c+(-b-c)]>0,即證(a-c)(a-b)>0,顯然成立4.A[解析]a=0且b=0表示“a,b都為0”,其否定是“a,b不都為0”.故選A.5.D[解析]由a2=2a+c-b-1,可得(a-1)2=c-b≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)),所以c≥b,由a+b2+1=0,可得a=-b2-1,所以a≠1,所以c>b.因?yàn)閎-a=b2+b+1=b+122+34>0,所以6.C[解析]由已知得P-Q=1a1+1a2-1a1a2-1=a1+a2-a1a2-1a1a2=(1-a1)(a2-1)a17.A[解析]因?yàn)閍>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以1a-b>0,1b-c>0,1a-c<1b-c,所以1b-c+1c-a8.ABD[解析]若x2<y,則x≤|x|<y,∴x<y,∴A,B中不等式都是x<y的充分條件;若x=y=2,則-x<y,但x>y,故C中不等式不是x<y的充分條件;若x<0,則x<0≤y,∴x<y,故D中不等式是x<y的充分條件.故選ABD.9.AD[解析]對(duì)于A,當(dāng)a=2,b=-1時(shí),|a-2|+(b+1)2=0,故A為真命題.對(duì)于B,當(dāng)a=0時(shí),ax>2不成立,故B為假命題.對(duì)于C,當(dāng)“ab≠0”時(shí),“a2+b2≠0”成立;當(dāng)“a2+b2≠0”時(shí),若a=1,b=0,則ab=0,故“ab≠0”不成立,所以“ab≠0”是“a2+b2≠0”的充分不必要條件,故C為假命題.對(duì)于D,當(dāng)a≥b>0時(shí),a+ab≥b+ab,即a(1+b)≥b(1+a),因?yàn)?+b>0,1+a>0,所以a1+a≥b1+b[技巧點(diǎn)撥]對(duì)于與全稱量詞或存在量詞和充分必要條件結(jié)合的不等式,要注意是全稱量詞命題還是存在量詞命題,若是有全稱量詞的不等式,則需要證明,若是有存在量詞的不等式,則只需要舉出特例即可.10.a>b[解析]∵215>212,∴8+215>8+212,即(3)2+215+(5)2>(2)2+212+(6)2,∴(3+5)2>(2+6)2,∴3+5>2+6,故a>b.11.x2+2>3x[解析](x2+2)-3x=(x-1)(x-2),因?yàn)閤<1,所以x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0,所以x2+2>3x.12.a≥0,b≥0且a≠b[解析]aa+bb>ab+ba?aa-ab>ba-bb?a(a-b)>b(a-b)?(a-b)(a-b)>0?(a+b)(a-b)2>0,故a≥0,b≥0且a≠b.13.證明:x2+2y2-(2xy+2y-1)=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)=(x-y)2+(y-1)2,∵(x-y)2≥0,(y-1)2≥0,∴(x-y)2+(y-1)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)等號(hào)成立).14.證明:(1)要證a+b<1+ab,只需證(a+b)2<(1+ab)2,只需證a+b<1+ab,即a+b-1-ab<0,即證(a-1)(1-b