江蘇省無錫市錫山高級中學(xué)2025屆高三上學(xué)期10月階段學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題

高三10月綜合練習(xí)數(shù)學(xué)一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以，所以，由可得：，即，所以，所以.故選：C.2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算可求得，由共軛復(fù)數(shù)概念即可得出結(jié)果.【詳解】，則，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限．故選：A．3.若，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：，且，故選D.【考點】三角恒等變換【名師點睛】對于三角函數(shù)的給值求值問題，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：（1）已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角和或差．（2）已知角為一個時，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余、互補”關(guān)系．4.已知單位向量，滿足，若向量，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算以及夾角的余弦公式，可得答案.【詳解】由單位向量，則，即，，.故選：B.5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，，則“對于任意，”是“公比”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式分析充分性和必要性.【詳解】若，，則，所以由對任意，，推不出，故充分性不成立；若，，則，所以對任意，成立，故必要性成立，所以對任意，是的必要不充分條件.故選：B.6.已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用向量的數(shù)量積及運算律，結(jié)合投影向量公式計算即可得解.【詳解】因為，與的夾角為，所以，則，所以在上的投影向量為．故選：B.7.已知函數(shù)的定義域為，且，為偶函數(shù)，若，，則的值為（）A.117 B.118 C.122 D.123【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和周期性求解即可.【詳解】由解得，即是以4為周期的周期函數(shù)，所以，因為為偶函數(shù)，所以，當(dāng)時有，又因為，所以，所以，，所以，所以即，故選：C8.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，，則有，，，令,利用導(dǎo)數(shù)可得，即；令，利用導(dǎo)數(shù)可得，即；令，利用導(dǎo)數(shù)可得，即，從而可得，即可得答案.【詳解】解：因為，，令，因為，所以，所以，所以，，，令,則有,所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；所以,即有,所以有(當(dāng)時取等號)，所以，即；令，則，所以單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，即，所以，即有，所以，故排除A，D；令，則，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，即，所以，所以，即，所以.故選：B.二、多選題9.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.B.若，則的最小值為C.D.若是關(guān)于的方程：的根，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)虛數(shù)單位乘方的周期性可判斷A選項，設(shè)根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算及模長公式可判斷BC選項，再根據(jù)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)二次方程的解互為共軛復(fù)數(shù)且滿足根于系數(shù)關(guān)系，判斷D選項.【詳解】A選項：由虛數(shù)單位的定義，，則，A選項錯誤；設(shè)，B選項：由，則，且，則，，又，所以當(dāng)時取最小值為，B選項正確；C選項：，，，所以，C選項錯誤；D選項：由已知復(fù)數(shù)范圍內(nèi)二次方程的兩根滿足，且與互為共軛復(fù)數(shù)，由可知，則，即，D選項正確；故選：BD.10.已知實數(shù)x，y滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】將等式改寫成關(guān)于的一元二次方程，該方程必有根即可判斷A；利用不等式可判斷B；根據(jù)不等式可判斷C；再由不等式以及的取值范圍可判斷D.【詳解】對于A，由題可知，此時必有滿足等式，即該方程必有實數(shù)根；所以，即可得；所以A錯誤；對于B，由于，再根據(jù)不等式，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式的等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式的等號成立；即B正確；對于C，，再根據(jù)不等式，得，即可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式的等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式的等號成立；所以C正確；對于D，由，可知，即；當(dāng)且僅當(dāng)或時，不等式的等號成立，由得，而，即所以，即可得；當(dāng)且僅當(dāng)或時，不等式的等號成立；所以；即D正確.故選：BCD.11.由兩角和差公式我們得到倍角公式，實際上也可以表示為的三次多項式，像、、、這些非特殊角我們可以通過觀察發(fā)現(xiàn)它們之間的相互關(guān)系，進(jìn)而求出各自的三角函數(shù)值.則（）AB.C.已知方程在上有三個根，記為，，，則D.對于任意的，當(dāng)時一定有【答案】ACD【解析】【分析】直接利用二倍角公式計算得到A正確，根據(jù)得到，解得B錯誤，設(shè)，得到三個根分別為，，，代入計算得到C正確，代入數(shù)據(jù)利用三角恒等變換得到D正確，得到答案.【詳解】對選項A：，正確；對選項B：，，整理得到，，即，解得或（舍），錯誤；對選項C：，設(shè)，，，即，，或，或，故三個根分別為，，，，正確；對選項D：，正確；故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了三角恒等變換的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)推導(dǎo)的三倍角的公式設(shè)得到方程的解，再代入計算是解題的關(guān)鍵.三、填空題12.如圖，一個半徑為的半圓，、兩點為直徑的三等分點，、兩點為弧上的三等分點，則________.【答案】##【解析】【分析】以線段的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，過點且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得的值.【詳解】以線段的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，過點且垂直于的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接、，由題意可知，，，則、、、，所以，，，故.故答案為：.13.如圖，由3個全等的鈍角三角形與中間一個小等邊三角形DEF拼成的一個較大的等邊三角形，若，，則的面積為________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理以及余弦定理求得鈍角三角形的三邊長，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及面積公式，可得答案.【詳解】因為等邊三角形，所以，則，在中，由正弦定理，則，解得，由余弦定理，則，整理可得：，則，解得或（舍去），等邊邊長為，其面積為.故答案為：.14.在數(shù)列中，且，當(dāng)時，，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由數(shù)列的遞推式可得，求和后結(jié)合條件可得，求出即可.【詳解】因為，，所以，當(dāng)時，，所以，所以，所以，因為，所以，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是由數(shù)列的遞推式可得，然后利用累加法求和求解范圍即可.四、解答題15.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，，且.（1）求角的大??；（2）若，的外接圓直徑為，求的周長.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）借助向量垂直數(shù)量積為零結(jié)合余弦定理即可得解；（2）借助正弦定理計算可得，再利用余弦定理計算可得，即可得其周長.【小問1詳解】由，得，整理得，所以由余弦定理，得，因為，所以；【小問2詳解】由（1）根據(jù)正弦定理，得，解得，由余弦定理，得，解得，所以的周長為.16.已知函數(shù)（1）若，求的值；（2）證明：函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；（3）現(xiàn)在已經(jīng)得知函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）代入數(shù)據(jù)直接計算即可；（2）計算得到證明；（3）根據(jù)單調(diào)性和對稱性得到恒成立，考慮x=0和兩種情況，利用均值不等式計算最值得到答案.小問1詳解】由題設(shè)，解得；【小問2詳解】，，故，即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；【小問3詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)，不等式恒成立，等價于，整理得當(dāng)時，不等式成立，此時；當(dāng)時，，而，當(dāng)時等號成立，故，即；綜上所述：的取值范圍為.17.中，內(nèi)角所對的邊分別為，．（1）求；（2）如圖，點為邊上一點，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角公式，化簡整理，可求得，的值，即可求得答案.（2）根據(jù)（1）可求得，進(jìn)而可求得，根據(jù)余弦定理，可求得，進(jìn)而可求得，代入面積公式，即可求得答案.【小問1詳解】∵，∴，∴，由正弦定理，可得，∵，∴，，∵，∴，則，∴＝．【小問2詳解】，又，∵，∴，∵，∴，則，∴sin＝＝，又，∴在中，由正弦定理，可得，∴，，∴＝＝＝．18.已知為數(shù)列的前項和，，．（1）求的通項公式；（2）若，，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：根據(jù)得到，從而得到，可得的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，得到答案；法二：變形得到，結(jié)合，得到，利用求出答案；（2）變形得到，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，求和，得到答案.【小問1詳解】法一:當(dāng)時，，即，由，得，由，得，兩式相減得：．又，滿足上式．所以當(dāng)時，，又當(dāng)時，，兩式相減得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為奇數(shù)），數(shù)列的偶數(shù)項是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以（n為偶數(shù)），所以，即的通項公式是．法二：因為，所以，同理可得，故，因為，所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，適合上式，所以的通項公式是.【小問2詳解】因為，故當(dāng)時，①，當(dāng)時，②，①、②兩式相減得：，因為，，所以，因為，所以當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以，所以；當(dāng)n為偶數(shù)時，,當(dāng)n為奇數(shù)時，，綜上，.19.若實數(shù)集對，均有，則稱具有Bernoulli型關(guān)系．（1）若集合，判斷是否具有Bernoulli型關(guān)系，并說明理由；（2）設(shè)集合，若具有Bernoulli型關(guān)系，求非負(fù)實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，證明：．【答案】（1）具有Bernoulli型關(guān)系，理由見解析；（2）,（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)定義判斷是否滿足即可；（2）令，，，再對其求導(dǎo)，分，，三種情況分析單調(diào)性及最值，即可求解；（3）化簡，可得且，根據(jù)（2）中的結(jié)論，可得，再根據(jù)的范圍求出的范圍，進(jìn)而可求出的范圍，最后可得的范圍．【小問1詳解】依題意，是否具有型關(guān)系，等價于判定以下兩個不等式對于是否均成立：①，②，，，具有型關(guān)系．【小問2詳解】令，，，則，①當(dāng)時，顯然有，成立；②當(dāng)時，若，則，即，在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，則，即，若