湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

高三第一次模擬考試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．設(shè)集合，則（）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，且，則的值為（）A． B． C． D．3．在中，，為的中點(diǎn)，，為上一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．4．已知甲植物生長(zhǎng)了一天，長(zhǎng)度為，乙植物生長(zhǎng)了一天，長(zhǎng)度為.從第二天起，甲每天的生長(zhǎng)速度是前一天的倍，乙每天的生長(zhǎng)速度是前一天的，則甲的長(zhǎng)度第一次超過(guò)乙的長(zhǎng)度的時(shí)期是（）（參考數(shù)據(jù)：?。〢．第天 B．第天 C．第天 D．第天5．已知四棱錐的底面為矩形，，，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，為四棱錐內(nèi)切球表面上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為（）A． B． C． D．6．已知是定義在上單調(diào)遞增且圖像連續(xù)不斷的函數(shù)，且有，設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．D．7．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)作不與軸垂直的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，設(shè)的外心和重心的縱坐標(biāo)分別為（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則的值為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9．記函數(shù)的最小正周期為，若，且在上的最大值與最小值的差為，則（）A． B．C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)10．已知數(shù)列各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足，則（）A．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)小于 B．?dāng)?shù)列不可能是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列中存在大于的項(xiàng)11．球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門(mén)學(xué)科.如圖，球的半徑為，，，為球面上三點(diǎn)，劣弧的弧長(zhǎng)記為，設(shè)表示以為圓心，且過(guò)，的圓，同理，圓，的劣弧，的弧長(zhǎng)分別記為，，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，若，則稱(chēng)其為曲面等邊三角形，線(xiàn)段，，與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面.設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．若平面是面積為的等邊三角形，則B．若，則C．若，則球面的體積D．若平面為直角三角形，且，則第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．甲乙兩個(gè)盒子中裝有大小、形狀相同的紅球和白球，甲盒中有個(gè)紅球，個(gè)白球；乙盒中有個(gè)紅球，個(gè)白球.先從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)球，則從乙盒中取出的是紅球的概率為.13．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是，則實(shí)數(shù)．14．正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，的面積為.四、解答題（本題共5小題，共77分）15．（13分）若銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，其外接圓的半徑為，且．(1)求角的大??；(2)求的取值范圍.16．（15分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求；(2)設(shè)，若存在數(shù)列滿(mǎn)足，，，且數(shù)列為等比數(shù)列，求的前項(xiàng)和．17．（15分）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點(diǎn)在上，且．(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．18．（17分）年月日，由科技日?qǐng)?bào)社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評(píng)選出的年國(guó)內(nèi)十大科技新聞揭曉.某高校一學(xué)生社團(tuán)隨機(jī)調(diào)查了本校名學(xué)生對(duì)這十大科技的了解情況，按照性別和了解情況分組，得到如下列聯(lián)表：(1)判斷是否有的把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異；(2)若把這名學(xué)生按照性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，記抽取的人中女生數(shù)為，求的分布列及.附：①，其中；②當(dāng)時(shí)有的把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián).19．（17分）已知函數(shù).(1)證明：；(2)設(shè)，求證：對(duì)任意的，都有成立.數(shù)學(xué)答案一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，所以，解得，所以，，故．故選：D．2.【答案】D【解析】首先設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)和得出方程組，求解可得：，通過(guò)計(jì)算可得：，代入即可得解.【詳解】設(shè)，由且，得，解得，.∴，而，.∴.故選：D.3.【答案】D【分析】由中點(diǎn)可知，根據(jù)模長(zhǎng)關(guān)系可得，設(shè)，結(jié)合平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算以及基本定理可得，用表示，結(jié)合模長(zhǎng)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，即，解得，又因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)，設(shè)，則，可得，解得，即，則，可得，即.故選：D.4.【答案】C【分析】設(shè)甲植物每天生長(zhǎng)的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，甲植物每天生長(zhǎng)的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和分別為、，依題意得到、的通項(xiàng)公式，即可求出、，再由得到，最后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】設(shè)甲植物每天生長(zhǎng)的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，甲植物每天生長(zhǎng)的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和分別為、（即天后樹(shù)的總長(zhǎng)度），則，，所以，，由，可得，即，即，解得或（舍去），由則，因?yàn)?，即，又，所以的最小值?故選：C.5.【答案】B【分析】分別為和的中點(diǎn)，平面截四棱錐的內(nèi)切球所得的截面為大圓，求出圓的半徑，利用圓心到直線(xiàn)距離求點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值.【詳解】如圖，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，，.

球?yàn)樗睦忮F的內(nèi)切球，底面為矩形，側(cè)面為正三角形且垂直于底面，則平面截四棱錐的內(nèi)切球所得的截面為大圓，此圓為的內(nèi)切圓，半徑為，與，分別相切于點(diǎn)，平面平面，交線(xiàn)為，平面，為正三角形，有，∴平面，平面，∴，，，則有，，，則中，，解得.所以，四棱錐內(nèi)切球半徑為，連接.∵平面，平面，∴，又，平面，，∴平面，∵平面，可得，所以?xún)?nèi)切球表面上一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值即為線(xiàn)段的長(zhǎng)減去球的半徑，又.所以四棱錐內(nèi)切球表面上的一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為.故選：B.6.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義和性質(zhì)以及利用反證法證明不等式，結(jié)合選項(xiàng)先證明，再根據(jù)，可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】得到，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以不恒等于，故，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，若存在使得，則，則恒等于，與單調(diào)遞增矛盾，故，，若存在，使得因?yàn)檫B續(xù)，，故存在，使得，與上述矛盾，故，,對(duì)于本題，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，因?yàn)閱握{(diào)遞增，故不取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，有，即，當(dāng)時(shí)，令，,因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，所?綜上所述.故選：D.7.【答案】D【分析】設(shè)，，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消元、列出韋達(dá)定理，的重心的縱坐標(biāo)，再表示出、的垂直平分線(xiàn)方程，從而求出，即可得解.【詳解】設(shè)，，顯然，直線(xiàn)的方程為，由整理得，顯然，所以，，所以，所以的重心的縱坐標(biāo)，又的外心既在的垂直平分線(xiàn)上，也在的垂直平分線(xiàn)上，又的垂直平分線(xiàn)方程為整理得，同理可得的垂直平分線(xiàn)方程為，則，解得，即外心的縱坐標(biāo)，所以.故選：D.8.【答案】A【分析】令，得到，關(guān)于的函數(shù)式，進(jìn)而可得關(guān)于的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并確定最值，即可求的最小值.【詳解】令，則，，∴，，所以，若，則，∴，有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，即的最小值為.故選：A.9.【答案】B、D【分析】根據(jù)題意，先由函數(shù)周期以及可得，再由條件可得的值，即可得到，然后對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由，又，可得，又，則，即，若在上單調(diào)，則，即，令，則，即在上單調(diào)遞減，即，即，此時(shí)，此時(shí)，不符合題意，所以在上不單調(diào)，即在上不單調(diào)，又，即，即，即，，若，此時(shí)，符合題意；若，此時(shí)，不符合題意；綜上可得，，即，對(duì)于A(yíng)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)，則，且在上先遞減后遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，，可得是在處的切線(xiàn)，故D正確；故選：BD.10.【答案】B、C、D【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求出和的值，可判斷選項(xiàng)A，利用反證法判斷選項(xiàng)B和D，分析的符號(hào)，即可判斷選項(xiàng)C.【詳解】由題知，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，又，且，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，由于，即，變形可得，必有，與等比數(shù)列定義矛盾，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，可得，必有即，則是遞增數(shù)列，C正確；對(duì)于D，假設(shè)數(shù)列中不存在大于的項(xiàng)，即對(duì)于，有，則，所以有，變形得，與假設(shè)矛盾，故D正確.故選：BCD.11.【答案】B、C【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解A，根據(jù)勾股定理以及弧長(zhǎng)公式即可求解B，根據(jù)球的截面性質(zhì)可得求解C，根據(jù)余弦定理，取反例即可求解D.【詳解】若平面是面積為的等邊三角形，則，則，.A不正確.若，則，則.B正確.若，則，，則平面的外接圓半徑為，則到平面的距離，則三棱錐的體積，則球面的體積.C正確.由余弦定理可知因?yàn)椋?，則.取，，則，，則.D不正確.故選：BC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）12.【答案】【分析】記從乙盒中取出的是紅球?yàn)槭录?，從甲盒中取出的球?yàn)榧t球?yàn)槭录?，取出白球?yàn)槭录梢阎傻贸龅闹?，然后根?jù)全概率公式，即可得出答案.【詳解】記從乙盒中取出的是紅球?yàn)槭录?，從甲盒中取出的球?yàn)榧t球?yàn)槭录〕霭浊驗(yàn)槭录?，由已知可得，，，，，根?jù)全概率公式可得，.故答案為：.13.【答案】【分析】求出的通項(xiàng)公式，得到與，從而得到展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)，得到方程，求出.【詳解】∵展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令得，即．令得，即，∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故，解得．故答案為：.14.【答案】【分析】利用等體積法求得正面體內(nèi)切球的半徑為，取的中點(diǎn)為，利用向量的運(yùn)算得到，易知當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，取得最小值，由是的中點(diǎn)，則三點(diǎn)共線(xiàn)求解.【詳解】由正四面體的棱長(zhǎng)為，則其高為，則其體積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，解得，如圖，

取的中點(diǎn)為，則，顯然，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，取得最小值，設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，可求得，則球心到點(diǎn)的距離，所以?xún)?nèi)切球上的點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為，∵是的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，∴在中，邊上的高為..故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分）15.【答案】【分析】（1）利用正弦定理可將化簡(jiǎn)為，再次化簡(jiǎn)得，從而求得，從而可求解.（2）由的外接圓半徑為，從而得，從而可得，由為銳角三角形可得，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)從而可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，由正弦定理得，顯然，，所以，所以，因?yàn)椋裕?）因?yàn)橥饨訄A的半徑為，所以，所以，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，即．令，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，所以，即，所以，即的取值范圍為.16.【答案】【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)和等比中項(xiàng)列方程解出公差，再由基本量法寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由已知和等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再由錯(cuò)位相減法和等差數(shù)列的前和公式共同求出結(jié)果.【詳解】（1）∵是等差數(shù)列，，，∴，．∵，，構(gòu)成等比數(shù)列，∴，化簡(jiǎn)可得，∴，所以．（2）∵，，，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，∴，而，∴，∴，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①，②，①②相減得，化簡(jiǎn)可得又因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，綜上可得．17.【分析】（1）由余弦定理結(jié)合勾股定理逆定理可得，后結(jié)合平面平面，可得，后結(jié)合可得結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，即可得答案.【詳解】（1）不妨設(shè)，∴，由余弦定理得，在中，，∵平面平面，平面平面平面，∴平面．∵平面，∵四邊形是菱形，∴，又∵，且平面平面平面．（2）在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵四邊形是菱形，，∴均為等邊三角形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，及過(guò)點(diǎn)平行于的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，由（1）平面，∴為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則即．令，可得，∵，∴平面與平面的夾角的余弦值為．18.【分析】（1）根據(jù)題意和公式求出，然后根據(jù)附②即可得出結(jié)論；（2）由題得出的取值依次為，依次求出各種取值的概率，然后寫(xiě)出分布列求出期望.【詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異.（