山東省聊城第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1設(shè)集合，，若，則集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將代入方程求出，再求集合即可.【詳解】由可知，當(dāng)時(shí)，，解得：或，即.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.3.已知命題p：，；命題q：，，則（）A.p和q都是真命題 B.和q都是真命題C.p和都是真命題 D.和都是真命題【答案】B【解析】【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取、，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.【詳解】對(duì)于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，對(duì)于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，綜上，和都是真命題.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】切化弦，通分即可求解.【詳解】因?yàn)?，因?yàn)椋?故選：A.5.函數(shù)在區(qū)間的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先利用奇偶函數(shù)的定義判斷奇偶性，可排除A，B，再利用導(dǎo)函數(shù)求時(shí)，的單調(diào)性可排除D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故在為奇函數(shù)，因此的圖象關(guān)于對(duì)稱，故可以排除A，B，又，，當(dāng)時(shí)，，因此可得f′x在單調(diào)遞增，故，即當(dāng)時(shí)，f′x因此可得在單調(diào)遞增，結(jié)合圖象知C正確，故選：C.6.已知函數(shù)，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，結(jié)合的奇偶性和單調(diào)性，，得到大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，而，所以，∴．故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小7.在中，交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可由坐標(biāo)法求解，以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.【詳解】解：由題可建立如圖所示坐標(biāo)系：由圖可得：，又，故直線的方程：，可得，所以，故選：C.8.設(shè)函數(shù)，若，則a的最小值為（）A. B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷在不同區(qū)間的符號(hào)，在結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得為該二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合恒成立列不等式求參數(shù)最值.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，而，，，要使，則二次函數(shù)，在上，在上，所以為該二次函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)，易得，則，且開口向上，所以，只需，故a的最小值為.故選：B二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的有（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)不等式的相關(guān)性質(zhì)可得A,D項(xiàng)正確；通過舉反例可說明B,C項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由和不等式性質(zhì)可得，故A正確；對(duì)于B，因，若取，，，，則，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，若取，，，，則，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，則，又因則，由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正確．故選：AD．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緽C【解析】【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐次判斷各選項(xiàng)即可得到結(jié)論．【詳解】由函數(shù)的部分圖象可知：，又因?yàn)椋唇Y(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,故A錯(cuò)誤；即所以,故B正確；所以．對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，可得，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，所以，即，故D錯(cuò)誤；故選：BC．11.定義在R上的偶函數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用特殊值及偶函數(shù)性質(zhì)判斷A；根據(jù)已知條件得、判斷B、C；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，舉反例判斷D.【詳解】由，令，則，又為偶函數(shù)，則，A對(duì)；由上，得①，在①式，將代換，得②，B錯(cuò)；在②式，將代換，得，C對(duì)；由且，即周期為2且關(guān)于對(duì)稱，顯然是滿足題設(shè)的一個(gè)函數(shù)，此時(shí)，D錯(cuò).故選：AC三、填空題（本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分）12.已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)為，則______．【答案】【解析】【分析】由已知分別求出和，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可．【詳解】由得，，因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队跋蛄康淖鴺?biāo)為，所以，即，所以，所以，故答案為：．13.已知函數(shù)，且.若兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)滿足且，則_____________.【答案】##【解析】【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)的解析式，再由題意可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，且最小正周期，即可求出的值，從而得到，再由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得．【詳解】因?yàn)椋渲?，由，可得關(guān)于對(duì)稱，又兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)滿足且，所以的最小正周期，又，所以，解得，所以，所以，則，所以.故答案為：14.已知，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】令，，通過指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化用表示出，再借助基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】令，，則，，，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號(hào)能否取得”，若忽略了某個(gè)條件，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．四、解答題（本大題共5個(gè)小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象.（1）求解析式；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得.（2）根據(jù)在區(qū)間上的圖象列不等式來求得的取值范圍.【小問1詳解】將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所?，即在區(qū)間上有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，于是函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，，，所以.畫出在區(qū)間上的圖象如下圖所示，所以，所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù)．（1）判斷并證明的奇偶性；（2）若對(duì)任意，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用奇偶性定義證明判斷即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定在上最小值，把問題化為在上恒成立，即可求結(jié)果.小問1詳解】為奇函數(shù)，證明如下：由解析式易知，函數(shù)定義域?yàn)?，而，故為奇函?shù).【小問2詳解】由在上為減函數(shù)，而在定義域上為增函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，故，要使任意，，不等式恒成立，只需在上恒成立，即在上恒成立，由開口向上，則，綜上，.17.在中，角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）已知，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊換角，再通過三角恒等變換得，則得到的大小；（2）利用正弦定理得到，再根據(jù)關(guān)系減少變量，最后利用三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到最大值.【小問1詳解】∵，由正弦定理得，，即，所以，∵，∴，∴，∵，∴；【小問2詳解】由正弦定理，得，∴，又∵，為銳角，∴的最大值為，∴的最大值為.18.已知直線與函數(shù)圖象相切.（1）求的值；（2）求函數(shù)的極大值.【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】（1）設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即得.（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出極值即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，切線方程為，又切線過點(diǎn)，于是，而，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，設(shè)，求導(dǎo)得，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是，又，則存在，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在唯一極大值.19.已知為實(shí)數(shù)，用表示不超過的最大整數(shù)，例如，對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱函數(shù)是“函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否是“函數(shù)”；（2）設(shè)函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，其最小正周期是，若不是“函數(shù)”，求的最小值；（3）若函數(shù)是“函數(shù)”，求的取值范圍.【答案】（1）是“函數(shù)”，不是“函數(shù)”（2）1（3），且【解析】【分析】（1）根據(jù)“函數(shù)”的定義即可判斷是否是“函數(shù)”.（2）根據(jù)周期函數(shù)的定義，結(jié)合“函數(shù)”的條件，進(jìn)行判斷和證明即可.（3）根據(jù)“函數(shù)”的定義，分別討論，和時(shí)，滿足的條件即可.【小問1詳解】函數(shù)是函數(shù)，設(shè)，則，所以存在，使得，所以函數(shù)是“函數(shù)”.函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的圖象如圖所示，不妨研究函數(shù)在0,1這個(gè)周期的圖象.設(shè)，則，所以，所以函數(shù)不是“函數(shù)”.【小問2詳解】因?yàn)槭且詾樽钚≌芷诘闹芷诤瘮?shù)，所以.假設(shè)，則，所以，矛盾.所以必有.而函數(shù)的周期為1，且顯然不是函數(shù).綜上所述，的最小值為1.【小問3詳解】當(dāng)函數(shù)是“函數(shù)”時(shí)，若，則顯然不是函數(shù)，矛盾.若，則，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)不存在，使得，同理不存在，使得，又注意到，即不會(huì)出現(xiàn)的情形，所以此時(shí)不是函數(shù).當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以，所以有，其中