吉林省吉大附中實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次摸底考試數(shù)學(xué)試卷

第23頁/共23頁上學(xué)期高三年級第二次摸底考試數(shù)學(xué)學(xué)科試卷考試時間：120分鐘試卷滿分：150分一、單項選擇題（本大題包括8個小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）.1.已知復(fù)數(shù)，則虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出,即可得到.【詳解】,,故虛部為，故選：C【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的虛部，屬于容易題.2.已知全集，集合A，B滿足，則下列關(guān)系一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，求得，再進行選擇即可.【詳解】因為集合A，B滿足，故可得，對A：當(dāng)為的真子集時，不成立；對B：當(dāng)為的真子集時，也不成立；對C：，恒成立；對D：當(dāng)為的真子集時，不成立；故選：C.3.在平直的鐵軌上停著一輛高鐵列車，列車與鐵軌上表面接觸的車輪半徑為，且某個車輪上的點剛好與鐵軌的上表面接觸，若該列車行駛了距離，則此時到鐵軌上表面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】針對實際問題建模轉(zhuǎn)化為圓的弧長與圓心角、半徑之間的關(guān)系，就圓心角的范圍進行分類,借助于直角三角形計算即得.【詳解】當(dāng)列車行駛的距離為時，則車輪轉(zhuǎn)過的角度所對應(yīng)的扇形弧長為，車輪轉(zhuǎn)過的角度為點的初始位置為，設(shè)車輪的中心為，當(dāng)時，作，垂足為，如圖，則到鐵軌表面的距離為；當(dāng)時，，作，垂足為，如圖，則，到鐵軌表面的距離為；當(dāng)在其它范圍均可得到，點到鐵軌上表面的距離為.故選:B.4.設(shè)公差的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，根據(jù)求解即可.【詳解】因為公差的等差數(shù)列an中，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以.故選：A.5.已知向量在向量方向上的投影向量的模，向量在向量方向上的投影向量的模為，且，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的模長公式計算出，再由向量垂直關(guān)系列出方程，求出向量與向量的夾角余弦，得到夾角.【詳解】由題可得，所以.因為，所以，設(shè)向量與向量的夾角為，所以，所以，即.因為，所以，故向量與向量的夾角為.故選：B.6.若，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，結(jié)合基本不等式及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較的大小，可得結(jié)論.【詳解】，而，且．所以，故．故選：D.7.已知點為扇形的弧上任意一點，且，若（），則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】建系設(shè)點的坐標，再結(jié)合向量關(guān)系表示，最后應(yīng)用三角恒等變換及三角函數(shù)值域求范圍即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，由已知可設(shè)為軸的正半軸，為坐標原點，過點作軸垂線為軸建立直角坐標系，其中，其中，由，即，整理得，解得，則，，所以.故選：C.8.對于集合M，定義函數(shù)對于兩個集合M，N，定義集合，已知，.用表示有限集合M所含元素的個數(shù)，則的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】要想最小，只需最大且最小，據(jù)此結(jié)論找出滿足條件的集合.【詳解】根據(jù)題意可知：，要想最小，只需最大且最小，所以要使的值最小，2，4一定屬于集合X；是否屬于X不影響的值，但集合X不能含有之外的元素，，所以當(dāng)X為集合的子集與集合的并集時，取到最小值6.故選：B【點睛】方法點睛：在實際解決“新定義”問題時，關(guān)鍵是正確提取新定義中的新概念、新公式、新性質(zhì)、新模式等信息，確定新定義的名稱或符號、概念、法則等，并進行信息再加工，尋求相近知識點，明確它們的共同點和不同點，探求解決方法，在此基礎(chǔ)上進行知識轉(zhuǎn)換，有效輸出，合理歸納，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)技巧與方法來分析與解決!二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知方程的兩個復(fù)數(shù)根分別為，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】解方程求出，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)、模的意義及復(fù)數(shù)運算逐項判斷即可各個選項.【詳解】方程可轉(zhuǎn)化為，解得或，不妨設(shè)，，對于A，顯然，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，由，則，故C正確；對于D，，故D正確.故選：ACD.10.已知，，是函數(shù)的三個零點（，），則（）A. B.C D.【答案】ABD【解析】【分析】因為函數(shù)有三個零點，所以極大值大于0，極小值小于0，可求的取值范圍，判斷A的真假；再根據(jù)零點和極值點的關(guān)系，結(jié)合零點存在性定理，可以判斷B的真假；設(shè)，求導(dǎo)，假設(shè)，推導(dǎo)該結(jié)論成立的可能性，判斷C的真假；表示出函數(shù)在3個零點出的導(dǎo)數(shù)，帶入，整理，可判斷D的真假.【詳解】因為，又，由或，由.所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為函數(shù)有3個零點，所以，故A成立；又，所以，且，所以，故成立，即B成立；因為函數(shù)有3個零點，所以可設(shè)，則，所以，，，若有，則.由B可知，可設(shè)，，（，）則，由，這與矛盾，所以不成立，故C錯誤；因為：，故D成立.故選：ABD【點睛】方法點睛：對C選項，因為容易判斷ABD是正確的，所以估計C是錯誤的，第一個想法是令取特殊值，驗證C不成立.但是該方法的難點是不知道令取多少才能計算零點，所以該問題采用了類似反證法的思想，先假設(shè)C是正確的，看看推導(dǎo)出來的結(jié)論有無矛盾即可.11.如圖，在四邊形中，，，，，，則下列結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.的面積為【答案】ACD【解析】【分析】對A，由已知條件利用向量數(shù)量積運算得解；對B，在中，由余弦定理可得解；對C，在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求得答案；對D，求出，利用三角形面積公式求解.【詳解】對于A，如圖，連接，由，解得，又，所以，故A正確；對于B，在中，由余弦定理得，，，故B錯誤；對于C，因為，，所以，，，，，在中，由正弦定理，，即解得，在中，由余弦定理可得，即，則，故C正確；對于D，在中，，，，，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在邊長為2的正三角形中，D為BC的中點，，則______________.【答案】【解析】【分析】以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，根據(jù)題意求出的坐標，再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，由題意得，所以，，，，設(shè)，則，可得，所以，所以，.故答案為：.13.已知函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角變換先對解析式變形，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【詳解】，，，因為在區(qū)間上單調(diào)函數(shù)，所以，即.所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.若函數(shù)滿足在定義域內(nèi)的某個集合A上，對任意，都有是一個常數(shù)a，則稱在A上具有M性質(zhì)．設(shè)是在區(qū)間上具有M性質(zhì)的函數(shù)，且對于任意，都有成立，則a的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)a的符號分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解.詳解】由得，由題意知在區(qū)間上單調(diào)遞增.①時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意；②時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即對恒成立，所以成立，故，即；③時，對恒成立，此時，函數(shù)由，復(fù)合而成，在上單調(diào)遞增且，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若在上單調(diào)遞增，則，即.綜合①②③可知a的取值范圍為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的增減性問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于分類討論以及結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”法則判斷，從而求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，的定義域為，，令，則，解得，令，則，解得.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】令，則.令，其中，則.令，解得，令，解得.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.又，函數(shù)在上有兩個零點，的取值范圍是.16.在中，角，的對邊分別為，的面積為，．（1）求角．（2）若的面積為，，為邊的中點，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合三角形面積公式求解角即可.（2）利用余弦定理得到，再結(jié)合向量中線定理轉(zhuǎn)化求解即可.【小問1詳解】由題意得，由正弦定理，得，即，所以．又，所以．【小問2詳解】因為的面積為，所以，所以．因為，所以，即，所以．因為是邊的中點，所以，所以，所以，所以的長為．17.如圖所示，直角梯形中，四邊形為矩形，平面⊥平面.（1）求證:平面;（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出線段的長度，若不存在，請說明理由【答案】（1）證明見解析（2）存在，2【解析】【分析】（1）如圖，先證明四邊形為平行四邊形，得，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理，建立如圖空間直角坐標系，利用求得，結(jié)合空間向量法求線面角的方法建立關(guān)于的方程，解之即可求解.【小問1詳解】如圖，連接，交于點，取的中點，連接，則且，又且，所以且，故四邊形為平行四邊形，所以，即，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】取的中點，連接，則，所以，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，由平面，得.建立如圖空間直角坐標系，則，所以.假設(shè)在線段DF上存在點滿足題意，設(shè)，由，得.所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，即.設(shè)直線與平面所成角為，則所以.得，整理得，解得或，則點或，此時的長度為2.故存在點或滿足題意.18.某項團體比賽分為兩輪：第一輪由團隊隊員輪流與AI人工智能進行比賽．若挑戰(zhàn)成功，參加第二輪攻擂賽與上任擂主爭奪比賽勝利．現(xiàn)有甲隊參加比賽，隊中共3名事先排好順序的隊員參加挑戰(zhàn)．（1）第一輪與對戰(zhàn)，比賽的規(guī)則如下：若某隊員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該隊員繼續(xù)闖第二關(guān)，否則該隊員結(jié)束闖關(guān)并由下一位隊員接力去闖第一關(guān)，若某隊員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團隊接力闖關(guān)活動結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位隊員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有隊員全部上場參加了闖關(guān)，該隊挑戰(zhàn)活動結(jié)束．已知甲隊每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為，，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響，每關(guān)結(jié)果也互不影響．用表示甲隊闖關(guān)活動結(jié)束時上場闖關(guān)的成員人數(shù)，求的期望；（2）甲隊已經(jīng)順利進入第二輪，現(xiàn)和擂主乙隊號隊員進行比賽，規(guī)則為：雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽直到有一方隊員全被淘汰，另一方獲得勝利．已知，甲隊三名隊員每場比賽的勝率分別為：，，，若要求甲隊獲勝的概率大于，問是否滿足？請說明理由．【答案】（1）（2）符合題意，理由見解析【解析】【分析】（1）的所有可能取值為1，2，3，分別求出對應(yīng)的概率，可求得分布列，可求數(shù)學(xué)期望；（2）分析得一人全勝，，兩人參賽獲勝，，，三人參賽獲勝，三種情況的概率，進而可得求解即可.【小問1詳解】的所有可能取值為1，2，3．1個人的情況為：1號勝勝，則概率為，2個人的情況為：1號負2號勝勝或1號勝負2號勝，概率為，3個人的概率，所以分布列為：123所以．【小問2詳解】分三種情況：第一，一人全勝，該事件的概率設(shè)為，則，第二，，兩人參賽獲勝，該事件的概率設(shè)為，則，第三，，，三人參賽獲勝，該事件的概率設(shè)為，則由，所以要甲隊獲勝的概率大于，即，化簡得：當(dāng)，代入可得：，成立．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是充分理解對應(yīng)規(guī)則，分析得兩規(guī)則下對應(yīng)勝利的概率，從而得解.19.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0短軸長為2，左、右焦點分別為，過點的直線與橢圓C交于兩點，其中分別在軸上方和下方，，直線與直線交于點，直線與直線交于點（1）若坐標為求橢圓C的方程；（2）在（1）的條件下，過點并垂直于軸的直線交C于點，橢圓上不同的兩點滿足成等差數(shù)列.求弦的中垂線在軸上的截距的取值范圍；（3）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）短軸長為2，則有，為的重心，得，代入橢圓方程求解即可；（2）由等差中項的性質(zhì)得到，再由弦長公式得到，然后分當(dāng)AB斜率存在時由點差法得到，再由點斜式寫出弦的中垂線方程，得弦的中垂線在軸上的截距；當(dāng)AB斜率不存在時，AD的中垂線為軸，得在軸上的截距，最后得到范圍；（3）根據(jù)重心性質(zhì)及面積公式得，，再結(jié)合已知不等式條件解不等式組可得