專題21坐標(biāo)系與參數(shù)方程（解析版） - 大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2014-2025）與優(yōu) 質(zhì)模擬題（新高考卷與全國理科卷）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2015-2024）與優(yōu)質(zhì)模擬題（新高考卷）專題21坐標(biāo)系與參數(shù)方程1．【2024年甲卷理科第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=ρcos(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l：x=ty=t+a（t為參數(shù)），若C與l相交于A、B兩點，若AB=2【答案】(1)y(2)a=【詳解】（1）由ρ=ρcosθ+1，將ρ=故可得x2+y（2）對于直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得直線的普通方程為y=x+a.法1：直線l的斜率為1，故傾斜角為π4故直線的參數(shù)方程可設(shè)為x=22s將其代入y2=設(shè)A,B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為s1且Δ=8a?∴AB=s法2：聯(lián)立y=x+ay2=Δ=(2a?設(shè)Ax1,則AB=解得a=2．【2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點0,12的距離，記動點P的軌跡為(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33【答案】(1)y=(2)見解析【詳解】（1）設(shè)P(x,y),故W:（2）法一：設(shè)矩形的三個頂點Aa,a2+14,B

則kAB?kBC同理令kBC=b+c=n>0，且mn=?設(shè)矩形周長為C,由對稱性不妨設(shè)|m|≥則12C=則令f(令f'(x)當(dāng)x∈0,22時，f'當(dāng)x∈22,1，f'則f(故12C≥274當(dāng)C=33時,n=22,m=?2,得證.法二：不妨設(shè)A,B,D在

依題意可設(shè)Aa,a2+14則設(shè)BA,DA的斜率分別為k和?1k，由對稱性，不妨設(shè)直線AB的方程為y=k(則聯(lián)立y=x2+Δ=k則|AB同理|AD∴≥令k2=m，則m∈0,1則f'(m)=當(dāng)m∈0,12時，f'當(dāng)m∈12,+∞，則f(∴|但1+k2|k?2a法三：為了計算方便,我們將拋物線向下移動14個單位得拋物線W矩形ABCD變換為矩形A'B'C'D',則問題等價于矩形A'B'C'D'的周長大于33設(shè)B't0,t則kA'B'=t1+t由于A'B'=1+t1+t0則A'B'+Bt1+t0=?A故①當(dāng)θ∈0,π②當(dāng)θ∈π4,π2時,由于從而?cotθ2故0≤t0>=≥2當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=33時等號成立，故A

.3．【2023年高考全國乙卷理第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθπ4≤θ≤π2(1)寫出C1(2)若直線y=x+m既與C1沒有公共點，也與C2沒有公共點，求【答案】(1)x(2)?∞【詳解】（1）因為ρ=2sinθ，即ρ2整理得x2+y?又因為x=ρcos且π4≤θ≤π2，則故C1（2）因為C2:x=2cosα整理得x2+y如圖所示，若直線y=x+m過1,1，則1=1+m若直線y=x+m，即x?y+m=0與C2相切，則m2若直線y=x+m與C1,C2均沒有公共點，則即實數(shù)m的取值范圍?∞,0

4．【2023年高考全國甲卷理第22題】已知點P(2,1)，直線l:x=2+tcosαy=1+tsinα（t為參數(shù)），α為l的傾斜角，(1)求α；(2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求l的極坐標(biāo)方程．【答案】(1)3π(2)ρ【詳解】（1）因為l與x軸，y軸正半軸交于A,B兩點，所以令x=0，t1=?2cos所以PAPB=t即2α=π2因為π2<α<π（2）由（1）可知，直線l的斜率為tanα=?1，且過點所以直線l的普通方程為：y?1=?x?由x=ρcosθ,y=ρsin5．【2022年高考全國乙卷理第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=3cos2ty=2sint，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，(1)寫出l的直角坐標(biāo)方程；(2)若l與C有公共點，求m的取值范圍．【答案】(1)3(2)?【詳解】（1）因為l：ρsinθ+π又因為ρ?sinθ=y,整理得l的直角坐標(biāo)方程：3（2）[方法一]：【最優(yōu)解】參數(shù)方程聯(lián)立l與C的方程，即將x=3cos2t，y=可得3cos2t+化簡為?6si要使l與C有公共點，則2m=令sint=a，則a∈?1,1，令f對稱軸為a=1∴f(f(∴?196≤2m≤[方法二]：直角坐標(biāo)方程由曲線C的參數(shù)方程為x=3cos2ty=2sint，聯(lián)立3x+y+2m=0y2=?233x+2，得6．【2022年高考全國甲卷理第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+t6y=t（t為參數(shù)），曲線(1)寫出C1(2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程為2cosθ?sinθ=0，求C3與【答案】(1)y2(2)C3,C1的交點坐標(biāo)為12,1，1,2，【詳解】（1）因為x=2+t6，y=t，所以x=2（2）因為x=?2+s6,y=?s，所以由2cosθ?sinθ=0?聯(lián)立y2=6x?2y≥02x?y=聯(lián)立y2=?6x?2y≤02x?y=7．【2021年高考全國乙卷理第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，?C的圓心為C2,1（1）寫出?C的一個參數(shù)方程;（2）過點F4,1作?C的兩條切線．以坐標(biāo)原點為極點，x【答案】（1）x=2+cos（2）ρsinθ+5【詳解】（1）由題意，?C的普通方程為(x?所以?C的參數(shù)方程為x=2+cos（2）[方法一]：直角坐標(biāo)系方法①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x=4，此時圓心到直線的距離為2②當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)其方程為y=k(x?4)故|2k?1?4k+所以切線方程為y=33(兩條切線的極坐標(biāo)方程分別為ρsinθ=3即ρsinθ+5[方法二]【最優(yōu)解】：定義求斜率法如圖所示，過點F作?C的兩條切線，切點分別為A，B．

在△ACF中，tan∠AFC=ACAF=33，又CF故切線的方程為y=33(x?4)+1即ρsinθ+58．【2021年高考全國甲卷理第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點A的直角坐標(biāo)為1,0，M為C上的動點，點P滿足AP=2AM，寫出Р的軌跡C1的參數(shù)方程，并判斷【答案】（1）x?22+y2=2；（2）P的軌跡C1的參數(shù)方程為【詳解】（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=22cos將x=ρcosθ,y=ρsin即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x?2（2）[方法一]【最優(yōu)解】設(shè)Px,∵AP∴x?則x?1=2故P的軌跡C1的參數(shù)方程為x=3?∵曲線C的圓心為2,0，半徑為2，曲線C1的圓心為則圓心距為3?22，∵故曲線C與C1[方法二]：設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(x,y)，M(所以AP=(x?1,y由AP=即x?1解得x1所以M(22(x?1)+化簡得點P的軌跡方程是(x?3+2)化為參數(shù)方程是x=3?2計算|C所以圓C與圓C19．【2020年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=2?t?t2，y=2?3t+t（1）求|AB|：（2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AB的極坐標(biāo)方程.【答案】（1）410（2）【詳解】（1）令x=0，則t2+t?2=0，解得t=?2令y=0，則t2?3t+2=0，解得∴AB（2）由（1）可知kAB則直線AB的方程為y=3(x+4)由x=ρcosθ,y=ρsin10．【2020年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第22題】已知曲線C1，C2的參數(shù)方程分別為C1：x=4cos2θ，y=4sin2θ（（1）將C1，C2的參數(shù)方程化為普通方程；（2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)C1，C2的交點為P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點和P的圓的極坐標(biāo)方程.【答案】（1）C1:x+y=40【詳解】(1)[方法一]：消元法由cos2θ+sin由參數(shù)方程可得x+y=2兩式相乘得普通方程為x2[方法二]【最優(yōu)解】：代入消元法由cos2θ+sin由參數(shù)方程可得t=x+y代入x=t+1t中并化簡得普通方程為(2)[方法一]：幾何意義+極坐標(biāo)將x=t+1t,y=t?1t代入x+y=4設(shè)P點的極坐標(biāo)為Pρ由ρ2=x2+y2故所求圓的直徑為2r=所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2rcos[方法二]：由x+y=4,x2?y2=因為|OP設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2acos從而342=2故所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ=17[方法三]：利用幾何意義由x+y=4,x2?y2=化為極坐標(biāo)為P342,如圖，設(shè)所求圓與極軸交于E點，則∠OPE=90所以O(shè)E=OPcosα[方法四]【最優(yōu)解】：由題意設(shè)所求圓的圓心直角坐標(biāo)為(a,0)，則圓的極坐標(biāo)方程為聯(lián)立x+y?4=0,x2設(shè)Q為圓與x軸的交點，其直角坐標(biāo)為Q(2a,0)又因為點P,O(0,0),所以O(shè)P?PQ=所以所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ=17[方法五]利用幾何意義求圓心由題意設(shè)所求圓的圓心直角坐標(biāo)為(a則圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2聯(lián)立x+y?4=0即P點的直角坐標(biāo)為P5所以弦OP的中垂線所在的直線方程為10x+將圓心坐標(biāo)代入得10a+6×所以所求圓的極坐標(biāo)方程為ρ=1711．【2020年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=coskt,y=sin（1）當(dāng)k=1時，C（2）當(dāng)k=4時，求C1與【答案】（1）曲線C1表示以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為1的圓；（2）(【詳解】（1）當(dāng)k=1時，曲線C1的參數(shù)方程為兩式平方相加得x2所以曲線C1（2）當(dāng)k=4時，曲線C1的參數(shù)方程為所以x≥0,y≥0，曲線C兩式相加得曲線C1方程為x得y=1?曲線C2的極坐標(biāo)方程為4曲線C2直角坐標(biāo)方程為4聯(lián)立C1,C整理得12x?32x+13∴x=14,y=112．【2019年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第22題】如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2,0)，B(2,π4)，C(2,3π4)，D(2,π)，弧AB，BC，CD所在圓的圓心分別是(1,0)，(1,π（1）分別寫出M1，M2，（2）曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點P在M上，且|【答案】(1)ρ=2cosθ(θ∈[0,(2)(3,π6),(【詳解】(1)由題意得，這三個圓的直徑都是2，并且都過原點.M1M2:ρ=(2)解方程2cosθ=3(θ∈解方程2sinθ=3(θ∈[π4,解方程?2cosθ=3(故P的極坐標(biāo)為(3,π6),(13．【2019年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第22題】在極坐標(biāo)系中，O為極點，點M(ρ0,θ0)(ρ0>0)（1）當(dāng)θ0=π3時，求（2）當(dāng)M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標(biāo)方程.【答案】（1）ρ0=23，l【詳解】（1）因為點M(ρ0所以ρ0即M(23,因為直線l過點A(4,0)且與OM所以直線l的直角坐標(biāo)方程為y=?33(因此，其極坐標(biāo)方程為ρcosθ+3ρsin（2）[方法一]【交軌法】由題可得OM的直線方程為y=kx，直線l方程為y=?1k(x?4)．設(shè)點P(x,y)，聯(lián)立兩直線的方程消去k，得點P軌跡方程為[方法二]【利用數(shù)量積為0求得直角坐標(biāo)方程，然后計算極坐標(biāo)方程】設(shè)P(x,y)，由題意可知OP?AP=0，所以(x,y)?(x?4,y)故點P軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos[方法三]【最優(yōu)解：利用斜率之積為?1設(shè)P(x,y)由題意，OP⊥AP，所以kOPkAP=?1因為P在線段OM上，M在C上運動，所以0≤x≤所以，P點軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ2?414．【2019年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=1?t21+t2，y=4（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點到l距離的最小值．【答案】（1）C:x2+【詳解】（1）由x=1?t2∴整理可得C的直角坐標(biāo)方程為：x又x=ρcosθ∴l(xiāng)的直角坐標(biāo)方程為：2（2）設(shè)C上點的坐標(biāo)為：cos則C上的點到直線l的距離d=當(dāng)sinθ+π6則d15．【2018年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθy=4sinθ（θ為參數(shù)），直線l（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為1,2，求【答案】（1）x24+y216=1，當(dāng)cosα≠0時，l【詳解】（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2當(dāng)cosα≠0時，y?2x?1當(dāng)cosα=0時，l的直角坐標(biāo)方程為（2）［方法一］：直線參數(shù)方程的應(yīng)用將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程1+3co因為曲線C截直線l所得線段的中點1,2在C內(nèi)，所以①有兩個解，設(shè)為t1，t2，則又由①得t1+t2=?42cos［方法二］：【最優(yōu)解】點差法的應(yīng)用設(shè)直線l（斜率為k）與曲線C相交于Ax1,y1,Bx2,y2．因為點(1,2)是線段AB的中點，所以直線兩式相減得x1+x2x［方法三］：【通性通法】常規(guī)聯(lián)立＋韋達定理設(shè)直線l與曲線C的交點為Ax1,y1，Bx2,y2．因為點(1,2)是線段AB的中點，所以直線l的斜率k存在且不為零．由y?2=k(x?1),［方法四］：伸縮變換設(shè)變換x'=xy'=12y得x=x'y=2y'代入橢圓方程x24+16．【2018年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第22題】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，?O的參數(shù)方程為x=cosθ，y=sinθ（θ為參數(shù)），過點0，?2且傾斜角為α（1）求α的取值范圍；（2）求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程．【答案】（1）(（2）x=22【詳解】（1）?O的直角坐標(biāo)方程為x2當(dāng)α=π2時，l與當(dāng)α≠π2時，記tanα=k，則l的方程為y=kx?2．l與?O交于兩點當(dāng)且僅當(dāng)21+k2<綜上，α的取值范圍是π4（2）l的參數(shù)方程為x=tcosα,y=?2+tsinα(設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP=tA于是tA+tB=22sin所以點P的軌跡的參數(shù)方程是x=22sin2α,y=?17．【2018年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y=kx+2.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線（1）求C2（2）若C1與C2有且僅有三個公共點，求【答案】(1)(x+1)【詳解】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+（2）［方法一］：【最優(yōu)解】分類討論由（1）知C2是圓心為A?1,0而C1是過點B0,2且關(guān)于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2．由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與當(dāng)l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以?k+2k經(jīng)檢驗，當(dāng)k=0時，l1與C2沒有公共點；當(dāng)k=?43時，l1與當(dāng)l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以k+2k經(jīng)檢驗，當(dāng)k=0時，l1與C2沒有公共點；當(dāng)k=43綜上，所求C1的方程為y=?［方法二］：解方程組法聯(lián)立y=kx當(dāng)x≥0時，1+k2x2+2+4k當(dāng)x<0時，1+k2x2+2?4k當(dāng)方程組有兩個相異正根，兩相等負(fù)根時，Δ1=2+4當(dāng)方程組有兩個相等正根，兩相異負(fù)根時，Δ1=2+4綜上，所求C1的方程為y=?18．【2017年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=3cosθ,y=sinx=a+4（1）若a=?1，求C與l（2）若C上的點到l的距離的最大值為17，求a．【答案】（1）(3,0)，(?2125,24【詳解】（1）曲線C的普通方程為x2當(dāng)a=?1時，直線l的普通方程為x+由x+4y?3=0從而C與l的交點坐標(biāo)為3,0，?21（2）直線l的普通方程為x+4y?a?4=0，故Cd=3cos當(dāng)a≥?4時，d的最大值為a+917.由題設(shè)得a+當(dāng)a<?4時，d的最大值為?a+117.由題設(shè)得?a+綜上，a=8或a=?19．【2017年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為x=2+t,y=kt,（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為x=?2+m,y=mk,（m為參數(shù)）.設(shè)（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3:ρcosθ+sinθ?2=【答案】（1）x2?【詳解】（1）消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=kx?2；消去參數(shù)m設(shè)Px,y,由題設(shè)得y=kx?2所以C的普通方程為x2（2）C的極坐標(biāo)方程為ρ2聯(lián)立ρ2cos故tanθ=?從而cos代入ρ2cos所以交點M的極徑為5.20．【2017年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第22題】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足OM?OP=16（2）設(shè)點A的極坐標(biāo)為2,π3，點B在曲線C2【答案】（1）（x?【詳解】（1）設(shè)P的極坐標(biāo)為（ρ,θ）（ρ＞0），M的極坐標(biāo)為ρ1|OP|=ρ，OM=ρ1由OM?|OP|=16得C2因此C2的直角坐標(biāo)方程為（（2）設(shè)點B的極坐標(biāo)為ρB,α（ρB＞0S當(dāng)α=?π12所以△OAB面積的最大值為2+21．【2016年新課標(biāo)Ⅲ卷理科第23題】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=3cosαy=sinα（α（1）寫出C1的普通方程和C（2）設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求PQ的最小值以及此時【答案】（1）C1：x23+y2=1，【詳解】（1）C1的普通方程為x23+y2=1，C2的直角坐標(biāo)方程為?當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ+π6(k∈Z)試題解析：（1）C1的普通方程為x23+y（2）由題意，可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(3cosα,sinα)，因為C2是直線，所以|PQ|當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ+π6(k∈Z)22．【2016年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第23題】在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x+（Ⅰ）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程是x=tcosαy=tsinα（t為參數(shù)）,l與C交于A【答案】（Ⅰ）ρ2+12ρcos【詳解】（Ⅰ）化圓的一般方程可化為x2+y2+12x+11=（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=αρ∈R設(shè)A，B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得于是ρ1+ρAB=由AB=10得cos所以l的斜率為153或?23．【2016年新課標(biāo)Ⅰ卷理科第23題】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為{x=acost（Ⅰ）說明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0，其中α0滿足tanα0=2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.【答案】（Ⅰ）圓，ρ2?2【詳解】（Ⅰ）消去參數(shù)得到的普通方程.是以為圓心，為半徑的圓.將代入的普通方程中，得到的極坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）曲線的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組若，由方程組得，由已知，可得，從而，解得（舍去），.時，極點也為的公共點，在上.所以.24．【2015年新課標(biāo)Ⅱ理科第23題】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:{x=tcosα,（Ⅰ）求C2與C（Ⅱ）若C1與C2相交于點A,C1與C【答案】（Ⅰ）0,0,32【詳解】（Ⅰ）曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2?2y=0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2+y2?（Ⅱ）曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0)，其中0≤α<π．因此A得到極坐標(biāo)為(2sinα,α)，B25．【2015年新課標(biāo)Ⅰ理科第23題】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1;x=?2，圓（1）求C1，C（2）若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=π4ρ∈R，設(shè)C2【答案】(1)ρcosθ=?2,ρ【詳解】（1）因為x=ρcosθ,y=ρsinC2的極坐標(biāo)方程為（2）將θ=π4得ρ2?32因為C2的半徑為1，則ΔC1．（2024·四川德陽·二模）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=1+22ty=2+2(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程及曲線C的普通方程；(2)設(shè)點M在曲線C上，點N在直線l上，求MN的最小值.【答案】(1)x?y+1=(2)2【分析】（1）利用消參法即可求得直線l的直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公司即可求得曲線C的普通方程；（2）結(jié)合題意求出圓心到直線的距離，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知直線l的參數(shù)方程為x=1+2消去t，得直線l的直角坐標(biāo)方程x?y+1曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即則曲線C的普通方程為x2+y（2）由于點M在曲線C上，點N在直線l上，圓x?12+則圓心(1,0)到直線x?y+1=0即直線l和圓相離，故MN的最小值為2?1.

2．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1的參數(shù)方程為x=?t,y=3t（t為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為(1)求C1與C(2)若C1與C2的兩不同交點A,B滿足【答案】(1)C1的極坐標(biāo)方程為θ=2π3，C(2)a=±【分析】（1）先消去參數(shù)得到普通方程，再利用x=ρcos（2）在（1）的基礎(chǔ)上，聯(lián)立得到ρ2+ρa+a【詳解】（1）x=?t,y=3t消去又x=ρcosθy=ρsinθ化簡得tanθ=?3，故x=a+cosα,y=sin又x=ρcosθy=ρsinθ化簡得ρ2（2）將θ=2π3代入ρ2由Δ=a2?不妨設(shè)OA=由OA=2OB由韋達定理得ρ1故3ρ所以2×a2經(jīng)檢驗，均符合要求.

3．（2024·陜西漢中·二模）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為x=2+ty=4?t（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(1)求C1的極坐標(biāo)方程及C(2)設(shè)點P(2,4)，求1【答案】(1)ρcosθ+ρ(2)3【分析】（1）利用消參法可得曲線C1的直角坐標(biāo)方程，再結(jié)合極坐標(biāo)公式可得C（2）利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】（1）曲線C1的方程為x=則x+y?6=0所以C1的極坐標(biāo)方程ρ而ρsin2由x=ρcosθy=ρ所以C2的直角坐標(biāo)方程為y（2）依題意，將曲線C1化為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程x=2+將其代入y2=4x可得，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為m1，m2，則m1故m1>0故1|PA|+1|PB|=1m1+1m2=m1+m2m1?m2=12(1)求曲線C1的普通方程以及曲線C(2)已知直線l:x?3y=0與曲線C1,C2分別交于P，Q【答案】(1)曲線C1：x2+y(2)3【分析】（1）先把曲線C1的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把曲線C（2）先求出點A的直角坐標(biāo)，分別聯(lián)立直線與C1,C【詳解】（1）因為曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ由x=ρcosθy=ρsinθ由曲線C2的參數(shù)方程為x=m+3cosαy=得x?m2因為x=ρcosθy=ρsinθ即曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ又點A6,π4在曲線C2所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=（2）因為點A6,π4，則x=6由（1）得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x?聯(lián)立x?3y=0x?32+聯(lián)立x?3y=0x2+y則PQ=點A3,3到直線l所以S△APQ=12PQ?d=3?32.

5．（2024·陜西咸陽·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=1+cosαy=sinα（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(1)求曲線C1，C(2)設(shè)點M的極坐標(biāo)為?2,π2【答案】(1)ρ=(2)3【分析】（1）先求得C1的普通方程為x2+y2?2x=0，進而可得極坐標(biāo)方程，設(shè)點A的極坐標(biāo)為(ρ1（2）利用S△ABM【詳解】（1）由曲線C1的參數(shù)方程為x=1+消去參數(shù)α，可得普通方程為(x?1)將x=ρcosθ,y=ρsin設(shè)點A的極坐標(biāo)為(ρ1,θ)因為|OA|?|OB|=所以ρ2cosθ=5，所以曲線（2）由題意，|OM由圖可得S=|(當(dāng)cos2θ=1時，可得S△ABM的最小值為3.

6．（2024·全國·二模）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=1+3cosφy=3sinφ(1)求曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程；(2)若OA=2OB【答案】(1)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2?2ρcos(2)π3或2π【分析】（1）首先曲線的參數(shù)方程化簡為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式，得到曲線C的極坐標(biāo)方程，根據(jù)過原點的極坐標(biāo)方程公式，直接求解直線l的極坐標(biāo)方程；（2）首先聯(lián)立直線與曲線的極坐標(biāo)方程，利用韋達定理和條件，即可求解.【詳解】（1）曲線C的參數(shù)方程為x=1+3所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x?1一般方程為x再根據(jù)x=ρcosθ,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2因為直線l過原點，且傾斜角為α，所以直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α,（2）聯(lián)立直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程得ρ2ρ1+ρ由OA=2OB，得ρ所以ρ1+ρ2=?得cosα=±12，得α=所以直線l的傾斜角為π3或2π3.

7．（2024·四川涼山·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，伯努利雙紐線C（如圖）的普通方程為x2+y22=2x2(1)以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C和l的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)M，N是曲線C與x軸異于原點的兩個交點，l與C在第一象限的交點為P．當(dāng)cosα=22【答案】(1)C極坐標(biāo)方程為ρ2=2cos2θ，直線l(2)2【分析】（1）利用極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)換公式ρ2=x2+y2，ρ（2）利用極坐標(biāo)方程當(dāng)θ=0時，可得ρ=±2，即M?2,0，N2,0【詳解】（1）由ρ2=x2+則C為ρ4∴C極坐標(biāo)方程為ρ2由題意易得直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α，ρ∈（2）由題意M，N是曲線C與x軸異于原點的兩個交點，即當(dāng)θ=0時，代入C極坐標(biāo)方程ρ2=2cos0=2，可得由直線l與曲線C方程組得：ρ2消去θ得：ρ2=2cos2所以ρ=2cos2即OP=143，因為O所以S△MNP=2S△ONP=ON?OP?sinα=2×143×1?2232(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)若PM、MN、PN成等比數(shù)列，求a的值．【答案】(1)y2=ax(2)2【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合極坐標(biāo)方程，求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，再消去參數(shù)t可得直線l的普通方程；（2）結(jié)合參數(shù)方程的幾何意義，韋達定理，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）曲線C:則ρ2因為x=ρcosθy=ρ直線l的參數(shù)方程為：x=2消去參數(shù)t可得，l:（2）直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為：x=?2+t?2代入曲線C的直線坐標(biāo)方程得：t2設(shè)M，N對應(yīng)的參數(shù)為t1由韋達定理得：t1+t因為PM、MN、PN成等比數(shù)列，所以t1?t即28+a2解得a=2.

9．（2024·陜西榆林·三模）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是x=1cosαy=tanα（α(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點E的坐標(biāo)為2,0，直線l交曲線C的同支于M,N兩點，求【答案】(1)x2?(2)22【分析】（1）將x,y分別平方后相減即可得曲線C的普通方程，由x=ρcos（2）根據(jù)題意設(shè)設(shè)直線l的參數(shù)方程為x=2+tcosθy=tsinθ【詳解】（1）x2=y2=①-②，得x2?y2=由x=ρcosθ,y=ρsin故直線l的直角坐標(biāo)方程為x?my?2（2）由（1）知，直線l恒過點E2,0，故可設(shè)直線l的參數(shù)方程為x=2+t設(shè)M,N兩點對應(yīng)的參數(shù)分別是將直線l的參數(shù)方程代入x2?y因為直線l交曲線C的同支于M,N兩點，曲線C的漸近線方程為所以π4<θ<3π由韋達定理，可得t1+t所以1==?由于0≤cos所以所求式的取值范圍為223,233.

10．（2024·陜西·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的直角坐標(biāo)方程為x2(1)求橢圓C的一個參數(shù)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若P是橢圓C上的任意一點，求點P到直線l的距離的最大值.【答案】(1)x=cosθy=2sin(2)2+【分析】（1）利用參普方程互化即可得到橢圓C的一個參數(shù)方程，利用極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化即可得到直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）先得到點P到直線l的距離的表達式，利用三角函數(shù)的取值范圍即可得到點P到直線l的距離的最大值.【詳解】（1）橢圓C的參數(shù)方程為x=cosθy=直線l的極坐標(biāo)方程可化為22可化為ρsin將x=ρcosθ,y=ρsin（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為cosα點P到直線l的距離為d=2故d的最大值為2+62.

11．（2024·四川南充·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C(1)求曲線C在直角坐標(biāo)系中的普通方程；(2)已知P(1,2)，直線l:x+y=3與曲線C交于A，【答案】(1)x(2)5【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理，表示PA2【詳解】（1）由題意可知，ρ2=4ρsin（2）聯(lián)立x+y=3x2設(shè)點Ax1,所以y1+y故x1x1PA=x1所以PA=x==1+32?3+25?92?30+15=5.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)記線段MN的中點為Q，若OQ≤λ恒成立，求實數(shù)λ【答案】(1)ρ(2)2【分析】（1）參數(shù)方程消去參數(shù)，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，再由x=ρcos（2）利用三角函數(shù)的恒等變換和極徑求出結(jié)果．【詳解】（1）∵曲線C的參數(shù)方程為x=1+2cos∴所求方程為(x?∵x=ρ∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2（2）聯(lián)立θ=αρ2?設(shè)Mρ則ρ1由OQ=ρ1當(dāng)α=π4時，OQ取最大值故實數(shù)λ的取值范圍為2,+∞.

13．（2024·四川綿陽·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=(1)求曲線C1與y(2)以坐標(biāo)原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsinθ+π3=2,【答案】(1)0,4(2)π【分析】（1）利用完全平方公式與同角基本關(guān)系式，消掉參數(shù)α，令x=0（2）將C2【詳解】（1）由C1x即曲線C1的普通方程為：x令x=0，得y=∴曲線C1與y軸的交點坐標(biāo)為0,4（2）將C2的極坐標(biāo)方程ρsinθ+所以3ρcosθ+ρ∴C2是過點0,4且傾斜角為不妨設(shè)B0,4，則∠OBA=因為BO為直徑，所以∠BAO=π∴∠AOB=π2?π6=π3.

14．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）在直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為x=1(1)求l和C的直角坐標(biāo)方程；(2)若l和C恰有一個公共點，求sinα【答案】(1)sinα?x?cosα?y?(2)sinα=【分析】（1）消去參數(shù)得直線l的普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式求出C的直角坐標(biāo)方程.（2）利用圓的切線性質(zhì)，結(jié)合點到直線的距離公式求解即得.【詳解】（1）消去參數(shù)t，得l的直角坐標(biāo)方程sinα?x?由x=ρcosθy=ρsinθ，得C（2）由（1）知，C是以?2,0為圓心，3由l和C恰有一個公共點，得?2sinα?sinαsin2所以sinα=33．

15．（2024·四川成都·三模）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=10+ty=10?t（為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點Px0,y0是直線l【答案】(1)x+y?20=(2)22,?2或【分析】（1）直線的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得到直線l的普通方程，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式求得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線l的參數(shù)方程，代入曲線C中，得到韋達定理，利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】（1）由x=10+ty=10?t即直線l的普通方程為x+y?20由ρsin2∵x=ρcosθ，y=ρsinθ即曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2（2）設(shè)直線l的參數(shù)方程為x=x0?12t2設(shè)點M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，tt1+t因為PM+2PN=0解得x0=22，y0=?2，或所以求點P的直角坐標(biāo)為22,?2或19,1.

16．（2024·四川德陽·三模）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=2t1+t2+(1)求曲線C的普通方程和直線l的極坐標(biāo)方程；(2)點P的極坐標(biāo)為(1,3π2)，設(shè)直線l與曲線C的交點為A、B兩點，若線段AB的中點為D【答案】(1)(x?2)(2)32【分析】（1）消去參數(shù)化參數(shù)方程為普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式得l的極坐標(biāo)方程.（2）求出直線l的參數(shù)方程，代入曲線C的普通方程，利用參數(shù)的幾何意義求解即得.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程為x=2t1消去參數(shù)t得曲線C的普通方程為(x?將x=ρcosθ,得直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(cos（2）由點P的極坐標(biāo)為(1,3π2)，得點P的直角坐標(biāo)為(0,?1)設(shè)直線l的參數(shù)方程為x=22t代入曲線C的普通