2024年北京匯文中學高二（上）期中數(shù)學試題及答案

2024北京匯文中學高二（上）期中數(shù)學1．本試卷分為兩部分：第一部分為選擇題，共48分；第二部分為非擇題，共102分．2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．第一部分必須用2B鉛筆作答，第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答．第一部分（選擇題共分）一、選擇題共12小題，每小題4分，共分．在每小題列出的四個選項中，出符合題目要求的一項．x?y+1=01.直線的傾斜角為（）πππππA.B.C.D.或42444()，且法向量=()，則l的方程為（）2.已知直線l經(jīng)過點P1,0v1,2x+2y?2=0x+2y?1=02x?y?2=0A.C.B.D.x?2y?1=0x軸與圓(x?)2+(y+2)=3的位置關(guān)系是（23.）A.相交4.已知B.相切C.相離D.不確定()與(?Q7)關(guān)于直線l對稱，則下列說法中錯誤的是（）P4,51A.直線l過P,QB.直線D.直線l的一個方向向量的坐標是，則其離心率為（C.5或3D.5或PQ的斜率為的中點3()C.直線l的斜率為31,3y=2x5.已知雙曲線的兩條漸近線方程為）55A.5B.22→→cABC?ABC中，M為AC的中點，若11→→→→→6.如圖，在三棱柱為（），，=，則可表示=aBC=bAA11111→→1→→→→1→→1→→→→A.?a+b+cB.a+b+c2122121212C.?a?b+cD.a?b+c22x22y227.已知橢圓C:+=ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓C與y軸的交點，若ab是鈍角三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）2222,1,1A.B.C.D.2222x228.過橢圓+y2=1的左焦點作直線和橢圓交于A、B兩點，且=，則這樣直線的條數(shù)為（）93A.0B.1C.2D.3=2AF，則y2=8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C上且AK9.已知拋物線C：AFK的面積為（）A.4B.8C.D.32相交于點A，點B是圓+=()l:y0kRl:x?+2k?2=0與直線2(x2)+2+(y+210.已知直線1=2上的動點，則|??|的最大值為（）A.5+22C.6+2B.8D.7數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題(?)+(?)()B(a,b)之間距離xa2yb2相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點Ax,y與點加以解決，例如，與的幾何問題.結(jié)合上述觀點，可求得方程x?4x+5=6的解是（2+4x+5+x2）3624362465565A.B.C.D.5ABCD?ABCD12.如圖，在棱長為1的正方體中，P為線段BC上的動點，給出下列結(jié)論：11111①DP//平面AB1D；1D?ADP②三棱錐的體積為定值；11DP⊥C③；1DDM過點P，則橢圓M的離心率為定值.④在平面內(nèi)，若以點A，為焦點的橢圓11其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為（A.1B.2）C.3D.4第二部分（非選擇題共102分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．13.已知向量a，寫出一個與向量垂直的非零向量的坐標___________.=?ax2=2y的焦點坐標是_________．14.拋物線15.已知圓C:x2+(y?2=4，過點P(3,2)作圓的切線，則切線方程為________.?4x+2y+4=0相交于A，B兩點，則兩圓公共弦線所在的直線方程為_________，公共弦AB的長為_____．16.已知圓：x2+y=4與圓：x22+y2y2FFx2?=1PFPF=0，則1217.設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且PF+PF=_________；12124+=_________，1218.在化學課上，你一定曾注意到，當裝有液體的試管稍微傾斜一點時，液面的輪廓是橢圓的形狀，即用平面截圓柱面，當圓柱的軸與平面所成角為銳角時，圓柱面的截線是一個橢圓.著名數(shù)學家Dandelin創(chuàng)立的雙球?qū)嶒炞C明了上述結(jié)論.如圖所示，將兩個大小相同的球1，O嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于平2面的上方和下方，并且與圓柱的側(cè)面相切，和平面相切于，兩點，OF1F2F2交于點O與.過截12線上的任意一點P作圓柱的母線，設(shè)母線與上下兩個球分別相切于點M，N（如有必要，需自己作出）.證明：截線是橢圓，且|??|就是長軸長.請將下述證明補充完整.證明：因為兩球和平面分別相切于，F(xiàn)1F兩點，那么對于每個球來說，球外一點P2PF1=2=PN，向球作切線，切線長相等，即，PF+PF=PM+PN=MN=______，為定值，12RtOFOOOFORtOOFO中，，22在中，，在1111所以____________，所以截線上的點P滿足橢圓的定義，F(xiàn)1F為焦點的橢圓，|??|就是長軸長.2所以截線是以，三、解答題共5小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．A(?4)，B(?0)，C3)19.已知平行四邊形ABCD的三個頂點分別為.（1）求邊??所在直線的方程；（2）求四邊形ABCD的面積.20.已知圓C的圓心在直線2x（1）求圓C的方程；+y=(2,B(4,?0上，且過兩點．（2）若圓C與直線3x?y+a=0a相切，求的值．x2y22設(shè)直線l與橢圓C:+()=1相交于A，B兩點，已知點A0,1.4b（1）直接寫出橢圓C的標準方程；（2）設(shè)直線l的斜率存在，求弦長關(guān)于斜率的表達式，并化簡；k（3）若設(shè)點B的坐標為(m,n)，求弦長n關(guān)于的表達式，并化簡；（4）直接寫出弦長22.如圖，在四棱錐P?ABCD中，,，底面ABCD為正方形，M,NAD,的最大值.==⊥⊥分別為的中點．（1）求證：PA∥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點B到平面的距離．（1）求橢圓C的標準方程；P(2,0)，過點F且斜率不為零的直線l與橢圓交于A，B兩點，以線段（2）設(shè)橢圓的右焦點為F，定點M為直徑的圓與直線x=2的另一個交點為Q，試探究在x軸上是否存在一定點，使直線BQ恒過該定點，若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.參考答案第一部分（選擇題共分）一、選擇題共12小題，每小題4分，共分．在每小題列出的四個選項中，出符合題目要求的一項．1.【答案】A【分析】由tan=1求出傾斜角.x?y+1=0y=x+1，設(shè)傾斜角為[0,),，【詳解】直線可化為tan==.則4故選：A2.【答案】C【分析】根據(jù)直線l的法向量求得直線的斜率，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.1v=1,2()，可得其斜率為?【詳解】由題意知直線的法向量是，21?=?(?)x1，即x+2y?1=0.所以直線l的方程為y02故選：C3.【答案】C(?)【分析】x12y2+(+)2=3是以2)為圓心為半徑的圓，根據(jù)圓心到軸的距離可判斷.x3(?)2+(+)2=3是以2)為圓心3為半徑的圓，【詳解】因為x1y23，圓心2)到軸為2x(?)所以x12+(+)2=3與x軸關(guān)系是相離.y2故選：C4.【答案】B【分析】根據(jù)P與Q關(guān)于直線對稱，逐項判斷可得答案.l【詳解】對于A，因為()與(?)關(guān)于直線l對稱，所以直線l過Q2,7，Q的中點，故A正確；P4,5P7?52?4213=?=?對于B的斜率為，故B錯誤；61對于C，因為直線的斜率為?，所以直線的斜率為l3，故C正確；3對于D，因為直線l的斜率為3，所以直線l的一個方向向量的坐標是()，故D正確.1,3故選：B.5.【答案】Db【分析】討論雙曲線的焦點位置，根據(jù)漸近線方程得的值，再根據(jù)離心率公式可得結(jié)果.abax【詳解】當雙曲線的焦點在軸上時，由漸近線方程可知=2，cc22a2+b2b2a所以離心率e====1()+=1+4=5.aaa2ay當雙曲線的焦點在軸上時，由漸近線方程可知=2，bcc22a2+b2b145所以離心率e====1()+2=1+=.aaa2a2故選：D6.【答案】A【分析】結(jié)合已知條件，利用空間向量的線性運算即可求解.→→→→→→1→→→1→BM=BC+CC+CM=BC+AA+CA=BC+AA+CA【詳解】由題意可知，，11111122→→→→→→→→→因為所以=??，，，AA=c，ABBC=aBC=b1CA→→→1→→12→12→→BM=b+c+(?a?b)=?a+b+c.2故選：A.7.【答案】D【分析】依題意，根據(jù)圖形，根據(jù)離心率的計算公式求解即可.【詳解】422,如圖，因為是鈍角三角形，所以，22csinOPF,1,1，所以，即22a22則橢圓C的離心率的取值范圍是,1，故A，B，C錯誤.2故選：D.8.【答案】B【分析】先求過左焦點的通徑長度，由橢圓的性質(zhì)：過左焦點的弦長最短為通徑長，最長為長軸長，結(jié)合已知弦長判斷直線的條數(shù)即可.【詳解】左焦點為(22,0)，若直線垂直x軸，則直線為x?=?22，13289+y2=1y==，此時通徑長代入橢圓方程得，可得，32=.所以，由橢圓性質(zhì)知：的直線有僅只有一條3故選：B9.【答案】B【詳解】F（2，0）,K（-2，0A作AM⊥準線，則|AM|=|AF|，∴|AK|=2|AM|，三角形APM為等腰直角三角形，設(shè)A（m2，22mm＞0）,AM=m=22，解得由得22mm=2+1則△AFK的面積=4×22m?2m=8,2故選B.10.【答案】A()()且兩直線垂直,所以點A在以為直徑的圓上,ll1O0,0,M2【分析】易知直線分別經(jīng)過定點2(x+2)2+(y+3)2=2AB=d+r+r.2又點B是圓上的動點,因此可以求出圓心之間的距離,所以d1lO(0,0)【詳解】易知直線經(jīng)過定點,1l2:x?+2k?2=0x?2=k(y?2)變形得,所以直線l經(jīng)過定點M(2,2)2當k=0時,直線ll1垂直；2當k0時,兩直線斜率相乘為1故直線?ll1垂直；2所以點A在以為直徑的圓上,圓心為的中點C=?0)2+?0)2=2，,半徑為r1(x+2)2+(y+3)2=2D(,r2=2點B是圓所以圓心之間的距離上的動點,圓心半徑，CD=(2?=d+r+r=5+22.2+(3?=5,2AB所以12故選：A.【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義可得答案.【詳解】因為x所以x同理，x因為x2+4x+5=(x2)+2+=1[x?(2+?0)2，M(x,到N(?0)的距離，的距離，2+4x+5可以轉(zhuǎn)化為?4x+5可以轉(zhuǎn)化為+4x+5+x?4x+5=6，M(x,到P(2,0)222M(x,M(x,N(?0)和P(2,0)6所以所以到兩定點的距離之和為，在以點N(?0)和P(2,0)為焦點的橢圓上，x22y22+=ab0)，設(shè)橢圓的標準方程為：ab則，2a=6，即a=3，又a2?b2=4，所以b2=5，x2y2+=1，所以橢圓的方程為：y=1，95由得x21+=1，9565解得，x=.5故選：D.12.【答案】C【分析】對于①證明DP//平面可判斷；對于②由P到面ADD的距離恒為正方體的棱長，111AC⊥1BC可判斷；對于④取P為的中點和端點B1的面積為定值可判斷；對于③證明平面1即可判斷.1//11AD1//.1【詳解】對于①.在正方體中，平面,平面則平面111//1DBDBDBD//1，平面,平面則平面.1111111BD=DBDBADAD11平面又,平面,1111111111//AD1BDP1平面故平面平面,又1所以DP//平面AB1D.故①正確.1//ADADD1ADD平面11對于②.在正方體中,,平面，111111//ADD11所以平面ADD故在正方體中點P到面的距離恒為正方體的棱長，為1.11111S=,則V=S1=△1.又，故②正確△P?123611BD⊥AC,BD⊥AAAA1AACACAAC平面對于③.,,平面,111⊥AACAC,11AAC⊥C,所以所以BD平面平面⊥CD,⊥ADADCD=DADCADCD平面CA1D又，,平面,1111111111111111⊥CA1DAC平面CA1D⊥AC所以平面，，所以11111BDDC=DDCBD1平面又.平面，111AC⊥DP1平面所以所以平面,又11DP⊥C，故③正確.21DD內(nèi)，若以點A，為焦點的橢圓，其半焦距c1=對于④，在平面1222BC2a=PD+PA=2PD=21+=6若點P在若點P在的中點處時，橢圓的長軸111222a=BD1+BA=1+1+(2)=1+3BC的端點B處時，橢圓的長軸1顯然此時橢圓的長軸不相等，而焦距始終相等，故離心率不相等.所以橢圓M的離心率不為定值，故④不正確.故選：C第二部分（非選擇題共102分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．13.【答案】1)（答案不唯一）b=(x,y,z)b=(x,y,z)【分析】設(shè)與a垂直的向量=?，由abxz0再取值即可求解.=?=【詳解】設(shè)與a垂直的向量=?，由a可得ab=x?z=0，取x=1，y=1，z=1，即b=1)即符合題意，故答案為：1)（答案不唯一）.114.【答案】)2p2=2p0()的焦點坐標可直接求解.(0,)x【分析】根據(jù)拋物線的定義可得，2p=22【詳解】由題意可知，，解得p=1，1x2=2y開口向上，所以拋物線x=2y的焦點坐標為).2因為拋物線21).故答案為：215.【答案】y=?3x5+【分析】先判斷點P在圓上，再由垂直關(guān)系得出切線方程.(3)2+(2?2=4，所以點P(3,2)在圓上，【詳解】因為1?23kkCP=?1，k==k=?3.設(shè)切線的斜率為k，則0?33則切線方程為y=?3(x?3)+2=?3x+5.故答案為：y=?3x+54552x?y?4=016.【答案】①..【分析】將兩圓的方程相減得兩圓的公共弦所在的直線方程，再運用點到直線的距離公式可求得弦長.【詳解】解：圓：x2+y直線AB的方程為：2x?y?4=02=4與圓：x2+y?4x+2y+4=0，兩式相減可得：4x?2y?8=0，2；r=2?4圓C：x2+y2()，半徑為4的圓心為=C0，455由圓心C(0)到直線AB的距離為d==，22+(24552545弦長，AB=2r2?d2=22?(=2=2)255452x?y?4=0故答案為：；．517.【答案】①.25.6【分析】由PFPF0得=為直角三角形，由|PF+PF|2PO|PF1+PF可求出；根據(jù)雙曲線21212PF1+的定義以及勾股定理可求出.2【詳解】因為PFPF0，所以2，則=⊥1為直角三角形，121|PF+PF|2PO=22c=2c(O所以為原點)，122又a2=1，b2=4，所以c2=a2+b2=5，c=5，+=所以25.12不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，則|PF|?|PF=2a=2，①12|PF|+|PF||FF|=4c2=20，②又1212聯(lián)立①②解得|PF=4，|PF=2，12PF+PF=6所以.12故答案為：25；6.2OOFF121218.【答案】①..+=OO，為定值，結(jié)合長度關(guān)系得2【分析】根據(jù)切線長定理的空間推廣，得121OOFF，從而可證明題中結(jié)論.1212【詳解】根據(jù)題意，，分別為兩球面的切線，切點為M，N，又兩球和平面分別相切于，兩點，=1=2PN，，F(xiàn)1F2PF+PF=PM+PN==OO，為定值.2121RtOFOOOFORtOOFO中，，22在中，，在，即1111OO+OOFO+FOOOFF，12121212所以截線是橢圓，且故答案為：O就是長軸長.OOFF.12；212三、解答題共5小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．2x?y+1=019.【答案】（1）（210）求出直線的斜率，得到直線CD的斜率，由點斜式方程得解；（2）以AB為底，由點線距離求得四邊形的高，進而得到面積.【小問14?01+3k==2因為直線AB的斜率為，又平行四邊形ABCD，所以直線CD的斜率為2，y?3=2x?)，即2x?y+1=0(所以直線CD的方程為【小問2.?2?4+113=(?+)2+(?)402=25，點A到直線CDd==5，因為AB的距離為5所以四邊形ABCD的面積為S25510.==(?)20.【答案】（1）x12+(+)=102y2（2）a=5或151）設(shè)圓心為C(m,n)，由兩直線垂直和中點坐標公式求出AB的垂直平分線的方程，解方程組得到圓心，再由兩點間距離公式得到半徑，最后求出圓的標準方程即可；（2）由圓心到直線的距離等于半徑求出即可；【小問1設(shè)圓心為()，Cm,n因為直線的斜率為1，所以?的垂直平分線的斜率為1，又的中點為()，所以的垂直平分線方程為y=x?3，3,0b=a?3ab==?2，則，解得2a+b=0=(?)2+(??)12212=10，=10.又半徑CA(?)所以圓C的方程為x12+(+)y22【小問2因為圓C與直線3x?y+a=0相切，a+5=10所以圓心到直線的距離等于半徑，即，10解得a5或=15.x2+y22=121.【答案】（1）4)8k21+k（2）AB=1+4k2AB=?n?2n+52（3）（4）433）根據(jù)點A的坐標，求出b，即得答案；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，可得交點坐標，根據(jù)弦長公式，即得答案；（3）由兩點間距離公式，即可求得答案；（4）結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即得答案.【小問1x2由題意知()在橢圓上，則b=1，故橢圓的標準方程為A0,1+y=1；24【小問2x2y=+1，聯(lián)立+y=1，2由于直線l的斜率存在，設(shè)其方程為4?8k1+4k得1+4k)x+=08k22x=0,x=，解得兩根，不妨設(shè)12，2)8k21+k2故=1+k2=；1+4k21+4k2【小問3m2設(shè)點B的坐標為(m,n)，則=41?n()，+n2=1，則m224+(n?)2)+(n?)22AB=m22=41?n=?n?2n+5；則【小問4AB=?n2?2n+5，由于12131433n=?[??3??2?+5=.當時，|??|取得最大值為3322.【答案】（1）證明見解析1（2）（3）663）利用中位線定理證明PA//MN，然后由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可；（3）求出BC的坐標，然后利用點到平面距離的向量公式求解即可．【小問1證明：因為M，N分別為，PD的中點，PA//MN所以，PA，又平面平面，故//平面；【小問2PD⊥,PD⊥DC,DADC=D,,DC由于所以PD平面以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，平面ABCD，