2024年北京北師大二附中高三（上）統(tǒng)練四數學試題及答案

2024-2025高三上數學統(tǒng)練4一．選擇題（共10小題）2???1．復數z滿足?=A．1，則|z）．3．2D．52．已知集合A{x|x1}B{﹣，124}AB等于（A．{31}．，4}．，，4}3．下列函數中，在定義域上為增函數且為奇函數的是（）D．{31，2}）A．＝x．＝xx3．＝sinxD．＝2x→→→→4．已知兩個向量?=(2，?3)，?=(4??∥mn的值為（）A．1．2．4D．85．在下列關于直線、m與平面、β的命題中，真命題是（）A?β，且αβlαβ，且αlαC．若β?α，m?β∥mDβ，且⊥lα→→→→→→6．已知向量?與向量?的夾角為120°，|?|=|?|=1，則|?+2?|=（）A．3．3．2?3D．1?37．在△＞”是“＞）A．充分不必要條件C．充分必要條件．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件8．沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙其2h下圓3部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆．這個沙堆的高與錐的高h的比值為（）84A．．27291C3D．3第1頁（共14頁）9．已知某種垃圾的分解率為v，與時間（月）滿足函數關系式v＝ab（其中a，b1210%過2420%至少需要經過（lg2≈0.3．52．64A．48D．12010．如圖，正方體ABCD﹣ABCD的棱長為2，線段BD上有兩個動點E，111111FE在FEF=．下列說法不正確的是（AE運動時，二面角﹣ABC的最小值為°BEF運動時，三棱錐體積﹣CEF運動時，存在點，F(xiàn)AE∥DEF運動時，二面角EFB為定值二．填空題（共5小題））．函數（x）＝1﹣）+?的定義域是．312．在△中，＝3b7，∠=，則△的面積為．13．在等比數列{a}中，a+a＝，aa＝﹣5，則公比＝；若a＞1，則n的n1324最大值為．14．已知等邊△的邊長為4，E，F(xiàn)分別是AB，的中點，則?????=→→；若M，N是線段→→上的動點，且MN|1，則???的最小值為．15．對于函數yfxx，使得xfx）＝1成立，則稱函數fx）具有性質P．000（）下列函數中具有性質P．fx）＝﹣2x2；fx）＝sinxx∈，2π]1?fx）＝x+x（，+∞fx）＝lnx+1（）若函數（x）＝alnx具有性質，則實數a的取值范圍是．第2頁（共14頁）三．解答題（共2小題）?216．在△中，≠，???2?=3?????．（）求∠；（）從條件、條件、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△存在且唯一確定，求△的面積．條件：b＝a，sinA＝；條件：=6邊上的高為2；條件：????=3????，b2.0解答計分．1+?17．已知函數（x）＝，1??（Ⅰ）求曲線yfx）在點（0（033（Ⅱ）求證，當x∈01）時，x）＞+)；3（Ⅲ）設實數kfx）＞?(?+對x（01）恒成立，求k的最大值．3第3頁（共14頁）2024-2025高三上數學統(tǒng)練4參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）2???1．復數z滿足?=A．1，則|z）．3．2D．5【分析】z化簡，再結合復數模公式，即可求解．2???【解答】解：?==?﹣2，故z=(?1)2+(?2)2=．故選：D．【點評】本題主要考查復數模公式，屬于基礎題．2．已知集合A{x|x1}B{﹣，124}AB等于（）A．{31}．，4}．，，4}D．{31，2}【分析】根據已知條件，結合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合＝{xx≤，＝{31，，4}，則AB{﹣，1}．故選：．【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎題．3．下列函數中，在定義域上為增函數且為奇函數的是（）A．＝x．＝xx3．＝sinxD．＝2x【分析】分別結合奇偶性及函數的單調性判斷各選項即可求解．【解答】解：Ayx為非奇非偶函數，不符合題意；Byx+3為奇函數且單調遞增，符合題意；Cysinx在R上不單調，不符合題意；D：＝2x為非奇非偶函數，不符合題意．故選：．【點評】本題主要考查了基本初等函數的奇偶性的判斷，屬于基礎試題．→→→→4．已知兩個向量?=(2，?3)，?=(4??∥mn的值為（）A．1．2．4D．8第4頁（共14頁）→→→→【分析】?∥，則存在實數k?=??，即可得出．→→→→【解答】解：∵?∥，∴存在實數k?=??，2=4?12∴=??，解得k=m＝﹣，n6．3=則mn4．故選：．【點評】本題考查了向量共線定理、方程組的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．5．在下列關于直線、m與平面、β的命題中，真命題是（A?β，且αβlα）B⊥β，且∥⊥αC．若β?α，m?β∥mD⊥β，且β∥α【分析】根據線面垂直的定義和定理，注意緊扣面面垂直的性質定理的條件逐項判斷，分析可得答案．【解答】解：A不正確，由面面垂直的性質定理可推出；C不正確，可能l與m異面；B正確，由線面垂直的定義和定理，面面平行的性質定理可推出；D不正確，由面面垂直的性質定理可知，βmlm，⊥l．故選：．【點評】本題考查了空間線面的位置關系，垂直和平行的定理的應用，屬基礎題．→→→→→→6．已知向量?與向量?的夾角為120°，|?|=|?|=1，則|?+2?|=（）A．3．3．2?3D．1【分析】根據模長公式即可求解．→→→→【解答】解：已知向量?與向量?的夾角為120°，|?|=|?|=1，→1212→則???=1×1×(?)=?，→→→→→→則|?+2?|=?2+4???+4?2=1?2+4=．故選：．【點評】本題考查了平面向量數量積的運算，重點考查了平面向量的模的運算，屬基礎題．第5頁（共14頁）?37．在△＞”是“＞）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【分析】考慮△中A的取值范圍，再判斷充分性與必要性是否成立．?3【解答】解：△中，∈0π????＞時，＞，充分性成立；?3若A＞tan＞或tan0或tanA不存在，所以必要性不成立；是充分不必要條件．故選：．【點評】本題考查了充分與必要條件的判斷問題，是基礎題．8．沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙23與圓錐的高h的比值為（）8492313A．．．D．272細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為h，設圓錐的底面半徑為r32的圓錐的底面半徑為h3體積，由體積相等求解h′，則答案可求．2【解答】解：細沙全部在上部時，沙漏上部分圓錐中的細沙的高為，32設圓錐的底面半徑為r，則細沙形成的圓錐的底面半徑為?，3第6頁（共14頁）2381323∴細沙的體積為V=π(?2?=2．81細沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑r，設高為′，13881則V=πr?′2=2，8得h′=．27∴?8=．27故選：．【點評】本題考查圓錐體積公式的應用，考查計算能力，是中檔題．9．已知某種垃圾的分解率為v，與時間（月）滿足函數關系式v＝ab（其中a，b1210%過2420%至少需要經過（lg2≈0.3A．48．52．64D．120?(12)==0.1?(24)==0.211b=212＝0.050.5×(212)?由題意可得，數函數的公式，即可求解．?(12)=??=0.1?(24)=??=0.21【解答】解：由題意可得，，解得b=12，a0.05，1故v（）＝0.5×(212)，?1??201+??212×(1+0.3)令v（）＝1，可得(212?=20t=???==≈=52．1110.3??212??221212故選：．【點評】本題主要考查函數的實際應用，掌握對數函數的公式是解本題的關鍵，屬于基礎題．10ABCD﹣ABCD的棱長為2BD上有兩個動點E在FEF=111111列說法不正確的是（）AE運動時，二面角﹣ABC的最小值為°BEF運動時，三棱錐體積﹣第7頁（共14頁）CEF運動時，存在點，F(xiàn)AE∥DEF運動時，二面角EFB為定值【分析】對A：建立空間直角坐標系，利用向量法求解二面角夾角的余弦值，根據其范圍，即可判斷；對BCDEFB即為平面B，平面即為平面D，從而得出二面角C﹣﹣B為定值．1111【解答】解：對A：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A22，（020C0，，0D20.0D20，EF在BD上，且??=2，??=2，可設E，2，2≤≤211111→→→則Ft1，﹣2﹣2，﹣，（﹣2，，0﹣11t2→→??2?=0設平面的法向量為?（xy，，→→??=(?????+2?=0取y＝，則?=(0，，?)，平面的法向量為?（，01→→→→?????cos?＞=E﹣﹣C的平面角為θθθ==→=→2?2|?|?|?|1，4?1+24?21≤2?=1+，在[12]上單調遞減，2≤1+≤，5≤????≤22時，θ取得最大值2取最小值4554?222故A說法正確．1212對B：因為S△=EF×BB=×22=A到平面B的距離為，111323所以體積為V﹣﹣=×2×2=，即體積為定值，故B說法正確．對C∥BF，．BD四點共面，與和BD是異面直線矛盾，故C說法錯誤．1111第8頁（共14頁）對D：連接，CE，平面即為平面B，而平面即為平面D，111111，F(xiàn)時，二面角CEFB的大小保持不變，故D說法正確．故選：．【點評】本題考查空間幾何體的性質，考查運算求解能力，屬中檔題．二．填空題（共5小題）．函數（x）＝1﹣）+?的定義域是[0，1）．【分析】由題意，根據函數的解析式可得1x0x0，由此求得函數的定義域．【解答】解：由函數fx）＝log1﹣x+，可得1﹣＞0x0，0x1，可得函數的定義域是[0，故答案為：，【點評】本題主要考查根據函數的解析式求函數的定義域，屬于基礎題．1534312．在△中，＝3b7，∠=，則△的面積為．【分析】根據余弦定理求出c，再求出三角形的面積即可．222【解答】解：∵bac2cos，12∴＝9+6c?（c5或c＝﹣8?1212321534∴△=acsin=××5×=，1534故答案為：．【點評】本題考查了求三角形的面積公式，考查余弦定理的應用，是基礎題．1213．在等比數列{a}中，aa＝，aa＝﹣5，則公比q＝?1n的最大值為3．n1324??1243根據題意，由等比數列的通項公式可得q=可得{a}的通項公式，解a1可得第二空答案．a1nn【解答】解：根據題意，等比數列a}中，aa10aa＝﹣，n1324第9頁（共14頁）??11012243則q==．14若aa10a+a10，解可得a8，1311112則aaq﹣＝8﹣＝（﹣1﹣2﹣n?，n1若a1，即（﹣1﹣2﹣1，n1或3n的最大值為3，1故答案為：?3．2【點評】本題考查等比數列的性質，涉及等比數列的通項公式，屬于基礎題．→→14．已知等邊△的邊長為4，，F(xiàn)分別是AB，的中點，則?????=2；若M，N是線段→→114上的動點，且|MN＝1，則???的最小值為．→→【分析】建立平面直角坐標系，求出相應點的坐標，從而求得，??的坐標，再求數量積即可求得第一空；由條件設M（m，2m≤1Nm+1，0→→→→32114求出????的坐標，從而得到?????=(?+)2+，再求二次函數的值域即可．所在直線為x的中垂線所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，因為等邊△的邊長為4，，F(xiàn)分別是，的中點，（﹣20C2，（02E（﹣1，（，→→所以??=(20)，??=(1，，→→所以?????=2×1+0×3=2；不妨設M在N的左邊，則設Mm，02≤m1m+10→→所以??=(?+1，?3)，??=(?+2，?，→→32114所以?????=(?+1)(?+2)+3=m+3m2=(?+2+，→→11432所以當?=?時，???有最小值為．114故答案為：；．第頁（共14頁）【點評】本題考查平面向量的數量積，屬于中檔題．15．對于函數yfxx，使得xfx）＝1成立，則稱函數fx）具有性質P．000（）下列函數中具有性質P．fx）＝﹣2x2；fx）＝sinxx∈，2π]1?fx）＝x+x（，+∞fx）＝lnx+1（）若函數（x）＝alnx具有性質，則實數a的取值范圍是a＞0或≤﹣e．1?【分析】1x≠0時（=有解即函數具有性質P1?1?（alnx具有性質Pa0xlnx=xxlnx的值域為[?11，進而得到答案．??1?【解答】1x≠0時，fx=有解，即函數具有性質P，1?令﹣2x2=，即﹣2x﹣10，22∵Δ＝﹣80，故方程有一個非0實根，故（x）＝﹣2x具有性質P；1?fx）＝sinxx∈，2π]）的圖象與y=有交點，1?故sinx=有解，故（x）＝sinxx∈[02]）具有性質P；1?1?令+=，此方程無解，1?故fx）＝x+x∈0；1?fx）＝lnx+1）的圖象與y=有交點，第頁（共14頁）1?故ln（x+1=有解，故fx）＝lnx+1）具有性質；綜上所述，具有性質P的函數有：①②④，1?（）（）＝alnx具有性質，顯然a≠，方程xlnx=有根，1?∵（x）＝xlnx的值域為[?，∞11∴，??解之可得：＞0或≤﹣e．故答案為：2）＞0或a≤﹣e【點評】三．解答題（共2小題）?216．在△中，≠，???2?=3?????．（）求∠；（）從條件、條件、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△存在且唯一確定，求△的面積．條件：b＝a，sinA＝；條件：=6邊上的高為2；條件：????=3????，b2.0解答計分．【分析】（1）根據題意，利用倍角公式求得????=3，即可求解；（c?2【解答】1）解：由△中，∠?≠，且???2?=3?????1，2???2?=3????，所以????=3，2?60＜π，所以?=．（）解：若選擇條件2b3absinA1，???6由正弦定理=且?=，可得a＝，b3，????????第頁（共14頁）又由余弦定理b＝a+c2acB，可得2?23??5=0，222解得?=3+2，1212123+222所以△???=??????=×2×(3+22)×=，3+222所以△存在且唯一確定，此時△的面積為若選條件：=6邊上的高為2，．?62????因為?=，可得?==4，由余弦定理bac﹣2cosB，可得2?43?+10=0，解得此時△存在但不唯一確定，不符合題意．若選條件：????=3????，b2，222?=23±2，因為????=3????，由正弦定理得?=3